最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-四川卷

绝密★启用前2014年高考全国2卷理科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题（题型注释）1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i=+，则12z z =（ ）A.- 5B.5C.- 4+ iD.- 4 - i 2．设向量a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a ⋅b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.53．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A.5B.5C.2D.14．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.455．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.1727B.59C.1027D.136．执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.77．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.38．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.33B.93C.6332D.949．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A.110B.25 C.30 D.210．设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题（题型注释）11．()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)12． 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.13．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 14．设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x的取值范围是________. 评卷人得分三、解答题（题型注释）15．已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （2）证明：1231112n a a a ++<…+. 16．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.17．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2 2 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt =-18．设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N=，求a,b.19．已知函数()f x =2x x e e x---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）20．如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E 。

最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d< C ．a b d c > D ．a b d c < 【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】B9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

2014年四川省达州市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集M={-2，-1，0，1，2}，N={x|＜2x+1＜8，x∈R}，则M∩N=（）A.{-1，0，1}B.{-2，-1，0，1，2}C.{0，1}D.{-1，0}【答案】A【解析】解：由＜2x+1＜8得2-1＜2x+1＜23，∴-1＜x+1＜3，∴-2＜x＜2，∴M∩N={-1，0，1}．故选A．由题意集合M={-2，-1，0，1，2}，N=＜＜，，解出集合M，N，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，概念不清会导致部分同学失分．2.已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵==，∴所求的实部与虚部之积是．故选A．先对所给的复数分子分母同乘以1+i，再进行化简整理出实部和虚部，即求出它们的乘积，本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除时，需要分子和分母同时除以分母的共轭复数进行化简．3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．B.若非零向量，的夹角为θ，则“•＞0”是“θ为锐角”的充要条件．C.命题p：“∀x∈R，sinx+cos≤”，则￢p是：∃x0∈R，sinx+cos≤”D.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；B．若非零向量，的夹角为θ，则“•＞0”，，可同向，推不出“θ为锐角”，但“θ为锐角”可推出“•＞0”，故“•＞0”是“θ为锐角”的必要不充分条件．故B错；C．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是：∃x0∈R，sinx0+cosx0＞”，故C错；D．命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，故它的逆否命题也为真命题，故D正确．故选D．运用否命题既要对条件否定，又要对结论否定，从而判断A；根据充分必要条件定义判断B；由全称性命题的否定是存在性命题，从而判断C；根据原命题与逆否命题等价，从而判断D．本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题和充分必要条件，以及命题的否定方法，同时考查平面向量数量积的定义及夹角概念，注意命题的否定和否命题的区别，是一道基础题．4.等差数列{a n}中的a1、a2027是函数f（x）=x2-8x+6的两个零点，则log2a1014=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}中的a1、a2027是函数f（x）=x2-8x+6的两个零点，∴a1，a2027是方程x2-8x+6=0的实根，则满足a1+a2027=8．由等差数列的性质a1014=（a1+a2027）=，∴log2a1014=2．故选A．根据函数零点的定义得到a1+a2027=8，然后根据等差数列的性质，结合对数的运算性质即可得到结论．本题主要考查等差数列的计算，利用函数与方程之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．5.已知函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=sinωx-cosωx=2sin（ωx-）又∵函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0∴ω=2故f（x）=2sin（2x-）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin[2（x+）-]=2sin2x的图象令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z故函数y=g（x）的减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z当k=0时，区间[，]为函数的一个单调递减区间又∵，⊆[，]故选A由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．6.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥αB.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥n，n⊥α，则m⊥α【答案】D【解析】解：A、若m∥n时，l与α不一定垂直，故A错误；B、若三点不在平面β的同侧，则α与β相交，故B错误；C、m⊥α，m⊥n，有可能n⊂α，故C错误；D、根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于平面，故D正确．故选：D．根据线面垂直的判定定理判断A是否正确；借助图象，根据三点是否在平面的同侧来判断B是否正确；根据直线在平面内的情况，来判断C是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断D是否正确．本题借助考查命题的真假判断，考查线面垂直的判定．7.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若，则λ的取值范围（）A.（0，1）B.，C.（-1，0）D.，【答案】C【解析】解：=+=+y=+y（-）=-y+（1+y），再根据=，可得y∈（0，1），∴λ∈（-1，0），故选：C．根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的相等关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点，属于中档题．8.一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A.12种B.15种C.17种D.19种【答案】D【解析】解：由题意结合分部计数原理可得，总的取球方式共3×3×3=27种，其中，（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（1，2，2），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2）共8种不符合题意，故取得小球标号最大值是3的取法有27-8=19种，故选D由分步计数原理可得总的取法由27种，列举可得不合题意得有8种，进而可得符合题意得方法种数．本题考查计数原理的应用，采用间接的方式结合列举法是解决问题的关键，属中档题．9.若函数＞，＞的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.C.2D.【答案】D【解析】解：求导数，可得令x=0，则又f（0）=，则切线方程为，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴∴a+b的最大值是故选D．求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切，考查基本不等式的运用，属于中档题．10.已知函数f（x）=（x-a）2+（-a）2-a2+2（x＞0，a∈R），若函数f（x）有四个不同的零点，则a的取值范围是（）A.-3＜a＜3B.a＞3C.2＜a＜3D.a＞2【答案】B【解析】解：∵f（x）=（x-a）2+（-a）2+2-a2（x＞0），∴f（x）=（x+）2-2a（x+）+2-a2，令t=x+≥2，则g（t）=t2-2at+a2-2=0在（2，+∞）有两个不同的根，即＞＞＞，解得a＞3，故选：B．将函数f（x）进行整理，利用换元法转化为二次函数的零点问题，即可得到结论．本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为二次函数问题是解决本题的关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3= ______ ．【答案】80【解析】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•（2x）r，故x3的系数a3=•23=80，故答案为80．根据二项式展开式的通项公式为T r+1=•（2x）r，可得x3的系数a3=•23，运算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.阅读程序框图（如图所示），若输入a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则输出的数是______ ．【答案】60.7【解析】解：程序框图的功能是：输出a，b，c中最大的数，∵a＞1，0＜b＜1，c＜0，∴输出的数为60.7．故答案为：60.7．通过程序框图，了解程序的功能，然后比较大小即可．本题主要考查程序框图的识别与应用，利用程序的功能是解决本题的关键．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】π【解析】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个半径为1的半球体；上面是一个底面与半球的大圆重合、高长为2的圆锥．则该几何体的体积是V=×π×13+×π×12×2=π．故答案为：π．由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个半径为1的半球体；上面是一个底与半球的大圆重合、高长为2的圆锥．据此可计算出答案．本题主要考查了由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．14.已知函数f（α）=2sin（α+），其中角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．若点P（x，y）为平面区域上的一个动点，则f（α）的取值范围是______ ．【答案】[，2]【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当点P位于线段AB上时，此时角α最小，值为，点P位于C时，此时角α最大为，即≤α≤，则+≤α+≤+，即≤α+≤，∴2×≤2sin（α+）≤2，即≤2sin（α+）≤2，∴f（α）的取值范围是[，2]故答案为：[，2]作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出角α的范围，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用线性规划的知识求出角α的范围是解决本题的关键．15.函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“中心函数”．①已知f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a））则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R 上的奇函数．②已知定义在R上的偶函数y=f（x）的“中心点”为（1，1），则方程f（x）=1为[0，10]上至少有5个根．③已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m2-6m+21）+f（n2-8n）＜0对∀m，n∈R恒成立，则当m＞3时，13＜m2+n2＜49．④已知函数f（x）=2x-cosx为“中心函数”，数列{a n}是公差为的等差数列．若f （a n）=7π，则=，其中你认为是正确的所有命题的序号是______ ．【答案】①②③【解析】解：①若F（x）=f（x+a）-f（a），则F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f （a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（b），∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（b）=0，∴F（-x）=-F（x），∴函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数，∴①正确．②若函数y=f（x）为R上的偶函数“中心点”为（1，1），则f（x）+f（2-x）=2，当x=1时，2f（1）=2，∴f（1）=1，当x=-1时，f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=2，即f（3）=1，当x=-3时，f（-3）+f（5）=f（3）+f（5）=2，即f（5）=1，当x=-5时，f（-5）+f（7）=f（5）+f（7）=2，即f（7）=1，当x=-7时，f（-7）+f（9）=f（7）+f（9）=2，即f（9）=1，∴方程f（x）=1为[0，10]上至少有5个根，∴②正确．③点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，点（0，0）为函数y=f（x）的“中心点”，即函数f（x）是奇函数，则不等式f（m2-6m+21）+f（n2-8n）＜0等价为不等式f（m2-6m+21）＜-f（n2-8n）=（-n2+8n），∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2-6m+21＜-n2+8n，即（m-3）2+（n-4）2＜4，表示圆心为（3，4），半径为2的圆及其内部，当m＞3时，为右半圆，设z=m2+n2，则z的几何意义表示为动点P到原点距离的平方，由图象可知当P位于点A（3，6）时，z取得最大值为z=9+36=45，当P位于点B（3，2）时，z取得最小值为z=9+4=13，∴13＜m2+n2＜45．即13＜m2+n2＜49成立，∴③正确．④f（x）=2x-cosx，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=2（a1+a2+…+a7）-（cosa1+cosa2+…+cosa7），∵{a n}是公差d=的等差数列，∴a1+a2+…+a7=7a4，cosa1+cosa2+…+cosa7=cos（a4-3d）+cos（a4-2d）+（cos（a4-d）+cosd+cos（a4+d）+cos（a4+2d）+cos（a4+3d）=2cosa4（cos3d+cos2d+cosd），∴由f（a n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=7π，得14a4-2cosa4（cos3d+cos2d+cosd）=7π，∴必有14a4=7π，且cosa4=0，故a4=，∵公差d=，∴a1=，a7=，则==≠，∴④错误．故答案为：①②③①根据函数“中心点”的定义，利用函数奇偶性的定义即可证明函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．②根据函数y=f（x）为R上的偶函数“中心点”为（1，1），求出方程f（x）=1的根，即可得到结论．③已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，则得到函数f（x）是奇函数，利用函数的奇偶性即可得到结论．④根据等差数列的通项公式，求出a1，a4，a7的值，代入进行求解即可．本题主要考查函数中心的定义的应用，综合性较强，运算量量较大，难度非常大．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设函数f（x）=5sinxcosx+6cos2x+sin2x+．（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）在锐角△ABC中，sin C=，f（A）=，AB=2，求AB边上的高．【答案】解：（Ⅰ）==，由，得，∴∴时，函数f（x）的值域为，；（Ⅱ）∵，f（A）=，∴f（A）=5sin（2A+）+5=，即sin（2A+）=，∵△ABC为锐角△ABC，∴，∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C==，又∴由正弦定理得，，即AC=4，设AB边上的高为CD，∴CD=．【解析】（Ⅰ）运用二倍角公式的变形和两角和的正弦公式化简整理，得到f（x）=5sin（2x+）+5，根据x的范围，求出2x+的范围，根据正弦函数的图象与性质，即可得f（x）的值域；（Ⅱ）根据条件先求出角A，注意锐角三角形，运用两角和的正弦求出sin B，运用正弦定理求出AC，由解直角三角形求出AB边上的高．本题主要考查三角恒等变换及正弦定理的运用，考查正弦函数的图象与性质和两角和的正弦公式，熟记这些公式是解题的关键．17.已知数列{a n}的首项为a1=4，前n项和为S n，S n+1-3S n-2n-4=0（Ⅰ）求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=15（a n+1）+n（n∈N*），求数列{b n}前n项的和T n．【答案】（Ⅰ）证明：n≥2时，由S n+1-3S n-2n-4=0，得S n-3S n-1-2n-2=0，两式相减，得a n+1=3a n+2，∴a n+1+1=3（a n+1）（n≥2）成立，…3分又已知a1=4，a2=14，∴a2+1=3（a1+1）…（4分）∴{a n+1}是以5为首项，3为公比的等比数列．…（5分）∴．…（6分）（Ⅱ）解：∵b n=15（a n+1）+n（n∈N*），∴b n=75•3n-1+n，…（7分）则+n）…（8分）=+．…（12分）【解析】（Ⅰ）由S n+1-3S n-2n-4=0，得S n-3S n-1-2n-2=0，两式相减，得a n+1=3a n+2，由此证明{a n+1}是以5为首项，3为公比的等比数列由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由b n=75•3n-1+n，利用分组求和法能求出数列{b n}前n项的和T n．本题考查等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18.达州市万源中学实施“阳光体育”素质教育，要求学生在校期间每天上午第二节课下课后迅速到操场参加课间活动．现调查高三某班学生从教室到操场路上所需时间（单位：分钟）并将所得数据绘制成频率直方图（如图），其中，路上所需时间的范围是（0，10]，样本数据分组为（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]．（Ⅰ）求直方图t的值；（Ⅱ）现有6名学生路上时间小于4分钟，其中2人路上时间小于2分钟．从这6人中任意选出2人，设这2人路上时间小于2分钟人数记为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）由题意知（2×0.03+0.065+0.125+t）×2=1解之得t=0.25．…（5分）（Ⅱ）由题意知X的取值可能为0，1，2…（6分）P（X=i）=（i=0，1，2），…（9分）所以X的分布列为：所以E（X）=+=．…（12分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1，能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由题设知X的可能取值为0，1，2，分别求出其概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19.如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90 ，AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．（Ⅰ）当EG=2时，求证：CG⊥平面BDG．（Ⅱ）在线段EF上任意取一点，当该点落在线段EG上的概率为时，求二D-BG-C的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵EG=2，直角梯形ABCD中，∠ABC=90 ，AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．∴AEGD为为正方形，∴DG⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG，又∵EG=EB=2．∴BG=CG=，由BG2+CG2=BC2，知BG⊥CG，BG∩DG=G，∴CG⊥面BDG．…（6分）（Ⅱ）解：点E、F分别是AB的中点，∴EF∥BC，又∠ABC=90 ，∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，如图建立空间坐标系E-xyz．由题意得B（2，0，0），D（0，2，2）C（2，4，0），G（0，1，0），设平面DBG的法向量为，，，∴，，，=（-2，2，2），…（7分）则，即取x=1，则y=2，z=-1，∴，，…（9分）取面BCG的一个法向量为，，．则cos＜，＞=…（10分）∴此二面角平面角的余弦值为．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出AEGD为为正方形，DG⊥EF，从而得到DG⊥CG，由此利用勾股定理能证明CG⊥面BDG．（Ⅱ）建立空间坐标系E-xyz，利用向量法能求出此二面角平面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且点A（x0，2）在抛物线上，|AF2|=2．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）如图点B位于椭圆短轴的下端点，M，N分别是椭圆和圆x2+y2=1位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BN斜率的2倍．证明：直线MN过定点并求出其坐标．【答案】（Ⅰ）解：∵点A（x0，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，|AF2|=2．∴，解得，将，代入抛物线y2=2px（p＞0），解得p=2，…（2分）∴抛物线方程为y2=4x…（3分）∵椭圆C：+y2=1（a＞1）的左右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，∴F2（1，0），在椭圆中c=1，∴a2=2…（4分）∴椭圆方程为．…（6分）（Ⅱ）证明：设BN的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线均过定点B（0，-1），设直线BM：y=kx-1，直线BN：y=2kx-1…（7分）由，得方程（1+2k2）x2-4kx=0，，…（8分）同理由，得方程（1+4k2）x2-4kx=0，，．…（9分）∴…（11分）∴MN的方程为，化简得：∴直线MN过定点（0，1）…（13分）【解析】（Ⅰ）由已知条件求出，将，代入抛物线y2=2px（p＞0），求出抛物线方程为y2=4x，从而得到F2（1，0），由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线BM：y=kx-1，直线BN：y=2kx-1，由已知条件推导出MN的方程为，由此能证明直线MN过定点（0，1）．本题考查椭圆的抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=x2+bx-alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的零点，求a，b．（Ⅱ）对∀b∈[-2，-1]，都有∃x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．求实数a的取值范围．（Ⅲ）若a=-1时，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）求证：f（x1）-f （x2）＞-ln2．【答案】解：（Ⅰ）f （x）=2x+b-（x＞0），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴f （2）=4+b-=0．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=-1．（Ⅱ）令g（b）=xb+x2-alnx，b∈[-2，-1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，则g（b）max=g（-1）=x2-x-alnx＜0在x∈（1，e）有解，令h（x）=x2-x-alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于=，令φ（x）=2x2-x-a，φ （x）=4x-1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1-a，①当1-a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h （x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1-a＜0，即a＞1时，φ（1）=1-a＜0，φ（e）=2e2-e-a．若a≥2e2-e＞1，则φ（e）＜0，∴在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h （x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2-e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h （x）＜0恒成立，h（x）在（1，m）上单调递减，∴存在存在x0∈（1，m）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对∀b∈[-2，-1]，都有∃x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．（Ⅲ）证明：由题意a=-1，可知＞，方程2x2+bx+1=0有两个不相等实根x1、x2，且，，又，∴，∞，且，，f（x1）-f（x2）=-==＞，构造＞，．当x＞1，则ϕ （x）＞0，ϕ（x）在（1，+∞）上为增函数，∴＞，即＞成立．【解析】（Ⅰ）f （x）=2x+b-（x＞0），由于x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的零点，可得：f （2）=0，f（1）=0，解得即可．（II）令g（b）=xb+x2-alnx，b∈[-2，-1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，由于对任意b∈[-2，-1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，则g（b）max=g（-1）=x2-x-alnx＜0在x∈（1，e）有解．令h（x）=x2-x-alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于=，令φ（x）=2x2-x-a，φ（x）=4x-1＞0，因此φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1-a，对1-a再分类讨论，是否满足条件即可．（III）由题意a=-1，可知＞．方程2x2+bx+1=0有两个不相等实根x1、x2，且，，又，，∞，且，，f（x1）-f（x2）=（x2＞1），构造＞，利用导数研究其单调性极值与最值即可．本题考查了利用导数以及函数的单调性极值与最值、一次函数的单调性，考查了等价转化方法、分类讨论的思想方法，考查了构造函数解决问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。