高中数学 1_3《组合》教案1 苏教版选修2-31

《组合》教案3（苏教版选修2-3）课题1.3组合组合数公式组合数性质进行运算第三课时教学目标知识与技能：掌握组合数公式，组合数性质，运用组合数公式组合数性质进行运算。

过程与方法：能运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。

情感、态度与价值观：许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。

教学重点教学难点运用组合概念分析简单的实际实际问题换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。

教学过程：学生探究过程：回顾如下知识点组合的定义组合数公式组合数性质1：2：3：4：例2 平面内有12个点，任何3点不在同一直线上,以每3点为顶点画一个三角形,一共可画多少个三角形?变式1. 从9名学生中选出3人做值日,有多少种不同的选法?2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本,有多少种不同的借法?例3 有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?例4 在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从100件产品中任意抽出3件:(1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?说明："至少""至多"的问题，通常用分类法或间接法求解。

变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例5：6本不同的书全部送给5人，每人至少一本，有几种不同的送书方法？分析：这是一个常见的排列组合混合题，对于这样的题目，解题思想：先组后排，"每人至少一本"的含义是"必然有1人得2本所以，要分两步变式1： 6本不同的书全部送给5人，有几种不同的送书方法？变式2： 5本不同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？变式3： 5本相同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？巩固练习：书本第24页1，2，3， 4课外作业：第25页习题1.3 7，8，9教学反思：教科书在研究组合数的两个性质①，②时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§1.3组合课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A m n与组合数C m n之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．1．组合一般地，从n个________元素中________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法________组合数公式乘积形式C m n＝________________阶乘形式C m n＝________________性质C m n＝____________；C m n＋1＝________＋________备注①n，m∈N*且m≤n②规定C0n＝13.排列与组合(1)两者都是从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)；(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．一、填空题1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有______种．2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为______．3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有______种．4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为______．5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有______种．6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．8．若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合，则集合M ＝{－1,0，13，12，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．二、解答题9．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有2件是次品； (3)至少有2件是次品．10．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？能力提升11．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．12．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？解答组合应用题的总体思路1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步计数原理．3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．1．3组合答案知识梳理1．不同取出m(m≤n)个元素并成一组2．所有组合的个数C m n n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！C n－mnC m n C m－1n3．(2)有关无关作业设计1．10解析所求为5选3的组合数C35＝10(种)．2．43．63解析每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法；故有C13·C27＝63(种)不同选法．4．31解析因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开1个灯有C15种方法，开2个灯有C25种方法，……5个灯全开有C55种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有C 15＋C 25＋…＋C 55＝31(种)．5．42解析 若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C 14种选法，然后4日、5日有C 24C 22种安排方法，共有C 14C 24C 22＝24(种)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有C 14C 13C 22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在5日值班，则共有C 24C 22＝6(种)安排方法． 所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法． 6．600解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C 25·A 44＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C 35·A 44＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A 45＝120(种)选法，所以共有600(种)不同的选派方案．7．432解析 分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44种；第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种；第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种．故满足题意的所有不同的排法共有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44＋C 22·C 22·A 44＋C 22·C 22·A 44＝432(种)． 8．15解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；12，2；13，3，共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.9．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法， 共有C 597＝64446024(种)．(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C 397C 23＝442 320(种)．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 397C 23种．第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 297C 33种．按分类计数原理有C 397C 23＋C 297C 33＝446 976(种)． 10．解 设A ，B 代表2名老师傅． A ，B 都不在内的选派方法有C 45·C 44＝5(种)；A ，B 都在内且当钳工的选派方法有C 22·C 25·C 44＝10(种)； A ，B 都在内且当车工的选派方法有C 22·C 45·C 24＝30(种)； A ，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C 22·A 22·C 35·C 34＝80(种)；A ，B 有一人在内且当钳工的选派方法有C 12·C 35·C 44＝20(种)；A ，B 有一人在内且当车工的选派方法有C 12·C 45·C 34＝40(种)； 所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法． 11．90解析 分成3组有C 25·C 23·C 11A 22＝15(种)分法． 分赴世博会三个场馆有A 33＝6(种)方法， ∴共有15×6＝90(种)．12．解 设集合A ＝{只会划左舷的3个人}，B ＝{只会划右舷的4个人}，C ＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A 为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A 中有3人；②A 中有2人；C 中有1人；③A 中有1人，C 中有2人；④C 中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B ∪C 中选3人，即有C 39种选法．因是分步问题，所以有C 33·C 39种选法．第②类，划左舷的人在A 中选2人，有C 23种选法，在C中选1人，有C 15种选法，划右舷的在B ∪C 中剩下的8个人中选3人，有C 38种选法．因是分步问题，所以有C23·C15·C38种选法．类似地，第③类，有C13·C25·C37种选法，第④类有C03·C35·C36种选法．所以一共有C33·C39＋C23·C15·C38＋C13·C25·C37＋C03·C35·C36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174(种)选法．。

组合(1)学习目标：1.理解组合及组合数的概念．2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．学习重难点：组合，组合数学习过程：问题1.从3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同选法？问题2.从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动，有多少种不同选法？探究一：组合的概念组合：一般地，从n个不同元素中，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．例1.判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？跟踪训练：判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动，有多少种不同的选法？(2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼，有多少种选法？(3)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？探究二：组合的列举问题问题：怎样写一个问题的所有组合？例2.从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．跟踪训练：写出从A，B，C，D，E 5个元素，依次取3个元素的所有组合．探究三：组合数公式及应用例3.(1)求值：C5－nn＋C 9－nn＋1；(2)若C4n>C6n，则n的取值集合为________．跟踪训练：(1)计算：C38－n3n ＋C3n n＋21的值．(2)求证：C m n＝m＋1n－m·C m＋1n.当堂检测：1.已知C2n＝10，则n的值为________．2.如果A3m＝6C4m，则m＝________.3.下列等式不正确的是________．(填序号)①C m n＝n！m！n－m！②C m n＝C n－mn③C m n＝m＋1n＋1C m＋1n＋1④Cmn＝Cm＋1n＋14.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．。

1.3. 组合-苏教版选修2-3教案教学目标1.了解组合数的概念2.掌握计算组合数的方法3.能够解决与组合有关的实际问题。

教学内容1.组合数的概念–排列与组合的联系–定义组合数2.算法与计算–直接计算法–递推公式法–逆元法3.分类讨论与应用–含不含重复元素的组合数问题–利用组合数解决实际问题教学重点1.排列与组合的联系，定义组合数2.掌握计算组合数的方法教学难点1.组合数公式的推导2.利用组合数解决实际问题教学方法1.讲授2.实例演练3.课堂讨论4.作业和考试教学资源1.教师教案2.PowerPoint课件教学过程1.引入–介绍成就背景–引出学习主题2.概念解释–介绍排列和组合的概念及其关系–定义组合数3.算法与计算–直接计算法–递推公式法–逆元法–讲解算法的过程，并提供例子4.分类讨论与应用–含不含重复元素的组合数问题–利用组合数解决实际问题，如从50个球中选出10个球的方案数，等等。

5.总结–总结组合数的概念，分类，算法与应用教学评价1.课堂表现（包括讨论、提问、及时反馈）2.作业评价3.考试课后作业1.解答教师提供的若干问题；2.根据所学知识，自行出若干组合数问题，并求解；3.完成若干类关于组合数的试题。

参考资料1.离散数学（第三版），该教材解释了组合数的相关概念、讲解了组合数的性质、算法及公式的推导过程，并给出了若干的实例。

2.组合数及其应用，该书较浅显地讲解了初步的组合数概念，丰富的实例与应用让学生理解得更深刻。

1.2.2 组合 教学设计一、教学目标1.理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合；2.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；3.了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系；4.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.二、教学重难点重点：明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

难点：理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算三、教学过程 一、数学情境情境1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？情境2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、学生活动引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 三、数学建构1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同.2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列 dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；②求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：mn A ＝mnC mm A ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=(,N ,)n m m n *∈≤且.规定: 01n C =.四、数学运用例1 判断下列问题是组合还是排列：（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合？ 例2 用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3 计算：（1）47C ；（2）710C .（1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例4 求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C mn -=，111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -.∴11+⋅-+=m n mn C mn m C . 例5 设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值.解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈，∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．五、课堂小结组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理六、课后同步检测。

课题 组合（3）〖教学目标〗知识与技能：1使学生巩固组合的概念，加深对组合数的理解2 进一步掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算过程与方法: 能运用组合知识分析简单的实际问题,提高分析问题的能力情感、态度与价值观：通过应用题的解决感受数学在实际生活中的重要性〖教学重点〗进一步理解组合和组合数的概念〖教学难点〗运用组合知识解决问题〖教学过程〗一、复习巩固问题1m n C 的含义？m n C 中,m n 取值满足什么条件？问题2如何计算m n C ？组合数有什么性质？ ()(1)(2)(1)!(1)(2)21!!m mn nm m A n n n n m n C A m m m m n m ⋅-⋅-⋅⋅⋅-+===⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅- 性质1 m n m n nC C -= 问题3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1) 从口袋内取出3个球,共有多少种取法(2) 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法(3) 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取性质2 11m m m n n nC C C -+=+ 二、数学运用例1 计算：（1）329999C C +；（2）3328982C C C -+例2 求证：（1）11111m m m m n n n n C C C C --+--=++；（2）11122m m m m nn n n C C C C +-++++=例3 6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙3人，一人4本，另两人各1本；例4某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有 种例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品一一进行测试，直到区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有多少可能？例6从6个学校中选出10名学生参加数学竞赛，每校至少有1人，这样有几种选法？三、学生练习1计算：（1）27C = ；（2）4850C = ；（3）346774C C -=2计算：（1）781212C C += ；（2）222223410C C C C +++⋅⋅⋅+=3今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法4今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人两件有多少种分法5某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1人参加,则有不同参赛方法 种名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共种7将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级,每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法四、课堂小结五、布置作业《凤凰新学案作业本》第8课时六、课后思考。

高中数学苏教版选修2-3第1章《1.3.1 组合》优质课公开课教
案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.理解组合的意义.
2.明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问
题.
3.了解组合数的意义,理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合
数公式,能运用组合数公式进行计算.
2学情分析
前几节课已经学习了排列数,本节课是在此基础上的加深,注意区分排列数组合数的区别与联系。

3重点难点
教学重点:组合的概念和组合数公式.
教学难点:组合数公式的推导.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】问题情境
思考下面两个问题:
问题一高二(1)班准备从甲、乙、丙这3名同学中选2名学生代表,有多少种不同的选法? 问题二从1,2,3这3个数字中取出2个数字,能构成多少个不同的集合?以上两个问题与上一节的排列问题有什么区别?有什么联系?
2【活动】学生活动
组合问题从3个不同的元素a,b,c中任取2个,共有多少种不同的选
法?用树形图画出所有选法:它们是ab,ac,bc,所以共有3种.
3【活动】建构数学。

1.3 组合(一)一、复习引入以上由学生口答． 二、建构教学问题1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：问题1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题2只要求选出2名同学，是与顺序无关的． 引出课题：组合．．问题． 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：问题2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算mn C 呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A＝⋅34C 33A，所以：333434A A C =．⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m mn mn+---==或 )!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且这里n ∈N,m ∈N ，并且m ≤n ，规定0n C ＝1.4．组合数的性质（1）组合数的理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又 )!(!!m n m n C m n -=∴m n n m n C C -=注：1︒等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．2︒此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002． 3︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+2．问题：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？ 我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mnC 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．说明：组合数性质1的作用在于简化有关组合数的计算或证明；组合数性质2具有“发散”（一变二），“聚合”（二合一），裂项相消（n n m n m n C C C -=+-11）等作用．两个性质在组合数的计算、化简、证明等多方面有着广泛的应用．三、数学应用例1．（1）求值：5210--n n C ； （2）求证：11--⋅=m n mn C mn C ． （1）解：依题意得⎩⎨⎧-≤-≥-nn n 1052052 解得525≤≤n ，N n ∈ 543或或=∴n当n=3时，717=C ； 当n=4时，2012345636=⋅⋅⋅⋅=C ；当n=5时，155=C ．∴所求值为7或20或1．（2）证明：左边=)]!1()1[()!1()!1()!()!1()!1()!(---⋅--⋅=-⋅-⋅-⋅=-m n m n m n m n m m n n m n m n ！！=11--⋅m n C mn =右边．故原式成立． 注：（1）在解这类问题时，要注意mn C 中n m ≤这一隐含条件；（2）此恒等式的证明利用了)!1(!-=n n n ，同时注意到组合数公式的逆向使用．例2（1） 计算69584737C C C C +++=（2）若3213113-+=x x C C ，则=x例3．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件 (1) 一共有多少种不同的抽法?(2) 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种? (详细解答见课本P22例4)变：抽出的3件中至多有1种是不合格品？例4.房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至少开一个灯用以照明,有多少种不同的方法?解法1 因为开灯照明,只与开灯的多少有关,而与开灯的先后顺序无关,这是一个组合问题开1个灯有15C 种方法,开2个灯有25C 种方法,……5个灯全开有55C 种方法,根据分类计数原理,不同的开灯方法有315545352515=++++C C C C C 种解法2 将开关这一事件视为5个步骤依次连续完成:对任何一个电灯都有“开”或“不开”两种处理方法，根据分步计数原理，5个电灯就有31121222225=-=-⨯⨯⨯⨯（种） 答：开灯照明有31种不同的方法。

一．问自学准备与知识导学：前面我们研究的排列问题，许多计数问题可归结为排列问题来处理．思考下面两个问题：问题一：有5本不同的书，（1）取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，有几种不同的分法？（2）取出3本给甲，有几种不同的取法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，（1）分别去参加某天的上、下午活动，有多少种不同的选法？（2）去参加一项活动，有多少种不同的选法？分析：两个问题的第（1）问都涉及顺序，而第（2）问都没有顺序．前者是排列问题，后者就是今天要研究的组合问题．2．数学理论1组合：思考：排列和组合有什么区别与联系？组合数：注意：mnC是一个数．5．数学理论3：如何求组合数mn C？范例：（1）写出从a，b，c三个元素中取出两个元素的所有组合．（2）写出从a，b，c，d四个元素中取出两个元素的所有组合．（3）写出从a，b，c，d四个元素中取出三个元素的所有组合．一般地，如何求mnC呢？（尝试用组合与排列的联系来思考）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ． 第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m m A ．根据分步计数原理得到：m m m n m n A C A ⋅=．这里m ，n ∈N *，m ≤n ，这个公式就叫做组合数公式． 又因为)!(!m n n A m n -=，所以，上面的组合数公式还可以写成)!(!!m n m n C m n -=， 特别地，当m = 0时，1!!0!0=⋅=n n C n ，即10=n C ，同理：1=n n C ． 二．学习交流与问题研讨：例1 求（1）47C ；（2）710C ． 例2 已知nn n C C C 76510711=-，求n C 8． 例3 求证11+-+=m n m n C mn m C ． 例4 解不等式m m C C 8183>-． 例5 下列问题是排列问题还是组合问题，请用排列数或组合数表示其结果．（1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？（2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的票价（相连两站来去票价一样）？（3）集合A = {a ，b ，c ，d ，e ，f}，则集合A 含有4个元素的子集有多少个？（4）从1，3，5，9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？（5）从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少个不同的商？既不是排列数问题也不是组合数问题，可用分步计数原理解决（需删除部分相同的商值）．7．课堂小结组合只取元素，排列既取元素又排顺序；排列问题可看成先取元素，后排顺序． 组合数公式的推导过程．三,练习测试与拓展延伸：分析下列问题，那些是求排列数问题？（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？（3）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（4）用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（5）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（6）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？答案：拓展：求出上面问题的答案．四．课后反思。