八年级数学上册重难点及答案解析

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全等三角形的重难点模型(八大题型)(解析版)—八年级数学上册(浙教版)

全等三角形的重难点模型（八大题型）【题型01：平移型】【题型02：翻折型】【题型03：旋转型】【题型04：一线三等角型（三类型）】【题型05：手拉手模型（四大类型）】【题型06：半角模型】【题型07：对角互补模型】【题型08：平行+线段中点构造全等模型】【题型1 平移型】【方法技巧】【典例1】如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．（1）首先根据BE=CF可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB=∠F=85°，在△ABC中根据三角形内角和定理即可求出∠A．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°，∴∠ACB=∠F=85°，∴∠A=180°―∠ACB―∠B=50°．【变式1-1】如图、点B、E、C、F在一条直线上AB=DE，AC=DF，BE=CF．(1)求证：∠A=∠D；(2)求证：AC∥DF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．（1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理SSS得到△ABC≌△DEF，再由三角形全等的性质即可得证；（2）由（1）中△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠F，再由同位角相等两直线平行即可得证．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BC=FE，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE AC =DF BE =CF∴△ABC≌△DEF (SSS)，∴∠A =∠D ；（2）证明：由（1）知△ABC≌△DEF ，∴ ∠ACB =∠F ，∴ AC∥DF ．【变式1-2】如图，在△ABC 和 △DEF 中，边AC ，DE 交于点H ，AB∥DE ，AB =DE ，BC =EF ．(1)若∠B =55°，∠ACB =100°，求∠CHE 的度数；(2)求证：△ABC≌△DEF ．【答案】(1)∠CHE =25°；(2)证明见解析．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出∠A ，再根据平行线的性质得出∠CHE =∠A 即可；（2）根据平行线的性质得出∠B =∠DEF ，求出BC =EF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可；【详解】（1）解：∵∠B =55°，∠ACB =100°，∴∠A =180°―∠B ―∠ACB =25°，∵AB∥DE ，∴∠CHE =∠A =25°；（2）证明：∵AB∥DE ，∴∠B =∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠DEF BC =EF∴△ABC≌△DEF (SAS)．【变式1-3】如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，∠A =∠D =90°，BE =CF ，AC =DF ．求证：∠B =∠DEF ．【答案】答案见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案．根据BE =CF 得到BE +EC =EC +CF 即BC =FE ，之后利用HL 证明Rt △ABC≌Rt △DFE 即可得到答案．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =EC +CF ，即BC =FE ．∵∠A =∠D =90°，则在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，BC =FE AC =DE ，∴Rt △ABC≌Rt △DFE(HL)．∴∠B =∠DEF ．【题型2 翻折型】【方法技巧】【典例2】如图，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．【变式2-1】如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD【答案】证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理AAS 得到△ABC≌△BAD (AAS)，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理AAS 及性质是解决问题的关键．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，∠1=∠2∠C =∠D AB =AB，∴△ABC≌△BAD (AAS)，∴AC =BD ．【变式2-2】如图，已知AD 平分∠BAC ，AB =AC ．求证：△ABD≌△ACD ．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD ，再根据边角边可证明△ABD≌△ACD ．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，∵AB =AC ，∠BAD =∠CAD ，AD =AD ，∴△ABD≌△ACD (SAS)．【变式2-3】如图，AB =AC ，BO =CO ，求证：∠ADC =∠AEB ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA ，证明△AOB≌△AOC (SSS)得出∠B =∠C ，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA ，在△AOB 和△AOC 中，AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB≌△AOC (SSS)，∴∠B =∠C ，∵∠DOB =∠EOC ，∴∠B +∠DOB =∠C +∠EOC ，∴∠ADC =∠AEB ．【题型3旋转型】【方法技巧】【典例3】如图，在△ABC 和△AEF 中，点E 在BC 边上，∠C ＝∠F ，AC ＝AF ，∠CAF ＝∠BAE ，EF 与AC 交于点G ．（1）试说明：△ABC ≌△AEF ；（2）若∠B ＝55°，∠C ＝20°，求∠EAC 的度数．【答案】（1）见解答；（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（ASA）；（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝55°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB＝AD．【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE．（1）求证：△ABC≌△DEA；（2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD＝105°．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵，∴△ABC≌△DEA（AAS）．（2）解：由（1）知△ABC≌△DEA（AAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝30°，∴，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+75°＝105°．∴∠BCD＝105°．【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．【题型4 一线三等角型】【方法技巧】模型一一线三垂直如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

部编数学八年级上册专题03多边形及其内角和重难点专练(解析版)(人教版)含答案

专题03多边形及其内角和重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·广州大学附属中学八年级期中）如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠F+∠E+∠D =a，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P度数为（）A．11802a-o B．13602a-o C．11802a-o D．13602a-o【答案】A【分析】先根据多边形的内角和公式求出六边形的内角和，再用α表示出∠ABC+∠BCD，进一步根据PB、PC分别平分∠ABC与∠BCD即可表示出∠PBC+∠PCB，然后在△PBC中利用三角形的内角和定理即可得出答案.【详解】解：六边形内角和=(6－2)×180°=720°，∴∠ABC+∠BCD =720°－(∠A+∠F+∠E+∠D )=720°－a，∵∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，∴∠PBC+∠PCB=12（720°－α）=360°－12α，∴∠P=180° －（∠PBC+∠PCB）=180°－（360°－12α）=12α－180°，故答案为A.【点睛】本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义和三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式和三角形的内角和定理以及整体代入的思想方法是解题的关键. 2．（2020·陕西八年级期中）如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（）A ．36°B ．54°C ．60°D ．72°【答案】B【分析】先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG 中，利用四边形内角和求出∠G.【详解】∵正五边形外角和为360°，∴外角360==725Ðoo EDF ，∴内角18072108Ð=Ð=Ð=-=o o o ABC C CDE ，∵BG 平分∠ABC ，DG 平分正五边形的外角∠EDF ∴1=ABC=542ÐÐo CBG ， 1==362ÐÐoEDG EDF 在四边形BCDG 中，G=360Ð+Ð+Ð+Ð+ÐoCBG C CDE EDF∴()()G=360=3605410810836=54Ð-Ð+Ð+Ð+Ð-+++o o o o o o o CBG C CDE EDF 故选B.【点睛】本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.3．（2021·湖北八年级期末）一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是()A ．五边形B ．六边形C ．八边形D ．十二边形【答案】C【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理列出方程即可求解．【详解】解：设多边形的边数是n ，则（n-2）•180°=3×360°，解得：n=8．故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，熟知定理是关键．4．（2021·河南八年级期末）如图，在五边形ABCDE 中，A B E a Ð+Ð+Ð=，DP 、CP 分别平分EDC Ð、BCD Ð，则P Ð的度数是（）A ．1902a -B ．1902a °+C ．12aD ．15402a °-【答案】A【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE 的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC 与∠PCD 的角度和，进一步求得∠P 的度数．【详解】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，∴∠BCD+∠CDE=540°-α，∵∠BCD 、∠CDE 的平分线在五边形内相交于点O ，∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE ）=270°-12α，∴∠P=180°-（270°-12α）=12α-90°．故选：A ．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．5．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（）A ．1440°B ．1080°C ．900°D ．720°【答案】A【分析】由正多边形的外角为36°，可求出这个多边形的边数，再根据内角和计算公式可求出内角和．【详解】解：∵一个正多边形的外角等于36°，∴这个正多边形是正十边形，∴内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和、内角和，解题关键是理解和掌握多边形的外角和、内角和的计算方法．6．（2021·河北八年级期末）如图1,2,3ÐÐÐ是正五边形ABCDE 的三个外角，若230,A B Ð+Ð=°则123Ð+Ð+Ð=（）A ．140°B ．180°C ．230°D ．320°【答案】C【分析】先求出五边形的内角和，结合230A B Ð+Ð=°，即可求出答案.【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：5218540(0)-´°=°，∵123(180)(180)(180)BCD CDE AED Ð+Ð+Ð=°-Ð+°-Ð+°-Ð540()BCD CDE AED =°-Ð+Ð+Ð，∵540()BCD CDE AED A B Ð+Ð+Ð=°-Ð+Ð，∴123540(540230)230Ð+Ð+Ð=°-°-°=°；故选：C.【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题.7．（2021·山东八年级期末）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B【分析】先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．【详解】解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n 边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线．8．（2021·湖北八年级期中）五边形对角线的条数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】根据三角形以及对角线的概念，不难发现：从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形，故从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．【详解】从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，对角线的总数是(3)2n n -；可得五边形的对角线条数为5(53)=52´-，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是n 边形从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．9．（2021·山东八年级期末）如图，在五边形ABCDE 中，320A B E Ð+Ð+Ð=°，DP ，CP 分别平分EDC Ð，BCD Ð，则P Ð的度数（）A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°【答案】A【分析】先根据五边形内角和求得EDC BCD Ð+Ð，再根据角平分线求得PDC PCD Ð+Ð，最后根据三角形内角和求得P Ð的度数．【详解】解：在五边形ABCDE 中，内角和为(52)180=540-°°g，Q 320A B E Ð+Ð+Ð=°，220EDC BCD \Ð+Ð=°，又DP Q 、CP 分别平分EDC Ð、BCD Ð，110PDC PCD \Ð+Ð=°，CDP \D 中，180()18011070P PDC PCD Ð=°-Ð+Ð=°-°=°．故选：A【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和(2)180n =-°g (3n …且n 为整数）．10．（2021·广东八年级期末）如图，已知ABC V 中，90C Ð=°，若沿图中虚线剪去C Ð，则12Ð+Ð等于（）A ．90°B ．135°C ．270°D ．315°【答案】C【分析】如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得13C Ð=Ð+Ð，再根据邻补角的定义如图，由三角形的外角性质得：13903C Ð=Ð+Ð=°+Ð，23180Ð+Ð=°Q ，12290180270903Ð+Ð=+Ð=°+°=\°+Ð°，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、邻补角，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．11．（2020·山东八年级期末）若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【详解】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选C ．考点：多边形内角与外角．12．（2021·全国八年级）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB 的角平分线与∠ABC 的邻补角的平分线相交于点P ，且∠D +∠C ＝210°，则∠P ＝（）A ．10°B ．15°C ．30°D ．40°利用四边形内角和是360°可以求得150DAB ABC Ð+Ð=°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 PAB ABP Ð+Ð的度数，所以根据ABP D 的内角和定理求得P Ð的度数即可．【详解】解：210D C Ð+Ð=°Q ，360DAB ABC C D Ð+Ð+Ð+Ð=°，150DAB ABC \Ð+Ð=°．又DAB ÐQ 的角平分线与ABC Ð的外角平分线相交于点P ，111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC \Ð+Ð=Ð+Ð+°-Ð=°+Ð+Ð=°，180()15P PAB ABP \Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．13．（2021·浙江杭州市·八年级期中）下列关于多边形的说法不正确的是（）A ．内角和外角和相等的多边形是四边形B ．十边形的内角和为1440°C ．多边形的内角中最多有四个直角D ．十边形共有40条对角线【答案】D【分析】根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．【详解】A 、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；B 、十边形的内角和为()102180-´°=1440°，正确；C 、多边形的内角中最多有四个直角，正确；D 、十边形共有()101032´-=35条对角线，故错误；故选：D ．【点睛】本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质．14．（2021·全国八年级专题练习）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2360720´=°o ,设这个多边形是n 边形，内角和是()n 2180-×°，这样就得到一个关于n 的方程，从而求出边数n 的值.【详解】解：设这个多边形是n 边形，根据题意，得()n 21802360-´°=´o ，解得：n 6=．即这个多边形为六边形．故选：C.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.15．（2021·全国八年级）若过n 边形的一个顶点的所有对角线正好将该n 边形分成8个三角形，则n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】D【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n 的值．【详解】解：经过n 边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成()2n -个三角形，由题意，得28n -=，解得10n =．故选D ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n 的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．16．（2021·全国八年级）某个人从多边形一个顶点出发引对角线可以把这个多边形分成八个三角形，这个多边形是（）边形A．六B．八C．十D．十一【答案】C【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n 的值．【详解】根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，∴n−2＝8，即n＝10．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．17．（2021·河南）一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n﹣2）＝360×4，解得：n＝10，故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．18．（2021·山东八年级期末）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（）A ．90°B ．108°C ．120°D ．135°【答案】B【分析】先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．【详解】解：正五边形的内角和=5218540(0)-´°=°，∴∠BAE=5401085=°°，故选：B ．【点睛】此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．19．（2021·山东威海市·）一个多边形的每个外角都等于相邻内角的13，这个多边形为（）A ．六边形B ．八边形C ．十边形D ．十二边形【答案】B【分析】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，列得3x+x=180°，求得x ，再用外角和360°除以x 即可得到答案．【详解】设一个外角是x ，则一个内角是3x ，3x+x=180°，解得：x=45°，由于多边形的外角和为360°，则边数为360°÷45°=8，故选：B ．【点睛】此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．20．（2021·安徽八年级期末）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以作（）条对角线．A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.【详解】根据题意,得(n-2)×180=1260，解得n=9，∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：n-3=9-3=6.故选C.【点睛】本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.21．（2021·湖北黄冈市·八年级期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九【答案】C【分析】根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3．解得n＝8．故选：C．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．22．（2021·内蒙古八年级期末）一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（）A．1440°B．1080°C．720°D．360°【答案】C【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．23．（2021·广东九年级其他模拟）正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形【答案】D【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1440，即可求得n=10．【详解】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形是正十边形．故选：D．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°．24．（专题1.6平行四边形【知识梳理】-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版））如图，1,2,3ÐÐÐ是五边形ABCDE 的3个外角，若123210Ð+Ð+Ð=°，则A B Ð+Ð=（）A ．150°B ．180°C ．210°D ．310°【答案】C【分析】根据多边形内角和()2180n -´°，结合计算即可．【详解】解：(52)180A B AED EDC BCD Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=-´°Q ，540A B Ð+Ð+°-Q (123)540Ð+Ð+Ð=°，123210A B \Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，故选：C ．【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式()2180n -´°是解题关键．25．（专项复习06第六章平行四边形-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（北师大版，广东专用））下列说法中正确的是（）A ．两点之间，直线最短B ．由两条射线组成的图形叫做角C ．若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形D ．对于线段AC 与BC ，若AC BC =，则点C 是线段AB 的中点【答案】C【分析】根据两点之间线段最短，角的定义，多边形的对角线以及线段中点的定义对各小题分析判断即可得解【详解】A、两点之间，线段最短，故本选项不合题意；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故本选项不合题意；C、若过多边形的一个顶点可以画5条对角线，则这个多边形是八边形，故本选项符合题意；=，则点C是线段AB的中点，错误，A、B、C三点不一定共D、若线段AC BC线，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了两点之间线段最短，角的定义，线段中点的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．26．（2021·河北八年级期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案．【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°，①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件，②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件，③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件，④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件，∴符合条件的剪法是①③，本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．27．（2018·全国八年级课时练习）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830o，则该多边形的边数是( )A．7B．8C．7或8D．无法确定【答案】C【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数．【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n．则（n-2）×180=830+x，即（n-2）×180=4×180+110+x，因此x=70，n=7或x=250，n=8．故该多边形的边数是7或8．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．28．（2018·浙江八年级期末）在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（）A．化归思想B．分类讨论C．方程思想D．数形结合思想【答案】A【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数）的推导过程即可解答．【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n为整数），该公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和，体现了化归思想．本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键. 29．（2021·全国八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．11B．12C．11或12D．10或11或12【答案】D【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：故选D．【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．30．（2021·重庆八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平V的面积为面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图ABC75，则图中阴影部分的面积是（）A ．25B ．26C ．30D ．39【答案】B【分析】正ABC n 中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ABC n 全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13678´=（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：264104´=（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5630´=（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：781043013225+++=（个），∴图中阴影部分面积为：787526225´=，故选：B ．【点睛】题目主要考察创新思维，将其进行分类分解是解题难点．二、填空题31．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝_____．【答案】360°【分析】利用三角形外角性质可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，三式相加易得∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．【详解】如图所示，∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，∴∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为360°．【点睛】此题考查多边形内角与外角、三角形的外角性质，解题关键在于掌握三角形的外角性质. 32．（2021·河南安阳市·八年级期末）一个n边形的每个内角都等于140°，则n＝_____．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．【详解】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，解得n＝9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理．熟练掌握n边形的内角和为：180°•（n-2）是关键．33．（2021·云南八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为________【答案】1080°【分析】利用外角和求出边数，再根据三角形的内角和公式求出答案.【详解】∵任意多边形的外角和是360°，多边形的每一个外角都等于45°，∴此多边形的边数=360845=，∴这个多边形的内角和=180(82)1080´-=o o ，故答案为：1080°.【点睛】此题考查多边形的内角和公式、外角和，根据外角计算多边形的边数的方法，熟记多边形的内角和公式和外角和是解题的关键.34．（2021·浙江八年级期末）一个正n 边形的一个外角等于72°，则n 的值等于_____．【答案】5．【分析】可以利用多边形的外角和定理求解．【详解】解：∵正n 边形的一个外角为72°，∴n 的值为360°÷72°＝5．故答案为：5【点睛】本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．35．（2021·河南郑州市·八年级期末）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度．【答案】36【分析】首先设此正多边形为n 边形，根据题意得：180°（n ﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，解得：n=10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键. 36．（2021·广州市番禺区新英才中英文学校八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是__．【答案】12【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．【详解】∵360°÷30°=12，∴这个多边形为十二边形，故答案为：12．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．关键是明确多边形的外角和为360°．37．（2021·湖北八年级期末）多边形每一个内角都等于144°，则从此多边形一个顶点出发的对角线有______________条．【答案】7．【分析】根据多边形内角和的公式先求出多边形的边数，再根据多边形对角线的条数与边数的关系求出从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数．【详解】解：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°，根据题意，得（n-2）•180°=144°•n，解得n=10．∴从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数=10-3=7条．故答案为：7．本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，同时考查了多边形对角线的条数与边数的关系．38．（2021·湖北八年级期末）如图，小亮从点A出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°…… 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，共走了_____米．【答案】180．【分析】根据多边形的外角和=360°求解即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴边数=36030oo=12，即12×15米=180米，故答案为：180．【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．39．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．【答案】1800【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案．【详解】设多边形边数为n，由题意得：n-3=9，n=12，故答案为：1800．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．40．（2021·内蒙古呼和浩特市·八年级期末）过n边形的一个顶点有9条对角线，则n边形的内角和为______．【答案】1800°【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．【详解】解：由题意得：n-3=9，解得n=12，则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，故答案为：1800°．【点睛】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．41．（2021·北京朝阳区·八年级期末）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．【答案】④【分析】四边形的内角和是360°，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360°；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．C D E Ð+Ð+Ð的度数为__________．【答案】360°【分析】根据//AE BC 求出180A B Ð+Ð=°，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B Ð+Ð=°，∵五边形内角和=5218540(0)-´°=°，∴C D E Ð+Ð+Ð=540180°-°=360°，故答案为：360°．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．43．（2021·湖北）正五边形每个内角的度数是_______．【答案】108°【分析】先求出正n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为2180()n -´°，∴正五边形的内角和是5218540(0)-´°=°，则每个内角的度数是5405108°¸=°．故答案为：108°【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．44．（2021·山东八年级期末）如图，小明从A 点出发，沿直线前进8米后向左转45°，程为____米．【答案】64【分析】根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．【详解】解：设边数为n，多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，故答案为：64．【点睛】此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．45．（2021·上海八年级期末）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是__________．【答案】4【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意（n-2）•180°=360°，解得n=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．46．（2021·贵州八年级期末）一个正多边形的内角和为720°，则这个多边形的外角的度数为______．【答案】60°。

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解：四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

三角形重难点题型汇编(十一大题型)(解析版)—25学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》(人教版)

三角形重难点题型汇编（十一大题型）【题型01：三角形的三边关系】【题型02：三角形中线与面积问题】【题型03：三角形中线与周长问题】【题型04：根据三角形的三边关系化简】【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】【题型08：多边形的对角线】【题型09：截角问题】【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】【题型01：三角形的三边关系】1．已知三角形的两边长分别为4cm和7cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．12cm B．11cm C．6cm D．3cm【答案】C【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得7―4<x<7+4，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为x cm，由题意可得：7―4<x<7+4，即3cm<x<11cm，故选：C．2．若三角形三边长为4 ，2x+1，11 ，则x 的取值范围是（）A．3<x<6B．1<x<3C．1<x<5D．3<x<7【答案】D【分析】本题考查三角形三条边的关系和一元一次不等式的解法，根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，列不等式求解即可得出答案．【详解】解：根据三角形三边关系可得出11―4<2x+1<11+4，解得：3<x<7，故选：D．3．在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，则AB边的取值范围是（）A．1<AB<4B．5<AB<10C．4<AB<8D．4<AB<10【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设AB=AC=x，由三角形的三边关系定理得出x>5，再由边长为正数得出x<10，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键．【详解】解：设AB=AC=x，∵在△ABC中，AB=AC，若其周长为20，∴BC=20―2x，∵AB+AC>BC，即x+x>20―2x，解得：x>5，又∵BC=20―2x>0，解得：x<10，∴5<x<10，即5<AB<10．故选：B．4．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有个．【答案】5【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．【详解】解：设第三边的长为x，则5―3<x<5+3，所以2<x<8．∵x为整数，∴x可取3，4，5，6，7．∴这样的三角形共有5个，故答案为：5．5．一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为．【题型02：三角形中线与面积问题】6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是（）A．1B．2C．2.5D．3【答案】B【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．根据中线将三角形面积分为相等的两部分即可求解．【详解】∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4，∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半∴△ADC的面积是2故选：B．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积为（）A．3B．4C．5D．68．如图，已知AD和DE分别是△ABC和△ABD的中线，若△ABC的面积是8，则△BDE的面积是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A10．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为96，则△BEF的面积是（）A．48B．32C．24D．1611．如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A′、B′、C′顺次连接成△A′B′C′，若△ABC的面积是5，则△A′B′C′的面积是．由题意得：AB=AA′，BC∴S△AA′B′=S△ABB′=S△ABC=5，∴S△A′B′C′=S△AA′B′+S△ABB【题型03：三角形中线与周长问题】12．如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB―AC的值为（）A．5B．11C．16D．2713．如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为cm．【答案】6【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出AM=BM，由△BCM 的周长比△ACM的周长大2cm，得BC―AC=2，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．【详解】∵CM是△ABC的中线，∴AM=BM，由△BCM的周长为BC+BM+MC，△ACM的周长AC+AM+MC，∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，∴BC+BM+MC―(AC+AM+MC)=BC―AC=2，∵BC=8cm，∴AC=6cm，故答案为：6．14．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB=7，AC=10，△ACE的周长是25，则△ABE 的周长是．【答案】22【分析】根据点E是BC的中点，得到CE=BE，根据AC=10，△ACE的周长是25，得到AE+CE=25―10=15继而得到AE+BE=15，结合AB+AE+BE=15+7=22解答即可．本题考查了中点的意义，三角形周长的计算，熟练掌握中点和三角形周长的意义是解题的关键．【详解】解：∵△ACE的周长是25，，∴AE+CE+AC=25，∵AC=10，∴AE+CE=25―10=15，∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴△ABE的周长AB+AE+BE=15+7=22，故答案为：22．15．如图，E是边BC的中点，若AB=4，△ACE的周长比△AEB的周长多1，则AC=．【答案】5【分析】本题考查了三角形的中线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．先根据三角形中线的定义可得BE=CE，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：∵E是边BC的中点，∴BE=CE，∵△ACE的周长比△AEB的周长多1，且AB=4，∴AC+AE+CE―(AB+AE+BE)=1，即AC―4=1，∴AC=5，故答案为：5．16．如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，AD是中线．若△ABD的周长为19，则△ACD 的周长为．【答案】17【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长公式，根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差=AB―AC，掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键．【详解】解：∵AD为中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长为：AB+AD+BD，△ACD的周长为：AC+AD+CD，∴△ABD与△ACD的周长差为：AB―AC=9―7=2，∵△ABD的周长为19，∴△ACD的周长为17，故答案为：17．【题型04：根据三角形的三边关系化简】17．已知△ABC三边分别是a、b、c，化简|a+b―c|―|c―a+b|+|b―a―c|=【答案】3a―b―c【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b>c，a+c>b，c+b>a，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b>c，a+c>b，c+b>a∴a+b―c>0，b―a―c<0，c―a+b>0，∴|a+b―c|―|c―a+b|+|b―a―c|=a+b―c―(c―a+b)+(―b+a+c)=a+b―c―c+a―b―b+a+c=3a―b―c故答案为：3a―b―c．18．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a―b―c|―|b―a―c|=．【答案】2b―2a【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，a<b+c，b<a+c，进而去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：a、b、c是三角形的三边长，∴a<b+c，b<a+c，∴a―(b+c)=a―b―c<0，b―(a+c)=b―a―c<0，∴|a―b―c|―|b―a―c|=b+c―a―(a+c―b)=b+c―a―a―c+b=2b―2a，故答案为：2b―2a．19．已知a、b、c是一个三角形的三边长．(1)若a=3，b=5，则c的取值范围是_______．(2)试化简：|b+c―a|+|b―c―a|+|c―a―b|．【答案】(1)2<c<8(2)a+b+c【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数．（1）由三角形三边关系定理即可得到答案；（2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简．【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：5―3<c<3+5，∴2<c<8．故答案为：2<c<8．（2）解：∵b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴|b+c―a|+|b―c―a|+|c―a―b|=b+c―a+a+c―b+a+b―c=a+b+c．20．已知△ABC的三边长是a，b，c．(1)若a=6，b=8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值；(2)化简|a+b―c|+|c―a―b|．【答案】(1)c=4或6(2)2a+2b―2c【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出2<c<8，即可得出答案；（2）由三角形三边关系得a+b>c，再利用绝对值的性质化简即可．【详解】（1）解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a=6，b=8，∴8―6<c<8+6，即2<c<14，∵三角形的周长是小于22的偶数，∴2<c<8，∴c=4或6；（2）解：由三角形三边关系得：a+b>c，∴a+b―c>0，c―a―b=c―(a+b)<0，∴|a+b―c|+|c―a―b|=a+b―c―(c―a―b)=a+b―c―c+a+b=2a+2b―2c．21．已知a，b，c是△ABC三边的长．(1)若a，b，c满足|a―b|+|b―c|=0，试判断△ABC的形状；(2)化简|a+b―c|+|a―b―c|+|c―a―b|+|b―a―c|．【答案】(1)等边三角形(2)2a+2b【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；（1）根据非负数的性质，可得出a=b=c，进而得出结论；（2）利用三角形的三边关系得到a―b―c<0，b―c―a<0，c―a―b<0，然后去绝对值符号后化简即可．【详解】（1）∵|a―b|+|b―c|＝0，∴a―b=0且b―c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴a―b―c<0，b―a―c<0，c―a―b<0，∴|a+b―c|+|a―b―c|+|c―a―b|+|b―a―c|=a+b―c―a+b+c―c+a+b―b+a+c=2a+2b．【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】22．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F．(1)求∠BAE的度数；(2)求∠ADF的度数．23．如图，△ABC中，∠B<∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，(1)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数；(2)猜想：∠DAE与∠B、∠C有什么关系，并说明理由．24．△ABC中，∠C>∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．(1)当∠B=24°，∠C=68°时，求∠DAE的度数；(2)根据第（1）问得到的启示，∠C―∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由．25．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC= 60°，∠C=70°．(1)求∠EAD的度数；(2)求∠BOA的度数．【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】26．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点E，BE交AD于点O．若∠CBD=31°，则∠BOD的度数为（）A．118°B．111°C．101°D．62°27．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】A【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出∠B+∠C=70°，由折叠的性质可得：∠B=∠DAE，∠C=∠CAM，从而得出∠BAD+∠CAM=70°，即可得出答案．【详解】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°―∠BAC=70°，由折叠的性质可得：∠B=∠DAE，∠C=∠CAM，∴∠BAD+∠CAM=70°，∵∠BAD+∠CAM+∠DAM=110°，∴∠DAM=40°，故选：A．28．如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，点C落在点C′的位置，若∠C=30°，则α+β的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题）三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到∠C′=∠C,∠CED=∠C′ED,∠CDE=∠C′DE，再利用三角形内角和定理及平角的定义即可求出所求α+β的度数．【详解】解：由折叠的性质得：∠C′=∠C,∠CED=∠C′ED,∠CDE=∠C′DE，∴∠C′ED+∠C′DE=180°―∠C′=150°，∴∠CED+∠C′ED+∠CDE+∠C′DE=300°，∵∠α+∠β+∠C′ED+∠CED+∠C′DE+∠CDE=360°，∴α+β=360°―300°=60°，故选：D．29．如图，将△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠F=度．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在B边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠CDE度数为．【答案】67°/67度【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．【详解】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED，∵∠A=22°，∴∠B=90°―22°=68°，∴∠CED=∠B=68°，∴∠CDE=180°―45°―68°=67°，故答案为：67°．31．如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B=∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB 边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为°．32．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠DFG=70°，则∠BEF的度数为．33．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，连接CD，将△BDC沿CD对折得到△EDC，点E恰好在AC上，若∠ADE=20°，则∠B=．【答案】55°/55度【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出∠BCD,∠BDC 的度数，进而求出∠B的度数即可．【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】34．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数.【答案】(1)2(2)18°或54°【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）解：∵∠C＝36°，35．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的1，我们称这两个角互为“友爱角”，2这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B 互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”(1)如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B），∠ACB=90°．①求∠A、∠B的度数．②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数．【答案】(1)①∠A=60°，∠B=30°；②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”，理由见解析(2)33°或38°∴∠A+3∠ACD=180°，即3∠ACD=114°，∴∠ACD=38°，综上所述，∠ACD的度数为33°或38°．36．【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：α=50°，β=20°，α―β=30°，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”．(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2=90°，则∠1=．(2)如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD 分别交AC，CM于D、E两点①若∠A>∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数；②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，∠A的度数为多少？【题型08：多边形的对角线】37．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（）A．六B．七C．八D．九【答案】B【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作(n―3)条对角线是解题关键．过n边形的一个顶点可以作(n―3)条对角线，据此解答即可．【详解】解：设多边形的边数是n，由题意得：n―3=4，∴n=7．∴这个多边形的边数是七．故选：B．38．从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（）A．7B．8C．9D．1039．某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【分析】此题考查了多边形对角线条数，n边形从一个顶点出发可以引出(n―3)条对角线，把多边形分成(n―2)个三角形，据此作答即可.【详解】解：设这个多边形的边数是n，则n―2=10，解得n=12，即这个多边形的边数是12，故选：B.40．从多边形的一个顶点出发，可以作8条对角线，则该多边形的边数是（）A．九B．十C．十一D．十二【答案】C【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出(n―3)条对角线求解即可．【详解】解：设多边形边数为n，由题意得：n―3=8，∴n=11，故选：C．【题型09：截角问题】41．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（）A．5B．3或4C．4或5D．3或4或5∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；故选D．【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，42．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8【答案】C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．43．一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是()A．7B．10C．14D．15【答案】D【分析】根据多边形内角和公式可得：(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度，可求得结果.【详解】因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15故选D【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.44．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为．【答案】5或6或7【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图所示：六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．故答案为：5或6或7．【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】45．若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形的内角和度数为（）A．540°B．720°C．1080°D．1440°【答案】C【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式．先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【详解】解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，则这个多边形是正八边形，所以该正多边形的内角和为(8―2)×180°=1080°．故选：C．46．一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是（）A．正五边形B．正十边形C．正十二边形D．不存在47．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：(n―2)⋅180°=360°×3，解得：n=8，故这个多边形的边数是8，故选：C．48．如图所示，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的和为240°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°∵任意多边形的外角和均为360°且∠1，∠2，∠3，∠4的和为∴∠CDO+∠HCD+∠OBH=即：∠OHB+∠OBH=120°49．一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是．【答案】8【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍，即可得方程：x+3x=180，解此方程即可求得答案．此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．【详解】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍，∴这个正多边形的一个内角为：3x°，∴x+3x=180，解得：x=45，∴这个正多边形的边数是：360°÷45°=8．故答案为：8．50．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】51．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点O出发，沿直线前进3米后左转18°，再沿直线前进3米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（）A．18米B．54米C．60米D．90米【答案】C【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案．【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，该正多边形的边数为：360°÷18°=20，∴他需要走20次才会回到原来的起点，即一共走了20×3=60（米）．故选：C．52．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走5m，然后左转20°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人一共走了（）A．45m B．60m C．90m D．120m53．如图，蚂蚁先从点A出发前进6cm，向右转72°，再前进6cm，又向右转72°，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了cm．【答案】30【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是360°，正多边形的每一个外角都相等．由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】解：∵蚂蚁从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷72°=5，则一共走了5×6=30（厘米）．故答案为：30．54．小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图1所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若∠1=60°，则∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是．。

专题15.3分式方程-重难点题型(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(人教版)

专题15.3分式方程-重难点题型【人教版】【知识点1分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。

（3）分式方程解方程的步骤：①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程②解整式方程③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程④作答【题型1解分式方程（基本法）】【例1】（2021春•碑林区校级月考）解方程：（1）32−13K1=56K2；（2）K1−3(K1)(r2)=1．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，去括号得：9x﹣3﹣2＝5，移项合并得：9x＝10，解得：x=109，检验：把x=109代入得：2（3x﹣1）≠0，∴x=109是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-1】（2021•潍坊）若x＜2，且1K2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝1．【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：1K2+|x﹣2|+x﹣1＝0，∵x＜2，∴方程为1K2+2﹣x+x﹣1＝0，即1K2=−1，方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．【变式1-2】（2021•宜都市一模）解方程：3+6K1−r52−=0．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，去括号得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，移项合并得：8x＝8，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，∴x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2021•北碚区校级开学）解分式方程：（1）3K5−1=2K1K5．（2）122−4−K1r2=6−K2．【分析】（1）方程两边同乘（x﹣5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5），得3﹣x+5＝2x﹣1，解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的解；（2）方程两边同乘（x﹣5）（x+2），得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），解得x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．【题型2解分式方程（新定义问题）】【例2】（2021春•宝安区期末）定义新运算：a#b=12−B，例如2#3=132−3×2=13，则方程x#2＝1的解为x=32．【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可．【解答】解：根据题意得，x#2=122−2=1，即22﹣2x﹣1＝0，解得x=32，经检验，x3是原方程的解，故答案为：32．【变式2-1】（2021•怀化）定义a⊗b＝2a+1，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（）A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：3⊗x＝2×3+1，4⊗2＝2×4+12，∵3⊗x＝4⊗2，∴2×3+1=2×4+12，解得：x=25，经检验，x=25是分式方程的根．故选：B．＞，如果5※x＝2，那么x的值为【变式2-2】（2021春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b=＜4或10．【分析】根据定义运算，分5＞x或5＜x两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：①当5＞x时，25−=2，去分母，可得：2＝2（5﹣x），解得：x＝4，检验：当x＝4时，5﹣x≠0，且符合题意，∴x＝4是原方程的解；②当5＜x时，K5=2，去分母，得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，检验：当x＝10时，x﹣5≠0，且符合题意，∴x＝10是原方程的解；综上，x的值为4或10，故答案为：4或10．【变式2-3】（2021秋•信都区校级月考）运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x=1．【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：2K1−11−=1，去分母得：2+1＝x﹣1，解得：x＝4，当x＝4时，x﹣1＝3≠0，∴x＝4是分式方程的解，故x的值为4．【知识点2分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3裂项法解分式方程】【例3】观察下面的变形规律：11×2=11−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1or1)=1−1r1．（2）说明你猜想的正确性．（3）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019=20182019．（4）解关于n的分式方程11×2+12×3+13×4+⋯+1or1)=r7r9．【分析】（1）由题意可得1or1)=1−1r1；（2）利用通分即可证明等式成立；（3）原式＝11111111，再计算即可求解；（4）方程可以化简为1−1r1=r7r9，再解分式方程即可求解．【解答】解：（1）1or1)=1−1r1，故答案为：1−1r1；（2）1−1r1=r1or1)−or1)=1or1)，∴1or1)=1−1r1成立；（3）11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019＝1−12+12−13+13−14+⋯+12018−12019＝1−12019=20182019；（4）11×2+12×3+13×4+⋯+1or1)＝1−12+12−13+13−14+⋯+1−1r1＝1−1r1=r7r9＝1−2r9，∴1r1=2r9，方程两边同时乘（n+1）（n+9），得n+9＝2（n+1），去括号，得n+9＝2n+2，解得n＝7，经检验，n＝7是方程的解，∴原方程的解为n＝7．【变式3-1】（2020春•京口区校级月考）观察下列算式：16=12×3=12−13，112=13×4=13−14，120=14×5=14−15，……（1）由此可推断：142=16−17；（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1or1)=1−1r1；（3）仿照以上方法解方程：1(K1)(K2)+1oK1)=1．【分析】（1）观察已知等式得到所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解．【解答】解：（1）根据题意得：142=16×7=16−17；（2）根据题意得：1or1)=1−1r1；（3）方程整理得：1K2−1K1+1K1−1=1，即1K2=2，去分母得：x＝2x﹣4，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故答案为：（1）16−17；（2）1or1)=1−1r1【变式3-2】（2020秋•五华区期末）观察下列式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14．将以上三个等式两边分别相加的：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=34．（1）猜想并填空：1or1)=1−1r1；11×2+12×3+13×4+⋯148×49=4849．12+16+112+120+ 130+⋯+19900=99100．（2）化简：1or1)+1(r1)(r2)+1(r2)(r3)+⋯+1(r2019)(r2020)．（3）探索并作答：①计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020；②解分式方程：1111．【分析】（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可；（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；②方程利用拆项法变形，计算即可求出解．【解答】解：（1）1or1)=1−1r1，11×2+12×3+13×4+⋯+148×49=1−12+12−13+13−14+⋯+148−149=1−149=4849；12+16+112+120+130+⋯+19900=11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+⋯+199×100=1−12+12−13+⋯+199−1100=1−1100=99100；故答案为：1−1r1；4849；99100；（2）原式=1−1r1+1r1−1r2+1r2−1r3+⋯+1r2019−1r2020=1−1r2020=2020or2020)；（3）①原式=12×（12−14+14−16+16−18+12018−12020）=12×（12−12020）=10094040；②方程整理得：1K2+1K3−1K2+1K4−1K3=1，即1K4=1，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．【变式3-3】（2020秋•天心区校级月考）观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，（1）猜想并写出：1or1)=1−1r1．（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017=20062007；②11×2+12×3+13×4+⋯+1or1)=r1．（3）若11×3+13×5+15×7+⋯+1(2K1)(2r1)的值为1735，求n的值．【分析】（1）根据已知等式猜想得到所求即可；（2）各式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值．【解答】解：（1）猜想得：1or1)=1−1r1；（2）①原式＝1−12+12−13+⋯+12016−12017＝1−12017=20162017；②原式＝1−12+12−13+⋯+1−1r1＝1−1r1=r1；（3）根据题意得：11×3+13×5+15×7+⋯+1(2K1)(2r1)=1735，整理得：12（1−13+13−15+15−17+⋯+12K1−12r1）=1735，即1−12r1=3435，移项合并得：12r1=135，即2n+1＝35，解得：n＝17，经检验n＝17是分式方程的解，则n的值为17．【知识点3换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（x－y）=u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。

八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳单选题1、如图，若△ABC≌△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．2、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．3、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．5、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，{CE=BDBC=CB∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．6、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴12BD⋅AM=12CE⋅AN∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE=45°故④正确．故答案为C．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．8、如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案：B分析：根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，，{DE=DCBD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.10、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．填空题11、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．答案：3.5分析：过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，{AC=ACCF=CE∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．所以答案是：3.5．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)分析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC =∠DAC∠D =∠B AC =AC，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，所以答案是：∠D =∠B ．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．13、如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF,OA =OB ，则图中有__________对全等三角形．答案：3分析：根据角平分线的性质得到PE =PF ，根据全等三角形的判定定理判断即可．解：如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF ，∴∠1=∠2，在△AOP 和△BOP 中，{OA =OB ，∠1=∠2,OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP (SAS )，∴AP =BP ，在Rt △EOP 和Rt △FOP 中，{PE =PF ，OP =OP,∴Rt △EOP ≌Rt △FOP (HL )，在Rt △AEP 和Rt △BFP 中，{PA =PB,PE =PF,∴Rt △AEP ≌Rt △BFP (HL )，∴图中有3对全等三角形．所以答案是：3.小提示：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积是________．答案：5分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，由△DAE ≌△DAC 得到DE 的长，进而解答；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，△DAE 和△DAC 中，AD 平分∠BAC ，则∠DAE =∠DAC ，∠DEA =∠DCA =90°，DA =DA ，∴△DAE ≌△DAC （AAS ），∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =12×5×2=5，所以答案是：5；小提示：本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS ）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC ，D 为△ABC 内一点，且∠BCD =∠CAD ，若CD =4，则△BCD 的面积为________．答案：8分析：由线段CD 的长求ΔBCD 的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：S ΔBCD =12×CD ×BE ，再由题中的∠BCD =∠CAD 和等腰直角三角形ABC ，即可求证ΔACD ≌ΔCBE ，最后由CD =BE =4即可求解．解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E∵∠ACB =90°∴∠BCD +∠ACD =90°∵∠BCD =∠CAD∴∠ACD +∠CAD =90°∴∠ADC =90°∵BE ⊥CD∴∠E =90°∴∠BCD +∠CBE =90°∴∠ACD =∠CBE∵AC =CB∴ΔACD ≌ΔCBE∴CD =BE =4∴SΔBCD=12×CD×BE=12×4×4=8故答案是：8．小提示：本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．解答题16、已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．答案：（1）68°；（2）见解析；（3）36分析：（1）由已知条件可得∠D=∠C=45°，对顶角∠AQD=∠CQF，则∠DAC=∠DFC，根据∠DAE=∠CAB即可的∠DFC=∠BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明△AEC≌△BNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明△DAM≌△BNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明△ABE≌△ACD，进而证明△AEG≌△KCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得∠BAD=∠KCA，进而证明△ABD≌△CAK，再根据∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,证明AH⊥BD，根据已知条件求得S△ABD最后证明S△AEC=S△ABD即可．（1）设DF交AC于Q，如图1，∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴∠D=∠C=45°∵∠AQD=∠CQF∵∠DAQ=180−∠D−∠AQD,∠QFC=180−∠C−∠CQF∴∠DAQ=∠QFC∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAQ=∠EAQ+∠QAD∴∠BAE=∠QAD∴∠DFC=∠BAE∵∠BAE=68°∴∠DFC=68°故答案为68°（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,∴∠N=90°∵∠AEC=90°∴∠N=∠AEC∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠NAB=90°∵∠NAC+∠ACE=90°∴∠NAB=∠ECA∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AD=AE 又∵AC=AB∴△AEC≌△BNA∴NB=AE∵AE=AD∴AD=NB∵∠DAE=90°∴∠DAM=90°∴∠DAM=∠N又∵∠DMA=∠BMN∴△DAM≌△BNM∴DM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD∴∠BAE=∠CAD∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AE=AD在△ABE与△ACD中，{AE=AD∠BAE=∠CAD AB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS）∴S△ABE=S△ABD，BE=CD∵G点是EC的中点∴EG=GC∵∠AGE=∠KGC，AG=GK∴△AGE≌△KGC（SAS）∴AE=CK,∠AEG=∠KCG∴AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD∴△AKC≌△ABD（SAS）∴BD=AK=18，∠CAK=∠ABD∵∠BAG+∠CAG=90°∴∠ABD+∠BAG=90°即∠AHB=90°∵AG=9，HG=5∴AH=AG−HG=9−5=4∴S△ABD=12BD⋅AH=12×18×4=36∵S△AEC=S△AEG+S△AGC=S△GCK+S△AGC=S△ACK=S△ABD=36∴S△AEC=36小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．17、如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．(1)证明：①△ABD≅△ECB；②AD≌BC；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析(2)9分析：（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．（1）解：证明：①在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ABD=∠BCEAD=BE，∴△ABD≌△ECB（ASA），②由①得：△ABD≌△ECB∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，∴BD＝BC=15，BE=AD=6，∴DE=BD-BE=15-6=9．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．18、如图1，已知ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、BE三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到ΔABC的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD、DE、BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若AD=2.8，DE=1.5时，求BE的长．答案：(1)DE=AD+BE，证明见解析(2)①发生改变，DE=AD−BE；②1.3分析：（1）证明ΔACD≅ΔCBE，可得AD=CE，CD＝BE，即可求解；（2）①证明ΔACD ≅ΔCBE ，可得AD =CE ，CD ＝BE ，即可求解；②由①可得DE =AD −BE ，从而得到BE =AD −DE ，即可求解．（1）解：DE =AD +BE ，理由如下：∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD ≅ΔCBE (AAS )，∴AD =CE ，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ，∴DE =AD +BE ；（2）解：①发生改变．∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD≅ΔCBE(AAS)，∴AD=CE，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴DE=AD−BE；②由①知：DE=AD−BE，∴BE=AD−DE=2.8−1.5=1.3，∴BE的长为1.3.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

八年级上册数学举一反三系列专题10 分式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

专题10 分式章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1 分式及最简分式的概念】【方法点拨】1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2. 最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.【例1】（2019秋•泰安期中）下列各式2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1()x y m -，xyx中，分式的个数共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式．【答案】解：由题可得，是分式的有：，，（x ﹣y ），，共4个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．【变式1-1】（2018春•沈北校级期中）代数式2232212124513,(2),,,,2,,,3123213x x x x a x x a a x m t x x b x x aπ-+++-++---中分式的个数为( ) A ．6个B ．5个C ．1个D ．3个【分析】根据分式的定义，可得答案．【答案】解：代数式、、、、、的分母中含有字母，属于分式，共有6个．故选：A ．【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母．【变式1-2】（2019春•温江区期末）下列分式2410xyx ，22a b a b ++，22x y x y -+，221a a a +-最简分式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案．【答案】解：＝，，＝x ﹣y ，＝＝，故只有是最简分式．故选：D ．【点睛】此题主要考查了最简分式，正确化简分式是解题关键．【变式1-3】（2018秋•任城区期中）下列分式23bcab c-，2242x x x --，2222x xy xy y +-，211m m ++中，最简分式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据最简分式的定义，逐个判断即可得结论．【答案】解：∵＝，故A 不是最简分式；＝＝，故B 不是最简分式；＝，故C 是最简分式；分式的分子分母没有公因式，故D 最是简分式．故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解决本题的关键．【考点2 分式有意义条件】【方法点拨】分式有意义的条件：分母不等于0.【例2】（2019秋•夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1）2 23 xx+-（2）6(3) ||12 xx+-（3）26 1x x ++．【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．【答案】解：（1）要使有意义，得2x﹣3≠0．解得x≠，当x≠时，有意义；（2）要使有意义，得|x|﹣12≠0．解得x≠±12，当x≠±12时，有意义；（3）要使有意义，得x2+1≠0．x为任意实数，有意义．【点睛】本题考查了分式有意义，分式的分母不为零分式有意义．【变式2-1】下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义．（1）21mm+-；（2）123xx+-；（3）211xx--；（4）293xx--．【分析】（1）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（2）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（3）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（4）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可．【答案】解：（1）m﹣1≠0时，分式有意义，故m≠1；（2）2﹣3x≠0时，分式有意义，故x≠；（3）x﹣1≠0时，分式有意义，故x≠1；（4）x﹣3≠0时，分式有意义，故x≠3．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于零求出是解题关键．【变式2-2】（2019秋•夏津县校级月考）若分式1324x xx x++÷++有意义，求x的取值范围．【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．【答案】解：∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．【变式2-3】（2018秋•宜都市期末）若式子2131xy+-无意义，求代数式2()()y x y x x+-+的值．【分析】根据式子无意义可确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．【答案】解：∵式子无意义，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y2﹣x2+x2＝y2＝（）2 ＝．【点睛】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义．【考点3 分式值为0的条件】【方法点拨】满足分式的值为0的条件：分子为0分母不为0.【例3】（2018秋•大荔县期末）如果分式2122x x -+的值为0，求x 的值是多少？【分析】根据分式值．为0的条件：分子为0，分母不为0，求出x 的值即可【答案】解：依题意得：x 2﹣1＝0且2x +2≠0，解得x ＝1，即分式的值为0时，x 的值是1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及分式值为零的条件，做题时注意分母不为0的条件．【变式3-1】（2019秋•东莞市校级期中）当a 取何值时，分式3||62a a-+的值为零．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【答案】解：由分式的值为零，得3﹣|a |＝0，且6+2a ≠0．解得a ＝3，当a ＝3时，分式的值为零．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式3-2】（2019秋•北湖区校级月考）当x 取何值时，分式2(3)(2)9x x x +--（1）有意义；（2）分式的值为0．【分析】（1）分式有意义，分母不为零；（2）分式的值为零时，分子为零，但是分母不为零．【答案】解：（1）根据题意，得 x 2﹣9≠0，解得，x ≠±3，即当x ≠±3时，分式有意义；（2）根据题意，得（x +3）（x ﹣2）＝0，且x 2﹣9≠0，解得，x ＝2，即当x ＝2时，分式的值为零．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【变式3-3】对于分式23x a ba b x++-+，当1x =时，分式的值为零，当2x =-时，分式无意义，试求a 、b 的值．【分析】根据分式的值为零的条件为0的条件可得1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0，根据分式无意义的条件可得a ﹣2b ﹣6＝0，两者联立可求a 、b 的值．【答案】解：∵分式，当x ＝1时，分式的值为零，∴1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0，当x ＝﹣2时，分式无意义， ∴a ﹣2b ﹣6＝0，联立可得，解得．故a 的值是、b 的值是﹣．【点睛】此题主要考查了分式无意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．【考点4 分式的基本性质】【方法点拨】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.【例4】（2019春•稷山县期末）若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是( )A ．(A A E E B B E=g g 为整式） B ．(A A E E B B E+=+为整式）C ．22(1)(1)A A x B B x +=+g gD ．22(1)(1)A A xB B x +=+g g【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【答案】解：A ．E 可能为0，故不成立； B ．不符合分式性质，故错误； C ．（x +1）2≥0，故错误； D ．x 2+1＞0，故正确．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的性质，正确理解分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键，【变式4-1】（2019秋•龙口市期中）下列各式从左到右变形正确的是( ) A ．0.220.22a b a ba b a b++=++B ．231843214332x yx y x y x y ++=--C ．n n am m a -=- D ．221a b a b a b+=++ 【分析】根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【答案】解：A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得，即A 不正确，B .，故选项B 正确，C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，D .不能化简，故选项D 不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•大名县期中）下列各式中，正确的是( )A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c+-+-=C ．a b a bc c---=D ．a ab a a b-=-- 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【答案】解：（A ）原式＝，故选项A 错误；（B ）原式＝，故选项B 错误；（C ）原式＝，故选项C 错误；故选：D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【变式4-3】（2018秋•奉贤区期末）若分式22xyx y+中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值( )A ．扩大到原来的4倍B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的12【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【答案】解：＝，故选：C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【考点5 利用分数的基本性质求值】【例5】若a 、b 都是正实数，且112a b a b-=+，求22ab a b -的值．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后得到一个关系式，代入所求式子中计算即可求出值．【答案】解：∵﹣＝＝，∴﹣（a ﹣b ）（a +b ）＝2ab ，即a 2﹣b 2＝﹣2ab ，则＝＝﹣．【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．【变式5-1】（2019春•禅城区校级月考）已知：0234x y z==≠，求代数式2x y z x y z +-++的值．【分析】设t ＝，则x 、y 、z 可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式，然后将代数式化简即可．【答案】解：设t ＝，则x ＝2t ① y ＝3t ② z ＝4t ③将①②③代入代数式，得＝＝，所以，代数式的值是．【点睛】本题体现了转化思想，将未知数x 、y 、z 转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可．【变式5-2】（2019秋•高唐县期末）已知113a b-=，求分式232a ab ba ab b +---的值．（提示：分式的分子与分母同除以)ab ．【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab ，分式的值不变，再把换成3计算即可．【答案】解：分式的分子分母都除以ab ，得＝＝，∵＝3， ∴＝﹣3，所以原式＝＝．【点睛】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以ab ，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口．【变式5-3】已知实数a 满足2310a a -+=，求下列各式的值：（1）21()a a+的值；（2）221a a +；（3）441a a +的值；（4）225121a a a a ++-+的值．【分析】（1）已知等式两边除以a ，求出a +的值，即可确定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式变形，把a +的值代入计算即可求出值；（3）原式利用完全平方公式变形，把（2）结论代入计算即可求出值；（4）把已知等式变形后代入计算即可求出值．【答案】解：（1）已知等式变形得：a +＝3，则原式＝9；（2）原式＝（a +）2﹣2＝9﹣2＝7；（3）原式＝（a 2+）2﹣2＝49﹣2＝47；（4）由a 2﹣3a +1＝0，得到a 2＝3a ﹣1，则原式＝＝8．【点睛】此题考查了分式方程混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点6 分式的化简求值】【例6】（2019春•潜山市期末）先化简，再求值：2292(3)693x x x x x x -+--+++，其中1x =-．【分析】根据分式的加法和减法可以化简题目中的式子，然后将x ＝﹣1代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：+（x ﹣3﹣）＝＝＝＝＝＝x ﹣4，当x ＝﹣1时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式6-1】（2019春•合肥期末）先化简，再求值：3(2)(1)2m m m ++÷+-．其中﹣2≤m ≤2且m 为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤m ≤2且m 为整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（m +2+）÷（m +1）＝＝＝＝， ∵﹣2≤m ≤2且m 为整数，∴当m ＝0时，原式＝＝．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式6-2】（2019春•卫辉市期末）先化简：223626699a a a a a a +-+++-g ，然后从﹣3≤a ≤3的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出a 的值代入原式即可求出答案．【答案】解：•+ ＝×… ＝＝∵a≠±3，0∴取a＝1，原式＝＝2【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．【变式6-3】（2018秋•长安区校级月考）（1）先化简：2344(1)11a aaa a-+-+÷++，并从0，1-，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值．（2）先化简后求值：2221412211a aa a a a--÷+-+-g，其中a满足20a a-=．【分析】（1）根据分式的混合计算的法则进行计算，先算括号内的，除以一个数等于乘以这个数的倒数，分式乘法先约分，再相乘，x只能取0，而不能取﹣1，2，应注意．（2）先将各自的分子、分母进行因式分解，再转化为乘法，约分后，整体代入即可求出结果．【答案】解：（1）＝（﹣）×＝×＝；∵x≠﹣1，x≠2，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝1．（2）＝××＝（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2；当a2﹣a＝0时，原式＝﹣2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握计算法则、熟练进行分解因式是解题的关键．【考点7 解分式方程】【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).【例7】（2019秋•武冈市期中）解方程：（1）3222x x x --=-- （2）22510111x x x -+=+-- 【分析】（1）根据解分式方程的过程进行计算即可；（2）先确定公分母，再进行计算即可．【答案】解：（1）3﹣2（x ﹣2）＝﹣x解得x ＝7经检验：x ＝7是原方程的根∴原方程的解是x ＝7．（2）2（1﹣x ）+5（1+x ）＝10解得x ＝1检验：把x ＝1代入到（x +1）（x ﹣1）中，得：（1+1）×（1﹣1）＝0∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程要进行验根．【变式7-1】（2019秋•临淄区期中）解分式方程（1）22411x x =-- （2）2113222x x x x+=++ 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：2x +2＝4，解得：x ＝1，经检验x ＝1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：x +x +2＝32，经检验x ＝15是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式7-2】（2019秋•岱岳区期中）解方程：（1）31144x x x --=-- （2）213242x x x=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：3﹣x +1＝x ﹣4，解得：x ＝4，经检验x ＝4是增根，分式方程无解；（2）去分母得：4x ＝6x ﹣12﹣1，解得：x ＝6.5，经检验x ＝6.5是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式7-3】（2019秋•泰安期中）解下列分式方程：（1）2214111x x x +=+-- （2）29472393x x x x +-=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）方程两边同乘（x +1）（x ﹣1）得：2（x ﹣1）﹣（x +1）＝4，去括号得：2x ﹣2﹣x ﹣1＝4，解得：x ＝7，检验：当x ＝7时，（x +1）（x ﹣1）≠0，∴x ＝7是原方程的解；（2）方程两边同乘3（x ﹣3）得：2x +9＝3（4x ﹣7）+6（x ﹣3）检验：当x ＝3时，3（x ﹣3）＝0，∴x ＝3是原方程的增根∴原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【考点8 分式方程的增根】【例8】（2019•大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；（2）设？为m ，利用分式方程的增根解答即可．【答案】解：（1）方程两边同时乘以（x ﹣2）得5+3（x ﹣2）＝﹣1解得x ＝0经检验，x ＝0是原分式方程的解．（2）设？为m ，方程两边同时乘以（x ﹣2）得m +3（x ﹣2）＝﹣1由于x ＝2是原分式方程的增根，所以把x ＝2代入上面的等式得m +3（2﹣2）＝﹣1，m ＝﹣1所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【变式8-1】（2018春•安岳县期末）关于x 的方程：12111ax x x+-=--．（1）当3a =时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求a 的值．【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值．【答案】解：（1）当a ＝3时，原方程为﹣＝1，方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1，解这个整式方程得：x ＝﹣2，检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x ＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，若原方程有增根，则x ﹣1＝0，解得：x ＝1，将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0，解得：a ＝﹣3．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式8-2】（2018春•洛宁县期中）m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？【分析】先去分母得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，由于关于x 的方程+＝会产生增根，则（x +2）（x ﹣2）＝0，解得x ＝﹣2 或x ＝2，然后把x ＝﹣2 和x ＝2分别代入（m ﹣1）x +10＝0即可得到m 的值．【答案】解：原方程化为+＝，方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣2）得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，∵关于x 的方程 +＝会产生增根，∴（x +2）（x ﹣2）＝0，∴x ＝﹣2 或x ＝2，∴当x ＝﹣2时，（m ﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m ＝6，当x ＝2时，（m ﹣1）×2+10＝0，解得m ＝﹣4，∴m ＝﹣4或m ＝6时，原方程会产生增根．【点睛】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．【变式8-3】（2018秋•克东县期末）若关于x的方程322133x mxx x---=---无解，求m的值．【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1＝0或将x＝3代入整式方程，即可求出m的值．【答案】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，整理得：（m﹣1）x＝2，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，即x＝3时，方程无解，此时＝3，即m＝，所以m＝1或m＝．【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0．【考点9 分式方程的应用之行程问题】【例9】（2019秋•正定县期中）A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A 市去B市．小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．【分析】（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合小轿车比大货车少用1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据小张离B市的距离＝A，B两市间的距离﹣小张的速度×小张出发的时间，即可求出结论．【答案】解：（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：﹣＝1，解得：x＝70，经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝105．答：大货车的速度为70千米/小时，小轿车的速度为105千米/小时．（2）210﹣70×1＝140（千米）．答：当小刘出发时，小张离B市还有140千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式9-1】（2019•云南模拟）在“要致富先修路”的思想指导下，近几年云南的交通有了快速的变化，特别是“高铁网络”延伸到云南以后，许多地区的经济和旅游发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．假期里小明和爸爸从昆明到某地去旅游，从昆明到该地乘汽车行驶的路程约为800km，高铁列车比汽车行驶的路程少50km，高铁列车比汽车行驶的时间少5h．已知高铁列车的平均时速是汽车平均时速的2.5倍，求高铁列车的平均时速．【分析】设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合高铁列车比汽车行驶的时间少5h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【答案】解：设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，∴2.5x＝250．答：高铁列车的平均时速为250km/h．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式9-2】（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C 两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．【分析】设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C城，以时间做为等量关系列方程求解．【答案】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．根据题意，得：+＝，解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），∴x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．当x＝80时，x+10＝90．答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．【点睛】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据时间＝，列方程求解．【变式9-3】（2019•高淳区二模）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的13，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【分析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，根据题意列方程即可得到结论；（2）8×200＝1600米即可得到结果．【答案】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，由题意得：﹣8＝+．解得x＝200．经检验x＝200原方程的解答：乙骑自行车的速度为200m/min．（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以8×200＝1600（m）．答：乙同学离学校还有1600m．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到甲的运动速度是解题关键．【考点10 分式方程的应用之工程问题】【例10】（2019秋•滦州市期中）列方程解应用题某工程队修建一条1200m的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了50%，结果提前4天完成任务．（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？（2）这项工程，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？【分析】（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【答案】解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：这个工程队原计划每天修建道路100米．（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，依题意，得：﹣＝2，解得：y＝0.2＝20%．经检验，y＝20%是原方程的解，且符合题意．答：实际的工作效率比原计划增加20%．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【变式10-1】（2018秋•徽县期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．【答案】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式10-2】（2018秋•江北区期末）在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出结论；（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再分别求出甲队单独完成以及甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用，比较后即可得出结论．【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝45，经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独完成这项工程需要45天．（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，依题意，得：+＝1，解得：y＝18．。

部编数学八年级上册专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练(解析版)(人教版)含答案

专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图为5×5的方格，其中有A 、B 、C 三点，现有一点P 在其它格点上，且A 、B 、C 、P 为轴对称图形，问共有几个这样的点P （）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．【详解】解：如图所示：A 、B 、C 、P 为轴对称图形，共有4个这样的点P ．答案：B ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．2．ABC V 是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y 轴翻折180°，得到A B C ¢¢¢V ，则点B 对应点B ¢的坐标为（）A ．(4,3)-B ．(3,2)--C ．(2,5)-D ．(4,3)--【答案】A【分析】根据网格求出点B 坐标，向下平移2个单位，点 B 的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B 1的坐标，再沿y 轴翻折180°，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B ′（-4，3）．【详解】解：∵点B 坐标为（4，5）向下平移2个单位，得点B 对应点的坐标B 1（4，5-2），即B 1（4，3），再沿y 轴翻折180°，点B ′（-4，3），故选择A ．【点睛】本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．3．如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（）A ．0B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】连接112221,,,,OP P OP PP PP P 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接112221,,,,OP P OP PP PP P ，如图，∵1P 是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是1PP 的垂直平分线，∴1 2.8OP OP ==∵2P 是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是2PP 的垂直平分线，∴2 2.8OP OP ==当12,,P O P 不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<当12,,P O P 在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=故选：B【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键4．如图，BAC Ð的角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点,,D DE AB DF AC ^^，垂足分别为E F 、，若9,10AF BC ==，则ABC V 的周长为（）A ．19B ．28C ．29D ．38【答案】B【分析】连接BD 、DC ，证△BDE ≌△CDF ，可得CF=BE ，根据角平分线性质可知AE=AF ，即可求周长．【详解】解：连接BD 、DC ，∵AD 平分∠ BAC ，,DE AB DF AC ^^，∴DE=DF ，∵AD=AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ，∴AE=AF=9，∵DG 垂直平分BC ，∴BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ，ABC V 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．5．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A ．BDE BACÐ=ÐB ．BAD B =∠∠C ．DE DC=D ．AE AC=【答案】B【分析】先通过作图过程可得AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,然后证明△ACD ≌△AED 说明C 、D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项A 正确，最后发现只有AE =EB 时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．6．在 Rt ABC V 中，90C =o ∠， 30A Ð=o ，点P 是边 AC 上一定点，此时分别在边 AB ，BC 上存在点 M ，N 使得PMN V 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．32【答案】B【分析】如图，先作ABC V 分别关于AB ，BC 对称的三角形，以及P 的对称点1P ，2P ，找到PMN V 周长最小的条件即1P 、M 、N 、2P 共线时，进而设1BC =，CP x =，AP x =，BF y =，通过各边关系列出方程，解出x ，即可求得AP PC的值.【详解】如图作ABC V 分别关于AB ，BC 对称，得1ABC V ，1CBA V ，以及P 的对称点1P ，2P ，则2PM P M =，1P N PN =，所以1P 、M 、N 、2P 共线时，PMN V 周长最小。

全等三角形的判定(六大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》

全等三角形的判定（六大题型）【题型01：判断三角形全等-SSS 】【题型02：判断三角形全等-SAS 】【题型03：判断三角形全等-ASA 】【题型04：判断三角形全等-AAS 】【题型05：判断三角形全等-HL 】【题型06：全等三角形的综合】【题型01：判断三角形全等-SSS 】1．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC≌△DFC ．【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定，由BE =CF 可得BC=FE，即可由SSS 证明△ABC≌△DFE ，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =FE ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DF AC =DE BC =FE，∴△ABC≌△DFE (SSS)．2．如图，AC =BD ，BC =AD ，求证：△ABC≌△BAD ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知AC =BD ，BC =AD ，又AB 公共，根据SSS 即可证明△ABC≌△BAD ．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，AC =BD BC =AD AB =BA，∴△ABC≌△BAD (SSS)．3．已知：如图，点A 、D 、C 、B 在同一直线上，AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．(1)求证：△AEC≌△BFD ；(2)求证：DE∥CF 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）利用SSS 即可证明△AEC≌△BFB ；（2）由△AEC≌△BFB 可得∠DCE =∠CDF ，进而可得△DCE≌△CDF (SAS)，得到∠CDE =∠DCF ，再根据平行线的判定即可求证；本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AC =BD AE =BF CE =DF，∴△AEC≌△BFB (SSS)；（2）证明：∵△AEC≌△BFB ，∴∠ACE =∠BDF ，即∠DCE =∠CDF ，在△DCE 和△CDF 中，CD =DC ∠DCE =∠CDF CE =DF，∴△DCE≌△CDF (SAS)，∴∠CDE =∠DCF ，∴DE∥CF ．4．如图，已知AB =AC ，AD =AE ，BD =CE ．(1)求证：∠BAC =∠DAE ；(2)猜想∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)∠3=∠1+∠2，理由见解析．【分析】（1）首先利用SSS 证明△BAD≌△CAE ，根据性质可得∠1=∠CAE ，再由角度和差即可求证；（2）根据全等三角形对应角相等求出∠ABD =∠2，由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2；本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：在△BAD 和△CAE 中，AB =AC AD =AE BD =CE，∴△BAD≌△CAE (SSS)，∴∠1=∠CAE ，∴∠1+∠DAC =∠CAE +∠DAC ，∴∠BAC =∠DAE ；（2）∠3=∠1+∠2，理由如下：由（1）得：△BAD≌△CAE ，∴∠ABD =∠2，∵∠3=∠ABD +∠1，∴∠3=∠1+∠2．5．如图，已知点B ，C ，D ，E 在同一条直线上，AB =FC ，AD =FE ，BC =DE ．求证：△ABD≌△FCE ．6．已知：如图，AB =AC ，DB =DC ，F 是AD 的延长线上一点．求证：(1)∠ABD =∠ACD ；(2)BF =CF ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】(1)根据SSS 推出△BAD≌△CAD ，根据全等三角形的性质得出即可；(2)根据SAS 推出△BAF≌△CAF ，根据全等三角形的性质得出即可；本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【详解】（1）在△BAD 和△CAD 中AB =AC AD =AD BD =DC，∴△BAD≌△CAD (SSS)，∴∠ABD =∠ACD ；（2）∵△BAD≌△CAD ，∴∠BAD =∠CAD ，在△BAF 和△CAF 中AB =AC ∠BAD =∠CAD AF =AF，∴△BAF≌△CAF (SAS)，∴BF =CF ．7．如图，在△ABC 和△DEF 中，BE =CF ，AB =DE ，AC =DF ．(1)求证：△ABC≌△DEF ．(2)若BC =11，BF =16，求CE 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）证BC =EF ，利用全等三角形的判定即可得证；（2）求出CF =5，即可求解．【详解】（1）证明：∵ BE =CF ，∴ BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中BC =EF AB =DE AC =DF，∴△ABC≌△DEF （SSS ）．（2）解：∵BC =11，BF =16，∴ CF =BF ―BC=16―11=5，∵ EF =BC =11，∴ CE =EF ―CF=11―5=6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．【题型02：判断三角形全等-SAS 】8．如图，在△ABC 和△AED 中，AB =AE ，∠BAE =∠CAD ，AC =AD ．求证：△ABC≌△AED ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS ”证明△ABC≌△AED ，即可解决问题．【详解】证明：∵ ∠BAE =∠CAD ，∴ ∠BAE +∠EAC =∠CAD +∠EAC ，即∠BAC =∠EAD ，在△ABC和△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD，AC=AD∴△ABC≌△AED(SAS)．9．如图，已知A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF．Array试说明：(1)△AFC≌△DEB；(2)BE∥CF．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，（1）由AB=CD，得AC=DB，根据平行线的性质得∠A=∠D，从而得△AFC≌△DEB；（2）由全等三角形的性质得∠ACF=∠DBE，从而得BE∥CF．【详解】（1）解：因为AB=CD，所以AB+BC=BC+CD，即AC=DB，因为DE∥AF，所以∠A=∠D，因为DE=AF，所以△AFC≌△DEB（2）解：因为△AFC≌△DEB，所以∠ACF=∠DBE，所以BE∥CF．10．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=DC，BE=CF，求证：△ABE≌△DCF．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用平行线的性质求得∠B =∠C ，利用SAS 即可证明△ABE≌△DCF ．【详解】证明：∵AB∥CD ，∴∠B =∠C ，在△ABE 和△DCF 中，AB =DC ∠B =∠C BE =CF，∴△ABE≌△DCF (SAS)．11．如图，AD =AE ，AC =AB ．求证：△ACD≌△ABE ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据SAS 直接证明两三角形全等，即可得证．【详解】证明：在△ACD和△ABE 中，∵AD =AE ∠A =∠A AC =AB，∴△ACD≌△ABE (SAS)12．如图，已知 AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠CAE ，连接DC ，BE ．(1)求证：△BAE≌△DAC；(2)若∠CAD=135°，∠D=20°，求∠E的度数．【答案】(1)见解析(2)∠E=25°【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；（1）根据题意由∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，可得∠DAC=∠BAE，即可求证；（2）由△BAE≌△DAC(SAS)，可得∠E=∠C，再由内角和为180°即可求解．【详解】（1）证明：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，又∵AD=AB，AC=AE，∴△BAE≌△DAC(SAS)；（2）∵△BAE≌△DAC(SAS)，∴∠E=∠C，∵∠CAD=135°，∠D=20°，∴∠C=180°―∠CAD―∠D=180°―135°―20°=25°，∴∠E=∠C=25°．13．如图：已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若∠1=30°，∠2=40°，求∠3的度数．【答案】(1)证明见解析(2)70°【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，（1）根据SAS 证明三角形全等即可；（2）由两三角形全等，可得∠ABD =∠2，∠BAD =∠1，再由三角形的外角性质即可解答．【详解】（1）证明：∵∠BAC =∠DAE ，又∵∠BAC =∠BAD +∠CAD ，∠DAE =∠EAC +∠CAD ，∴∠BAD =∠EAC ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE∴△ABD≌△ACE(SAS)；（2）解：∵△ABD≌△ACE∴∠ABD =∠2，∠BAD =∠1，又∵∠3=∠ABD +∠BAD ，∴∠3=∠1+∠2=30°+40°=70°．14．已知：如图，点B ，E ，F ，C 在同一条直线上，AB =DC ，∠B =∠C ，BE =CF ．(1)求证：△ABF≌△DCE ．(2)若∠AGE =80°，求∠AFE 的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．（1）由BE =CF ，两边加上EF ，得到BF =CE ，利用SAS 即可得证．（2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）证明：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，【题型03：判断三角形全等-ASA】15．如图，AD∥BC，BE∥DF，AE=CF，求证：△ADF≌△CBE．16．如图，AD=AE,CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D,E．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AC=12,CD=8,BC=10，求BC边上的高的长度．17．如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE=BF，∠A=∠B，∠CEB=∠DFA，试说明：△AFD≌△BEC ．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明AF =BE ，再利用ASA 证明△AFD≌△BEC 即可证明结论．【详解】解：∵AE =BF ，∴AE +EF =BF +EF ，即AF =BE ，在△AFD 和△BEC 中，∠DFA =∠CEB AF =BE ∠A =∠B，∴△AFD≌△BEC(ASA ) ．18．如图，点A 为△ABC 和△ADE 的公共顶点，已知∠C =∠E ，AC =AE ，请你添加一个条件，使得AB =AD ．（不再添加其他线条和字母）(1)你添加的条件是______；(2)根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1)∠CAD =∠EAB(2)过程见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定；（1）根据题意添加的条件即可；（2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明．【详解】（1）解：∠CAD =∠EAB ．（2）证明：∵∠CAD=∠EAB，∴∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD，即∠BAC=∠DAE．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∠C=∠E，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB=AD．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB=CE．求证：△ABC≌△CED．20．如图所示，已知BC∥DE，AD=CF，∠A=∠F.(1)求证：△ABC≌△DEF ；(2)判断AB 和EF 的位置关系并说明理由．【答案】(1)详见解析(2)AB ∥EF【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，ASA ，直接根据BC ∥DE ，可以推导∠BCD =∠EDF ，关键是利用好AD =CF ，倒边推导出DF =CA是解决本题的关键．（2）本题主要考查全的三角形的性质，利用第一问结论可以推导∠F =∠A ，最后可以判定AB ∥EF ．【详解】（1）证明：∵BC ∥DE ；∴∠BCD =∠EDF ；∵AD =CF ；∴AD +CD =CF +CD ；即，DF =CA ；∵∠A =∠F在△ABC 和△FED 中；∠BCD =∠EDF DF =CA ∠A =∠F；∴△ABC≌△FED(ASA)．（2）证明：∵△ABC≌△FED ；∴∠A =∠F ；∴AB ∥EF ．21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ABE =∠ACD ，BE 、CD 相交于点O ．(1)求证：△ABE≌△ACD ；(2)求证：BD =CE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）利用ASA 直接证明△ABE≌△ACD ；（2）先证明AE =AD ，再根据等式性质证出结论．【详解】（1）证明：在△ABE 与△ACD 中：∠ABE =∠ACD AB=AC ∠A =∠A，∴△ABE≌△ACD (ASA)；（2）证明：由（1）知△ABE≌△ACD ，∴AE =AD ，∵AB =AC ，∴AB ―AD =AC ―AE ，∴BD =CE ．22．如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，∠ACB =∠DEF ，AB∥DF ，BE =FC ．(1)求证：△ABC≌△DFE ；(2)若BF =14，EC =8，求BC 的长．【题型04：判断三角形全等-AAS 】23．如图，点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 上，DE 交AC 于点F ， ∠1=∠2=∠3，AB =AD ．求证： △ABC≌△ADE ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过∠2=∠3，∠AFE =∠DFC ，可得∠E =∠C ，即可通过AAS 证明△ABC≌△ADE ．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAF =∠2+∠DAF ，即∠BAC =∠DAE ，∵∠AFE =∠CFD ，∠2=∠3∴∠C =180°―∠3―∠DFC ，∠E =180°―∠2―∠AFE ，即∠C =∠E ，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC =∠DAE ∠C =∠E AB =AD∴△ABC≌△ADE (AAS)．24．如图，点E ，C 在BF 上，∠ACB =∠DEF ，BE =CF ，∠A =∠D ．试说明△ABC≌△DFE ．25．如图，点C 、E 在BF 上，BE =CF ，AB ∥FD ，∠A =∠D ．(1)求证：△ABC≌△DFE ；(2)若∠B =50°，∠BED =145°，求∠D 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠D的度数是95°【分析】（1）由BE =CF ，推导出BC =FE ，由AB ∥FD ，证明∠B =∠F ，即可根据“AAS ”证明△ABC≌△DFE ；（2）由∠B =∠F =50°，∠BED =145°，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，145°=∠D +50°，求得∠D =95°．此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出BC =FE ，∠B =∠F ，进而证明△ABC≌△DFE 是解题的关键．【详解】（1）证明：∵BE =CF ，∴BE +CE +CF +CE ，∴BC =FE ，∵AB ∥FD ，∴∠B =∠F ，在△ABC 和△DFE 中，∠B =∠F ∠A =∠D BC =FE，∴△ABC≌△DFE (AAS)．（2）解：∵∠B =50°，∠B =∠F ，∴∠F =50°，∵∠BED =145°，∠BED =∠D +∠F ，∴145°=∠D +50°，∴∠D=95°，∴∠D的度数是95°．26．如图，在△ABC与△DEF中，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AC=DF，∠A=∠D．(1)试说明△ABC≌△DEF；(2)若BF=7，CE=3，求线段BE的长度．27．如图，△ABC中，AB=AC，D、E是边AB、AC上的点，连接CD、BE交于点F，∠ADC=∠AEB．(1)求证：CD =BE ；(2)若∠A =45°，∠ACD =20°，求∠BFC 的度数．【答案】(1)见解析(2)85°【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）利用AAS 证明△ACD≌△ABE ，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据全等三角形的性质求出∠ACD =∠ABE =20°，再根据三角形外角性质求解即可．【详解】（1）证明：在△ACD 和△ABE 中，∠ADC =∠AEB ∠DAC=∠EAB AC =AB∴△ACD≌△ABE (AAS)，∴CD =BE ；（2）解：∵△ACD≌△ABE ，∠ACD =20°，∴∠ACD =∠ABE =20°，∵∠BDC =∠A +∠ACD ，∠A =45°，∴∠BDC =65°，∴∠BFC =∠BDC +∠ABE =85°．【题型05：判断三角形全等-HL 】28．如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，∠A =∠D =90°，BE =CF ，AC =DF ．求证：∠B =∠DEF ．【答案】答案见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案．根据BE=CF得到BE+EC=EC+CF即BC=FE，之后利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE即可得到答案．【详解】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=EC+CF，即BC=FE．∵∠A=∠D=90°，则在Rt△ABC和Rt△DFE中，BC=FEAC=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL)．∴∠B=∠DEF．29．已知：如图，∠B=∠C=90°，且AF=DE，BE=CF．(1)求证：AB=DC；(2)若∠A=55°，求∠DEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)35°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）利用“HL”证明Rt△ABF≌Rt△DCE，即可得出结论；（2）由三角形内角和定理，得到∠AFB=35°，再根据全等三角形的性质，即可求出∠DEF 的度数．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+FE，即BF=CE，又∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABF与Rt△DCE中：AF=DEBF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，∴AB=DC；（2）解：∵∠B=90°，∠A=55°，∴∠AFB=35°，∵Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，∴∠AFB=∠DEF=35°．30．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠ACB=∠DEF．31．如图，过射线EF外一点D，作DE⊥EF，点A为射线EF上一点，在AF上截取AC=DE，作MC⊥EC，点D,M位于EF的同侧，连接AD，以A为圆心，以AD的长为半径画弧，交MC于B．求证：(1)△DAE≌△ABC；(2)AD⊥AB．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用HL证明两个三角形全等是解本题的关键；（1）先证明∠E=∠ACM=90°，AB=AD，再证明Rt△DAE≌Rt△ABC(HL)即可；（2）由△DAE≌△ABC，可得∠DAE=∠ABC．再结合互余的含义可得结论．【详解】（1）证明：∵DE⊥EF，MC⊥EC，∴∠E=∠ACM=90°．由画弧过程可知：AB=AD，在Rt△DAE和Rt△ABC中AD=BADE=AC，∴Rt△DAE≌Rt△ABC(HL)．（2）∵△DAE≌△ABC，∴∠DAE=∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°．又∵∠DAE=∠ABC，∴∠DAE+∠BAC=90°．∴∠DAB=180°―(∠DAE+∠BAC)=90°．∴AD⊥AB．32．如图，在△ABC中，∠C=90°，将线段AB绕点A逆时针旋转50°得到线段AD，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，DE=BC，求∠B的度数．【答案】∠B=40°【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征、旋转的性质，根据旋转的性质得AB=AD，∠BAD=50°，进而可求得∠D=40°，利用HL可得Rt△ACB≌Rt△AED，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】解：∵将线段AB绕点A逆时针旋转50°得到线段AD，∴AB=AD，∠BAD=50°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠D=90°―∠BAD=40°，在Rt△ACB和Rt△AED中，AB=ADBC=DE，∴Rt△ACB≌Rt△AED(HL)，∴∠B=∠D=40°．33．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=15°，BF=3，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据AB=BC，AE=CF，利用HL证明△ABE≌△CBF即可；（2）根据全等三角形的性质得BE=BF=3，根据已知条件得出∠BAE=30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵∠ABC=90°，∴∠FBC=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=BCAE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．即△ABE≌△CBF．（2）∵△ABE≌△CBF，BF=3，∴BE=BF=3，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵∠CAE=15°，∴∠BAE=30°，∵BE=3，∴AE=2BE=6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【题型06：全等三角形的综合】34．如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，连接AA′，设A′B′与AC的交点为O．(1)若B′为BC的中点，求证：△AOA′≌△COB′；(2)若AC平分∠BAA′，求∠C的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．（1）根据平移性质得到AA′∥BB′，AA′=BB′，从而得到∠OAA′=∠C，再根据B′为BC的中点，得到AA′=B′C，从而证明结论；（2）根据AC平分∠BAA′，得到∠BAC=∠OAA′，从而证明∠BAC=∠C．再根据三角形内角和定理以及∠B=80°，即可求解；【详解】（1）解：∵A′B′由AB沿射线BC的方向平移所得，∴AA′∥BB′，AA′=BB′，∴∠OAA′=∠C，∵B′为BC的中点，∴BB′=B′C，∴AA′=B′C．在△AOA′和△COB′中∠OAA′=∠C∠AOA′=∠COB′，AA′=B′C∴△AOA′≌△COB′(AAS)；（2）∵AC平分∠BAA′，∴∠BAC=∠OAA′，又∵∠OAA′=∠C，∴∠BAC=∠C．∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=80°，∴∠C=(180°―80°)÷2=50°．35．如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，其中AB⊥BE于点B，FE⊥BE于点E，点P在BE上，已知AP=PF，AB=PE．(1)求证：△ABP≌△PEF ；(2)求BE 的长．【答案】(1)见解析(2)BE 的长为15m【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出∠BAP =∠EPF ，再由全等三角形的判定即可证明；（2）由题意得：AB =1.5×3=4.5(m)，EF =1.5×7=10.5(m)，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：AB ⊥BE,EF ⊥BE ，∴∠ABP =∠PEF =90°．∴∠BAP +∠BPA =90°．∵∠APF =90°，∴∠EPF +∠BPA =90°．∴∠BAP =∠EPF在△ABP 和△PEF 中∠ABP =∠PEF ∠BAP =∠EPF AP =PF，∴△ABP≌△PEF(AAS)；（2）解：由题意得：AB =1.5×3=4.5(m)，EF =1.5×7=10.5(m)，由（1）得△ABP≌△PEF ，∴PE =AB =4.5(m)，BP =EF =10.5(m)．∴BE =BP +PE =10.5+4.5=15(m)．答：BE 的长为15m ．36．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，DE⊥AB，且DE=AC，DE与AC 交于点G，过点E作FE∥BC交AB于点F，交AC于点H．(1)求证：△ABC≌△EFD；(2)若∠EFD=58°，求∠DGH的值．【答案】(1)见解析(2)122°【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）利用平行线性质得到∠B=∠DFE，利用垂直的定义得到∠EDF=∠C=90°，即可证明△ABC≌△EFD；（2）利用平行线性质得到∠GHF=90°，在利用四边形内角和得到∠DGH=360°―∠GHF―∠EDF―∠EFD，即可解题．【详解】（1）证明：∵FE∥BC，∴∠B=∠DFE，∵DE⊥AB，∴∠EDF=∠C=90°，∵DE=AC，∴△ABC≌△EFD(AAS)．（2）解：∵FE∥BC，∠C=90°，∴∠GHF=90°，∵∠EDF=90°，∠EFD=58°，∴∠DGH=360°―∠GHF―∠EDF―∠EFD=122°．37．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE．(1)若DB=6，CE=4，求DE；(2)若BD∥CE，求∠BAC．【答案】(1)DE=2(2)∠BAC=90°【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，（1）根据△ABD≌△CAE，BD=6，CE=4得BD=AE=6，AD=CE=4，即可得；（2）根据BD∥CE得∠BDE=∠CEA，根据△ABD≌△CAE得∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，则∠ADB=∠BDE，根据ADB+∠BDE=180°得∠ADB=90°，可得∠ABD+∠BAD=90°，即可得；掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵△ABD≌△CAE，BD=6，CE=4，∴BD=AE=6，AD=CE=4，∴DE=AE―AD=2；（2）解：∵BD∥CE，∴∠BDE=∠CEA，∵△ABD≌△CAE，∴∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，∴∠ADB=∠BDE，∵ADB+∠BDE=180°，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAC =∠BAD +∠CAE =∠BAD +∠ABD =90°．38．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，连接BE ，CD ，交点为F ，且AD =13AB ，AE =13AC ．(1)求证：CD =BE ．(2)求证：DF =EF ．∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵∠CFE=∠BFD，∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴DF=EF．39．如图，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，CM=BN，连接AN，DM．求证：(1)△ABM≌△DCN；(2)AN∥DM．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，根据题意推出BM=CN，结合题干的条件和AB=CD，即可证明△ABM≌△DCN；（2）本题考查全等三角形性质和判定，平行线的判定，根据△ABM≌△DCN，得到∠B=∠C，证明△ABN≌△DCM，得到∠ANB=∠DMC，即可解题．【详解】（1）证明：∵BN=CM，∴BN―MN=CM―MN，即BM=CN，∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，∴∠AMB=∠DNC=90°，在Rt△ABM和Rt△DCN中，AB=CDBM=CN，∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL)；（2）证明：∵Rt△ABM≌Rt△DCN，∴∠B=∠C，在△ABN和△DCM中，AB=DC∠B=∠C，BN=CM∴△ABN≌△DCM(SAS)，∴∠ANB=∠DMC，∴AN∥DM．40．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD=EC，点F 为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A=∠F，AC∥DF，Array(1)求证：△ABC≌△FED；(2)若点D是BC中点，且BE=12，BA=4，AC=5，求△DEF的周长．41．在四边形ABCD 中，∠B =90°，E 为BC 边的中点，AE 平分∠BAD ，F 分别为AD 上一点，AF =AB ．(1)求证：△ABE≌△AFE ；(2)若∠AED =90°，请证明BC ⊥CD ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SAS 证明△ABE≌△AFE 即可．（2）由△ABE≌△AFE 可得EB =EF ，∠AEB =∠AEF ，∠EFA =∠B =90°，又由∠BEC =180°，∠AED =90°，可得∠AEB +∠DEC =90°，∠AEF +∠DEF =90°，则∠DEC =∠DEF ，根据SAS 证明△ECD≌△EFD ，则可得∠ECD =∠EFD =90°，则可证BC ⊥CD ．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中，AB =AF ∠BAE =∠FAE AE =AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)；（2）证明：由（1）知，△ABE≌△AFE ，∴EB =EF ，∠AEB =∠AEF ，∠EFA =∠B =90°，∴∠EFD =90°．∵∠BEC =180°，∠AED =90°，∴∠AEB +∠DEC =90°，∠AEF +∠DEF =90°，∴∠DEC =∠DEF ．∵点E 为BC 的中点，∴EB =EC ，∴EF =EC ．在△ECD 和△EFD 中，EC =EF ∠DEC =∠DEF ED =ED，∴△ECD≌△EFD(SAS)，∴∠ECD =∠EFD =90°，∴BC ⊥CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．42．如图，△ABC 中，∠ABC =60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P ．(1)求∠CPD的度数；(2)若AE=3，CD=5，求线段AC的长．∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△EAP和△FAP中AE=AF∠1=∠2，AP=AP∴∠DPC=∠FPC，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，在△PCF和△PCD中∠DPC=∠FPCPC=PC，∠ACE=∠DCE∴△PDC≌△PFC(ASA)，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD=3+5=8．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．43．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC上一点，AB=DC，点E在边AC上．(1)若∠ADE=∠B，求证：△BAD≌△CDE；(2)若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度数．【答案】(1)证明见详解；(2)∠ADE=55°；【分析】（1）根据∠ADE=∠B及三角形内外角关系得到∠BAD=∠CDE即可得到证明；（2）根据∠B=∠C，AB=DC，AB=DC得到△BAD≌△CDE即可得到∠ADE=∠B，结合三角形内角和定理即可得到答案；44．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．(1)求证：△BDE≌△CDF ；(2)已知AC =12，BE =2，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）由“HL ”可证Rt △DBE≌Rt △DCF ；（2）根据全等三角形的性质得到DE=DF，又由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，BD=CDBE=CF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．（2）解：∵Rt△DBE≌Rt△DCF，∴DE=DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DAE和Rt△DAF中，DE=DFAD=AD，∴Rt△DAE≌Rt△DAF(HL)，∴AE=AF，∵AC=12，BE=CF=2，∴AB=AE―BE=AC―CF―BE=12―2―2=8．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。

实数重难点题型分类(八大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》

实数重难点题型分类（八大题型）【题型01：无理数的概念】【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】【题型03：实数大小比较、无理数的估算】【题型04：无理数在数轴上的表示】【题型05：实数与数轴的简单运用】【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】【题型07：实数的运算综合】【题型08：实数的综合应用】【题型01：无理数的概念】1.下列实数中，无理数是（　）B．0.2C．3.14159DA．222．下列各数是无理数的是（）B C D．0.23A．13．在实数―1，12， 3.14中，无理数是（）A ．―1B ．12C D ．3.144．下列实数227，，13，π―3.14中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】5 ）A ．―3B ．3C ．±3D ．136．9的算术平方根是（）A．―3B．3C．9D．±3【答案】B【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：B．7．一个正数的两个不同的平方根是a+1和a―15，则这个正数是（）A．64B．49C．14D．7【答案】A【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得a的值，由此即可得．【详解】解：由题意得：a+1+a―15=0，解得a=7，则这个正数是(a+1)2=(7+1)2=64，故选：A．8．―8的立方根是（）D．―4 A．2B．―2C．―129．下列计算正确的是（）=±3B=―1C=―1D．=2A10）A．―9B．3C．―3D．±311．在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是（）A．1.5B．C．0D．﹣1.4【答案】D【解答】解：在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是﹣1.4，故选：D．12．下列各式比较大小正确的是（）A．B．C．﹣π＜﹣3.14D．【答案】C【解答】解：A、∵，∴﹣，故本选项正确；B、∵，，6＝，5＝，∴＞，∴﹣＜﹣，故本选项错误；C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确；D、∵＞＝3，∴﹣＜﹣3，故本选项错误．故选：C．13．在哪两个整数之间（）A．5与6B．6与7C．7与8D．8与9【答案】C【解答】解：∵72＝49，82＝64，而49＜50＜64，∴7＜＜8；故选：C．14．估计的值在（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【答案】B【解答】解：∵4＜7＜9，∴，∴，故选：B．15．整数a满足，则a的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：∵18＜25＜28，∴＜5＜，∴a＝5，故选：C．16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（）A．32B．46C．64D．65【答案】D【解答】解：∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），∴；；；；，∴＝1×2+2×4+3×6+4×8+5＝2+8+18+32+5＝65，故选：D．17．比较大小：．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.7，∴﹣1＜1，∴＜．故答案为：＜．18．比较大小： ﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.414，≈2.236，∴﹣1≈2.236﹣1＝1.236，∴＞﹣1，故答案为：＞．【题型04：无理数在数轴上的表示】19．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是﹣2，点B是AC的中点，线段AB＝+1，则点C表示的数是．【答案】2．【解答】解：∵点A表示的数是﹣2，线段AB＝+1，∴点B表示的数是﹣1，∵点B是AC的中点，∴线段BC＝AB＝1，∴点C表示的数是：＝2，故答案为：．20．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知，1＜被覆盖的数＜3，∵﹣、、只有在此范围内，∴被墨迹覆盖的数是．故答案为：21．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是．【答案】．【解答】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得，解得，故答案为：．【题型05：实数与数轴的简单运用】22．实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝．【答案】﹣2a．【解答】解：由数轴可得：a＜b，|a|＜|b|，∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a．故答案为：﹣2a．22．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|＝．【答案】2a．【解答】解：根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＜b，∴a+b＞0，∴|a+b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（b﹣a）＝2a．故答案为：2a．23．实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝．【答案】﹣c﹣b．【解答】解：由数轴可知：b＜c＜﹣1＜0＜1＜a，∴|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝﹣c﹣a﹣b+a＝﹣c﹣b，故答案为：﹣c﹣b．24．实数a、b在数轴上如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察函数图象，可知：a＜0＜b，∴a﹣b＜0，∴|a|﹣|a﹣b|＝﹣a+a﹣b＝﹣b．故答案为：﹣b．25．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝．【答案】c．【解答】解：由图可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|，所以，a+b＜0，c﹣b＞0，所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c，故答案为：c【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】26．若|3﹣a|+＝0，则a+b的值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】B【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0，解得，a＝3，b＝﹣2，a+b＝1，故选：B．27．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．28．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．29．已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意得，b﹣4＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝4，所以，＝，∵（±）2＝，∴的平方根是±．30．若实数m，n满足（m﹣1）2+＝0，则（m+n）5＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，m，n满足（m﹣1）2+＝0，∴m＝1，n＝﹣2，∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．故答案为：﹣1．31．已知，则x+y＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵，∴，解得，则x+y＝﹣1+2＝1，故答案为1．32．若，则（x+y）2023＝　1　．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以（x+y）2023＝（2﹣1）2023＝1．故答案为：1．33．若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝．【答案】﹣1．【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【题型07：实数的运算综合】34．计算：．【答案】10．【解答】解：＝7+6﹣3＝10．35．计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）．【解答】解：（1）＝2+2+3＝7；（2）＝4+2﹣﹣3＝．36．计算：．【答案】．【解答】解：＝＝．37．计算：．【答案】2．【解答】解：＝3+（﹣3）+2＝2．38．计算：（1）4﹣|﹣7|+；（2）﹣23×（﹣6）﹣（﹣3）2．【答案】（1）﹣5；（2）39．【解答】解：（1）原式＝4﹣7﹣2＝﹣5；（2）原式＝﹣8×（﹣6）﹣9＝48﹣9＝39．39．计算：．【答案】1．【解答】解：原式＝2×（﹣3）+4﹣2+5＝﹣6+4﹣2+5＝4+5﹣6﹣2＝1．【题型08：实数的综合应用】40．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面．（1）求正方形木板的边长；（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．【答案】（1）40cm；（2）不能，见解析．【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600，∵402＝1600，∴a＝40，即正边形边长为40cm．（2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则：3k⋅2k＝1350，k2＝225，∴k＝15．∴3k＝15×3＝45＞40．∴不能裁出符合要求的长方形．41．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．（1）如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为．（2）若将（1）中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．【答案】（1），，；（2）不能，理由详见解答．【解答】解：（1）如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为；如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为；如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为；故答案为：，，；（2）不能，理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52，所以x2＝1.21，即x＝1.1（x＞0），因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，因为（4.4）2＝19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．42．综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 cm．【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆 C正（填“＝”或“＜”或“＞”）．【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）＜；（3）能，理由详见解答．【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm，故答案为：；（2）设圆的半径为r cm，则πr2＝2π，∴r＝，∴圆的周长为2π×＝2π（cm），设正方形的边长为a，则a2＝2π，∴a＝，∴正方形的周长为4a＝4（cm），∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4，∴＜，即2π＜4，也就是C圆＜C正方形，故答案为：＜；（3）能，理由如下：设长方形的长为5x cm，则宽为cm，由题意可得，5x•4x＝300，∴x＝，即长为5cm，宽为4cm，而面积为400cm2的边长为cm，∵5＝＜，∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．。

新人教版八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(含解析)

期中考试重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【知识点1】三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上,锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 【知识点2】全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）【知识点3】轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.【考点1 灵活运用三角形三边关系】【例1】（2019秋•洛龙区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【变式1-1】（2019秋•濉溪县期中）设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（）A．﹣6＜a＜﹣3B．﹣5＜a＜﹣2C．﹣2＜a＜5D．a＜﹣5或a＞2【变式1-2】（2019秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8B．0＜AD＜8C．1＜AD＜4D．3＜AD＜5【变式1-3】（2019•防城港期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cmC．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【考点2 角平分线与多边形内角和】【例2】（2019春•沛县期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（）A．90°+αB．﹣90°C．D．540°【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°【变式2-2】（2019秋•香洲区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【变式2-3】（2018秋•遵义期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC＝（）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D【考点3 多边形内角和与外角和】【例3】（2019秋•岳池县期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条【变式3-1】（2019春•内江期中）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是（）A．7B．8C．7或8D．无法确定【变式3-2】（2019春•诸城市期中）过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的（）A．4倍B．5倍C．6倍D．3倍【变式3-3】（2019•凉山州期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【考点4 三角形全等的条件判断】【例4】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4B．3C．2D．1【变式4-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB ＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式4-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【变式4-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点5 等腰三角形中的分类讨论思想】【例5】（2018春•鄄城县期中）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【变式5-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式5-2】（2019秋•绥棱县期中）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【变式5-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【考点6 三种双角平分线应用】【例6】（2018春•翠屏区校级期中）已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝∠A．【变式6-1】（2019秋•新洲区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝度．【变式6-2】（2019秋•高密市期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BD的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为．【变式6-3】（2018秋•江汉区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．【考点7 线段垂直平分线的应用】【例7】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【变式7-1】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【变式7-2】（2019秋•新乡期中）如图，在△DAE中，∠DAE＝30°，线段AE，AD的中垂线分别交直线DE于B和C两点，则∠BAC的大小是．【变式7-3】（2018秋•老河口市期中）如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A＝70°，则∠BPC的度数是．【考点8 利用轴对称变换求最值】【例8】（2017秋•襄州区期中）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是【变式8-1】（2018秋•洛龙区校级期中）如图，等腰三角形ABC的面积是16，且底边BC长为4，腰AC 的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点EF，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CMD周长的最小值是．【变式8-2】（2019秋•北塘区期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．【变式8-3】（2019•黄冈期中）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．【考点9 全等三角形的判定与性质】【例9】（2019秋•吉县期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD ＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．【变式9-1】（2019•内江期中）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE 交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．【变式9-2】（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．【变式9-3】（2019秋•吴兴区校级期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE ＝90°，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【考点10 灵活运用30°直角三角形】【例10】（2018秋•天台县期中）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．【变式10-1】（2019秋•江津区校级期中）已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm．求BC的长．【变式10-2】（2019秋•重庆校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，且CF＝3．求BF．【变式10-3】（2018春•槐荫区期中）如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE ∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的大小；（2）若CD＝3，求DF的长．【考点11 灵活运用“三线合一”】【例11】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【变式11-1】（2018秋•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式11-2】（2019春•广饶县期中）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【变式11-3】（2018秋•硚口区期中）如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F．（1）求证：DF＝EF；（2）过点D作DH⊥AC于点H，求．【考点12 复杂的尺规作图】【例12】（2019秋•罗平县期中）作图题，求作一点P，使PM＝PN，且到∠AOB的两边距离也相等．【变式12-1】（2019春•东阳市期中）如图，已知△ABC．（1）用尺规作△ABC的角平分线BD（保留痕迹，不写作法）；（2）画BC边上的高AE；（3）画AB边上中线CF；（4）在AC边上找点P，使得点P到点B与点C的距离相等．【变式12-2】（2019春•雁塔区校级期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，点P到∠ABC两边的距离相等．【变式12-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．【考点13 三角形内角和与等腰三角形】【例13】（2018秋•杭州期中）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC 的度数．【变式13-1】（2019秋•沛县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC 上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B 向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．【变式13-2】（2018秋•泗阳县期中）已知，在△ABC中，点D在BC上，点E在BC的延长线上，且BD ＝BA，CE＝CA．（1）如图1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为（直接写出结果）；（3）如图2，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？【变式13-3】（2019秋•越秀区期中）在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．（1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【考点14 等腰三角形中的新定义问题】【例14】（2019秋•椒江区校级期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”．（1）请你在图1，图2中用两种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的“三阶等腰线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）．（2）如图3，△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的“三阶等腰线”，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．【变式14-1】（2019春•市北区期中）（本题画图时，直接用直尺画出相关线段即可，不需尺规作图，直接标注等腰三角形顶角度数即可，不需写出求解过程）把一张顶角为36°的等腰三角形纸片折叠两次，得到3个等腰三角形，你能办到吗？图1是其中的一种方法（虚线表示折痕）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）请你在图1后面用另一种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线①标注折痕（折痕用虚线表示）②标注得到的每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（不必标注折痕，若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）【变式14-2】（2019春•顺德区期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE 是△ABC的一条特异线；（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．【变式14-3】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A ＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【考点15 翻折变换中的角度问题】【例15】（2019春•东台市校级期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A′的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2．（1）如图①，当A′落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．（2）如图②，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．【变式15-1】（2019春•淮阴区期中）如图（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，研究（1）：如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是．研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．【变式15-2】（2019秋•李沧区期中）图形在折叠过程中会形成相等的边和相等的角，下面是同学们在数学课上所做的三角形、四边形折叠实验，请根据实验过程解决问题：问题（一）如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′和∠A的数量关系是；研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是；研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．问题（二）研究（4）：将问题（一）推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．（直接写出结论）【变式15-3】（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【考点16 三角形中的动点问题】【例16】（2019秋•全椒县期中）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF ＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．【变式16-1】（2018秋•开州区期中）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是三角形；（2）若∠BAC＜60°．①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．【变式16-2】（2018秋•十堰期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【变式16-3】（2019秋•洪山区期中）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC，求证：△DEF为等边三角形期中考试重难点题型汇编【举一反三】【人教版】【知识点1】三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上,锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n ·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 【知识点2】全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）【知识点3】轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.。

八年级上册数学期中重点难点复习试卷附答案教师版

八年级上册数学期中重点难点复习试卷附答案一、单选题（共17题；共34分）1.根据下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A. ∠B=50°，∠C=40°B. ∠B=∠C=45°C. ∠A=2∠B=3∠CD. ∠A ：∠B ：∠C=5:3:2【答案】 C【解析】【解答】A 、∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-40°=90°，是直角三角形，正确；B 、∠A=180°-∠B-∠C=180°-45°-45°=90°，是直角三角形，正确；C 、∠A+∠B+∠C=3∠C+32∠C+∠C=180°，即112∠C=180°，∴∠C=360°11 ， ∠A=1080°11>90°，是钝角三角形，错误；D 、∠A=180°×55+3+2=90°，是直角三角形，正确.故答案为：C.【分析】利用三角形内角和等于180°，分别求最大角的度数即可判断.2.下列说法错误的是（）A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段【答案】 A【解析】【解答】解：A. 三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项符合题意；B. 三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项不符合；C. 三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项不符合；D. 三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项不符合；故答案为：A.【分析】根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 3.若一个多边形有27条对角线，则这个多边形的边数（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】 B【解析】【解答】解：设多边形有n 条边，n(n −3)2=27 解得n=9或n=-6（负值舍去）．故答案为：B ．【分析】根据n 边形的对角线条数 =n(n−3)2 进行请求解即可.4.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A. 80米B. 96米C. 64米D. 48米【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．故答案为：C．【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．5.下列各组线段中，不能组成三角形的是（）A. 4，6，10B. 3，6，7C. 5，6，10D. 2，3，3【答案】A【解析】【解答】A.∵4+6=10，∴不能构成三角形，A符合题意；B.∵3+6>7，∴能构成三角形，B不符合题意；C.∵5+6>10，∴能构成三角形，C不符合题意；D.∵2+3>3，∴能构成三角形，D不符合题意；故答案为：A.【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，由此一一判断即可.6.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A. 2∠A=∠1-∠2B. 3∠A=2（∠1-∠2）C. 3∠A=2∠1-∠2D. ∠A=∠1-∠2【答案】A【解析】【分析】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论。

新苏科版八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(含解析)

期中考试重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【知识点1】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.【知识点2】全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）【知识点3】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点【知识点4】轴对称图形的概念把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴【知识点5】垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线【知识点6】轴对称性质：1、成轴对称的两个图形全等2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上【知识点7】线段的对称性1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上【知识点8】角的对称性1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴2、角平分线上的点到角的两边距离相等3、到角的两边距离相等的点在角平分线上【知识点9】等腰三角形的性质1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴2、等边对等角3、三线合一【知识点10】等腰三角形判定1、两边相等的三角形是等边三角形2、等边对等角直角三角形斜边上中线等于斜边一半【知识点11】等边三角形判定及性质1、三条边相等的三角形是等边三角形2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴3、等边三角形每个角都等于60°(补充) 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形【知识点12】等腰梯形性质1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形对角线相等【知识点13】等腰梯形判定1.、两腰相等的梯形是等腰梯形2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形【知识点14】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²＋b²＝c²【知识点15】勾股定理逆定理如果一个三角形三边a、b、c满足a²＋b²＝c²,那么这个三角形是直角三角形【知识点16】勾股数满足a²＋b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数【考点1 全等三角形的判定】【例1】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4B．3C．2D．1【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB ＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【变式1-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点2 等腰三角形中的分类讨论思想】【例2】（2018春•鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【变式2-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式2-2】（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【变式2-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【考点3 勾股定理与折叠】【例3】（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM 沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（）A．B．C．D．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．C．D．【考点4 轴对称中的最值问题】【例4】（2018秋•吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．2D．1.5【变式4-1】（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD 是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4.8C．4D．5【变式4-2】（2018秋•大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式4-3】（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC 于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．B．2C．2D．4【考点5 线段垂直平分线的应用】【例5】（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为°．【变式5-1】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【变式5-2】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【变式5-3】（2018秋•丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝．【考点6 复杂的尺规作图】【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．已知：如图，射线OA．求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-1】（2018秋•泗洪县期中）已知：如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B （1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）（2）设（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．【变式6-2】（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；（2）根据（1）求P A的长（所有可能的值）【变式6-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．【考点7 与直角三角形性质的有关综合】【例7】（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交。

2021八年级数学上册专题1.4 全等三角形章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(解析版)

专题1.4 全等三角形章末重难点题型【沪科版】【考点1 全等形的概念】【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式1-1】（2020春•山亭区期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．③和④B．②和③C．①和③D．①②【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式1-2】（2020秋•苏州期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：全等的两个图形是①和③，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式1-3】（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【答案】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【考点2 全等形的应用（网格图中求角度）】【方法点拨】解决此类问题要善于找出网格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。

【例2】（2020春•平阴县期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．【答案】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．【变式2-1】（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【答案】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．【变式2-2】（2019秋•江汉区期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．【答案】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．【变式2-3】（2019秋•莆田期末）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝．【分析】利用“SAS ”判断△AEF ≌△LBA 得到∠7＝∠EAF ，则∠1+∠7＝90°，同样方法得到∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，从而得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【答案】解：在△AEF 和△LBA 中{EF =AB ∠AEF =∠ABL AE =BL，∴△AEF ≌△LBA （SAS ），∴∠7＝∠EAF ，∴∠1+∠7＝90°，同理可得∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°，而∠4＝45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．故答案为315°．【点睛】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．【考点3 全等三角形的性质（线段的和差）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.【例3】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【答案】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式3-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE ＝2，则AD的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式3-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【考点4 全等三角形的性质（角的计算）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解. 【例4】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，可以得到∠DCB的度数，再根据△EDC≌△ABC，可以得到∠ECA的度数，从而可以求得∠BCE的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，∴∠BCD＝80°，∵△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠BCA，∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∴∠DCB＝∠ECA，∴∠ECA＝80°，∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．【变式4-1】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．【答案】解：设AD与BF交于点M，∵∠ACB＝105，∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC ＝24°，则∠BEA的度数为（）A ．54°B ．63°C ．64°D ．68°【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE ＝54°，进而得出答案．【答案】解：∵△ABC ≌△AED ，∠D ＝135°∴∠C ＝∠D ＝135°，AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠ABC ＝15°，∠D ＝∠C ＝135°，∴∠BAC ＝30°，∵∠EAC ＝24°，∴∠BAE ＝54°，则∠BEA 的度数为：12×（180°﹣54°）＝63°．故选：B ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAE ＝54°是解题关键．【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC ≌△ADE ，且AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，则∠BAC度数的值为．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，从而可以得到∠ABD ＝∠ADB ，再根据AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，即可得到∠DAE 的度数，从而可以得到∠BAC 的度数．【答案】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝130°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点5 判断全等三角形的对数】【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【例5】（2019秋•海港区期末）如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】利用“SSS”可判断△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，则∠BAC＝∠CDB，然后可根据“AAS”判断△ABE≌△DCE．【答案】解：∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），∴∠BAC＝∠CDB，∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE（AAS）．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2020春•高新区期末）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【答案】解：①在△AEO 与△ADO 中，{AE =AD∠1=∠2OA =OA(公共边)，∴△AEO ≌△ADO （SAS ）；②∵△AEO ≌△ADO ，∴OE ＝OD ，∠AEO ＝∠ADO ，∴∠BEO ＝∠CDO ．在△BEO 与△CDO 中，{∠BEO =∠CDOOE =OD ∠BOE =∠COD(对顶角相等)，∴△BEO ≌△CDO （ASA ）；③∵△BEO ≌△CDO ，∴BE ＝CD ，BO ＝CO ，OE ＝OD ，∴CE ＝BD ．在△BEC 与△CDB 中，{BE =CD ∠BEC =∠CDB CE =BD，∴△BEC ≌△CDB （SAS ）；④在△AEC 与△ADB 中，{AE =AD ∠AEC =∠ADB CE =BD，则△AEC ≌△ADB （SAS ）；⑤∵△AEC ≌△ADB ，∴AB ＝AC ．在△AOB 与△AOC 中，{AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB ≌△AOC ．综上所述，图中全等三角形共5对．故选：A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共线，AE ∥DF ，BE ∥CF ，AC ＝BD ，则图中全等三角形有（）A ．4对B ．6对C ．8对D ．10对【分析】由AC ＝BD 可得AB ＝AC ，由AE ∥DF 可得∠EAB ＝∠FDC ，由BE ∥CF 可得∠EBC ＝∠FCB ，根据等角的补角相等得出∠EBA ＝∠FCD ，利用ASA 得△ABE ≌△DCF ，进一步得其它三角形全等．【答案】解：∵AC ＝BD ，∴AB ＝AC ．∵AE ∥DF ，∴∠EAB ＝∠FDC ．∵BE ∥CF ，∴∠EBC ＝∠FCB ，∴∠EBA ＝∠FCD ．在△ABE 与△DCF 中，{∠EAB =∠FDC AB =DC ∠EBA =∠FCD，∴△ABE ≌△DCF （ASA ）．进一步得△EBC ≌△FCB ，△ECD ≌△FBA ，△AEC ≌△DFB ，△EBD ≌△FCA ，△AED ≌△FDA ，共6对．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．【变式5-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF⊥AC ，垂足分别是E ，F ．则图中共有（）对全等三角形．A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据全等三角形的判定即可求出答案．【答案】解：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，∠BAC ＝∠DCA ，在△ABD 和△CDB 中，{∠ABD =∠CDBBD =DB ∠ADB =∠CBD，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），同理：△ABC ≌△CDA （ASA ）；∴AB ＝CD ，BC ＝DA ，在△AOB和△COD中，{∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD AB=CD，∴△AOB≌△COD（AAS），同理：△AOD≌△COB（AAS）；∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，在△ABE和△CDF中，{∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD，∴△ABE≌△CDF（AAS），同理：△AOE≌△COF（AAS），△ADE≌△CBF（AAS）；图中共有7对全等三角形；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【考点6 网格中全等三角形个数问题】【方法点拨】认真观察图形，利用SSS判断即可．【例6】（2019秋•沙河口区期末）如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC 重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出4个，AC不可以，故可求出结果．【答案】解：如图所示，△ABD，△BEC，△BFC，△BGC，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，以及格点的概念等知识点，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的三条对应边分别相等．【变式6-1】（2020春•太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图所示可作3个全等的三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．【变式6-2】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（）个．A．9B．10C．11D．12【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形，所以共有12个全等三角形，除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW，△CGR，△KIW．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，应用SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．【变式6-3】（2020秋•南充期中）如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．A．4B．16C．23D．24【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【答案】解：如图所示：故选：C．【点睛】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．【考点7 全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例7】（2020春•常熟市期末）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【答案】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【答案】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【答案】解：∵BF＝CE，∴BE＝CF．①AE＝DF时，在△ABE和△DCF中，{AB=DCAE=DFBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）；故①正确；②∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFC．在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠AEF＝∠DFC．不能判定△ABE与△DCF全等，故②不正确；③∵AB∥DC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，{AB=DC ∠B=∠C BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；故③正确；④在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠A＝∠D．不能判定△ABE与△DCF全等，故④不正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．【变式7-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD ≌△CEB的有（）组．A．4B．3C．2D．1【分析】根据题目中的条件，先把AE＝CF和DF∥BE能够得到的条件写出来，然后再根据题意，写出其中的三个为条件，是否可以证明△AFD≌△CEB，本题得以解决．【答案】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），若①③④为条件，不能证明△AFD ≌△CEB ，若②③④为条件，能证明△AFD ≌△CEB （AAS ），故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．【考点8 全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例8】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【答案】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，{OM =ON OP =OP， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．【变式8-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．【答案】解：∵在△ONC和△OMC中{ON=OM CO=CO NC=MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式8-2】（2019秋•西宁期末）如图，P A⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，P A＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠POA＝∠POB，然后根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵P A⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，而P A＝PB，∴OP平分∠AOB，即∠POA＝∠POB，∴可根据：“SAS”或“AAS”或“AAS”判断△OAP≌△OBP．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．【变式8-3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【考点9 全等三角形的判定与性质（基础证明）】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例9】（2020春•工业园区期末）已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．【分析】根据HL 证明Rt △ABC 与Rt △ADC 全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE ＝∠DAE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△ADE ，进而解答即可．【答案】证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴在Rt △ABC 与Rt △ADC 中{AB =AD AC =AC， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠BAE ＝∠DAE ，在△ABE 与△ADE 中{AB =AD ∠BAE =∠DAE AE =AE，∴△ABE ≌△ADE （SAS ），∴BE ＝DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式9-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE＝AF ，CE ＝CF ，求证：CB ＝CD ．【分析】先证明△AEC ≌△AFC ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠CAF，利用角平分线的性质解答即可．【答案】证明：连接AC ，在△AEC 与△AFC 中{AC =AC CE =CF AE =AF，∴△AEC ≌△AFC （SSS ），∴∠CAE ＝∠CAF ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∴CB ＝CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．【变式9-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，BH ＝EG ，AH ＝DG ，∠C ＝∠F ．（1）求证：△ABH ≌△DEG ；（2）求证：CE ＝FB ．【分析】（1）由HL 可证明△ABH ≌△DEG ；（2）证明△ABC ≌△DEF （AAS ）．得出BC ＝EF ，则可得出结论．【答案】（1）证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，∴∠DEG ＝∠ABH ＝90°，在Rt △ABH 和Rt △DEG 中，∵{BH =EG AH =DG，∴Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．（2）∵Rt △ABH ≌Rt △DEG （HL ）．∴AB ＝DE ，在△ABC 和△DEF 中，∵{∠ABC =∠DEF =90°∠C =∠F AB =DE，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．∴BC ＝EF ，∴CE ＝FB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式9-3】（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，CE 的延长线交AB 于点G ．求证：EF ＝EG ．【分析】（1）根据已知条件可以证明△ABD 和△ACD 全等，可得∠BAD ＝∠CAD ，再证明△ABE 和△ACE 全等，即可得结论；（2）结合（1）根据△ABE 和△ACE 全等可得BE ＝CE ，再证明△BEG ≌△CEF ，即可得结论．【答案】解：（1）证明：∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ACD 中，{AB =AC AD =AD BD =CD，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAE =∠CAE AE =AE，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACE ；（2）如图，由（1）知，△ABE ≌△ACE ，∴BE ＝CE ，∠ABE ＝∠ACE ，在△BEG 和△CEF 中，{∠GBE =∠FCE BE =CE ∠GEB =∠FEC，∴△BEG ≌△CEF （ASA ），∴EG ＝EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【考点10 全等三角形的判定与性质（推理论证）】【例10】（2020春•高明区期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ．给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AC ＝3BF ．其中正确的结论为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】根据△ABD ≌△ACD 即可得到BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确；通过△CDE ≌△DBF 即可得到DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①④正确．【答案】解：∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，又∵AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD （AAS ），∴BD ＝CD ，故②正确，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，故③正确，在△CDE 与△DBF 中，{∠C =∠CBF CD =BD ∠EDC =∠BDF，∴△CDE ≌△DBF （ASA ），∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确，∵AE ＝2BF ，∴AE ＝2CE ，∴AC ＝AE +CE ＝3CE ＝3BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式10-1】（2019秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）．【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS＝AR，∠BAP＝∠P AS，可证QP∥AR，可求解．【答案】解：如图，连接AP，①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，且AP＝AP，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR＝AS，∴①正确；②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QP A，∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QP A＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式10-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB 交AC 于点M ，交C 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD ＝DN ；③△ACN ≌△ABM ；④BE ＝CF ．其中正确的结论有．（填序号）【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE 和△ACF 全等，即可得∠1＝∠2；②没有条件可以证明CD ＝DN ，即可判断；③结合①和已知条件即可得△ACN ≌△ABM ；④根据△ABE ≌△ACF ，可得BE ＝CF ，【答案】解：①在△ABE 和△ACF 中，{∠E =∠F ∠B =∠C AE =AF，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴∠EAB ＝∠F AC ，∴∠EAB ﹣∠BAC ＝∠F AC ﹣∠BAC ，∴∠1＝∠2．∴①正确；没有条件可以证明CD ＝DN ，∴②错误；∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，在△ACN 和△ABM 中，{∠C =∠B AC =AB ∠CAB =BAC，∴△ACN ≌△ABM （ASA ），∴③正确；∵△ABE ≌△ACF ，∴BE ＝CF ，∴④正确．∴其中正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．【变式10-3】（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝140°，AB ⊥CB 于点B ，AD ⊥CD 于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且∠EAF ＝70°，下列说法正确的是．（填写正确的序号）①DF ＝BE ，②△ADF ≌△ABE ，③F A 平分∠DFE ，④AE 平分∠F AB ，⑤BE +DF ＝EF ，⑥CF +CE ＞FD +EB ．【分析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，根据全等三角形的判定定理求出△ADF ≌△ABG ，根据全等三角形的性质得出AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，求出∠F AE ＝∠EAG ＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△F AE ≌△GAE ，根据全等三角形的性质得出∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，再进行判断即可．【答案】解：延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵AB ⊥CB ，AD ⊥CD ，∴∠D ＝∠ABG ＝90°，在△ADF 和△ABG 中{AD =AB ∠D =∠ABG DF =BG，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠EAF ＝70°，∠DAB ＝140°，。

八年级数学上册全套讲义-带答案

第十一章三角形11．1与三角形有关的线段11．1.1三角形的边1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题．2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．重点：三角形的三边之间的不等关系．难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．一、自学指导自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟)总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示．2．图②中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△CDE，△BCD，以E为顶点的三角形是△ABE，△BEC，△CDE，以∠D为角的三角形是△CDE，△BCD，以AB为边的三角形是△ABE，△ABC．3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1一个等腰三角形的周长为28 cm.(1)已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；(2)已知其中一边的长为6 cm，求其他两边的长．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，依题意得2×3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4 cm，12 cm，12 cm.(2)设另一边长为x cm，依题意得，当6 cm为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；当6 cm为腰长时，x＋2×6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6 cm的等腰三角形，∴其他两边的长为11 cm，11 cm.探究2某同学有两根长度为40 cm，90 cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？(40 cm，50 cm，60 cm，90 cm，130 cm)解：设第三根木条长为x cm，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60 cm或90 cm.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△ACE；以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ACD．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．A．3，4，8B．5，6，11C．2，4，53．等腰三角形一条边等于3 cm，一条边等于6 cm，则它的周长为15_cm．点拨精讲：注意三角形三边关系．(3分钟)(3分钟)1.等边三角形是特殊的等腰三角形．2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.2 三角形的高、中线与角平分线1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．难点：钝角三角形的高的画法．一、自学指导自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．(4分钟)作出下列三角形的高：如图①，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则有∠ADB ＝∠ADC ＝90°．总结归纳：三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．自学2：自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．(5分钟)作出下列三角形的中线，回答下面问题：如图①，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有DB ＝DC ＝12BC ；总结归纳：三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．(3分钟)作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：如图①，AD 是△ABC 的角平分线，则有∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ；总结归纳：三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P5页的练习题1，2.小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则：(1)∵AE 是△ABC 的中线，∴BE ＝CE ＝12BC ； (2)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ； (3)∵AF 是△ABC 的高，∴∠AFB ＝∠AFC ＝90°；(4)∵AE 是△ABC 的中线，∴BE ＝CE ，又∵S △ABE ＝12BE ·AF ，S △AEC ＝12CE ·AF ，∴S △ABE ＝S △ACE .点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．探究2 如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？解：∵12AB·CE ＝12BC·AD ，AB ＝2，BC ＝4，∴CE ＝2AD ，∴AD ∶CE ＝1∶2. 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是(C )A ．直线B ．射线C ．线段D ．射线或线段2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是(D )A ．中线B ．高C ．角平分线D ．以上都正确4．如图，D ，E 是边AC 的三等分点：(1)图中有6个三角形，BD 是三角形ABE 中AE 边上的中线，BE 是三角形DBC 中CD边上的中线，AD ＝DE ＝EC ＝13AC ，AE ＝DC ＝23AC ； (2)S △ABD ＝S △DBE ＝S △EBC ＝13S △ABC ； (3)S △ABE ＝S △DBC ＝23S △ABC ．(1分钟)1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.3 三角形的稳定性通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.一、自学指导自学：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．(5分钟) 将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：(1)如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？(2)如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变． (3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P7页练习题第1题．2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n 边形(n ＞3)最少需要加(n －3)条线段才具有稳定性．点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．探究2 等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9 cm ，15 cm 两部分，求此等腰三角形的周长是多少？解：设等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，依题意得，当x ＞y 时，⎩⎨⎧x ＋12x ＝15，y ＋12x ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝4；当x ＜y 时，⎩⎨⎧x ＋12x ＝9，y ＋12x ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝12，∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24(cm )．答：此等腰三角形的周长为24 cm .点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．课本P9页第10题．2．下列图形具有稳定性的有(C )A ．梯形B ．长方形C ．三角形D ．正方形3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性．4．已知AD ，AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，则△ABD 与△ADC 的周长之差为2_cm ；△ABD 与△ADC 的面积关系是相等．5．如图，D 是△ABC 中BC 边上的一点，DE ∥AC 交AB 边于E ，DF ∥AB 交AC 边于F ，且∠ADE ＝∠ADF.求证：AD 是△ABC 的角平分线．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAC，∠ADF＝∠DAB，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAC＝∠DAB，∴AD是△ABC的角平分线．(1分钟)三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(12分钟)11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角(1)1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．重点：三角形内角和定理的应用．难点：三角形内角和定理的证明．一、自学指导自学1：自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．(5分钟)归纳总结：三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．证明：延长BC到点D，过点B作BE∥AC，∵BE∥AC，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．自学2：自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．(5分钟)你可以用其他方法解决例2的问题吗？点拨精讲：可过点C作CF∥AD，可证得CF∥BE，同时将∠ACB分成∠ACF与∠BCF，求出这两个角的度数，就能求出∠ACB.解：过点C作CF∥AD，∵AD∥BE，∴CF∥BE，∵CF∥AD，CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC ＝50°，∠FCB＝∠CBE＝40°，∴∠ACB＝∠ACF＋∠FCB＝50°＋40°＝90°，∵∠CAB＝∠DAB －∠DAC＝80°－50°＝30°，∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P13页的练习题1，2.点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(7分钟)探究1①一个三角形中最多有1个直角；②一个三角形中最多有1个钝角；③一个三角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°．为什么？点拨精讲：三角形的内角和为180°.探究2如图，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠CGF＝70°，求∠A的度数．解：在△CGF中，∠GCF＝180°－∠CGF－∠F＝180°－70°－30°＝80°，∴∠ACB＝180°－∠GCF ＝180°－80°＝100°，在△ABC 中，∠A ＝180°－∠B －∠ACB ＝180°－45°－100°＝35°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．课本P16页复习巩固第1题．2．在△ABC 中，∠A ＝35°，∠B ＝43°，则∠C ＝102°． 3．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠A ＝40°，∠B ＝60°，∠C ＝80°．4．在△ABC 中，如果∠A ＝12∠B ＝13∠C ，那么△ABC 是什么三角形？解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠C ，∴∠B ＝2∠A ，∠C ＝3∠A ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＋2∠A ＋3∠A ＝180°，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．(3分钟)(3分钟)为了说明三角形的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.1三角形的内角(2)1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定．一、自学指导自学：自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．(2)直角三角形的两个锐角互余．(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∠A＝60°.2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？解：结论：∠ACD＝∠B.理由如下：在Rt△ACB中，∠A＋∠B＝90°，在Rt△ACD中，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD ＝∠B.点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．3．如图，∠C ＝90°，∠AED ＝∠B ，△ADE 是直角三角形吗？为什么？解：结论：△ADE 是直角三角形．理由如下：在Rt △ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°(直角三角形的两个锐角相等)．∵∠AED ＝∠B ，∴∠A ＋∠AED ＝90°，∴△ADE 是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ∥CD ，AE ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACD.求证：△ACE 是Rt △. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°，∵AE ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACD ，∴∠EAC ＝12∠BAC ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠EAC ＋∠ACE ＝12∠BAC ＋12∠ACD ＝90°，∴△ACE 是Rt △(有两个角互余的三角形是直角三角形)．探究2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD ，BD 是∠CAB ，∠CBA 的角平分线，求∠D 的度数．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＋∠CBA ＝90°，∵AD ，BD 是∠CAB ，∠CBA 的角平分线，∴∠DAB ＝12∠CAB ，∠DBA ＝12∠CBA ，∴∠DAB ＋∠DBA ＝12∠CAB ＋12∠CBA ＝45°，在△ADB 中，∠D ＝180°－(∠DAB ＋∠DBA)＝180°－45°＝135°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△ACD是Rt△.证明：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴△ACD是Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．(3分钟)(3分钟)1.直角三角形的性质：两个锐角互余．2．直角三角形的判定：①有一个角是直角；②两边互相垂直；③有两个角互余；(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.2三角形的外角1．探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质．2．能利用三角形的外角性质解决实际问题．重点：三角形外角的性质．难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题．一、自学指导自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空．(3分钟)如图1，把△ABC的边BC延长到D，我们把∠ACD叫做三角形的外角．思考：①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有2个，所以△ABC共有6个外角；③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为邻补角．总结归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；每一个三角形都有6个外角；每一个顶点相对应的外角都有2个；每个外角与它相邻的内角互为邻补角．自学2：自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用．(7分钟)如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角．能由内角∠A ，∠B 求出外角∠ACD 吗？如果能，外角∠ACD 与内角∠A ，∠B 有什么关系？认真思考，完成下面的填空：(1)∠ACB ＝50°，∠ACD ＝130°，∠A ＋∠B ＝130°，∠ACD ＝∠A ＋∠B ；(填“＞”“＜”或“＝”)(2)∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B.(填“＞”“＜”或“＝”)总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，是△BFD 的外角有∠CDA ，∠BFC ，∠DFE ，以∠AEB 为外角的三角形是△CEF ，△CEB ．2．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC 不同的三个外角，求∠1＋∠2＋∠3.解：∵∠1＝∠ABC ＋∠ACB ，∠2＝∠BAC ＋∠ACB ，∠3＝∠ABC ＋∠CAB ，∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC ＋∠ACB ＋∠BAC)，∵∠ABC ＋∠ACB ＋∠BAC ＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.3．课本P15页练习题．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，在△ABC 中，∠A ＝α，△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P ，且∠P ＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选一个结论加以证明．解：①β＝12α＋90°；②β＝12α；③β＝90°－12α.证明：(略)探究2如图，∠A＝50°，∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BPC的度数．解：连接AP并延长到点E，∵∠BPE＝∠B＋∠BAP，∠CPE＝∠C＋∠CAP，又∵∠BPC ＝∠BPE＋∠CPE，∴∠BPC＝∠B＋∠BAP＋∠C＋∠CAP＝∠BAC＋∠B＋∠C＝50°＋40°＋30°＝120°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(C)A．90°B．110°C．100°D．120°3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°．错误!错误!,第4题图)4．如图，BE∥CF，∠B＝50°，∠C＝75°，求∠A的度数．解：∵BE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∵∠ADE＝∠B＋∠A，∴50°＋∠A＝75°，∴∠A＝25°.(3分钟)(3分钟)1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角．2．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°.3．三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．3多边形及其内角和11．3.1多边形1．理解多边形的相关概念．2．认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定．重点：理解多边形的相关概述．难点：掌握正多边形的定义及判定．一、自学指导自学1：自学课本P19页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．自学2：自学课本P20页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．(3)各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．四边形有4条边，4个顶点，4个内角，8个外角；五边形有5条边，5个顶点，5个内角，10个外角；n边形有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角．2．画出下列多边形的全部对角线：3．四边形的一条对角形将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求mn的平方根．解：由题意可得m－3＝7，∴m＝10，n＝3，∴±mn＝±30.探究2：填表顶点数一个顶点可引的对角线条数对角线总共条数过一个顶点可分成三角形个数四边形 4 1 2 2 五边形 5 2 5 3 六边形 6 3 9 4 … … … … … n 边形nn －3n （n －3）2n －2学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．下列图形中，是正多边形的是(D )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．长方形D ．正方形2．过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10.3．一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数．解：设这是一个n 边形，依题意得n （n －3）2＝4n ，∵n ≥3且为整数，∴n ＝11.(3分钟)1.在初中阶段所讲的多边形指的都是凸多边形．2．已知多边形的边，可以推导出其对角线的条数和分成的三角形的个数；反过来，已知过一点所画对角线的条数或分成的三角形的个数可以推导出多边形的边数．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)11.3.2多边形的内角和探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题．重点：掌握多边形的内角和公式．难点：探索多边形的内角和公式．一、自学指导自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和公式的推导方法，完成下列填空．(5分钟)填写下列表格：多边形三角形四边形五边形六边形…n边形一个顶点可引的对角线条数0 1 2 3 …n－3所引对角线分成三角形的个数 1 2 3 4 …n－2总结归纳：三角形的内角和为180度；任意四边形的内角和为360度；任意五边形的内角和等于540度；六边形的内角和等于720度；n边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加180°．点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识(如图1，2)．自学2：自学课本P22－23例1，例2和探究，掌握多边形外角和应用．(5分钟)如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于360度，六边形的外角和是360度．总结归纳：n边形的外角和是360°．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P24页练习题1，2，3.2．七边形的内角和900°，十边形的内角和是1440°；如果一个多边形的内角和等于1260°，那么它是九边形．3．已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则∠C＝108°．4．求出正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 (1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？ (2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？解：(1)设它是n 边形，则有180°·(n －2)＝12×360°，∴n ＝3.(2)设它是n 边形，则有180°·(n －2)＝2×360°，∴n ＝6.探究2 如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，∠DAB ＝60°，AB 与DE 有怎样的位置关系？BC 与FE 有这种关系吗？解：结论：AB ∥DE ，BC ∥FE. 证明：(略)学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为12．2．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？3．已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．解：设这个边多形的边数为n ，则有180°(n －2)＝2×180°×(5－2)，∴n ＝8.(3分钟)1.已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数．2．内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)第十二章全等三角形12．1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．下列图形中的全等图形是d与g，e与h.2．如图，△ABC与△DEF能重合，则记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．,第2题图),第3题图)3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO＝DO，CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.则△OCA的周长为13_cm；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOD＝40°．点拨精讲：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？点拨精讲：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．解：①△ABC≌△DEF，A和D，B和E，C和F是对应顶点，AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△DEF是△ABC经过平移得到的．②△ABC≌△DBC，A和D，B和B，C和C是对应顶点，AB与DB，AC与DC，BC与BC是对应边，∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB是对应角，△DBC是△ABC 沿BC所在直线向下翻折得到的．③△ABC≌△AED，A和A，B和E，C和D是对应顶点，AB与AE，AC与AD，BC与ED是对应边，∠BAC与∠EAD，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角，△AED是△ABC绕点A 旋转180°得到的．探究2如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．(1)求证：BE＝CF，AC∥DF；(2)若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF，BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF.(2)结论：AB⊥BC.证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，∵∠D＋∠F＝90°，∴∠A＋∠ACB ＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC.。

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1．若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．3．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）4．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．6．如图．在△ABC中．AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线BC上从B 向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE；（1）运动秒时，AE=DC（不必说明理由）；（2）运动多少秒时，∠ADE=∠B，并请说明理由．7．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD ⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．8．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？1.解答：解：设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得：10＜x﹣1+x+x+1＜22，解得：3＜x＜7，∵x为自然数：∴x=4，5，6，7．故选：C．2.解答：解：猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．3.解答：解：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，∴∠APB=60°；（2）AC=BD，∠APB=α．4.解答：（1）①如图，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，∴∠BEC=∠AFC=90°，∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；证明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；（2）EF=BE+AF．理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF=CE，BE=CF，∵EF=CE+CF，∴EF=BE+AF．6.解：（1）设运动的时间是t秒，则CD=12﹣2t，AE=9﹣2t，9﹣2t=（12﹣2t）t=3，故答案为：3．（2）设x秒后，∠ADE=∠B，∵∠B=∠C=90°﹣∠BAC，∴∠B=∠C=∠ADE，∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，∴∠BAD=∠EDC，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴DC=AB=9，∴BD=3，∴x=，即运动秒时，∠ADE=90°﹣∠BAC，∵AB=AC=9cm，∴∠B=∠C=，即∠B=90°﹣∠BAC，∵∠ADE=90°﹣∠BAC，∴∠ADE=∠B．7.证明：（1）∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB；（2）如图1，根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，B′D′⊥AC，∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，∴四边形C′AD′B′是矩形，∴AC′=B′D′=AC=4，∴S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8；（3）如图2，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠OBF=∠OCP=120°，∴∠BOF+∠BFO=60°，∵∠POF=120°，∴∠BOF+∠OPC=60°，∴∠BFO=∠CPO，∵OP=OF，∴△OCP≌△FBO，∴CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1，∴EP=EC+CP=3+1=4，∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，∴t=4÷1=4s．8.解答：解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．1．如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．3．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．4．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．5．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系；（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG 于点E，则图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是；②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是；（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；7．（上周复习）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和G点的移动距离．1.解证明：如图，延长CD到G，使DG=BE，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，∵GF=DG+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF．3.解答：证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．4.解答：证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．5.解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；（2）解：线段EF与AF、BF的等量关系是EF=AF﹣BF，理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，∴BF=AE，∴EF=AF﹣AE=AF﹣BF，故答案为：EF=AF﹣BF；（3）①解：△ABF≌△DAE，EF=BF﹣AF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAE=90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF，故答案为：△ABF≌△DAE，EF=BF﹣AF；②解：EF=AF+BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE+AF=AF+BF，故答案为：EF=AF+BF；（4）解：与以上证法类似：△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF；即EF=BF﹣AF．6.解（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．∴BF=AC；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC．又由（1），知BF=AC，∴CE=AC=BF；证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，7.解答：在△BDF和△CDM中，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC；方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠M=∠MAC，BM=AC，∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．21．（1）证明：在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设G点的移动距离为y，当△DEG与△BFG时有：∠EDG=∠FBG，∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，当F由C到B，即0＜t≤时，则有，解得，或，解得（舍去），当F由B到C，即时，有，解得，或，解得，综上可知共有三次，移动的时间分别为2秒、4秒、5秒，移动的距离分别为6、6、5．A．100 B．105 C．120 D．1082．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°3．如图1所示为三角形纸片ABC，上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线，，，其中Q、R、S、T四点会分别在，，，上，如图2所示．若△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，则△PRS面积为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为．5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有个．6．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD=DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．7．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q 从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．8．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=；（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB 上的E处（如图3），求a的值．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．（1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是．（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．10．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．11．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．12．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？13．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．1．解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故选D．2．解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．故选A．3．解：根据题意得△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR 的面积和△PSR的面积相等．又△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，∴△PRS面积等于（16﹣5×2）÷2=3．故选C．4．解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，∴OA垂直平分PQ，∴QM=PM=3cm，∴QN=MN﹣QM=4.5cm﹣3cm=1.5cm，∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴OB垂直平分PR，∴RN=PN=4cm，∴QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm．5．解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．6．（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC，又∵AD=BC，∴AD=DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…（6分）（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．8．解：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，∵点D为AB的中点，∴D点为MN的中点，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；（2）如图3，作ED⊥OA于D，∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处，∴AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，∵θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，∴∠A=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5．9．解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=40°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN，∴∠ABN=∠A=40°，∴∠ANB=100°，∴∠MNA=50°；（2）①∵AN=BN，∴BN+CN=AN+CN=AC，∵AB=AC=8cm，∴BN+CN=8cm，∵△NBC的周长是14cm．∴BC=14﹣8=6cm．②∵A、B关于直线MN对称，∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，∴△PBC的周长最小值为14cm．10．解：如图所示：（1）如图1；作40°的角，在角的两边上截取OA=2cm，OB=1cm；（2）如图2；连接AB，即可得到符合题意的△ABC．（3）如图3，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个：a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．11．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．12．解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t；②当△BPE≌△CPQ时，BP=PC，BE=CQ，即4t=10﹣4t，at=6，解得a=4.8；当△BPE≌△CQP时，BP=CQ，BE=PC，即4t=at，10﹣4t=6，解得a=4；（2）当a=4.8时，由题意得，4.8t﹣4t=30，解得t=37.5，∴点P共运动了37.5×4=150cm，∴点P与点Q在点A相遇，当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇．∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．13．证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．1．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B 重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．2．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．3．操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由；探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．（1）BE与AD是否相等，为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．4．已知：如图，∠ACB=90°，D、E是AB上的两点，且AE=AC，BD=BC，EF⊥CD于F，求证：CF=EF．5．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．6．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．7．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围；（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．8．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，CG⊥AB，点D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC．（1）试探究DE、DF、CG三条线段之间的数量关系；（2）当点D在直线BC上移动时，线段DE、DF、CG之间的数量关系相应地会发生怎样的变化呢？请说明理由．1．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．2．解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．3．解：思考验证：过A点作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（HL），∴∠B=∠C；探究应用：（1）说明：因为BD⊥EC，∴∠CEB+∠1=90°，∠1+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠BEC，在△ADB和△BEC中，∴△DAB≌△EBC（ASA）．∴DA=BE．（2）∵E是AB中点，∴AE=BE．∵AD=BE，∴AE=AD．在△ABC中，因为AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∴∠BAC=∠DAC．在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC=CE．∴C在线段DE的垂直平分线上．∵AD=AE，∴A在线段DE的垂直平分线上．∴AC垂直平分DE．（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD=CE．∵△ADB≌△BEC，∴DB=CE．∴CD=BD．∴∠DBC=∠DCB．4．证明：连接CE．∵AE=AC，∴∠1+∠2=∠AEC=∠3+∠B．①同理，∠2+∠3=∠1+∠A．②①+②得2∠2=∠A+∠B．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．∴∠2=45°．∵EF⊥CD，∴∠CFE=90°．∴∠CEF=45°=∠2，∴EF=CF．5．解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD=∠CDB=90°﹣x，∠A=180°﹣x﹣y．而∠ADB＞90°，此时只能有∠A=∠ABD，即180°﹣x﹣y=y﹣（90°﹣x）即3x+4y=540°，即∠ABC=135°﹣∠C；②若∠C是底角，第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y﹣x．由AB=AD，得2x=y﹣x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．由AB=BD，得180°﹣x﹣y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°﹣3∠C．由AD=BD，得180°﹣x﹣y=y﹣x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°﹣x＞90°，此时只能有AD=BD，从而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°﹣∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角6．解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ，∴△FDC ≌△HCD （AAS ）∴DF=CH ，∴GH +CH=DE +DF=CG ，即DE +DF=CG ．7．解：（1）由折纸过程可知0＜5x ＜26，∴0＜x ＜．（2）∵图④为轴对称图形，∴AM=+x=13﹣，即点M 与点A 的距离是（13﹣）cm ．8．解：（1）CG=DE +DF ．理由如下：如图1，连结AD ，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴AB ×CG=AB ×DE +AC ×DF ，∵AB=AC ，∴CG=DE +DF ．（2）如图2，点D 在CB 的延长线上，连接AD ，∵S △ACD =S △ABD +S △ABC ，∴AC ×DF=AB ×DE +AB ×CG ，∵AB=AC ，∴DF=DE +CG ．如图3，点D 在CB 的延长线上，连接AD ，∵S △ABD =S △ACD +S △ABC ，∴AB ×DE=AB ×CG +AC ×DF ，∵AB=AC ，∴DE=CG +DF ．1．如图，∠MAN=16°，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是（） 2．如图，等边△ABC 的边长为3，F 为BC 边上的动点，FD ⊥AB 于D ，FE ⊥AC 于E ，则DE 的长为（）3．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF +EF 的最小值为．4．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有个．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A l B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC 与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；6．（2003•镇江）已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（图（2），图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由，要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数）7．（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．8．观察与发现：（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？实践与运用：如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B 落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．（2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．9．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．10．已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数是（）11．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）12．已知等腰三角形腰长为2cm，面积为1cm2，则这个等腰三角形的顶角为．13．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为．。

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