北师大版初三(下)数学第92讲：正多边形与圆(学生版)(著名机构讲义)

正多边形与圆1.掌握圆内接多边形的性质；2.掌握内接圆的性质；3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=nsin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。

1. 利用三角形的内心求角度【例1】（湖北宜昌一模）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°练习1.如图，I是△ABC内心，则∠BIC与∠A的关系是（ D ）A. ∠BIC=2∠AB. ∠BIC=180°－∠AC.∠BIC= D.∠BIC=练习2.（湖北恩施一模）如图，圆O是△ABC的内切圆，与三角形三边分别切于D、E、F，知∠B=50°，∠C=60°，则∠EDF= 。

2. 三角形外接圆问题【例2】正三角形的外接圆半径是R，则它的边长是（）A.0.5RB. RC.R D.R练习3. 若三角形的三边长分别为1，1和，则外接圆的半径为____________。

练习4. 等边三角形的边长为4cm，它的外接圆的面积为____________。

3.内切、外接、外切问题的综合【例3】正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A.B.C.D.。

练习5．同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是（）A. 2：1B. 1：2C.D.练习6.△ABC中设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，⑴若∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．⑵若∠A=a，则∠BIC=________，∠BOC=________．4.内切圆综合题【例4】已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC 的面积S．练习7．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．练习8．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．5. 正多边形和圆【例5】正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A. 33B. 233C. 23D. 223练习9.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.练习10．如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.练习11. 正三角形的边心距、半径和高的比是（）A. 1∶2∶3B. 123∶∶C. 123∶∶D. 123∶∶【例6】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ）A. S S S 346>>B. S S S 643>>C. S S S 634>>D. S S S 463>>练习12. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ，求证：（1）ME AB =；（2）ME BE BM 2=·练习13. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。

练习14. 已知正方形的边长为2cm ，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。

1． 三角形的外心是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条中垂线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点2.正多边形一定是（ ） A. 轴对称图形 B. 中心对称图形C. 既是中心对称图形又是轴对称图形D. 都不对3．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为（ ）A.35°B.40°C.50°D.80°4. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（）．A．9B．9（-1）C．9（-1）D．95.在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。

6. 若正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正____________边形。

7. 已知正多边形的中心角为120°，边长为3，则其半径长为____________。

8. 若正三角形和正六边形的面积相等，则它们的边长之比为___________。

9. 如图，PA、PB分别切圆O于A、B，⑴C为优弧AB上的一点，若∠P=50°，则∠ACB= 。

⑵D 为劣弧AB上的一点，若∠P=50°，则∠ADB= 。

变式：上题中，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（）A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a10.△ABC的内切圆半径为R，△ABC的周长为L，则△ABC的面积为。

变式：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为 c 、a、b，则△ABC的内切圆半径为。

11.边长为a的正三角形的内切圆的半径为。

12. EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A.D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．13.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O 分别相切于L、M、N、P．求证：AB+CD=AD+BC．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1. 在圆内接四边形ABCD中，则∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D＝度2. 一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm，则其外接圆的半径为cm，内切圆的半径为cm。

3.圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．4. (甘肃定西一模)如图，在△ABC中，，cos B．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．5.（湖南怀化期末）如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则__ ___度．6.（安徽一模）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°7.（四川绵阳一中期末）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =( )A．50 cm B．25cm C．cm D．50cm8. 同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A.∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶9.下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等10．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．1812．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．13．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．14．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．15. 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．。