八年级数学上册 轴对称 重难点突破训练

八年级数学上册第十三章轴对称考点专题训练单选题1、如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1= 140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°答案：B分析：根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，∵m∥n，∴∠2=∠BEF=100°．故选：B小提示：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．2、山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．小提示：本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．3、下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形答案：B分析：分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．小提示：此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．4、如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于1BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，2交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．18答案：C分析：由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵AB=7，AC=12，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C小提示：此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．5、下列说法正确的是（）A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）D．点C（﹣3，2）在第一象限内答案：C分析：分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．小提示：本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．6、如图所示，有三条道路围成RtΔABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D 处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（）A．1000m B．700m C．300m D．1700m答案：C分析：据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案．解：如下图，过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．∵AD平分∠CAB，AC⊥BC∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．故选：C．小提示：本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短”．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．7、图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点答案：B分析：根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：由图可得MN是法线，∠PNM为入射角因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为∠MNB所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．小提示：本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．8、如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B的度数为（）A．57°B．60°C．63°D．70°答案：C分析：根据折叠的性质可知：∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，根据三角形外角性质可得：∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE＝∠A'BE＝21°，∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°．解：由折叠性质可得，∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC，∵∠BDC是△BDA的外角，∴∠DBA＝∠BDC﹣∠A＝82°﹣40°＝42°，∴∠ABE＝∠A'BE＝21°，∴∠ABC＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B=63°，故选：C．小提示：此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG＝∠BDC＝82°，∠ABE＝∠A'BE＝∠A'BG=∠A'BC是解答此题的关键．9、下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据轴对称图形的定义分析即可求解，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．10、如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y=−x+4，E是AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是( )A．4√2B．2√2C．2√5D．√5答案：C分析：作点B关于AC的对称点B′，连接B′E，与AC的交点，即符和条件的P点，再求出B′，E的坐标，根据勾股定理求出B′E的值，即为P′B+P′E的最小值．作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P′，此时，PB+PE=P′B+P′E的值最小，最小值为B′E的长，∵线段AC所在直线的解析式为y=−x+4，∴A(0,4)，C(4,0)，∴AB=4，BC=4，∵E是AB的中点，∴E(0,2)，∵B′是点B关于AC的对称点，∴BB′⊥AC，OB=OB′=1AC，AO=CO，2∴四边形ABCB′是正方形，∴B′(4,4)，∴PB+PE的最小值是B′E=√42+(4−2)2=2√5．故选：C．小提示：本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称−最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称−最短路径的确定方法是解题的关键．填空题11、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．答案：10分析：根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可．解：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠EDC+∠C=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B=∠C．∴2∠EDC=20°，∴∠EDC=10°．所以答案是：10．小提示：本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键．12、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC 的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____．答案：(0,34)，(0,−34)或(0,12)分析：设AE=m ，根据勾股定理求出m 的值，得到点E （1，54），设点P 坐标为（0，y ），根据勾股定理列出方程，即可得到答案．∵对角线 AC 的垂直平分线交AB 于点E ，∴AE=CE ，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m ，则BE=2-m ，CE=m ，∴在Rt∆BCE 中，BE 2+ BC 2=CE 2，即：（2-m ）2+12=m 2， 解得：m=54，∴E （1，54）， 设点P 坐标为（0，y ），∵△AEP 是以为 AE 为腰的等腰三角形，当AP=AE ，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-54)2，解得：y=±34，当EP=AE ，则(1-0)2+(54-y)2= (1-1)2+(0-54)2，解得：y=12， ∴点 P 的坐标为(0,34)，(0,−34)，(0,12)，故答案是：(0,34)，(0,−34)，(0,12)． 小提示：本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．13、把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠成图①，再沿HF 折叠成图②，若∠DEF ＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C ''FE ，则∠C ''FE ＝_______．答案：180°−3β分析：先利用平行线的性质得到∠EFH =∠DEF =β，∠EFC =180°−β，再根据折叠的性质得到∠EFC′=180°−β，所以∠HFC′=180°−2β，接着再利用折叠的性质得到∠C′′FH =∠C′FH =180°−2β，然后计算∠C ″FH −∠EFH 即可．∵四边形ABCD 为长方形，∴AD//BC ，∴∠EFH =∠DEF =β，∠EFC =180°−β，∵方形纸条ABCD 沿EF 折叠成图①，∴∠EFC′=∠EFC =180°−β，∴∠HFC′=∠EFC′−∠EFH =180°−β−β=180°−2β，∵长方形ABCD 沿HF 折叠成图②，∴∠C′′FH =∠C′FH =180°−2β，∴∠C ″FE =∠C ″FH −∠EFH =180°−2β−β=180°−3β．所以答案是：180°−3β． 小提示：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．14、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．答案：7分析：△APC周长=AC+AP+CP，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论．∵直线EF垂直平分AB，∴A，B关于直线EF对称，设直线EF交BC于E，∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，∴△APC周长的最小值=AC+AP+CP=3+4=7，所以答案是：7．小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置．15、小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．答案：∠A=60°（答案不唯一）分析：利用等边三角形的判定定理即可求解．解：添加∠A=60°，理由如下：∵△ABC为等腰三角形，=60°，∴∠B=∠C=180°−∠A2∴△ABC为等边三角形，所以答案是：∠A=60°（答案不唯一）．小提示：本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．解答题16、如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，延长BF交AC于E．(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)求证：△ABC是等腰三角形；BF．(3)求证：CE=12答案：(1)见解析(2)见解析(3)见解析分析：（1）根据等腰直角三角形的直角边相等可得BD=CD，再利用“边角边”证明△FBD和△ACD全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCA，再根据∠DCA+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角边角”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CB，从而得证；BF．（3）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=12（1）在等腰Rt △DBC 中，BD =CD ，∵∠BDC =90°，∴∠BDC =∠ADC =90°，∵在△FBD 和△ACD 中，{DA =DF∠BDC =∠ADC BD =CD，∴△FBD ≌△ACD （SAS ）；（2）∵△FBD ≌△ACD ，∴∠DBF =∠DCA ，∵∠ADC =90°，∴∠DCA +∠A =90°，∴∠DBF +∠A =90°，∴∠AEB =180°-（∠DBF +∠A ）=90°，∵BF 平分∠DBC ，∴∠ABF =∠CBF ，∵在△ABE 和△CBE 中，{∠AEB =∠CEB =90°BE =BE∠ABF =∠CBF， ∴△ABE ≌△CBE （ASA ），∴AB =CB ，∴△ABC 是等腰三角形；（3）∵△FBD ≌△ACD ，∴BF =AC ，∵△ABE ≌△CBE ，∴AE =CE =12AC ，∴CE =12BF ．小提示：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，等边对等角的性质，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．17、已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；（2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解．（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF∴∠BCE=∠DCA∵BC=AC、CE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∵AB＝AE+BE∴AF＝AE+AD；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G∵∠BAC＝∠EDF，∠AGE=∠DGF∴∠AED＝∠MFD，∵AE=MF，ED=DF∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，∵AC=DM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．小提示：本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线．18、如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．答案：（1）1；（2）见解析；（3）不改变，94分析：（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MO D．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，在△OAP和△OBC中，{∠AOP=∠BOCAO=BO∠OAP=∠OBC，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．在△COM与△PON中，{∠COM=∠PON∠OMC=∠ONPOC=OP，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=12∠AHC＝45°；（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于94．理由如下：连接OD，如图2所示：∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD∴∠OAD ＝45°，∠MOD ＝90°+45°＝135°，∴∠DAN ＝135°＝∠DOM ．∵MD ⊥ND ，即∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ＝90°﹣∠MD A ．在△ODM 和△ADN 中，{∠MDO =∠NDAOD =AD ∠DOM =∠DAN，∴△ODM ≌△ADN （ASA ），∴S △ODM ＝S △ADN ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BOD =12S △AOB=12×12AO •BO =12×12×3×3=94．小提示：本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．。

八年级数学轴对称画图题专题难点训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，点P是线段AB上的一点，请在图中完成下列操作．（1）过点P画BC的垂线，垂足为H；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q；（3）线段的长度是点P到直线BC的距离．2．作图题:（1）过点A画高AD；（2）过点B画中线BE；（3）过点C画角平分线CF．3．在下面的方格纸中，（1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向平移格．4．如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）画出△DEF关于直线HG的轴对称图形（不写画法）；（2）画EF边上的高（不写画法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF的面积为．5．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C．6．已知：如图，已知△ABC(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是，点A关于y轴对称的点A2的坐标是；(2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．7．如图所示的点A、B、C、D、E．（1）点和点关于x轴对称；（2）点和点关于y轴对称；（3）点A和点D关于直线l成轴对称，请画出直线l．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）8．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A’的坐标是；点B关于y轴对称点B’的坐标是；（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A’B’C’（不要求写作法）（3）求△ABC的面积是9．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A′的坐标是；点B关于y轴对称点B′的坐标是（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′（不要求写作法）（3）求△ABC的面积．10．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别作出△ABC关于x轴和y轴对称的图形．11．如图，（1）在网格中画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出ABC 关于x 轴对称的222A B C △的各顶点坐标2A （ ）2B （）2C （ ）参考答案1．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）PH．【解析】【分析】利用尺规作出过一点作已知直线的垂线即可解决问题.【详解】解：（1）过点P画BC的垂线，垂足为H，如图所示；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q，如图所示；（3）线段PH的长度是点P到直线BC的距离．故答案为PH．【点睛】本题考查作图-基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.2．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）从A点向CB的延长线作垂线．垂足为D，线段AD即所求作的高；（2）作AC的垂直平分线找到中点E，连接BE．BE就是所求的中线；（3）作∠ACB的角平分线，与AB交于点F，CF就是所求的角平分线．【详解】解：（1）如图，用圆规以点A为圆心，大于点A与BC的距离长为半径画弧，与直线CB交于点G，H，分别以G、H为圆心，大于GH的一半为半径画弧，两弧的交于点O，连接AO，交CB的延长线于点D，线段AD即所求作的高；（2）如图，分别以A、C为圆心，大于AC的一半为半径画弧，两弧的交于点J、K，连接JK，与AC交于点E，连接BE，BE就是所求的中线；（3）如图，用圆规以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与∠ACB两边的交点M，N 为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧的交点为P，连接CP并延长，与AB交于点F，CF就是所求的角平分线．【点睛】本题考查作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．(1)详见解析;(2)10.【解析】【分析】(1)根据平移性质即可画出图形.(2)由图象格子数即可判断.【详解】(1)由题意画图如下:(2)由图上可得出:若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向左平移10格.【点睛】本题考查平移和对称,关键在于熟练掌握定义.4．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH即为所求作的高线；（3）DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）如图所示，DH为EF边上的高线；（3）△DEF的面积＝12×3×2＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查轴对称作图，熟记相关概念是解题关键.5．图详见解析【解析】【分析】过点A作垂线使AO=DO，过点B作垂线使BP=CP找到点D和点C即可.【详解】如图过点A作垂线使AO=DO，过点B作垂线使BP=CP，依次连接ABCD即可.【点睛】本题考查了图形的对称，解题关键在于对称图形的对应点的连线垂直于对称轴，且对应点距离对称轴的距离相等.6．(1) (－4，－2)，(4，2)； (2)图形见解析(3)图形见解析【解析】试题分析：（1）分别利用关于x轴以及y轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标即可．试题解析：(1) (－4，－2)，(4，2)；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(3)如图所示：△A2B2C2，即为所求．7．（1）A，E；（2）B，C；（3）详解见图．【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（3）直接利用线段垂直平分线的作法分析得出答案．【详解】解：（1）点A和点E关于x轴对称；故答案为A，E；（2）点B和点C关于y轴对称；故答案为B，C；（3）如图所示：直线l即为所求．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及线段垂直平分线的作法，正确得出对应点位置是解题关键．8．（1）（3，2），（4，-3）；（2）见解析；（3）13 2【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论；（2）在坐标系内描出A′，B′，C′三点，再顺次连接即可；（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，∵A（-3，2），B（-4，-3），∴A′（3，2），B′（4，-3）．故答案为：（3，2），（4，-3）；（2）如图所示；（3）ABC111 35512323 222S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯513153322=---=．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．9．（1）（3，2），（4，﹣3）；（2）图形见解析（3）13 2【解析】试题分析：（1）对照图形可知点A、B的坐标分别：（-3，2）、（-4，-3），由此写出点A′、B′的坐标即可；（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′，再顺次连接这三点即可得到所求三角形；（3）如图，由S△ABC=S矩形DBEF-S△ADB-S△BEC-S△AFC，计算出△ABC的面积即可.试题解析：（1）由图可知：点A、B的坐标分别：（-3，2）、（-4，-3），∴点A、B关于y轴的对称点A′和B′的坐标分别为：（3，2），（4，﹣3）；（2）如下图所示；△A′B′C′为所求的图形；（3）如图：S △ABC =S 矩形DBEF -S △ADB -S △BEC -S △AFC =11135512323222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =515332--- =132． 10．见解析【解析】【分析】根据题意，分别找出三角形各顶点与y 轴、x 轴的对应点，再连接即可.【详解】关于y 轴对称：△A’B’C’为所求；关于x 轴对称：△A’’B’’C’’为所求；11．（1）见解析；（2）32--，；4,3-；1,1-；【解析】【分析】（1）在网格中画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1即可；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2的各顶点坐标即可；【详解】解：（1）如图△A 1B 1C 1即为所求作的图形；∴111A B C 即为所求；（2）∵A （-3，2），B （-4，-3），C （-1，-1），∴△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2的各顶点坐标为：A 2（-3，-2），B 2（-4，3），C 2（-1，1）．故答案为：-3，-2；-4，3；-1，1；【点睛】本题考查了轴对称变换、坐标与图形、以及画轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称性质．。

【满分秘诀】专题06 轴对称（满分突破）1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．2.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：故选：B．3.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（ ）A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°【答案】C【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．4.如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选：C．5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故选：B．6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．7.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）A．B．C．D．不能确定【答案】B【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝，故选：B．8.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故选：D．9.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．故选：D．10.的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　15　．【答案】15【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N．∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．故答案为：1511.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．【答案】63°或27°【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．12.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有　．（把你认为正确的序号都填上）【答案】　①②③⑤【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP＝CQ，∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，∴∠QPC＝∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP＝QE，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣DP＝BE﹣QE，∴AP＝BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．故答案为：①②③⑤．13.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为 ．【答案】6【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．14.如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根．【答案】8【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），又∵BE⊥AF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）．16.如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．17.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．18.已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝19.（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．。

专题3.11轴对称与坐标变化（分层练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023秋·九年级课前预习）台风“纳沙”来袭，气象台需要确定台风中心位置，下列说法能确定台风中心位置的是（）．A ．北纬19︒，东经115.4︒B ．距离三沙市235nmileC ．海南省附近D ．北纬19︒，偏东2．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）已知点(2,1)A ，(2,4)-B ，点(,)C x y 在线段AB 上运动，当OC OA >时，y 的取值范围为（）A ．41y -≤<-B ．11y -<<C ．1y <-D ．41y -≤≤-3．（2023·全国·九年级专题练习）点()3,5P 关于第一、三象限的角平分线对称的点为点1P ，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点2P ，则点1P ，2P的坐标分别为（）A ．()3,5，()5,3B ．()5,3，()5,3--C ．()5,3，()3,5D ．()5,3--，()5,34．（2022·四川绵阳·校考二模）已知点P 的坐标为(),m n 2440n n ++=，则点P 关于x 轴的对称点坐标为（）A ．()4,2-B ．()4,2-C ．()4,2D ．()2,4-5．（2022秋·全国·八年级期中）已知点B （1，0）与点B '关于y 轴对称，直线m 过点B （1，0）且与y 轴平行，点C （4，2）与点C '关于直线m 对称，则B 'C '的长为（）A B ．C D ．6．（2022秋·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，P 点坐标为（m ，n ），P '点坐标为（m ，n ），两点关于y 轴对称，则下列选项正确的是（）A ．m ＞0，n ＜0B ．m ＜0，n ＞0C ．m ＞0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜07．（2023春·四川内江·七年级统考阶段练习）如图，在锐角三角形ABC 中5AB =，ABC 的面积15，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若M N 、分别是BD BC 、上的动点，则CM MN +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）有甲、乙、丙三人，他们所在的位置不同，三人都以相同的单位长度和方向建立不同的坐标系．根据甲、丙两人的描述，如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是（）甲：“以我为坐标原点，乙的位置是()4,3．”丙：“以我为坐标原点，甲的位置是()7,5--．”A ．()4,3--，()2,1B ．()4,3--，()3,2C ．()3,4--，()2,3D ．()3,4，()1,4--9．（2023春·全国·七年级期中）下列说法中正确的有（）个①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②点()22,y --位于第三象限；③点(),N m n 到y 轴的距离为m ；④点()2,A a 和点(),3B b -关于x 轴对称，则+a b 的值为5；⑤若+=0x y ，则点(),P x y 在第一、三象限角平分线上．A ．1B ．2C ．3D ．410．（2021秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，第一次将△ABC 作原点的中心对称图形得到△A 1B 1C 1，第二次在作△A 1B 1C 1关于x 轴的对称图形得到△A 2B 2C 2，第三次△A 2B 2C 2作原点的中心对称图形得到△A 3B 3C 3，第四次再作△A 3B 3C 3关于x 轴的对称图形得到△A 4B 4C 4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A 2021B 2021C 2021的图形，若点C （3，2），则C 2021的坐标为（）A ．（3，-2）B ．（-3，2）C ．（3，2）D ．（-3，-2）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，货轮A 正驶向此刻与它相距10海里的港口B ，如要将港口B 相对于货轮A 的位置表示为(北偏东30︒，10)，那么货轮A 相对于港口B 的位置可表示为．12．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，(20)A -，，()2B m m -，，则AB OB +的最小值是．13．（2020秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知a 、b 为整数，a b <<，则(),P a b 关于y 轴对称点的坐标为．14．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期末）如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，点D 是BC 边上一点，连接AD ，M ，N 是线段AD 上两点，8AM =，15AN =，点P ，Q 分别是AB ，AC 边上的动点，连接PM ，PQ ，NQ ，则PM PQ NQ ++的最小值为．15．（2023春·河南周口·，3行排列：36……的位置记为()1,4的位置记为()2,3，则这组数中最大的有理数的位置记为．16．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点()2,3A 、()10B ,在y 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点()66A -，的对称点A ′坐标为(06)，，点()M m n ，为图象上的一点，则点M 在图象上的对称点坐标为．18．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在ABC 中，AD 为BC 边上的高线，且AD BC =，点M 为直线BC 上方的一个动点，且ABC 面积为MBC 的面积2倍，则当MB MC +最小时，MBC ∠的度数为°．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2022秋·山西太原·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,5A -，()5,1B -，()1,2C -．（1）将点A ，B ，C 的横坐标乘1-，纵坐标不变，依次得到点D ，E ，F ．请在图中画出DEF ；（2）上面所画DEF 与ABC 的位置关系为______．（3）若DEF 与D E F '''△关于x 轴对称，请画出D E F '''△，此时C ，F '两点之间的距离为______．20．（8分）（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图所示，平面直角坐标系中网格小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 、D 是四边形ABCD 的四个顶点．（1）请你画出四边形ABCD 关于y 轴对称的图形．（2）若点(22,5)P a a -+，且PC //y 轴，求P 点的坐标．（3）若点(22,5)P a a -+在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求32022+a 的值．21．（10分）（2022秋·辽宁抚顺·八年级校考期中）如图，ABC 三个顶点的坐标是()1,0A ，()3,2B ，()1,1C -，点D 的坐标是()3,2-，E 在坐标平面内，ADE V 与ABC 全等．（1）画出满足条件的所有的ADE V ；（2）写出点E 的坐标．22．（10分）（2022秋·山东东营·七年级校联考期中）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA ＝2km ，OB ＝6km ，OC ＝BD ＝4km ，点E 为OC 的中点，回答下列问题：（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km 处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？（3）若小强家在小明家北偏西60°方向2km 处，请在图中标出小强家的位置．23．（10分）（2023秋·山东德州·八年级统考期末）如图，ABC 的顶点分别为(1,3),(4,5),(1,5)A B C ，先将ABC 以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到A B C ''' ，再将A B C ''' 以x 轴为对称轴通过轴对称得到A B C ''''''．（1）画出A B C ''''''△；（2）写出,,A B C ''''''三点的坐标；（3）一般地，某一点(,)P x y 经过这样的两次轴对称变换后得到的点P ''的坐标为__________．24．（12分）（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）（1）呈现：如图1，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线l 上，分别过点,A B 作AD l ⊥于D ，BE l ⊥于E ，则有ADC △CEB ≌ ．请你证明这个结论；（2）应用：如图2，已知()1,1A ，()3,2B ，把线段AB 绕点A 顺时针方向旋转90︒后得到线段AC ，求点C 的坐标；（3）拓展：如图3，直线l ⊥直线m ，垂足为O ，点A 是直线l 上一定点，且3OA =，点B 在直线m 上运动，以AB 为边作等腰Rt ABC △，90BAC ∠=︒（点,,A B C 呈顺时针排列），当点B 在直线m 上运动时，点C 也随之运动．在点C 的运动过程中，OC AC +的最小值为______．参考答案1．A【分析】根据坐标确定位置的相关知识可直接进行分析即可得解．解：A 、北纬19︒，东经115.4︒表示具体坐标，能确定台风中心位置，故符合题意；B 、距离三沙市235nmile ，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；C 、海南省附近，范围太广，不能确定台风中心位置，故不符合题意；D 、北纬19︒，偏东，范围太广，不能确定台风中心的具体位置，故不符合题意；故选∶A ．【点拨】本题主要考查坐标表示位置，解题的关键是判断是不是利用坐标来表示位置．2．A【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，则()2,1A '-．再结合图象即可直接确定y 的取值范围．解：如图，作点A 关于x 轴的对称点A '，则()2,1A '-．∵OC OA >，∴点C 在A B '上，且不与A '重合．∵(2,4)-B ，∴y 的取值范围为41y -≤<-．故选A ．【点拨】本题考查坐标与图形，轴对称的性质．利用数形结合的思想是解题关键．3．B【分析】分别利用关于第一、三象限的角平分线和关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标特征解决问题即可．解：点()3,5P 关于第一、三象限的角平分线对称的点1P 的坐标为()5,3，关于第二、四象限的角平分线对称的点2P 的坐标为()5,3--．故选：B ．【点拨】本题考查坐标与图形变化—对称，点(),a b 关于x 轴对称的点的坐标为(),a b -；点(),a b 关于y 轴对称的点的坐标为(),a b -；点(),a b 关于原点对称的点的坐标为(),a b --；点(),a b 关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(),b a ；点(),a b 关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(),b a --．解题的关键是掌握轴对称的性质和点对称的坐标特征．4．A【分析】根据二次根式的非负性和完全平方公式求出m ，n 的值，进而即可求解．2440n n ++=，()220n +=，∴20,20m n n -=+=，解得：4,2m n =-=-，∴P 的坐标为()4,2--，∴点P 关于x 轴的对称点坐标为()4,2-．故选：A ．【点拨】本题主要考查二次根式与平方的非负性，点的坐标，轴对称变换，根据非负数的性质，求出m ，n 的值是关键．5．A【分析】根据轴对称的性质得到点B '、C '的坐标，再根据勾股定理求出B 'C '的长．解：点B （1，0）与点B '关于y 轴对称，∴B '（-1，0），∵直线m 过点B （1，0）且与y 轴平行，∴直线m 的解析式为x =1，∴点C （4，2）关于直线m 对称的点C '的坐标为（-2，2），∴B 'C '故选：A ．【点拨】此题考查了轴对称的性质，勾股定理求线段长度，正确理解轴对称的性质得到点B '、C '的坐标是解题的关键．6．B【分析】根据关于y 轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等，得m =-m ，n =n ，求解即可．解：∵点P 与点P `关于y 轴对称，∴两点横坐标互为相反，纵坐标相等，∴m =-m ,n =n ，即m ＜0，n ＞0，故选：B ．【点拨】本题考查关于y 轴对称点的坐标特征，绝对值的意义，熟练掌握关于y 轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键．7．D【分析】过C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M '，过点M '作M N BC ''⊥于N '，则CE 即为CM MN +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE 的长，即为CM MN +的最小值；解：过C 作CE AB ⊥于点E ，交BD 于点M '，过点M '作M N BC ''⊥于N '，如图：∵BD 平分,ABC ME AB ∠⊥于点,E M N BC ''⊥于N '，∴MN ME =，∴CE CM M E CM M N '''''=+=+是CM MN +最小值，此时M 与M 重合，N 与N '重合，∵三角形ABC 的面积为15,5AB =，∴15152CE ⨯⋅=，∴6CE =，即CM MN +的最小值为6；故选：D【点拨】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE 的长度即为CM MN +最小值8．B【分析】先根据甲的描述确定甲的位置，再根据丙的描述确定丙和甲的相对位置，进而求出丙的位置．解：以甲为坐标原点，乙的位置是()4,3，则以乙为坐标原点，甲的位置是()4,3--，由“以丙为坐标原点，甲的位置是()7,5--”，可知甲向右移动7个单位长度，再向上移动5个单位长度与丙重合，因此以乙为坐标原点，丙的位置是()47,35-+-+，即()3,2，故选B ．【点拨】本题考查用坐标表示位置，解题的关键是根据丙的描述确定丙和甲的相对位置．9．B【分析】根据直角坐标系的特点可判断①正确；举反例即可判断②错误；根据点到坐标轴的距离为非负数即可判断③错误；关于x 轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此可知④正确；由+=0x y 可得y x =-，可知直线是第二、四象限的角平分线，即可判断⑤错误．解：①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，说法正确；②当20y ＜时，点()22,y --位于第二象限，故原说法错误；③点(),N m n 到y 轴的距离为m ，故原说法错误；④关于x 轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，则有：=2b ，()33a =--=，即5a b +=，故说法正确；⑤由+=0x y 可得y x =-，可知直线y x =-是第二、四象限的角平分线，故原说法错误；即正确的有2个，故选：B ．【点拨】本题主要考查了直角坐标系的相关知识，涉及点到坐标轴的距离、点坐在象限的判断、关于坐标轴对称的点的性质等知识，充分掌握直角坐标系的相关知识，是解答本题的关键．解答此类题目时要善于举反例求证．10．D【分析】根据题意做出前几次的图像，找出规律，根据规律推出C 2021即可解：根据题意做出如图前四次图像如下：由图像知每四次一个循环，则202145051÷=⋯⋯，即第2021次在第三象限，∵点C （3，2），∴C 2021点坐标为：（-3，-2）；故答案选：D【点拨】此题考查坐标变换，属于规律题，根据前几个图像坐标推算出规律是解题关键．11．(南偏西30︒，10)【分析】以点B 为观测点，来描述点A 的方向及距离即可．解：如图，由题意知货轮A 相对于港口B 的位置可表示为(南偏西30︒，10)．故答案为：(南偏西30︒，10)．【点拨】本题考查了用方向角和距离确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．12．25【分析】根据点()2B m m -，的坐标可确定点()2B m m -，在直线2y x =-上，可得Rt OCD △是等腰直角三角形，作点O 关于直线2y x =-的对称点O '，连接OO '与CD 交于点E ，连接AO '，可求出点O '的坐标，当点B 在线段AO '时，O B '的值最小，即OB 最小，由此可得AB OB AB O B AO ''+=+=，在Rt ACO '△中，根据勾股定理即可求解．解：当x m =时，2y m =-，∴点()2B m m -，在直线2y x =-的直线上，如图所示，令0x =时，=2y -；令0y =时，2x =；即直线2y x =-与x 轴的交点为(2,0)，与y 轴的交点为(0,2)-，∴Rt OCD △是等腰直角三角形，且2OC OD ==，如图所示，作点O 关于直线2y x =-的对称点O '，连接OO '与CD 交于点E ，连接AO '，∴OO CD '⊥，∴OE O E ¢=，即CD 是OO '的垂直平分线，∴2CO CO '==，2OD O D '==，∴(2,2)O '-，∵点O 关于直线2y x =-的对称点O '，∴OB O B '=，当点B 在线段AO '时，O B '的值最小，即OB 最小，如图所示，∴AB OB AB O B AO ''+=+=，在Rt ACO '△中，2(2)4AC =--=，0(2)2O C '=--=，∴AO '===∴AB OB +的最小值是故答案为：【点拨】本题主要考查一次函数与对称轴—对短路径的问题，掌握点关于直线对称的性质，对称性与对短路径的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．13．(),a b -【分析】根据无理数的估算求出,a b 的值，再根据关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可．解：∵a b <<，且a ，b 为整数∴3,4a b ≤≥，且a ，b 为整数∴(),P a b 关于y 轴对称点的坐标为(),a b -；故答案为：(),a b -．【点拨】本题考查无理数的估算，坐标与轴对称．解题的关键是掌握夹逼法估算无理数，以及关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同．14．17【分析】作点M 关于AB 的对称点M '，作点N 关于AC 的对称点N '，连接M N ''分别交AB ,AC ，于点P ，Q ，此时PM PQ NQ ++有最小值，即M N ''的长度．解：作点M 关于AB 的对称点M '，作点N 关于AC 的对称点N '，连接M N ''分别交AB ,AC ，于点P ，Q ，连接AM '，AN '，∵45BAC BAM CAN ∠=∠+∠=︒，由对称性可知，BAM BAM '∠=∠，CAN CAN '∠=∠，∴45BAM CAN ''∠+∠=︒，∴90M AN ∠=''︒，由对称性可得8AM AM '==，15AN AN '==，由勾股定理得，22289M N AM AN ''''=+=，∴17M N ''=，当M 、N 、P 、Q 共线时，PM PQ NQ ++的值最小，即PM PQ NQ ++的最小值为17．【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，找出P 点的位置是解题的关键．15．(5,3)【分析】每相邻的二次根式的被开方数是3的倍数，故求90330÷=，一行6个数，得5630=÷解：由题意可知，一行6个数，每个数都为3的倍数，可得90330÷=，5630=÷，位于第五行第五个数，记作()5,5，9=，()5,3，故答案为：()5,3．【点拨】本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变化规律找出90位于第五行第五个数是解题关键．16．()01，【分析】如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于D ，作点B 关于y 轴的对称点C ，连接AC 交y 轴于H ，连接CP BP AP DH ，，，，则()10C -，，利用轴对称的性质推出当A 、C 、P 三点共线时，PA PC +最小，即PA PB+最小，此时点P 与点H 重合，根据ADC HDC HDA S S S =+△△△求出1OH =，由此即可得到答案．解：如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于D ，作点B 关于y 轴的对称点C ，连接AC 交y 轴于H ，连接CP BP AP DH ，，，，则()10C -，，∴CP BP =，∴PA PB PA PC +=+，∴当A 、C 、P 三点共线时，PA PC +最小，即PA PB +最小，此时点P 与点H 重合，∵()2,3A 、()10B ,，()10C -，，∴332CD AD OD ===，，，∵ADC HDC HDA S S S =+△△△，∴111222AD CD OH AD OD ⋅=⋅+⋅，∴11133332222OH ⨯⨯=⨯+⨯⨯，∴1OH =，∴()01H ，，即()01P ，，故答案为：()01，．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键．17．()6m n --，【分析】先求出对称轴的表达式，设点M 在图象上的对称点坐标为m n ''（，），根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案．解：∵点()66A -，的对称点A '坐标为(06)，，∴对称轴为：3x =-，设点M 在图象上的对称点坐标为m n ''（，），∴'2m m +=-3，n n '=，∴6m m '=--，∴点M 在图象上的对称点坐标为6m n --（，）．故答案为：6m n --（，）．【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．18．45解：如图，作过点M 的直线l ，使得l BC ，作C 关于l 的对称点C '，连接BC '，CC '交l 于点E ，则MB MC +MB MC BC ''=+≥，当,,B M C '三点共线时，取得最小值，过点M 作MN BC ⊥，l BC ∴∥，CC l '∴⊥，∴CC BC '⊥，ABC 中，AD 为BC 边上的高线，ABC 面积为MBC 的面积2倍，AD BC =，1122MN AD BC ∴==，根据平行线间的距离相等，可得CE MN =，则2CC MN '=AD =，∴BCC ' 是等腰直角三角形，45MBC ∴∠=︒．故答案为：45︒．【点拨】本题考查了三角形的高线，等腰直角三角形的性质，平行线的距离，轴对称求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．19．（1）见分析；（2）关于y 轴对称；（3）25【分析】（1）求出D ，E ，F 的坐标，描点连线即可；（2）由图象可知关于y 轴对称；（3）由于DEF 与D E F '''△关于x 轴对称，求出各点坐标，描点连线，再根据勾股定理求得两点之间的距离．（1）解：根据题意，2A x =-，5B x =-，1C x =-∴()12D A x x =⋅-=，()15E B x x =⋅-=，()11F C x x =⋅-=∴D ，E ，F 的坐标为()2,5，()5,1，()1,2；DEF 如下图所示：（2）∵2A x =-，2D x =∴0A D x x +=，∴DEF 与ABC 关于y 轴对称（3）∵DEF 与D E F '''△关于x 轴对称，∴对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，∴5D D y y '=-=-，2E E y y '=-=-，1F F y y '=-=-∴D ¢，E '，F '的坐标为()2,5-，()5,1-，()1,2-；D E F '''△如下图所示：∴()()()()()2222'1122205C F C F CF x x y y ''=-+-=--+--==．【点拨】本题考查了轴对称的特点，用勾股定理求两点之间的距离，根据题意求得对应点的坐标是解题的关键．20．（1）见分析；（2）(4,8)P ；（3）2020【分析】（1）分别画出A ，B ，C ，D 的对应点A ′，B ′，C ′，D ′即可解决问题；（2）确定点C 坐标，根据平行y 轴的直线上点的坐标特征得出方程求解即可；（3）根据点(22,5)P a a -+在第二象限，它到x 轴、y 轴的距离相等，列方程，求出a 的值，再代入计算即可．解：（1）四边形ABCD 关于y 轴的对称图形四边形A ′B ′C ′D ′如图所示；（2）由图知(4,2)C ∵PC //y 轴，∴224a -=解得：3a =∴(4,8)P （3）∵点P 在第二象限，∴220a -<，a +5＞0，又∵点P 到x 轴、y 轴的距离相等∴225a a -+=+，解得：1a =-则2022220222020=-+=【点拨】本题考查作图-轴对称变换，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．21．（1）见分析；（2）()11,1E --，()25,1E -，()32,4E -，()42,2E 【分析】（1）利用关于x 轴对称得到1ADE ABC ≌，画出点1E 关于AD 的垂直平分线的对称点3E ，可得3DAE ABC ≌然后画出点1E 、点3E 关于直线AD 的对称点4E 、2E ，可得4ADE ABC ≌，2DAE ABC ≌，再画图即可；（2）根据（1）的图形，可得E 的坐标．解：（1）如图，利用关于x 轴对称得到1ADE ABC ≌，画出点1E 关于AD 的垂直平分线的对称点3E ，可得3DAE ABC≌然后画出点1E 、点3E 关于直线AD 的对称点4E 、2E ，可得4ADE ABC ≌，2DAE ABC ≌，（2）由（1）得：()11,1E --，()25,1E -，()32,4E -，()42,2E 【点拨】本题考查的是利用轴对称，全等三角形的定义，坐标与图形，熟练的利用轴对称的性质构建全等三角形是解本题的关键．22．（1）学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4km 处；（2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院；（3）见分析【分析】（1）由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50方向4km 处；（2）观察图形，根据OA ，OE ，OD 的长度及图中各角度，即可得出结论．（3）作北偏西60°角，取OE =2即可．（1）解：学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4km 处；（2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院；（3）如图，点F 即为小强家．【点拨】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素．23．（1）见分析；（2）(3,1),(5,4),(5,1)A B C ''''''---；（3）(,)y x -【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据（1）所作图形写出对应点的坐标即可；（3）根据点A 到A ''的坐标变化情况求解即可．（1）解：A B C ''''''△的位置如图；（2）解：由图可知：(3,1),(5,4),(5,1)A B C ''''''---；（3）∵点A 坐标为（1，3），(3,1)A ''-，∴一点(,)P x y 经过这样的两次轴对称变换后得到的点P ''的坐标为(,)y x -．【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．24．（1）见分析；（2）(2,1)C -；（3）OC AC +的最小值为【分析】（1）根据AD l ⊥，BE l ⊥，三角形ABC 是等腰直角三角形证明即可；（2）过A 点作AD x ⊥轴，分别过B 、C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥，根据（1）中结论即可求解；（3）过A 点作l x ⊥，分别过B 、C 作BE l ⊥，CD l ⊥，作点A 关于CD 的对称点A '，连接CA '，则点A '在直线l 上，当O ，C ，A '三点共线时，OC AC +有最小值．（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，三角形ABC 是等腰直角三角形，∴+90ACD DAC ACD CBE ∠+∠∠∠=︒=，AC BC =，∴DAC CBE ∠=∠，∵90ADC CEB ∠=∠=︒，DAC CBE ∠=∠，AC BC =，∴ADC △()AAS CEB ≌；（2）解：过A 点作AD x ⊥轴，分别过B 、C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥，如图，由（1）得：ABE CAF ≌，∵()1,1A ，()3,2B ，设2,1BE AF AE CF ====，∴(2,1)C -；（3）解：过A 点作l x ⊥，分别过B 、C 作BE l ⊥，CD l ⊥，如图，90DCA CAD ∠∠+=︒ ，1809090EAB CAD ∠∠+=︒-︒=︒，DCA EBA ∴∠=∠，∵BE l ⊥，CD l ⊥，AC BC =，∴ADC △()AAS AEB ≌，BE AD ∴=，∵3OA =，3AD BE OA ∴===，作点A 关于CD 的对称点A '，连接CA '，则点A '在直线l 上，3DA DA '==，,AC A C '=OC AC OC A C ∴+'+=，OC A C OA +'≥' ，∴当O ，C ，A '三点共线时，OC AC +有最小值OA ='，∴OA ==='∴OC AC +的最小值为【点拨】本题考查轴对称一最短路线问题、全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识，添加合适的辅助线,构造直角三角形是解题关键．。

2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元测试】第十三章 轴对称（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，本选项符合题意；B 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，等腰ABC V 的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM V 周长的最小值为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】D 【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于A．三边相等的三角形是等边三角形B．三个角相等的三角形是等边三角形C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．顶角为60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可．【详解】解：A．三边相等的三角形是等边三角形，故A正确，不符合题意；B．三个角都相等的三角形是等边三角形，故B正确，不符合题意；C．有一个角是60︒的三角形，其他两个角度数不能确定，这样的三角形不一定是等边三角形，故C错误，符合题意；D．顶角为60︒的等腰三角形，即三个角都是60︒的三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法，三条边都相等的三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．4．如图，若△ABC 与'''A B C V 关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，则下列说法不一定正确的是（ ）A ．AC ＝''ACB ．'BO B O ＝C ．'AB B C ＝D ．'AA MN 【答案】C【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：∵△ABC 与'''A B C V 关于直线MN 对称，∴AC =''AC ，'AA ⊥MN ，'BO B O ＝，故A 、B 、D 选项正确，'AB B C ＝不一定成立，故C 选项错误，所以，不一定正确的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，解决本题的关键是熟练掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．5．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得BE ＝AE ，根据已知条件求得AE ，即可求解．【详解】解：∵ED 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∵AC ＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，∴12+5+AE ＝30，∴AE ＝13，∴BE ＝AE ＝13，故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．6．如图，等边ABC ∆和等边CDE ∆中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，则下列结论中：①AD BE =；②60AFB ∠=︒；③连接FC ，则FC 平分BFD ∠；④3BF DF =．正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可证明△ACD ≌△BCE （SAS ）可判断①选项；根据全等三角形的性质得∠CAD =∠CBE ，再利用三角形外角的性质即可判断②选项；过点C 作CG ⊥AD 于点G ，CH ⊥BE 于点H ，过点F 作FM ⊥BD 于点M ，根据全等三角形的性质可得CH =CG ，即可判断③选项；由BC =3CD ，得3BCF DCF S S ∆∆=，结合③可判断④选项．【详解】在等边ABC ∆和等边CDE ∆中，CA CB =，60ACB ∠=︒，CD CE =，60DCE ∠=︒，B 、C 、D 共线，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆与BCE ∆中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ΔΔACD BCE SAS ∴≅，AD BE ∴=，故①选项符合题意；ACD BCE ∆≅∆ ，CAD CBE ∴∠=∠，AFB ∠Q 是FBD ∆的外角，60AFB FBD FDB CAD ADC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，故②选项符合题意；过点C 作CG AD ⊥于点G ，CH BE ⊥于点H ，过点F 作FM BD ⊥于点M ，如图所示：ACD BCE ∆≅∆ ，BE AD =，ACD BCE S S ∆∆∴=，即1122AD CG BE CH ⋅=⋅，CG CH ∴=，7．如图，在△ABC 中，分别以点A 和B 为圆心，大于12AB 和长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ABC 的周长为17，AB ＝7，则△ADC 的周长是（ ）A．7B．10C．15D．17【答案】B【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．【详解】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BC．∵△ABC的周长为17，AB＝7，∴△ADC的周长＝AC+CD+AD=AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝17﹣7＝10．故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，尺规作图-作线段垂直平分线，熟练掌握用尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC＝（ ）A．80°B．100°C．150°D．160°【答案】D【分析】根据线段垂直平分线上的性质证明DA＝DB＝DC，结合等边对等角的性质证明∠DBA+∠DCA＝∠BAC，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：如图，连接AD，∵点D 为边AB ，AC 的垂直平分线的交点，∴DA ＝DB ＝DC ，∴∠DAB ＝∠DBA ，∠DAC ＝∠DCA ，∴∠DBA +∠DCA ＝∠BAC ，在△ABC 中，∠DBC +∠DCB ＝180°﹣（∠DAB +∠DBA +∠DAC +∠DCA ）＝180°﹣2∠BAC ，在△DBC 中，∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝180°﹣（180°﹣2∠BAC ）＝2∠BAC ，即∠BDC ＝2∠BAC ＝160°．故选D【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．9．如图，点A 的坐标为()2,2，若点P 在坐标轴上，且APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】D【分析】分别分析当OA =OP ，OA =PA ，OP =PA 时的情况即可．【详解】解：当OA =OP 时，如图：以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与坐标轴交于4个点，当OA=PA时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与坐标轴交于2个点，当OA=PA时，作OA的垂直平分线，交坐标轴于2点，综上：满足条件的点P一共有8个．故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形两腰相等的性质是，根据题意进行分类讨论是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣3，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）11．如图的三角形纸片中，AB＝c、BC＝a、AC＝b、沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为AD，则△BDE的周长为_____（用含a、b、c的式子表示）【答案】a-b+c【分析】根据翻折变换的性质得到DC=DE，AC＝AE＝b，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，AC＝AE＝b，∵AB＝c，∴BE ＝AB ﹣AE ＝c ﹣b ，△BED 的周长为：BD +DE +BE ＝BC +BE ＝a ﹣b +c ，故答案为：a -b +c ．【点睛】题考查的是折叠变换的知识，掌握折叠变换的性质、找准对应关系是解题的关键．12．如图，在等边ABC V 中，BD 是ABC ∠的平分线，点E 是BC 的中点，点P 是BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，当PE PC +的值最小时，EPC ∠的度数为__________．【答案】60°##60度【分析】由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA ＝PC ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE +PC 的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB ＝60°，再通过△BPE ≌△CPE 得出∠EPC ＝∠EPB ＝60°．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线，∴点D 为AC 的中点，BD ⊥AC ，∴点A 、点C 关于BD 对称，如图，连接AE ，交BD 于P ，线段AE 的长即为PE +PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠PBE ＝30°，∴∠BPE ＝60°，∵在△BPE 和△CPE 中，90PE PE PEB PEC BE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BPE ≌△CPE （SAS ），∴∠EPC ＝∠BPE ＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．13．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点.D 已知BDC V 的周长为14，6BC =，则AB =______ ．【答案】8【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD BD =，求出BDC V 的周长为AC BC +，代入求出即可．【详解】解：AB Q 边的垂直平分线DE ，AD BD ∴=，BDC V 的周长为14，6BC =，14BC BD DC ∴++=，6614AD DC AC ∴++=+=，8AC ∴=，8AB AC ∴==，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（3，1），C 的坐标为（4，3），如果存在点D ，要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是_______．【答案】（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）【分析】由条件可以知道要使△ABD与△ABC全等，则点C与点D关于直线AB对称，根据点C的坐标就可以求出D的坐标，再根据点C与点D关于AB的中垂线，中点对称，求出坐标即可．【详解】解：∵点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(3,1)，∴AB是平行于x轴，y＝1的直线．∵△ABD与△ABC全等，∴∠ABD＝∠ABC，点D与点C关于直线AB对称．∵C(4,3)，∴D(4,-1)．当点D与点C关于AB的中垂线对称时，D(-1,3)；当点D与点C关于AB的中点成中心对称时，D(-1,-1)．故案为：(4,-1)，(-1,3)，(-1,-1)．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，坐标与图形的性质的运用，轴对称的性质的运用．注意：多种情况讨论．15．如图，在34 的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处．【答案】7【分析】根据轴对称图形的定义，在方格中进行选择合适的位置即可．【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有①下1；②下2；③中3；④中4；⑤上5；⑥上6；⑦上7．如图：选择的位置共有7处．故答案为：7．【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的定义，找出轴对称图形的对称轴，理解轴对称图形的定义是解题的关键．16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是______．①线段AD 是△ABC 的角平分线； ②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上； ④12DAC ABD S S =V V ：：．形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD∠=___________度．与AM重合，折痕为AF，则EAF1，使得1MC MB ＝，得到第一个三角形1ABC ；在射线1MC 上取一点2C ，使得121C C BC ＝；得到第二个三角形2ABC △；在射线1MC 上取一点C 3，使得，得到第三个三角形…依次这样作下去，则第2022个三角形中的度数为_____．，，∴，，即，232C C BC ＝3ABC △2022ABC △2022AC B ∠12111211C C BC AC ＝＝1145ABC BAC ∠=∠=︒190AC B ∠=︒【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及线段的垂直平分线，等腰三角形、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得出角之间的变化规律是正确解答的前提．三、解答题（本大题共6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23小题8分，第24小题10分）19．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF 交AD于点G.(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0分米，CE ＝CF ＝18.0分米，BC ＝2.0分米．(1)求AP 长的取值范围；(2)当∠CPN ＝60°时，求AP 的值．【答案】(1)0≤AP ≤10；(2)6分米【分析】（1）根据题意，得AC =CN +PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值范围；（2）由等边三角形的判定和性质得出∆CPN 为等边三角形，CP =CN =PN =6分米，再结合图形求解即可．【详解】（1）解：∵BC =2分米，AC =CN +PN =12分米，∴AB =AC ﹣BC =10分米．∴AP 的取值范围是：0≤AP ≤10；（2）根据题意得CN =PN ，∠CPN ＝60°，∴∆CPN 为等边三角形，∴CP =CN =PN =6分米，∵AC =CN +PN =12分米，∴AP =AC -CP =6分米．【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．21．已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，其中A （1，2），B （3，1），C （4，3），试解答下列各题：ABC V(1)作出△ABC 关于y 轴对称的：(2)写出三个顶点的坐标：（________）﹔（________）﹔（________）﹔(3)=________．【答案】(1)图见详解(2)，2；，1；，3；(3)6【分析】（1）先得出点A 、B 、C 分别关于y 轴对称的点，然后顺次连接即可；（2）由（1）图可进行求解；（3）由图可直接进行求解．【详解】（1）解：如图示：（2）解：由（1）图可得：；；；故答案为，2；，1；，3；（3）解：由（1）图可得：；故答案为6．【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的求解是解题的关键．22．如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°．A B C '''V A B C '''V A 'B 'C 'BB '1-3-4-(1,2)A '-(3,1)B '-(4,3)C '-1-3-4-6BB '=(1)求出BF的长度；(2)求∠CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？【答案】(1)BF＝3cm(2)∠CAD＝18°(3)直线MN垂直平分线段EC【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可；（2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可；（3）直接根据轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，∴BC＝ED＝4cm，∴BF＝BC﹣FC＝3cm．（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°，∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°．（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，∵E，C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点．求证：BD ＝CE ．(2)如图2，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，点A 为重合的顶角顶点，点D 、E 均在△ABC 外，求证：∠ABD ＝∠ACE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC =∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，从而得到∠CAE ＝∠BAD ，利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC =∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，从而得到∠CAE ＝∠BAD ，利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得解；【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）证明：∵△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，即∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ．AB AC BAD CAEAD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝AB AC BAD CAEAD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义及熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．24．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点、、、、、均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图，过点作直线的平行线；(2)如图，点为线段上一动点，连接、，作出当最小时，点位置；(3)如图，在线段上找一点不与点重合，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）取格点D ，作直线CD 即可；（2）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接DC ′交AB 于点M ，连接CM ，点M 即为所求；（3）取格点J ，M ，N ，连接EJ 交AB 于点K ，连接MN 交AB 于点P ，点P 即为所求．【详解】（1）如图中，直线即为所求；（2）如图中，点即为所求；55⨯A B C D E F 1C AB 2M AB MD MC MD MC +M 3AB (P A )PE PF ⊥1CD 2M（3）如图中，点即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3P。

八年级数学上册第十三章轴对称考点精题训练单选题1、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜2、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．3、如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误．．的是（）A．∠ADC=90∘B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD答案：C分析：根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．解：∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC,BD=CD，∴∠ADC=90∘，故选项A、D结论正确，不符合题意；又AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD=BC，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．小提示：本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．4、已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12或15B．12C．13D．15答案：D分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．小提示：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，－3），点B的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（）A．点A在第三象限B．点B在第二、四象限的角平分线上C．线段AB平行于x轴D．点A与点B关于y轴对称答案：D分析：根据点坐标特征、特殊直线的解析式可以作出判断．解：A、根据点坐标的符号特征，点A在第三象限，正确；B、第二、四象限的角平分线为y=-x，并且点B坐标符合y=-x，正确；C、线段AB为y=-3，平行于x轴，正确；D、与点A关于y轴对称的点为（2，-3），错误；故选D．小提示：本题考查点坐标的应用，熟练掌握点坐标特征及特殊直线的解析式是解题关键．6、某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．答案：B分析：用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．作点A关于直线的对称点A′，连接BA′交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．故选B小提示：本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△ABO的周长为（）A．24B．34C．35D．36答案：D分析：平面直角坐标系中点关于y轴的对称点B的坐标为（5，12），到坐标轴的距离分别为5和12，利用勾股定理算出OA和OB的长度，最后加上AB，即可得到△ABO的周长．解：∵点A与点B关于y轴对称，A（﹣5，12），∴B（5，12），∴AB＝10，∵A（﹣5，12），∴OA＝13，∴OB＝13，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝26+10＝36，故选D．小提示：本题考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，本题还考查了勾股定理的运用．明确点到坐标轴的距离是本题的关键．8、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD//AB，则∠BCD=（）A．40°B．50°C．60°D．70°答案：D分析：先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=70°，故选D.小提示：本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.9、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．10、如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（）A．5B．8C．10D．13答案：C分析：根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵EG是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，FA＝FC，∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，故选：C．小提示：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．填空题11、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB 的最小值是 ___．答案：4分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．解：如图：连结BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴BP=CP，∴AP+BP=AP+CP，根据两点之间相等最短AP+PC≥AC，∴当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长为4．故答案为4．小提示：本题考查轴对称——最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置．12、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D′和点C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，则∠1为______度．答案：70分析：由折叠的性质可以得∠EFC=∠EFC′，从而求出∠C′FG=∠EFC′−∠EFG=70∘，再由平行线的性质得到∠1=∠EGF=∠GFC′=70∘．解：由折叠的性质可知，∠EFC=∠EFC′，∵∠EFG=55°，∴∠EFC=∠EFC′=180∘−∠EFG=125∘，∴∠C′FG=∠EFC′−∠EFG=70∘，∵四边形ABCD是长方形∴AD∥BC，DE∥FC′，∴∠1=∠EGF=∠GFC′=70∘，所以答案是：70．小提示：本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．答案：6分析：先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．14、如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC=BF，∠DAC=24°，∠EBC=32°，则∠ACB=__________．答案：100°分析：延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示：在△BDM和△CDA中，{DM=DA∠BDM=∠CDABD=CD，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠M=∠BFM=24°，∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°，∵∠EBC=32°，∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°，∴∠C=∠DBM=100°，所以答案是：100°．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15、如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，则∠BCD=__________（用含α的式子表示）．答案：120°−α##−α+120°分析：在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得△BEC≅△ADC，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到△DCE是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有∠BCE=60°−α，即可求解．解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∠DBC=∠DAC=α，BE=AD，∴△BEC≅△ADC，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=180°−60°−α=120°−α．所以答案是：120°−α小提示：本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；(2)求证：BC＝2AB．答案：(1)40°(2)见解析分析：（1）根据角平分线的定义求出∠EBC，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC=20°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2BF，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三角形的性质证明结论．（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，∴∠EBC=1∠ABC=20°，2∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=20°，∵∠DEC是△EBC的一个外角，∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA=EF，在Rt△AEB和Rt△FEB中，∵{EA=EF，EB=EB∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL），∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），∵EB=EC，EF⊥BC，∴BC=2FB，∴BC=2AB．小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．17、如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OC为折痕，则OC平分∠AOA′．(1)若∠AOC＝25°，求∠A′OB的度数；(2)若点D在线段BE上，角OBD沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；②如果点B′不在线段A′O上，且∠A′OB′＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．答案：(1)130°(2)①90°；②70°或110°分析：（1）根据折叠的性质，可得∠AOA′=2∠AOC=50°，即可求解；（2）①根据折叠的性质，可得∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，从而得到∠COD=∠A′OC+∠B′OD=12(∠AOA′+∠BOB′)，即可求解；②分两种情况：当OB′在OA′右侧时，当OB′在OA′左侧时，即可求解．（1）解：∵OC平分∠AOA′．∠AOC＝25°，∴∠AOA′=2∠AOC=50°，∴∠A′OB=180°−∠AOA′=130°；（2）解：①根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∴∠COD=∠A′OC+∠B′OD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×180°=90°；②如图，当OB′在OA′右侧时，根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∵∠A′OB′＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′=180°−∠A′OB′=140°，∴∠AOC+∠BOD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×140°=70°；如图，当OB′在OA′左侧时，根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∵∠A′OB′＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′=180°+∠A′OB′=220°，∴∠AOC+∠BOD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×220°=110°；综上所述，∠AOC+∠BOD的度数70°或110°．小提示：本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．18、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=32°，∠BAD=42°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝74°分析：根据等边对等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC 的度数．解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．小提示：此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．。

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解： 四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

F 八年级上册数学重难点分析第一章 轴对称图形知识点:重难点：轴对称与轴对称图形的概念及识别以及轴对称与轴对称图形的区别和联系;考点：轴对称的性质、轴对称图形的折叠问题;易混点：角平分线、垂直平分线的性质、对称轴是一条直线而非线段经典考题：如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB 为8cm,长BC 为10cm;当小红折叠时,顶点D 落在BC 边上的点F 处折痕为AE,想一想,此时EC 有多长 用你学过的方法进行解释. 提示：AF 多长BF 呢FCEF第二章 勾股定理与平方根知识点：勾股定理、实数的概念及分类、平方根、算数平方根和立方根、实数大小的比较、实数的运算重 难点:勾股定理的应用、平方根与立方根的计算学上第一次接触根式难 点:勾股定理的应用易混点：平方根与立方根的区别实数、有理数、无理数概念问题经典考题：一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.1这个梯子的顶端离地面有多高2如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米第三章 中心对称图形一知识点:平移、旋转、四边形的相关概念、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、梯形的性质、中心对称图形的概念及性质重难点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定平行四边形、矩形、菱形、正方形考点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定、图形的旋转易混点：平行四边形的判别；特别平行四边形的判别;经典考题：下列几组几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形,完全正确的一组是．A．正方形、菱形、矩形、平行四边形 B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、矩形、菱形 D．平行四边形、正方形、等腰三角形第四章数量、位置变化知识点：平面直角坐标系及有关概念、坐标变化与图形变化的规律重难点：平面直角坐标系的引入及有关概念的认识象限、点的坐标等、坐标变化与图形变化的规律学生第一次接触直角坐标系考点：关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征易混点：平面直角坐标系中坐标的表示；坐标变化的情况;下表为坐标变化与图形变化的规律坐标变化与图形变化的规律坐标 x , y 的变化图形的变化x × a或y × a 被横向或纵向拉长压缩为原来的 a倍x × a, y × a 放大缩小为原来的 a倍x × -1或y × -1 关于 y 轴或 x 轴对称x × -1, y × -1 关于原点成中心对称x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位x +a, y+ a 沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单经典考题：点P-5,1沿x轴正方向平移2个单位,再沿y轴负方向平移4个单位,所得到的点的坐标为_______;第五章一次函数知识点：函数的概念、自变量取值范围、函数的三种表示法、由函数关系式画其图像的一般步骤、正比例函数和一次函数概念及性质重难点：函数概念的引入、一次函数与正比例函数的性质及图像、一次函数与一元一次方程的关系考点：一次函数与正比例函数的性质、一次函数图像的应用易混点：一次函数的表达式及用待定系数法确定一次函数的表达式;经典考题：如图,直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6,动点Px,0在OB上运动0<x<3,过点P作直线m与x轴垂直．1求点C的坐标,并回答当x取何值时y1>y22设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s,求出s与x之间函数关系式． 3当x为何值时,直线m平分△COB的面积第六章数据的集中度知识点：平均数、众数、中位数的概念及算法重难点：平均数、中位数与众数概念的理解；计算器求平均数；考点：加权平均数、中位数的理解;易混点：中位数、平均数的计算；用计算器求平均数;经典考题：有10个数据的平均数为6,另有20个数据的平均数为3,那么所有这30个数据的平均数是________;。

【满分秘诀】专题05 轴对称（考点突破）【思维导图】【常见考法】【真题分点透练】【考点1 轴对称图形】1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【考点2 轴对称性质】3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A＝∠A′＝50°，∠C＝∠C′＝30°；∴∠B＝180°﹣80°＝100°．故选：D．4．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是．【答案】10：21【解答】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．故答案为10：21【考点3 垂直平分线的性质】5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，∴AB＝＝2cm＝AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE＝AB＝cm同理CF＝cm，∴BM＝＝2cm，同理CN＝2cm，∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，故选：C．6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分AB，∴AE＝BE，BD＝AD，∵AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，∴△ABC的周长是9+2×3＝15cm，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE∴∠EAC＝∠C，又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，∴∠AEB＝80°，又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝40°．故选：B．8．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE．∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．又∵BC＝8，∴AC＝10（cm）．故选：C．9．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【解答】解：如图：∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选：D．【考点4 关于坐标轴对称的点的坐标性质】10．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是．【答案】（﹣2，﹣3）【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．11．已知点P（3，﹣1）关于y Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为．【答案】25【解答】解：∵点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），∴，解得：，则a b的值为：（﹣5）2＝25．故答案为：25．12．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n＝．【答案】0【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，∴m+2＝4，3＝n+5，解得：m＝2，n＝﹣2，∴m+n＝0，故答案为：0．【考点5 画轴对称图形】13．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．【解答】解：（1）S△ABC＝×5×3＝（或7.5）（平方单位）．（2）如图．（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．【考点6 等腰三角形的性质】14．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或17【答案】A【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．故这个等腰三角形的周长是17．15．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD【答案】D【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点∴∠B＝∠C，（故A正确）AD⊥BC，（故B正确）∠BAD＝∠CAD（故C正确）无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．故选：D．16．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°或20°B．80°C．80°或50°D．20°【答案】A【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°；②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；故选：A．17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【答案】C【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝35°，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．故选：C．19．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB＝AC，∴BP＝PC；∵AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP﹣DP＝PC﹣PE，∴BD＝CE．20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【考点7 等腰三角形的判定】21．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9∴MN＝9，故选：D．22.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC为等腰三角形．故选：D．23．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON＝BM+CN．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B＝∠C．（2）△ABC是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；（2）由（1）可得∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形．【考点8 等边三角形的性质】26.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：过点E作EJ∥CD．∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，∵AB∥CD，EJ∥CD，∴AB∥EJ，∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，故选：B．27．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM＝EM．【解答】（1）解：作图如下；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点∴BD平分∠ABC（三线合一）∴∠ABC＝2∠DBE∵CE＝CD∴∠CED＝∠CDE又∵∠ACB＝∠CED+∠CDE∴∠ACB＝2∠E又∵∠ABC＝∠ACB∴2∠DBC＝2∠E∴∠DBC＝∠E∴BD＝DE又∵DM⊥BE∴BM＝EM．【考点9 等边三角形的判定】28.在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，∴∠P AQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，∴△APQ是等边三角形．29．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．【考点10 含30°角的直角三角形的性质】30．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，∴OD＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故选：C．31．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．【答案】2【解答】解：过P作PE⊥OB OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，∴PE＝PC＝2，则PD＝PE＝2．故答案为：2．。

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元测试】第十三章轴对称（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm3．下列说法不正确的有（）A．三边相等的三角形是等边三角形B．三个角相等的三角形是等边三角形C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．顶角为60︒的等腰三角形是等边三角形4．如图，若△ABC与'''A B C关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝''AC B．'BO B O＝C．'AB B C＝D．'AA MN⊥5．如图，△ABC中，△C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．136．如图，等边ABC∆和等边CDE∆中，B、C、D共线，且3BC CD=，连接AD和BE相交于点F，则下列结论中：△AD BE=；△60AFB∠=︒；△连接FC，则FC平分BFD∠；△3BF DF=．正确的有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于12AB和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（）A．7B．10C．15D．178．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知△A＝80°，则△BDC＝（）A．80°B．100°C．150°D．160°9．如图，点A的坐标为()2,2，若点P在坐标轴上，且APO△为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 关于直线m （直线m 上各点的横坐标都为1）对称，点C 的坐标为（4，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣3，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1）二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）11．如图的三角形纸片中，AB ＝c 、BC ＝a 、AC ＝b 、沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 上的点E 处，折痕为AD ，则△BDE 的周长为_____（用含a 、b 、c 的式子表示）12．如图，在等边ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，点E 是BC 的中点，点P 是BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，当PE PC +的值最小时，EPC ∠的度数为__________．13．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点.D 已知BDC 的周长为14，6BC =，则AB =______ ．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（3，1），C 的坐标为（4，3），如果存在点D ，要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是_______．15．如图，在34⨯的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处．16．如图，在△ABC 中，△C =90°，△B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是______．△线段AD 是△ABC 的角平分线； △△ADC =60°； △点D 在AB 的中垂线上； △12DACABDSS=：：．17．如图，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠=___________度．18．如图，直线L 为线段AB 的垂直平分线，交AB 于M ，在直线L 上取一点1C ，使得1MC MB ＝，得到第一个三角形1ABC ；在射线1MC 上取一点2C ，使得121C C BC ＝；得到第二个三角形2ABC △；在射线1MC 上取一点C 3，使得232C C BC ＝，得到第三个三角形3ABC △…依次这样作下去，则第2022个三角形2022ABC △中2022AC B ∠的度数为_____．三、解答题（本大题共6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23小题8分，第24小题10分）19．如图，已知△ABC ，AD 是△BAC 的角平分线，DE △AB 于点E ，DF △AC 于点F ，连接EF 交AD 于点G .(1)求证：AD 垂直平分EF ；(2)若AB ＋AC ＝10，DE ＝3，求△ABC 的面积.20．图△中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图△．当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0分米，CE ＝CF ＝18.0分米，BC ＝2.0分米．(1)求AP 长的取值范围；(2)当△CPN ＝60°时，求AP 的值．21．已知如图，ABC 在平面直角坐标系xOy 中，其中A （1，2），B （3，1），C （4，3），试解答下列各题：(1)作出△ABC关于y轴对称的A B C'''：(2)写出A B C'''三个顶点的坐标：A'（________）﹔B'（________）﹔C'（________）﹔(3)BB'=________．22．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，△BAC ＝76°，△EAC＝58°．(1)求出BF的长度；(2)求△CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：△ABD＝△ACE．24．如图，在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点A、B、C、D、E、F均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图1，过C点作直线AB的平行线；(2)如图2，点M为线段AB上一动点，连接MD、MC，作出当MD MC+最小时，M点位置；(3)如图3，在线段AB上找一点(P不与点A重合)，使得PE PF⊥．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）实战训练A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．答案详解：解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，所以选：C．2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　5　个．试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．所以答案是：5．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为　n5+36°　（用含n的式子表示）．试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．答案详解：解：如图，设∠BAD ′＝x ，则∠CAE ＝2x ，由翻折变换的性质可知，∠DAE ＝∠EAD ′＝2x +n ，∵∠DAB ＝90°，∴4x +2n +x ＝90°，∴x =15（90°﹣2n ），∴∠DAE ＝2×15（90°﹣2n ）+n =n 5+36°．所以答案是：n 5+36°．4．如图，点P 为∠AOB 内部任意一点，点P 与点P 1关于OA 对称，点P 与点P 2关于OB 对称，OP ＝8，∠AOB ＝45°，则△OP 1P 2的面积为 32　．试题分析：根据轴对称的性质，可得OP 1、OP 2的长度等于OP 的长，∠P 1OP 2的度数等于∠AOB 的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．答案详解：解：∵点P 1和点P 关于OA 对称，点P 2和点P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ＝OP 2＝8，且∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝90°．∴△P 1OP 2是直角三角形，∴△OP 1P 2的面积为12×8×8＝32，所以答案是：32．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．答案详解：解：6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段　两个端点　的距离　相等　．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为　26　cm．试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案；（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，即AC+BC＝16+10＝26cm．答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以答案是：两个端点；相等；（1）如图所示，（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长＝BD +DC +BC ，∴△BCD 的周长＝AD +DC +BC ，即AC +BC ＝16+10＝26cm ．所以答案是：26．8．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线l 成轴对称，其中A ′点的对应为A 点．（1）请画出△A ′B ′C ′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A ′B ′C ′的面积．试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形面积求法得出答案．答案详解：解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；（2）△A ′B ′C ′的面积为：12×2×4＝4．9．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （﹣1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，1）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）请直接写出以AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．答案详解：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．1B．−1C．5D．﹣5试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而得出a+b的值．答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．所以选：D．11．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2021试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．答案详解：解：∵P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，∴a＝1，b﹣1＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣1，∴a+b＝0，∴（a+b）2021＝02021＝0．所以选：A．12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（ ）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）试题分析：作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（2，﹣3），可得点N的坐标．答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（2，﹣3），∴点N的坐标为（﹣2，3），所以选：D．13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，﹣3），若点A 在第二象限或第四象限，则a ﹣5+1﹣2a ＝0，解得a ＝﹣4，则a ﹣5＝﹣9，1﹣2a ＝9，∴点A 的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A 向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a ），又∵点A 向右平移若干个单位后与点B （﹣2，﹣3）关于x 轴对称，∴1﹣2a +（﹣3）＝0，a ＝﹣1，a ﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a ＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A 的坐标为（﹣6，3）．14．已知有序数对（a ，b ）及常数k ，我们称有序数对（ka +b ，a ﹣b ）为有序数对（a ，b ）的“k 阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a ，b ）（b ≠0）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．﹣2B ．−32C ．0D ．−12试题分析：根据新定义可得：有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），并根据y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．答案详解：解：∵有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），∴a −b =b a +ka +b =0，解得：k =−32．所以选：B ．五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A 、B 分别在格点上，在图中确定格点C ，则以A 、B 、C 为顶点的等腰三角形有　3　个．试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．答案详解：解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；所以答案是：3．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以选：D．17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标　（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），　；满足条件的点C一共有　8　个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．六．规律类--坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．所以选：A．19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（ ）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．答案详解：解：由题意A1（0，1），A2（2，1），A3（3，0），A4（3，0），A5（4，1），A6（5，1），A7（6，0），A8（7，0），A9（8，1），…每4个一循环，∵2020÷4＝505则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），所以选：A．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．所以选：C．七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为　8　．试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出DE的长，最后求出BE的长．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∵CD 平分∠ACF ，∴∠ACD ＝∠DCF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠DCF ，∴∠EDC ＝∠ACD ，∴GC ＝GD ＝6，∵EG ＝2，∴ED ＝EG +GD ＝2+6＝8，∴BE ＝ED ＝8，所以答案是：8．22．如图，△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，CP 平分∠ACB ，BD ，CD 分别是△ABC 的两外角的平分线，下列结论中：①CP ⊥CD ；②∠P =12∠A ；③BC ＝CD ；④∠D ＝90°−12∠A ；⑤PD ∥AC ．其中正确的结论是 ①②④⑤　（直接填写序号）．试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB =12∠ACB ，∠BCD =12∠BCF ，根据垂直的定义得到CP ⊥CD ；故①正确；延长CB ，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P =12∠A ，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB ∥CD ，推出△ABC 是等边三角形，而△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，推出∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，求得∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，求得∠EBD ＝∠A ，于是得到PD∥AC．故⑤正确．答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，∴∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，而∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，∴∠A +180°﹣2∠DBC +180°﹣2∠DCB ＝180°，∴∠A ﹣2（∠DBC +∠DCB ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2（180°﹣∠D ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2∠D ＝180°，∴∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；∵∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，∴∠A =12∠EBC ，∵∠EBD =12∠EBC ，∴∠EBD ＝∠A ，∴PD ∥AC ．故⑤正确；所以答案是：①②④⑤．23．Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EO ∥AB ，FO ∥AC ，若S △ABC ＝32，则△OEF 的周长为　8　．试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE即可得到结论．答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝32，∴12BC2＝32，∴BC＝8，∵OE∥AB∴∠ABO＝∠BOE∵OB平分∠ABC∴∠ABO＝∠OBE∴∠ABO＝∠BOE∴BE＝OE，则同理可得OF＝CF，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．所以答案是：8．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有　②④　．（只填序号）试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，然后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，进而利用等角对等边可得ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠DBC≠∠DCB，∴DB≠DC，故①不正确；∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴ED＝EB，FD＝FC，∴△BED和△CFD都是等腰三角形，故②正确；∵EB≠FC，∴ED≠FD，故③不正确；∵EB＝ED，FD＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC，故④正确；综上所述：上列结论其中正确的有②④，所以答案是：②④．八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝　7　．试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM 为等边三角形，得出BM ＝EM ＝BE ＝5，从而得出BN 的长，进而求出答案．答案详解：解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，如图，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝CN ，∵∠EBC ＝∠DEB ＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∴BM ＝EM ＝BE ＝5，∠EMB ＝60°，∵DE ＝2，∴DM ＝3，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM ＝90°，∴∠NDM ＝30°，∴NM =12DM =32，∴BN ＝BM ﹣MN ＝5−32=72，∴BC ＝2BN ＝7．所以答案是：7．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE 中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．答案详解：（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．九．直角三角形斜中线的灵活运用。

轴对称之将军饮马模型基本图模1.已知：如图定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P 使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P 点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´连接AP´、BP´在△ABP’中 AP´+BP´>AB 即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时 PA+PB最小.2.已知：如图定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P 使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´连接A´B交l于P点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线由中垂线的性质得：PA=PA´要使PA+PB最小则需PA´+PB值最小从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间线段最短；2.三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【典例1】（2022春•漳州期末）如图要在街道l设立一个牛奶站O向居民区A B提供牛奶下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′连接A′B交直线l于点O则点O即为所求点．故选：D．【变式1】（2021春•成都期末）如图点A B在直线l的同侧在直线l上找一点P使P A+PB最小则下列图形正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵点A B在直线l的同侧∴作A点关于l的对称点A' 连接A'B与l的交点为P由对称性可知AP＝A'P∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B为最小故选：B．【典例2】（2022春•埇桥区校级期末）如图Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝6 BC＝8 AB＝10 BD平分∠ABC如果点M N分别为BD BC上的动点那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【答案】B【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E交BD于点M过点M作MN⊥BC于点N∵BD平分∠ABC∴ME＝MN∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝6 BC＝8 AB＝10 CE⊥AB∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC∴10CE＝6×8∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8故选：B．【变式2-1】（2022春•河源期末）已知等腰△ABC中AB＝AC E是高AD上任一点F 是腰AB上任一点腰AC＝5 BD＝3 AD＝4 那么线段BE+EF的最小值是（）A．5B．3C．D．【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB＝AC AD⊥BC∴BD＝CD＝3∴点F′在AC上∵BE+EF＝BE+EF′根据垂线段最短可知当B E F′共线且与H重合时BE+EF的值最小最小值就是线段BH的长．在Rt△ACD中AC＝5∵•BC•AD＝•AC•BH∴BH＝∴BE+EF的最小值为故选：C【变式2-2】（2021秋•甘南县期末）如图在△ABC中直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D E点F为直线l上任意一点AC＝3 CB＝4．则△ACF周长的最小值是（）A．4B．6C．7D．10【答案】C【解答】解：∵直线l垂直平分AB∴A B关于直线l为对称∴F与D点重合时AF+CF最小最小值是BC＝4∴△ACF周长的最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝3+4＝7故选：C．（2022春•南岸区校级期中）如图在Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°AB 【变式2-3】＝7 BD是△ABC的角平分线点P点N分别是BD AC边上的动点点M在BC上且BM＝1 则PM+PN的最小值为（）A．3B．C．3.5D．【答案】A【解答】解：如图所示作点M关于BD的对称点M' 连接PM' 则PM'＝PM BM＝BM'＝1∴PN+PM＝PN+PM'当N P M'在同一直线上且M'N⊥AC时PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长此时∵Rt△AM'N中∠A＝30°∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3∴PM+PN的最小值为 3故选：A．【典例3】（2021春•西乡县期末）如图等腰三角形ABC的底边BC为4 面积为24 腰AC的垂直平分线EF分别交边AC AB于点E F若D为BC边的中点M为线段EF 上一动点则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】D【解答】解：连接AD MA．∵△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点∴AD⊥BC∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24 解得AD＝12∵EF是线段AC的垂直平分线∴点A关于直线EF的对称点为点C MA＝MC∴MC+DM＝MA+DM≥AD∴AD的长为CM+MD的最小值∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D【变式3-1】（2021秋•海珠区期中）如图在△ABC中AB＝AC BC＝4 △ABC的面积是14 AC的垂直平分线EF分别交AC AB于E F点．若点D为BC边的中点点M 为线段EF上一动点则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．4D．2【答案】B【解答】解：连接AD∵△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点．∴AD⊥BC∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14 解得AD＝7∵EF是线段AB的垂直平分线∴点C关于直线EF的对称点为点A连接AM则CM+DM＝AM+DM≥AD∴当点M在线段AD上时CM+DM的值最小∴AD的长为CM+MD的最小值．故选：B．【变式3-2】如图等腰三角形ABC的底边BC的长为4 面积是16 腰AC的垂直平分线EF分别交AC AB边于E F点若点D为BC边的中点点M为线段EF上一动点则△CDM周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线∴点A与点C关于EF对称．连接AD与EF的交点为M则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．∵点D是底边BC上的中点且△ABC是等腰三角形∴AD⊥BC．∵S△ABC＝16 BC＝4∴AD＝＝＝8．∵MA＝MC∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．故选：D【典例4】（2020秋•郧西县月考）如图已知∠AOB的大小为30°P是∠AOB内部的一个定点且OP＝1 点E、F分别是OA、OB上的动点则△PEF周长的最小值等于（）A．B．C．2D．1【答案】D【解答】解：作P点关于OA的对称点P' 作P点关于OB的对称点P'' 连接P'P''交OA 于点E、交BO于点F连接OP'、OP''由对称性可知PE＝P'E PF＝P''F∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''此时△PEF周长最小∵PO＝OP' OP＝OP''∴OP'＝OP''∵∠AOB＝30°∴∠P'OP''＝60°∴△OP'P''是等边三角形∵OP＝1∴P'P''＝1故选：D．【变式4-1】（2021秋•澄城县期末）如图∠AOB＝30°∠AOB内有一定点P且OP ＝15 若在OA、OB上分别有动点M、N则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．30【答案】B【解答】解：作P关于OA的对称点D作P关于OB的对称点E连接DE交OA于M 交OB于N连接PM PN则此时△PMN的周长最小连接OD OE∵P、D关于OA对称∴OD＝OP PM＝DM同理OE＝OP PN＝EN∴OD＝OE＝OP＝15∵P、D关于OA对称∴OA⊥PD∵OD＝OP∴∠DOA＝∠POA同理∠POB＝∠EOB∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°∵OD＝OE＝15∴△DOE是等边三角形∴DE＝15即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15故选：B．【变式4-2】（2021秋•应城市期末）如图∠MON＝50°P为∠MON内一点OM上有点A ON上有点B当△P AB的周长取最小值时∠APB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．100°【答案】C【解答】解：如图分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2然后连接两个对称点即可得到A、B两点.∴△P AB即为所求的三角形根据对称性知道：∠APO＝∠AP1O∠BPO＝∠BP2O还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON OP1＝OP2而∠MON＝50°∴∠P1OP2＝100°∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°∴∠APB＝2×40°＝80°．故选：C．【典例5】（2021秋•丛台区校级期末）如图四边形ABCD中∠BAD＝130°∠B＝∠D＝90°在BC CD上分别找一点M N使△AMN的周长最小时则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【答案】C【解答】解：作A点关于CD的对称点F作A点关于BC的对称点E连接EF交CD 于N交BC于M连接AM、AN∵∠B＝∠D＝90°∴AN＝NF AM＝EM∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF此时△AMN的周长有最小值∵∠F AN＝∠F∠E＝∠EAM∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD∵∠BAD＝130°∴∠E+∠F＝50°∴∠BAM+∠F AN＝50°∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°故选：C．【变式5-1】（2021秋•仁怀市期末）如图在四边形ABCD中∠B＝∠D＝90°∠BAD ＝140°点E F分别为BC和CD上的动点连接AE AF．当△AEF的周长最小时∠EAF的度数为（）A．60°B．90°C．100°D．120°【答案】C【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′A″连接A′A″交BC于E交CD于F则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵DAB＝140°∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°∵∠EA′A＝∠EAA′∠F AD＝∠A″∴∠EAA′+∠A″AF＝40°∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．故选：C．【变式5-2】（2022春•驻马店期末）如图四边形ABCD中∠BAD＝a∠B＝∠D＝90°在BC、CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【答案】B【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB延长AD到A″使得DA″＝AD连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°∴A、A′关于BC对称A、A″关于CD对称此时△AMN的周长最小∵BA＝BA′MB⊥AB∴MA＝MA′同理：NA＝NA″∴∠A′＝∠MAB∠A″＝∠NAD∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）∵∠BAD＝a∴∠A′+∠A″＝180°﹣a∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°故选：B．【典例6】如图在平面直角坐标系中点C的坐标为（﹣1 5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位再向下平移3个单位得到△A1B1C1并写出B1的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P使得P A+PB的值最小（保留作图痕迹不写作法）．【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求∴B1的坐标（3 ﹣2）；（2）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5；（3）作点B关于y轴的对称点B' 连接AB'交y轴于P则点P即为所求．【变式6】如图在平面直角坐标系中点C的坐标为（﹣1 5）．（1）若把△ABC向右平移5个单位再向下平移3个单位得到△A1B1C1并写出B1的坐标；（2）在x轴上找一点P使得P A+PB的值最小.【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．从图象看B1点的坐标是（﹣3 2）．（2）A点关于x轴的对称点A′坐标为（4 ﹣4）连接A'B交x轴于P点则P A+PB＝P A'+PB＝A'B此时P A+PB的值最小1．如图直线L是一条输水主管道现有A、B两户新住户要接水入户图中实线表示铺设的管道则铺设的管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：作点B关于直线l的对称点B' 连接AB′交直线l于M．根据两点之间线段最短可知选项C修建的管道则所需管道最短．故选：C．2．（2022•海港区校级开学）如图在△ABC中AB＝AC＝10 BC＝12 AD＝8 AD是∠BAC的平分线．若P Q分别是AD和AC上的动点则PC+PQ的最小值是（）A．9.6B．8C．6D．4.8【答案】A【解答】解：∵AB＝AC AD是∠BAC的平分线∴AD垂直平分BC∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q BQ交AD于点P则此时PC+PQ取最小值最小值为BQ 的长如图所示．∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ∴BQ＝＝9.6．故选：A．3．（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQC．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【答案】C【解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽连接QP′与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E则EF∥PP′且EF＝PP′于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE根据“两点之间线段最短”QP′最短即PE+FQ最短．故C选项符合题意故选：C．4．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线点E、F 分别是AD、AB上的动点若∠BAC＝50°当BE+EF的值最小时∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G交AC于点B′过点B′作B′F′⊥AB于点F′与AD交于点E′连接BE′如图此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD＝∠B′AD＝25°∴∠AE′F′＝65°∵BB′⊥AD∴∠AGB＝∠AGB′＝90°∵AG＝AG∴△ABG≌△AB′G（ASA）∴BG＝B′G∠ABG＝∠AB′G∴AD垂直平分BB′∴BE＝BE′∴∠E′B′G＝∠E′BG∵∠BAC＝50°∴∠AB′F′＝40°∴∠ABE＝40°∴∠BE′F′＝50°∴∠AE′B＝115°．故选：B．5．（2021秋•天津期末）如图在△ABC中AB的垂直平分线DE交BC于点D垂足为E M为DE上任意一点BA＝3 AC＝4 BC＝6 则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．10【答案】D【解答】解：如图所示连接BM∵DE是AB的垂直平分线∴AM＝BM∴AM+CM＝BM+CM当B M C在同一直线上时AM+CM的最小值为BC的长又∵AC＝4 BC＝6∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10故选：D．6．（2021秋•海丰县期末）如图OE为∠AOB的角平分线∠AOB＝30°OB＝6 点P C分别为射线OE OB上的动点则PC+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：过点B作BD⊥OA交于D点交OE于点P过点P作PC⊥OB交于C点∵OE为∠AOB的角平分线∴DP＝CP∴PB+PC＝PD+PB＝BD此时PC+PB的值最小∵∠AOB＝30°OB＝6∴BD＝3故选：A．7．（2022春•茌平区期末）如图在平面直角坐标系中O为原点点A C E的坐标分别为（0 4）（8 0）（8 2）点P Q是OC边上的两个动点且PQ＝2 要使四边形APQE的周长最小则点P的坐标为（）A．（2 0）B．（3 0）C．（4 0）D．（5 0）【答案】C【解答】解：如图将点E（8 2）往左平移2个单位得到F（6 2）则EF＝2＝PQ EF∥PQ∴四边形EFPQ是平行四边形∴FP＝QE作点F关于x轴的对称点F' 连接PF'则PF'＝PF F'（6 ﹣2）∴当点A、P、F在同一直线上上时AP+PF'最小即AP+EQ最小∵A（0 4）F'（6 ﹣2）∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4∴P（4 0）故选：C．8．（2021秋•北安市校级期末）如图等边三角形ABC的边长为6 A、B、A1三点在一条直线上且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点则AD+CD的最小值是（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【解答】解：连接CA1交BC1于点E∵直线l⊥AB且△ABC与△A1BC1关于直线l对称∴A B A1共线∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°∴∠CBC1＝60°∴∠C1BA1＝∠C1BC∵BA1＝BC∴BD⊥CA1CD＝DA1∴C A1关于直线BC1对称∴当点D与B重合时AD+CD的值最小最小值为线段AA1的长＝12故选：B．9．如图AD是等边△ABC的BC边上的中线F是AD边上的动点E是AC边上动点当EF+CF取得最小值时则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E交AD于点F连接CF∵△ABC是等边三角形∴AE＝ECAF＝FC∴∠F AC＝∠FCA∵AD是等边△ABC的BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD＝30°∴∠ECF＝30°．故选：C．10．如图在△ABC中AB＝AC BC＝4 面积是14 AC的垂直平分线EF分别交AC AB 边于E F点．若点D为BC边的中点点M为线段EF上一动点则△CDM周长的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【答案】B【解答】解：连接AD AM∵△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点∴AD⊥BC∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14 解得AD＝7∵EF是线段AC的垂直平分线∴AM＝CM当点M在AD上时DM+CM最小最小值为AD∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故选：B．11．如图已知∠MON＝40°P为∠MON内一定点OM上有一点A ON上有一点B当△P AB的周长取最小值时∠APB的度数是°．【答案】100【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″连接OP′、OP″、P′P″P′P″交OM、ON于点A、B连接P A、PB此时△P AB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得OP′＝OP″＝OP∠P′OA＝∠POA∠P″OB＝∠POB∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°∠APO＝∠AP′O＝50°∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故答案为：100．12．如图AB⊥BC AD⊥DC∠BAD＝116°在BC、CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时∠AMN+∠ANM的度数是．【答案】128°【解答】解：作A点关于BC的对称点E作A点关于CD的对称点F连接EF交BC 于M点交CD于N点∴AM＝EM AN＝NF∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF此时△AMN周长最小由对称性可知∠E＝∠EAM∠F＝∠NAF∵∠BAD＝116°∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°故答案为：128°．13．如图在平面直角坐标系中点A（4 4）B（2 ﹣4）．（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D请分别描出并写出点C、D的坐标；（2）在y轴上求作一点P使P A+PB最小（不写作法保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图所示；C点坐标为；（4 ﹣4）D点坐标为：（﹣4 4）；（2）连接BD交y轴于点P P点即为所求；。

第10题 一、 选择题1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D.在A 、B 两内角平分线的交点处4.下列说法中错误的是（ ）A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B 关于某条直线对称的两个图形全等C 全等的三角形一定关于某条直线对称D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30°6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ）A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ）A . <1>和<2>B . <2>和<3>C . <2>和<4>D . <1>和<4>轴对称作图题专练1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．CB AABMN2、如图1，在一条河的同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M ，使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；若A 与B 在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M 的位置？2.1如图，在一条河的同岸有两个村庄A 、B ，两村要在河上合修一座桥到对岸去，桥修在什么地方，可以使两个村庄到桥的距离之和最短？3、如图所示，P 和Q 为△ABC 边AB 与AC 上两点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最小。

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用坐标表示轴对称重难点突破
1．探索点关于x轴或y轴对称点的坐标的变化规律
突破建议：
探索点关于x轴或y轴对称点的坐标的变化规律，关键是教师在教学的过程中，要给学生足够的时间和空间，让学生都动起来，先通过画已知点关于x轴的对称点，得出对称点的坐标，并把得到的点的坐标填在表格中，从中发现并总结规律．有条件的，也可以利用几何画板，多找一些点，画出这些点的对称点，测量它们的坐标，发现规律．点关于y轴对称点的坐标的变化规律，由学生自己动手，按前面的方法进行探究，并自己归纳出规律，让学生感受数学的类比思想，教给学生自学的学习方法，最后由师生一起梳理知识，加深理解．2．理解点关于x轴或y轴对称点的坐标的变化规律
突破建议：
学生通过点的横、纵坐标的对比，是很容易发现点关于x轴或y轴对称点的坐标的变化规律的．但对于为什么存在这样的规律，理解起来有一定的难度，教师要适时启发引导．可设计如下问题：
（1）关于x轴对称的点在哪几个象限？它的横、纵坐标的符号有什么特征？
（2）关于y轴对称的点在哪几个象限？它的横、纵坐标的符号有什么特征？
（3）一个点与它关于x轴或y轴的对称点到x轴或y轴的距离有什么关系？
通过以上三个问题的思考、讨论、交流，引导学生从平面直角坐标系各象限的坐标符号特征和轴对称的性质两个方面，切实理解点关于x轴或y轴对称点的坐标的变化规律．
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人教版数学八年级上册《第十三章轴对称》期末高分突破卷附解析教师版一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故本选项不合题意；B.是轴对称图形，故本选项不合题意；C.是轴对称图形，故本选项不合题意；D.不是轴对称图形，故本选项符合题意.故答案为：D.【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形. 2．（3分）点M(1，2)关于x轴对称点的坐标为()A．(-1，2)B．(-1，-2)C．(2，-1)D．(1，-2)【答案】D【解析】【解答】解：点M(1，2)关于x轴对称点的坐标为（1，-2）.故答案为：D【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得答案.3．（3分）已知图形A全部在x轴的上方，如果将图形A上的所有点的纵坐标都乘以－1，横坐标不变得到图形B，则（）A．两个图形关于x轴对称B．两个图形关于y轴对称C．两个图形重合D．两个图形不关于任何一条直线对称【答案】A【解析】【解答】解：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.纵坐标都乘以−1，即纵坐标变为相反数，横坐标不变，符合关于x轴对称.故答案为：A.【分析】由题意可得图形A、图形B上的点的坐标满足：纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此判断.4．（3分）下列说法正确的有（）A．全等的两个三角形一定关于某直线对称B．关于某直线对称的两个图形一定能完全重合C．轴对称图形的对称轴一定只有一条D．等腰三角形的对称轴是底边上的高线【答案】B【解析】【解答】解：A、全等的两个三角形不一定关于某直线对称，原说法错误，故本选项不合题意；B、关于某直线对称的两个图形一定能完全重合，说法正确，故本选项符合题意；C、轴对称图形的对称轴不一定只有一条，可以有多条，如圆有无数条对称轴，原说法错误，故本选项不合题意；D、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，故本选项不合题意.故答案为：B.【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，折迹所在的直线，就是对称轴，据此可判断C、D；把一个图形沿着某一条直线折叠，能与另一个图形完全重合的两个图形就关于这条直线对称，据此可判断A、B.5．（3分）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．10.5B．15C．12D．18【答案】B【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵△ACD的周长为AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=9+6=15.故答案为：B【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得BD=CD；再证明△ACD的周长为AB+AC，代入计算可求解.6．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF= DE，则∠EFD=（）A．10∘B．15∘C．30∘D．25∘【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．∵∠ACB=∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG=60°．∵CG=CD，∴∠CGD=∠CDG=30°．∵∠CDG=∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E=30°．∵DF=DE，∴∠DFE=∠E=15°．故答案为：B.【分析】根据等边三角形的性质可得△ACB=60°，由等腰三角形的性质可得△CGD=△CDG，△DFE=△E，结合外角的性质可得△CGD+△CDG=2△GDC=△ACB、△DFE+△E=2△EFD=△GDC，据此计算.7．（3分）如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=15cm．AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．EF的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解析】【解答】解：连接AE，AF，∵AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；AC的垂直平分线交AC于点G，∴BE=AE，CF=AF，∴∠EAB=∠B，∠CAF=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAE+∠CAF=60°，∠AEF=∠AFE=60°，∴ΔAEF是等边三角形，∴AE=AF=EF，∴BE=EF=FC，∵BC=15=BE+EF+FC=3EF，∴EF=5．故答案为：C．【分析】连接AE，AF，先证明ΔAEF是等边三角形，可得AE=AF=EF，再结合BC=15=BE+ EF+FC=3EF，求出EF=5即可。

《轴对称》重难点突破训练一、填空题（每题2分，共32分）1．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有 条．2．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与其他三个．．不同？请指出这个图形，并说明理由．答：这个图形是： （写出序号即可），理由是 ．3．等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．4．△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，若AB =3，则AC =__ __．5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD =4，则点D 到AB 的距离是__________．6．判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.7．等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．8．如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，且△ABC 的周长为24，则AB +BD= ；又若∠CAB =60°，则∠CAD = ．9．如图，△ABC 中，EF 垂直平分AB ，GH 垂直平分AC ，设EF 与GH 相交于O ，则点O 与边BC 的关系如何？请用一句话表示： ．B EC DA AB C D BHF AE C G O第8题图 第9题图 第10题图10．如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．11．请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形.12．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．13．等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.14．如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴．第14题图第15题图第16题图15．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图C1的位置，若∠DBC=30º，则∠ABC1=________．16．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35º，∠BCO=30º，那么∠AOB=____ ___．二、解答题（共68分）17．（5分）已知点M)5,2,9(ba+关于x轴对称，求a b的值．3a-，N)3(b18．（5分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠F AB，问：AE与AD是否垂直？为什么？19．（5分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB 于D，交AC于E，AC=9 cm，△BCE的周长为15 cm，求BC的长．20．（5分）如图所示，已知△ABC 和直线MN ．求作：△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线MN 对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）21．（5分）如图，A 、B 两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹． .BA . 22．（5分）如图，在∆ABC 中，AB =AC ，∠A =92︒，延长AB 到D ，使BD =BC ，连结DC ．求∠D 的度数，∠ACD 的度数．23．（5分）有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD =30cm,BE =20cm ，∠BEG =60°，求折痕EF 的长．24．（8分）如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ．（1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数；（2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数；（3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数；A DBCD BC（4）请你根据解题结果归纳出一个结论．25．（6分）如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．26．（7分）已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．27．（7分）等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论． 28．（5分）如图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③．（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中．（2）在折叠后的图形③中，沿直线l 剪掉标有A 的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来．AFBC D E参考答案一、填空题1．2，3 2．④，不是轴对称图形3．75度或30度4．3 5．4 6．（1）（3）（6）是轴对称图形，（2）（4）（5）不是轴对称图形7．5 8．12，30°9．点O到BC两端的距离相等10．1511．正反写的4和6 12．4，6 13．353cm或5cm 14．2、4，215．30度16．130度二、解答题17．9 18．垂直19．BC=6cm 20．略21．略22．22度，66度23．20cm24．（1）90度；（2）90度；（3）90度；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90度25．略26．略27．是等边三角形28．略。

专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图为5×5的方格，其中有A 、B 、C 三点，现有一点P 在其它格点上，且A 、B 、C 、P 为轴对称图形，问共有几个这样的点P （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．【详解】解：如图所示：A 、B 、C 、P 为轴对称图形，共有4个这样的点P ．答案：B ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．2．ABC V 是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y 轴翻折180°，得到A B C ¢¢¢V ，则点B 对应点B ¢的坐标为（ ）A ．(4,3)-B ．(3,2)--C ．(2,5)-D ．(4,3)--【答案】A【分析】根据网格求出点B 坐标，向下平移2个单位，点 B 的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B 1的坐标，再沿y 轴翻折180°，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B ′（-4，3）．【详解】解：∵点B 坐标为（4，5）向下平移2个单位，得点B 对应点的坐标B 1（4，5-2），即B 1（4，3），再沿y 轴翻折180°，点B ′（-4，3），故选择A ．【点睛】本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．3．如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】连接112221,,,,OP P OP PP PP P 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接112221,,,,OP P OP PP PP P ，如图，∵1P 是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是1PP 的垂直平分线，∴1 2.8OP OP ==∵2P 是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是2PP 的垂直平分线，∴2 2.8OP OP ==当12,,P O P 不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<当12,,P O P 在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=故选：B【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键4．如图，BAC Ð的角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点,,D DE AB DF AC ^^，垂足分别为E F 、，若9,10AF BC ==，则ABC V 的周长为（ ）A ．19B ．28C ．29D ．38【答案】B【分析】连接BD 、DC ，证△BDE ≌△CDF ，可得CF=BE ，根据角平分线性质可知AE=AF ，即可求周长．【详解】解：连接BD 、DC ，∵AD 平分∠ BAC ，,DE AB DF AC ^^，∴DE=DF ，∵AD=AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ，∴AE=AF=9，∵DG 垂直平分BC ，∴BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ，ABC V 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．5．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BACÐ=ÐB ．BAD B =∠∠C ．DE DC=D ．AE AC=【答案】B【分析】先通过作图过程可得AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,然后证明△ACD ≌△AED 说明C 、D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项A 正确，最后发现只有AE =EB 时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．6．在 Rt ABC V 中，90C =o ∠， 30A Ð=o ，点P 是边 AC 上一定点，此时分别在边 AB ，BC 上存在点 M ，N 使得PMN V 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．32【答案】B【分析】如图，先作ABC V 分别关于AB ，BC 对称的三角形，以及P 的对称点1P ，2P ，找到PMN V 周长最小的条件即1P 、M 、N 、2P 共线时，进而设1BC =，CP x =，AP x =，BF y =，通过各边关系列出方程，解出x ，即可求得AP PC的值.【详解】如图作ABC V 分别关于AB ，BC 对称，得1ABC V ，1CBA V ，以及P 的对称点1P ，2P ，则2PM P M =，1P N PN =，所以1P 、M 、N 、2P 共线时，PMN V 周长最小。