导数的几何意义专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f (x )在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f (4)+f ′(4)=( ) A.10 B.20C.30D.402. 函数f (x )=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f (4))处的切线的斜率为( ) A.−8 B.−7C.−6D.−53. 已知三次函数y =f (x )的图像如右图所示，若f ′(x )是函数f (x )的导函数，则关于x 的不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集为（ ）A.{x|1<x <2或x >4}B.{x|x <7}C.{x|1<x <4}D.{x|x <1或2<x <4}4. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ，b =eD.a =1e ， b =−15. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ， b =−1 D.a =1e ，b =e6. 如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =2处的切线，则f ′(2)=( )A.1B.2C.3D.47. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象为（）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )=53x −ln (2x +1)，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)2Δx=( ) A.1 B.12C.43D.539. 已知直线y =ax +2a 与曲线y =ln (x +2)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.1eD.1e 210. 已知f(x)=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→0f (1+3Δx )−f (1)Δx=−3，则函数y =f (x )在x =1处的导数为( ) A.1 B.−1C.1或−1D.以上答案都不对12. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( )A.1B.2C.eD.2e13. 函数f(x)=2x3−2的图象在点(1,0)处的切线的斜率为________.14. 曲线y＝ln x−在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α＝________．15. 已知函数f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，则A，B，C的大小关系是________．16. 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线为l．若l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=________．17. 函数在点处的切线方程为________．18. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________.19. 曲线f(x)=e x−x ln x+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.20. 若函数y=x3+ax2(a∈R)的图象在点(1,b)处切线的斜率为−1，则a+b=________.21. 曲线f(x)=x sin x在x=π2处的切线方程为________22. 已知直线y=kx+b是曲线y=e x的一条切线，则k+b的取值范围是________.23. 已知曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为________.24. 已知P是曲线y=14x2−12ln x上的动点，Q是直线y=34x−2上的动点，则PQ的最小值为________.25. 求函数y＝(2x−1)2在x＝3处的导数．26. 已知圆的面积S是半径r的函数S＝πr2，用定义求S在r＝5处的导数，并对S′(5)的意义进行解释．27. 求曲线y=1x+2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．28. 已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx−1．29. 已知函数f(x)=ln x−12ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(12,12)．（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)−(a−1)x(a>0)，求g(x)的最大值（用a表示）；（Ⅱ）若a=−4，f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥12．30. 已知函数f(x)=x2+a ln x．（Ⅰ）若曲线y=f(x)−1在点(1,0)上的切线与直线y=x垂直，求a的值；（Ⅱ）函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，若f′(x)≥ln xx恒成立，求a的取值范围．31. 已知函数f(x)=e x−a，g(x)=ln x−b.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若a=b+2，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．x3−x2+2，M为函数f(x)图象上一点，曲线y=f(x)在M处的32. 已知函数f(x)=13切线为l.(1)若M点坐标为(0,2)，求切线l的方程；(2)求当切线l的斜率最小时M点的坐标．33. 已知函数f(x)=ln x−mx，m∈R.(1)若f(x)在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求该切线的方程；(2)设函数g(x)=1x2+f(x)有两个相异的极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．2−8ln x (a∈R)34. 已知函数f(x)=2x−ax(1)若f(x)在点A(1,f(1))处取得极值，求过点A且与f(x)在x=a处的切线平行的直线方程；(2)若函数f(x)有两个都大于1的极值点x1,x2(1<x1<x2)，求证：当m≤1时，总有a ln x1>m(5x2−x22)成立．1−x135. 已知函数f(x)=−x3+ax2−4(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线的倾斜角为π，求a的值；4(2)若存在t∈(0, +∞)，使f(t)>0，求a的取值范围．参考答案与试题解析导数的几何意义专题练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′(4)的值，从而可求出所求．【解答】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，∴f(4)=17，∵函数y=f(x)的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，∴f′(4)=3，则f(4)+f′(4)=17+3=20．故选B．2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f(x)=x3−7x2+1，所以f′(x)=3x2−14x，所以f(x)在(4,f(4))处切线的斜率为f′(4)=3×42−14×4=−8．故选A.3.【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.【解答】解：由图象可知， f (7)=0 ，即原不等式转化为(x −2)f ′(x )>0又由于三次函数y =f (x )的导函数是二次函数，结合f (x )的图象可知， x =1和x =4分别是函数f (x )的极小值点和极大值点，则x =1和x =4是函数f ′(x )的两个零点，我们可以做出导函数f ′(x )的图象如图，由图象可知，当x <1时， f ′(x )<0， 当1<x <4时， f ′(x )>0， 当x >4时， f ′(x )<0接下来利用符号法则即可求解，当x <1时，f ′(x )<0，而x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，故x <1满足题意； 当1<x <2时， f ′(x )>0，但x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 当2<x <4时， f ′(x )>0，且x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，满足题意； 当x >4时， f ′(x )<0，但x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 综上所述，不等式x ⋅f ′(x )>0的解为x <1或者2<x <4， 故不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集 {x|x <1或2<x <4}. 故选D ． 4.【答案】 D【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1. 故选D . 5.【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1.故选C . 6.【答案】 A【考点】斜率的计算公式 导数的几何意义【解析】由图象可知直线1经过(2,3) (0,1) ，由两点的斜率公式可得切线l 的斜率，再由导数的几何意义可得所求值． 【解答】解：由图象可得直线l 与曲线y =f (x )相切的切点为(2,3)， ∵ 直线l 经过点(0,1)， ∴ 直线l 的斜率为k =3−12−0=1，由导数的几何意义可得f ′(2)=k =1. 故选A ． 7.【答案】 C【考点】导数的几何意义 函数的图象【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果． 【解答】解：由图可知，函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，∴ y =f ′(x )<0在(−∞,0)上恒成立，排除选项B 和D . 函数f (x )在(0,+∞)上先递减后递增再递减，∴ y =f ′(x )在(0,+∞)上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确． 故选C ． 8.【考点】导数的几何意义【解析】无【解答】解：由题得f′(x)=53−22x+1，∴f′(1)=1．∵limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=1，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12．故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e.故选C.10.【答案】A【考点】导数的几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立”转换成当x>0时，f′(x)≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，则f′(x)=ax+x≥2在(0, +∞)上恒成立，则a≥(2x−x2)max=1，即a的取值范围是[1, +∞). 故选A．11.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】解：∵f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=−3，∴f′(1)=limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=13×(−3)=−1，∴f′(1)=−1．故选B．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R，且F(−x)=F(x)，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵函数的定义域为R，且F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)，∴函数F(x)是偶函数，∵f(x)={e −x+2mx+m，x<0，e x(x−1)，x≥0，（e为自然对数的底），∴f(−x)={e −x(−x−1)， x≤0，e2−2mx+m， x>0，又因为F(x)有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根， 令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍）， 此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）13.【答案】6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f ′(x )=6x 2，所以f ′(1)=6．故答案为：6．14.【答案】【考点】导数的几何意义【解析】先求出曲线y＝ln x−的导数，得到曲线在x＝1处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到tanα的值，进一步求出sin2α的值．【解答】由y＝ln x−，得y′＝，∴曲线y＝ln x−在x＝3处的切线斜率k＝2，∵曲线y＝ln x−在x＝2处的切线的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴sin2α＝5sinαcosα＝．15.【答案】A>C>B【考点】导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义．【解答】解：设M(a,f(a))，N(a+1,f(a+1))，表示直线MN的斜率k MN；则C=f(a+1)−f(a)(a+1)−aA=f′(a)表示函数f(x)在点M处的切线的斜率；B=f′(a+1)表示函数f(x)在点N处的切线的斜率，作出函数f(x)的大致图像，由图易知f′(a)>k MN>f′(a+1)，所以A>C>B．故答案为：A>C>B．16.【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】，解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，则f′(1)=1+11即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．17.【答案】7x−v−4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程．【解答】由函数f(x)=2x3+x，得f′(x)=6x2+1f′(1)=7，即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为k=7，又f(1)=3．曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=7(x−1)，即7x−y−4=0故答案为：7x−y−4=018.【答案】y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求出f(0)和f′(0)即可因为f(x)=x3，所以f(0)=0,f′(x)=3x2所以f′(0)=0所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为：y−0=0×(x−0)即y=0故答案为：y=019.【答案】92(e−1)【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导得f′(x)=e x−ln x−1，故f′(1)=e−1，再结合f(1)=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−(e+2)=(e−1)(x−1)，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：因为f′(x)=e x−ln x−1，所以f′(1)=e−1，又f(1)=e+2，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e+2)=(e−1)(x−1)，切线交两坐标轴于点A(0,3)，B(31−e,0)，所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92(e−1).故答案为：92(e−1).20.【答案】−3【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求出a，b的值，即可得解．【解答】解：函数y=x3+ax2(a∈R)的导数为f′(x)=3x2+2ax，可得函数在点(1,b)处的切线斜率为：k=f′(1)=3+2a=−1，所以a=−2，因为点(1,b)在函数y=x3+ax2(a∈R)上，所以b=1+a=−1，所以a+b=−2+(−1)=−3.故答案为：−3.21.y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】(−∞,e]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=e x，切点为(x0，e x0)，f′(x)=e x，∴ k=e x0，b=e x0−kx0=e x0(1−x0)，∴ k+b=e x0+e x0(1−x0)=e x0(2−x0).令g(x)=e x(2−x)，g′(x)=e x(2−x)−e x=e x(1−x)，当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.又g(1)=e，∴ k+b的取值范围是(−∞,e].故答案为：(−∞,e].23.【答案】25【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线2x+3y=0的斜率为−23，设曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l的斜率为k，则k⋅(−23)=−1,k=32，又曲线y=1x +ln xa在x=1处有切线l，则y′=−1x2+1ax，y′(1)=1a−1=k,即1a −1=32，解得a=25.故答案为：25.24.【答案】6−2ln25【考点】导数的几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(0,+∞)，由y=14x2−12ln x内导数为y′=12x−12x,令12x−12x=34,可得x=2或x=−12(舍去),所以切点为(2,1−12ln2).它到直线y=34x−2即3x−4y−8=0的距离d=√9+16=6−2ln25,即点P到直线y=34x−2的距离的最小值6−2ln25.故答案为：6−2ln25.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）25.【答案】20【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】求出函数的导函数，然后求解在x＝3处的导数值即可．【解答】函数y＝(2x−1)2＝4x2−4x+1，y′＝8x−4．y′|x=3=8×3−4＝20．26.【答案】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】根据导数的定义即可求出．【解答】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．27.【答案】+2，函数的导数f′(x)=−1x2在x＝1处切线的切线斜率k＝f′(1)＝−1+2＝1，f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y−3＝x−1，即y＝x+2．【考点】导数的几何意义【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】函数的导数f′(x)=−1x 2+2，在x ＝1处切线的切线斜率k ＝f′(1)＝−1+2＝1， f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y −3＝x −1，即y ＝x +2．28.【答案】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题考查导数的运算、几何意义、导数与函数的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12， 即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0， 故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0． 从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0． 即f(x)>ln x x−1．29.【答案】（Ⅰ）解：由f ′(x)=1x −ax +b ， 得f ′(1)=1−a +b ，f(1)=−12a +b +1， ∴ 切线l 的方程为y −(−12a +b +1)=(1−a +b)⋅(x −1)， 又切线l 过点(12,12)，∴ 12−(−12a +b +1)=(1−a +b)(12−1)， 解得b =0．∵ g(x)=f(x)−(a −1)x =ln x −12ax 2+(1−a)x +1(x >0)， ∴ g ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x +1x=−a(x−1a )(x+1)x (a >0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．【考点】导数的几何意义不等式的综合【解析】本题考查导数的几何意义、导数、函数、不等式的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：由f′(x)=1x−ax+b，得f′(1)=1−a+b，f(1)=−12a+b+1，∴切线l的方程为y−(−12a+b+1)=(1−a+b)⋅(x−1)，又切线l过点(12,12 )，∴12−(−12a+b+1)=(1−a+b)(12−1)，解得b=0．∵g(x)=f(x)−(a−1)x=ln x−12ax2+(1−a)x+1(x>0)，∴g′(x)=1x−ax+1−a=−ax2+(1−a)x+1x=−a(x−1a)(x+1)x(a>0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．30.【答案】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x2+a ln x−1，所以ℎ′(x)=2x+ax，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y=x垂直，所以ℎ′(1)=2+a=−1，所以a=−3．（Ⅱ）由题意可得f′(x)≥ln xx，即2x+ax ≥ln xx(x>0)，也即a≥ln x−2x2恒成立，令g(x)=ln x−2x2，g′(x)=1x −4x=1−4x2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 【考点】函数的单调性与导数的关系 导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系． 【解答】 解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x 2+a ln x −1， 所以ℎ′(x)=2x +a x ，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y =x 垂直， 所以 ℎ′(1)=2+a =−1， 所以a =−3．（Ⅱ）由题意可得f ′(x)≥ln x x，即2x +ax ≥ln x x(x >0)，也即a ≥ln x −2x 2恒成立，令g(x)=ln x −2x 2，g ′(x)=1x −4x =1−4x 2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 31.【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=e x−1，f ′(x )=e x−1， ∴ f ′(1)=1，f(1)=1，∴ 曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程为y −1=x −1， 即y =x .(2)设直线与曲线y =f (x )相切于点A (x 1,y 1)，与曲线y =g (x )相切于点B (x 2,y 2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】（1）当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，故k=f′(1)=1，再根据点斜式方程求解即可 .（2）设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，①则根据切点在切线上，也在曲线上得{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x2−a(x2−x1)②，，整理得(x1−1)(x2−1)=0，再分当x1=1时和x2=1时两种情况求解即可．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，∴f′(1)=1，f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y−1=x−1，即y=x.(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.32.【答案】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．33.【答案】解：(1)∵f(x)=ln x−mx，∴f′(x)=1x−m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)，∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −mx ， ∴ f ′(x )=1x −m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 34. 【答案】解：(1)f ′(x)=2+a x 2−8x=2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴ 2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x 11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 导数的几何意义 【解析】 【解答】解：(1)f ′(x)=2+ax 2−8x =2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴ x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 35.【答案】解：(1)依题意f ′(x)=−3x 2+2ax ， f ′(1)=tan π4=1，∴ −3+2a =1，即a =2． (2)f′(x)=−3x(x −2a 3)．①若a ≤0，当x >0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】（1）求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；（2）求出f(x)的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在(0, +∞)上为减函数，又x=0时f(x)的值为−4且当x大于0时，f(x)小于−4，所以当a 小于等于0时，不存在x0>0，使f(x0)>0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f(x)的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．【解答】解：(1)依题意f′(x)=−3x2+2ax，f′(1)=tanπ4=1，∴−3+2a=1，即a=2．(2)f′(x)=−3x(x−2a3)．①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．试卷第31页，总31页。
