【易错点16】数列错位相减法求和

数列求和公式错位相减法公式数列求和公式，听上去就有点儿复杂对吧？但别急，咱们慢慢来，今天就给大家讲讲一个超好用的技巧——错位相减法。

乍一听，可能有点懵，但你放宽心，一旦弄明白了，分分钟让你觉得数列求和其实没啥难度。

你想啊，谁不想让看似难搞的数学题变得简单呢？对吧？就像是你去超市买东西，拿到结账单时，发现所有打折的商品都给你算得特别清楚，省了不少钱。

今天这招，保准让你在求和的路上少走很多弯路。

咱们从最简单的数列讲起。

你想求一个简单的等差数列的和，通常大家都会背那些公式。

嗯，好像也不难，直接套用公式就行了。

但很多时候，公式也有它的局限，尤其是当数列比较复杂，或者我们想要更高效地解决问题的时候，就得学点儿新招数了。

而这招“错位相减法”，就像是给数列加了一双隐形的翅膀，飞起来不费劲。

说白了，错位相减法就是把两个数列“合并”在一起，然後相减，结果会让你大吃一惊。

听起来有点儿抽象？那就举个例子。

比如你有一个数列1 + 2 + 3 + … + n，咱们现在的目标就是求它的和。

你可以这样操作：写下这个数列，然后把它倒过来再写一次。

比如：1 +2 +3 + … + nn + (n1) + (n2) + … + 1。

好像没啥特别的对吧？但重点来了：你把它们相加——每一项的和都是一样的。

举个例子，第一项1加最后一项n，第二项2加倒数第二项(n1)，以此类推。

结果呢，每一对加起来的结果都是n+1。

那么你就可以轻松得出，整个数列的和是（n+1）乘以n，然后再除以2！是不是一下子就变得清晰明了，省时又省力。

是不是有点“豁然开朗”的感觉？这个方法简直就是数学的“撒手锏”，不仅效率高，而且其实背后的道理也不难理解。

你想，原本一个长长的数列，把它拆成两个“对称”的部分，再相加就能搞定。

多么聪明的招数！就像你去买东西，店员总会问你“要不要礼品包装”，一看就是已经帮你考虑好了怎么样更方便、更高效。

咱们可以稍微升级一下这个技巧。

假如你遇到的不是等差数列，而是更复杂一点的数列，怎么办呢？别怕！这时候错位相减法依然能派上用场。

高考数学：数列错位相减法
错位相减法在数列求和部分属于高频考点。

什么样的数列求和适用于“错位相减法”?
等差数列的通项公式一般为关于n的一次函数型，等比数列的通项公式一般为指数型.所以，作一般化的推广和概括，适合采用“错位相减法”求和的数列，其通项长成下面这个样子:
如何实施“错位相减法”?
基本解题步骤比较固定:
和式乘公比----往后错一位----把两式相减----化简和整理。

强调一下解题的格式:
数列求和通常为解答题，在实施“错位相减法”求和过程中，基本的解题步骤要保留四步中的三步，即“和式乘公比----往后错一位----把两式相减----化简和整理”的前三步保持不变，这是解题的过程，需要让判卷的老师看到。

你掌握了吗?OK，来个变式训练:
已知an =2n-1，bn =3n -1 ,cn =an ·bn ，求数列{cn }的前n项和Tn .。

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3 ①当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②①－②, 即，∴ ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.[答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.（Ⅱ）由，得…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

错位相减求和及其应用对于等比数列{}n a 的前n 项和123n n S a a a a =++++ ，根据等比数列的通项公式，211111n n S a a q a q a q -=++++ ①如果用公比q 乘①的两边，可得211111n n n qS a q a q a qa q -=++++ ②①与②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得11(1)nn q S a a q -=-，当1q ≠时，等比数列的前n 项和的公式为1(1)1n n a q S q-=-（1q ≠）上述推导等比数列前n 项和公式的方法就是错位相减法，其实错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等差数列与等比数列相乘的形式，借助错位相减把这种形式数列的求和转化为等比数列求和，比如：例1.已知数列{}n a 满足n n n a b c =⋅，其中{}n b 为公差为d 的等差数列，{}n c 为公比为q （1q ≠）的等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S由于11223311n n n n n S b c b c b c b c b c --=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ① 用等比数列{}n c 的公比q 乘①的两边，可得：12232111n n n n n n n qS b c b c b c b c b c ---+=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅ ②用①的两边分别减去②的两边，而且让①的右边的最后一项减②的右边的倒数第二项，依次错一位相减，可得：112311(1)n n n n n q S b c d c d c d c d c b c -+-=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅-⋅ ③则12112311111(1)(1)()1n n n n n n n n c q q S b c d c c c c b c b c d b c q --++--=⋅+++++-⋅=⋅+⋅-⋅- 故11111121112222(1)(1)()1(1)1(1)(1)n n n n n n b c b c q d c b c d c q b c d b c S q q q q q q -+⋅⋅--⋅⋅⋅-⋅+-=+-=⋅+----- 若等差数列{}n b 中1b d =，则③式可化为1123111(1)(1)()1n n n n n n n n d c q q S d c c c c c b c b c q -++⋅--=+++++-⋅=-⋅-故11111222(1)(1)(1)1(1)(1)n n n n n n b c b c q d c d c q d c S q q q q q +⋅⋅--⋅⋅-⋅=-=⋅+----我们知道，等差数列的通项公式可以看成关于n 的一次函数，从上面过程来看，错位相减法的实质就是对该一次函数降次，把关于n 的一次函数与等比数列相乘的形式的求和化成常数与等比数列相乘的形式的求和，然后提取常数，利用等比数列前n 项和的公式把多项化成单项，再化简，得出结果。

数列求和之错位相减法、倒序相加法1、错位相减法适用于 c n = a n 检，其中｛耳｝是等差数列，｛b n｝是等比数列。

步骤：此时可把式子.一叫•- ■.的两边同乘以公比 q(q 1 0且q1 1)，得到 ■: - : -，■- : -. . .■- .■- ■，两式错位相减整理即可求出 Sn.2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。

2 n 1【例1】已知数列1,3a,5a ,|山(2 n - 1)a (a = 0)，求前n 项和.【例2】已知｛a n ｝是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6 =55,a 2 +a 7 = 16(i)求数列｛a n ｝的通项公式: (n)若数列｛a n ｝和数列｛b n ｝满足等式：b n =寻，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .【例 3】求和：sin 21' sin 2 2 sin 23「||川I sin 289‘1【例4】已知函数f X =刁 2 R ，点P 1 X 1,% , P 2 X 2,y 2是函数f x 图像上的两个点，且线段 RF 2的中点P 的横坐标为 丄.2(i)求证：点 P 的纵坐标是定值;=f i nm N ,n =1,2，…,m ,求数列'aj 的前 m m项的和S m ；【变式训练】2 n -3(n)若数列匚的通项公式为a n -2 -1 1、已知数列-6a , -4 a , -2,0,2a , 4a ,…，(-8+2n ) a 求前n 项和.2、若数列也“*的通项公式为a n = 2n 3，数列｛b n｝满足等式：b n =2冷“，求数列｛b n｝的前n项和S n3、求cos* cos2* cos3”||| cos178 cos179 的值.【过关练习】21.设数列｛a n｝的前n项和为S n= 2n, ｛b n｝为等比数列，且Q二b i,b(a2 - a) = b，(1)求数列｛aj和｛b n｝的通项公式;(2)设c n = a n，求数列｛c n｝的前n项和T n. b n2、已知｛a n｝是等差数列，其前n项和为S n, ｛b n｝是等比数列，且a i =2,a4 b^ 27 ,S4- b4=10.(1)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；(2)记T n = a nd a nJ b2 亠亠a^ , n N*，证明「12 二-2a. 10b n ( nN* )；3、已知Ig xy i=2,求和S n =lg x n lg(x n'y) lg(x n°y2) III lg y n。

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3①当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②①－②, 即，∴,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年XXXX市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.（Ⅱ）由，得…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。

二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。

+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。

2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。

三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。

+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。

1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。

数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。

数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。

1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。