第五讲-数列的极限与无穷等比数列各项的和

数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。

数列极限的运算法则一、复习引入：函数极限的运算法则：如果{ EMBED Equation.3 |,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿（B ）数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果那么推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。

例如，若，，有极限，则： 特别地，如果C 是常数，那么 例1.已知，求例2.求下列极限： （1）； （2）（3） （4）例4.求下列极限： （1） （2）1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。

当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

练习与作业：1.已知，求下列极限 （1）； （2）无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这ABCah 第4题个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S 为1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.1、求下列无穷等比数列各项的和： （1） （2）（3） （4）3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2.求下列极限：（1）； （2）。

数列极限数列极限定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于某个常数A ，那么A 叫做{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=。

注意：⏹ A 是常数，数列必须是无穷数列。

⏹{}n a 以A 为极限，可以lim 0lim n n n n a A a A →∞→∞-=⇔=（趋近） ⏹ 数列的极限与数列的前任何有限项都无关。

几个重要结论：1） 对于数列{}nq ，当1q <时，有lim 0nn q →∞=2） 对于等比数列{}nq ，当01q <<时，有lim 0nn q →∞=3） 对于数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有1lim0n n→∞= 4） 对于常数数列{}c ，有lim n c c →∞=数列极限运算性质：如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=那么：✧ lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=+✧ lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞=⋅=⋅✧ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠常见数列极限类型：第一类：关于自然数n 的多项式的商的极限1111011110lim kk k k l l n l l a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++=++++ 0kla k lb k l ⎧ =⎪⎨⎪ <⎩（其中当k l >时，极限不存在）第二类：关于自然数n 的指数式极限lim n n q →∞=0111q q ⎧ <⎪⎨ =⎪⎩（当11q q > =-或时，极限不存在）等差数列中的数列极限： 1()n a dn a d d R =+-∈当0d =时，1lim n n a a →∞=；当0d ≠时，极限不存在。

数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明数学中，数列是由一串有限或无限的数按照一定顺序排列而成的。

数列的极限是指当数列中的数值无限逼近某个固定值时，该固定值即为数列的极限。

而等比数列是指数列中的每一项与其前一项之比都相等的数列。

在本文中，我们将详细探讨数列与数列的极限以及等比数列的求和问题，并给出相关问题的证明。

一、数列的极限1. 有界数列的极限对于一个有界数列，它的上界与下界各有一个固定值。

假设数列的上界为M，下界为m。

当数列中的每一项都无限逼近M或m时，该数列的极限即为M或m。

证明过程如下：- 首先，根据上界与下界的定义，数列中的所有项必定小于等于M 且大于等于m。

- 其次，由于数列是按照一定顺序排列的，可以推断出随着数列中项的增加，每一项都会无限逼近M或m。

- 最后，可以根据数列定义及数学归纳法证明，当数列中的每一项都无限逼近M或m时，该数列的极限即为M或m。

2. 无穷大数列的极限无穷大数列是指当数列中的每一项都趋向于正无穷或负无穷时。

证明过程如下：- 首先，根据数列的定义，无穷大数列中的每一项都无限逼近正无穷或负无穷。

- 其次，可以利用数学归纳法证明，当数列中的每一项都趋向于正无穷或负无穷时，该数列的极限即为正无穷或负无穷。

二、等比数列的求和问题等比数列的求和问题是指对于一个等比数列，求其前n项的和。

设等比数列的首项为a，公比为r，前n项的和为Sn。

根据等比数列的性质，可得到以下公式：1. 当r=1时，等比数列退化为等差数列，其前n项和的计算公式为Sn = na。

2. 当r≠1时，等比数列的前n项和的计算公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

以上公式可以通过数学归纳法证明，具体证明过程略。

三、综合例题考虑一个等差数列的极限与等比数列的求和问题的综合例题：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3^n，求该数列的前n项和Sn。

首先，我们可以观察到该数列是由两个不同的幂函数相加而成的。

数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明的综合考察数列在数学中起着重要的作用，它不仅可以描述数值的变化规律，还可以用于解决各种实际问题。

在数列的研究中，极限与等比数列的求和问题是常见且重要的内容。

本文将对这两个问题进行综合考察，并给出相应的证明。

一、数列的极限数列的极限是指当数列中的项无限逼近某个值时，该值即为数列的极限。

我们可以用一种简洁的表示方法来描述数列的极限，即极限符号。

表示为：lim (n→∞) an = L其中，lim表示极限，n表示数列的项数，an表示数列的第n项，L表示极限值。

证明：对于数列{an}，若存在实数L，对于任意给定的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε成立，那么称L为数列的极限。

二、等比数列的求和问题等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项的比值都相等的数列。

等比数列的求和问题是指求等比数列中前n项和的问题，我们可以用一个公式来表示等比数列的前n项和，即：S_n = a_1(1 - r^n)/(1 - r)其中，S_n表示等比数列的前n项和，a_1表示等比数列的首项，r 表示等比数列的公比。

证明：等比数列的前n项和可以通过以下方法得出。

首先，我们可以得到一个等比数列的递归公式：a_n = a_1 * r^(n-1)然后，我们对该递归公式进行推导得到：S_n = a_1 + a_1 * r + a_1 * r^2 + ... + a_1 * r^(n-1)通过将等式两边乘以公比r，我们可以得到：r * S_n = a_1 * r + a_1 * r^2 + ... + a_1 * r^n接着，我们将上述两个等式相减，可得：S_n - r * S_n = a_1 - a_1 * r^n化简后，可以得到等比数列的前n项和的公式：S_n = a_1 * (1 - r^n)/(1 - r)三、综合考察与证明在上述数列的极限与等比数列的求和问题的基础上，我们综合考察这两个问题并给出相应的证明。

一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。

无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。

本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。

二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。

设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。

（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。

（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。

三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。

2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。

四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。

例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。

无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。

（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。

利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。

2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。

（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。

例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。

五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。

本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。

通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。

初中数学教案数列的极限与等比数列求和数列是数学中常见的概念之一，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的极限及等比数列的求和是初中数学中重要的内容，本教案旨在通过清晰的讲解和具体例题的实践，帮助学生掌握数列的极限求解和等比数列求和的方法。

一、数列的极限1. 引入当一个数列的前几项趋近于某个常数时，我们说该数列有极限。

用数学的语言描述，数列{an}有极限L，表示为lim(n→∞) an = L。

在数列中逐渐增大或逐渐减小的数，就是数列的极限。

2. 数列的收敛和发散数列的极限分为收敛和发散两种情况。

若数列{an}有极限L，且满足当n趋近于无穷大时，数列的差值an - L趋近于0，则称数列收敛于L。

反之，若数列{an}无极限或数列的差值an - L无限趋近于无穷大，则称数列发散。

3. 数列极限的性质- 数列极限唯一性：若数列{an}的极限存在，则该极限唯一。

- 收敛数列的有界性：若数列{an}收敛，则数列的所有项有界。

- 收敛数列的保号性：若数列{an}收敛于L，且an > 0，则L > 0。

4. 数列极限的求解方法数列的极限求解方法根据不同的数列类型可以有不同的应用技巧。

以下是几种常见的数列类型及其求解方法：- 等差数列：对于等差数列{an}，若公差为d，则数列的极限为d。

- 等比数列：对于等比数列{an}，若公比为q (|q| < 1)，则数列的极限为0。

- 斐波那契数列：对于斐波那契数列{an}，极限为黄金分割比(1 + √5) / 2。

二、等比数列求和1. 引入等比数列是一种数列，其每一项与前一项的比相等，称为公比。

形式化地表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 等比数列求和公式等比数列的求和公式可以通过以下步骤推导得出：令S_n表示等比数列{an}的前n项和，则有：S_n = a1 + a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1)qS_n = a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1) + a1q^n两式相减得到：S_n - qS_n = a1 - a1q^n化简得：S_n(1 - q) = a1(1 - q^n)因此，等比数列的前n项和公式为：S_n = a1(1 - q^n) / (1 - q)三、实例分析例如，已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 0.5，求该数列的前5项和S_5。