最新人教版数学精品教学资料数学课堂同步练习册（人教版九年级下册）参考答案第二十六章 二次函数26.1 二次函数及其图象（一）一、 D C C 二、 1. ≠0，=0，≠0，=0，≠0 =0， 2. x x y 62+=3. )10(x x y -= ，二三、1. 23x y = 2.（1）1,0,1 （2）3,7，-12 （3）-2,2,0 3. 2161x y = §26.1 二次函数及其图象（二）一、 D B A 二、1. 下，（0,0），y 轴，高 2. 略 3. 答案不唯一，如22x y -= 三、1.a 的符号是正号，对称轴是y 轴，顶点为（0,0） 2. 略3. (1) 22x y -= (2) 否 (3)(),6-；(),6-§26.1 二次函数及其图象（三）一、 BDD 二、1.下， 3 2. 略 三、1. 共同点：都是开口向下，对称轴为y 轴．不同点：顶点分别为（0，0）；（0，２）；（0，－２） .2. 41=a 3. 532+-=x y §26.1 二次函数及其图象（四）一、 ＤＣＢ 二、1. 左，１， 2. 略 3. 向下，3-=x ，（－３，０） 三、1. 3,2a c ==- 2. 13a =3. ()2134y x =-§26.1 二次函数及其图象（五）一、C D Ｂ 二、1. 1=x ，(1,1) 2. 左，1，下，2 3.略三、1.略2．（1）()212y x =+- （2）略 3. (1)3)2(63262--=-===x y k h a(2)直线2223x =>-小2．（1）()212y x =+- （2）略 §26.1 二次函数及其图象（六） 一、B B D D 二、1.23)27,23(=x 直线 2. 5；5;41<-3. < 三、1. ab ac a b x a y x y x y 44)2(32)31(36)4(2222-++=---=--= 略2. 解：（1）设这个抛物线的解析式为2y ax bx c =++．由已知，抛物线过(20)A -，，(10)B ，，(28)C ，三点，得4200428a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，．解这个方程组，得 224a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴所求抛物线的解析式为2224y x x =+-．（2）222192242(2)222y x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭．∴该抛物线的顶点坐标为1922⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． §26.2 用函数观点看一元二次方程一、 C D D 二、1.（-1，0）；（2，0） （0，-2） 2. 一 3. 312-或； 231<<-x ； 312x x <->或 三、1.（1）1x =-或3x = （2）x ＜-1或x ＞3（3）1-＜x ＜3 2.（1）()21232y x =--+ （2）()20和()20 §26.3 实际问题与二次函数（一）一、 A C D 二、1. 2- 大 18 2. 7 3. 400cm 2三、1.(1)当矩形的长与宽分别为40m 和10m 时，矩形场地的面积是400m 2(2)不能围成面积是800m 2的矩形场地.（3）当矩形的长为25m 、宽为25m 时，矩形场地的面积最大，是625m 22.m ，矩形的一边长为2x m .其相邻边长为((2041022xx -+=-∴该金属框围成的面积(121022S x x ⎡⎤=⋅-++⎣⎦(2320x x =-++ （0＜x＜10-当30x ==-.此时矩形的一边长为)260x m =-，相邻边长为((()10210310m -+⋅-=.()21003300.S m =-=-最大26.3 实际问题与二次函数（二）一、A B A 二、1. ２ 2. 250(1)x + 3.252或12.5 三、1. 40元 当5.7=x 元时，625=最大W 元 2. 解：（1）降低x 元后，所销售的件数是（500+100x ）,y=－100x 2+600x+5500 （0＜x ≤11 ）（2）y=－100x 2+600x+5500 （0＜x ≤11 ）配方得y=－100（x －3）2+6400 当x=3时，y 的最大值是6400元。
北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( ) A． sin A= B．cos A=C．sin A= D．tan A=2．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A． B． C． D．3．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．C. D．二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案1．C[提示：sinA=．]2．D[提示：过A点作垂线交底部于C点，则△ACB为直角三角形，∴BC＝＝8(m)，∴tan a＝＝．故选D．]3．B[提示：∠ADE和∠EDC互余，∴cos a＝sin∠EDC＝，sin∠EDC＝∴EC=.由勾股定理，得DE＝．在Rt△AED中，cos a＝,∴AD＝．故选B．]4．4[提示：在Rt△BCA中，AC＝3米，cos∠BAC＝，所以AB＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin2a＋cos2 a＝l，∴a＝48°．]6．提示：sin A＝，cos A＝，tan A=.7．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB＝16，∴CD=4，∴AC=．∴sin A==，cos A＝，tan A=. 8．解：(1)如图l－27所示，作BH⊥OA，垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH=3，∴OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)． (2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB＝，∴cos∠BAO== ．9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，∴BD＝B C= AD，即AD＝2BD，∴AB＝BD，∴tan∠ABC==2,sin∠ABC== (2)作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中，sinC=sin∠ABC=.又∵sin C=∴故BE=（米）.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且 sin A＝，cos B＝，则△ABC三个角的大小关系是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠C＞∠AC．∠A＞∠B＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin－|＋，则tan的值等于（）A． B． C． D．3．如图1—37所示，在△ABC中，∠A=30°，tan B＝，AC＝，则AB的长是 ( ) A．3＋ B．2＋C. 5 D．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是( ) A．a B．a C.a D．a或a二、选择题5．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则tan= ．6．若a为锐角，且sin a=,则cos a= ．7．在Rt△ACB中，若∠C＝90°，sin A＝,b＋c＝6，则b= ．8．(1)在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则 cos B＝________；(2)已知为锐角，且cos(90°－)＝，则＝________；(3)若，则锐角＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－.(2) 2 cos230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt△ACB中，∠BCA＝90°，CD是斜边上的高，∠ACD＝30°，AD ＝1，求AC，CD，BC，BD，AB的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A，B两处观测工厂C，测得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，则A，B两处到工厂C的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案1． D； 2 。
华东师大版九年级数学下册全册课时练习26.1 二次函数1．下列函数，属于二次函数的是( )A．y＝2x＋1 B．y＝(x－1)2－x2 C．y＝2x2－7 D．y＝－1x22．函数y＝(m－5)x2＋x是二次函数的条件为( )A．m为常数，且m≠0 B．m为常数，且m≠5C．m为常数，且m＝0 D．m可以为任何数3．已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表达式为( )A．V＝14r2 B．r＝14πV C．V＝14πr2 D．r＝V14π4．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为( ) A．y＝1＋x2 B．y＝a (1＋x) C．y＝a (1＋x2) D．y＝a (1＋x)25．用一根长为10 m的木条，做一个长方形的窗框，若长为x m，则该窗户的面积y(m2)与x (m)之间的函数表达式为．6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，经过调查发现，若每件商品的售价为x 元，可卖出(350－10x)件商品,则所获得的利润y(元)与售价x(元)之间的函数表达式为．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝45°.设BD＝x，AE＝y，则y关于x的函数表达式为．(不要求写出自变量x的取值范围)8．已知二次函数y＝x2－bx－2，当x＝2时，y＝－2，求当函数值y＝1时，x的值．9．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，相框内部的面积(指图中较小矩形的面积)为y cm2.(1)写出y与x的函数表达式；(2)若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售价定为x元，每天所赚利润为y元．(1)请你写出y与x之间的函数表达式；(2)当利润等于360元时，求每件商品的售价．参考答案1-4 CBCD5. y＝－x2＋5x6. y＝－10x2＋560x－73507. y＝x2－2x＋1 8.3或－19.(1)y＝4x2－92x＋520(0＜x＜10) (2)3 cm10.(1)y＝－10x2＋280x－1600(10≤x≤20)(2)14元26.2.1 二次函数y=2ax的图象与性质一．选择题1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C． D．2．函数y=ax2+1与y=a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）xA． B.C． D.3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C． D.4．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图，则一次函数y=mx+n与反比例的图象可能是（）函数y=m nxA. B.C. D.二．填空题5．下列函数，当x＞0时，y随x的增大而减小的是．(填序号)（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3）2yx=-，（4）y=﹣x2．6．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是；若y＞2，则自变量x的取值范围是．7．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是．三．解答题8．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．（1）求出m的值并画出这条抛物线.（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？9．分别在同一直角坐标系内，描点画出y=x2+3与y=x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．参考答案一． 1．C 2．B 3．D 4.C二．5．（1）（4） 6．x=120＜x＜1 7．2三． 8．解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3），得m=3．∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．列表得：图象如右图．（2）由﹣x2+2x+3=0，得x1=﹣1，x2=3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．9．解：抛物线y=x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）.抛物线y=x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3），则它们的图象如图.26.2.2 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质1．如图，将抛物线y＝13x2向________平移________个单位得到抛物线y＝13x2＋2；将抛物线y＝13x2向________平移________个单位得到抛物线y＝13x2－2.2．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的关系式为( )A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)2 3．不画出图象，回答下列问题：(1)函数y ＝4x 2＋2的图象可以看成是由函数y ＝4x 2的图象通过怎样的平移得到的？(2)说出函数y ＝4x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)如果要将函数y ＝4x 2的图象经过适当的平移，得到函数y ＝4x 2－5的图象，应怎样平移？4．抛物线y ＝－12x 2－6的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________；当x ________时，y 有最________值，其值为________；当x ________0时，y 随x 的增大而增大，当x ________0时，y 随x 的增大而减小．5．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的有________．(填序号) ①y ＝－x ＋1，②y ＝2x ，③y ＝－2x，④y ＝－x 2.6．已知点(－1，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2都在函数y ＝12x 2－2的图象上，则y 1______y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．二次函数y ＝2x 2＋1，y ＝－2x 2－1，y ＝12x 2－2的图象的共同特征是( )A ．对称轴都为y 轴B ．顶点坐标相同C ．开口方向相同D ．都有最高点8．二次函数y ＝－x 2＋1的图象大致是( )9．二次函数y ＝2x 2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点(2，3)C ．抛物线的对称轴是直线x ＝1D ．抛物线的顶点坐标是(0，－3)10．已知二次函数y ＝ax 2＋c 有最大值，其中a 和c 分别是方程x 2－2x －24＝0的两个根，试求该二次函数的关系式．11．在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是( )12．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( ) A ．－1≤y ≤5 B ．－5≤y ≤5 C ．－3≤y ≤5 D ．－2≤y ≤113．已知函数y ＝⎩⎨⎧x 2＋1（x ≥－1），2x （x <－1），则下列函数图象正确的是( )14．已知二次函数y ＝ax 2＋k 的图象上有A (－3，y 1)，B (1，y 2)两点，且y 2<y 1，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤015．小华同学想用“描点法”画二次函数y ＝ax 2＋c 的图象，取自变量x 的5个值，分别计算出对应的y 值，如下表：由于粗心，小华算错了其中的一个y 值，请你指出这个算错的y 值所对应的x ＝________．16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋4与y 轴交于点A ，过点A 且与x 轴平行的直线交抛物线y ＝14x 2于点B ，C ，则BC 的长为________．17．能否适当地上下平移函数y ＝12x 2的图象，使得到的新图象过点(4，－2)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．18．已知抛物线y＝12x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？19．已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2－4的一个交点坐标为(3，5)．(1)求抛物线所对应的函数关系式；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)如果直线y＝kx＋b经过抛物线y＝ax2－4与x轴的交点，试求该直线所对应的函数关系式．参考答案1．上 2 下 22．A3．解：(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象向上平移2个单位得到的．(2)函数y＝4x2＋2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．(3)将函数y＝4x2的图象向下平移5个单位得到函数y＝4x2－5的图象．4．下(0，－6) y轴(或直线x＝0) ＝0 大－6 < >5．①④6．>7．A 8.B 9.D10．解：解方程x2－2x－24＝0，得x1＝－4，x2＝6.因为函数y＝ax2＋c有最大值，所以a＜0.而a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，所以a＝－4，c＝6，所以该二次函数的关系式是y＝－4x2＋6.11．D .12. C13．C14．A15．2 16．817．解：能．设将函数y＝12x2的图象向上平移c个单位后，所得新图象过点(4，－2)，所得新图象为抛物线y＝12x2＋c.将(4，－2)代入y＝12x2＋c，得－2＝12×16＋c，c＝－10，∴将函数y＝12x2的图象向下平移10个单位后，所得新图象过点(4，－2)．18．解：设将抛物线y＝12x2向下平移b(b＞0)个单位，得到的抛物线的关系式为y＝12x2－b.不妨设点A在点B的左侧，由题意可得A(－2b，0)，B(2b，0)，C(0，－b)．∵△ABC是直角三角形，∴OB＝OC＝OA，即2b＝b，解得b＝0(舍去)或b＝2，∴若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移2个单位.19．解：(1)将交点坐标(3，5)代入y＝ax2－4，得9a－4＝5，解得a＝1.故抛物线所对应的函数关系式为y ＝x 2－4.(2)在y ＝x 2－4中，令y ＝0可得x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2. 故抛物线与x 轴的交点坐标为(－2，0)和(2，0)． (3)需分两种情况进行讨论：①当直线y ＝kx ＋b 经过点(－2，0)时，由题意可知 ⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝2，故该直线所对应的函数关系式为y ＝x ＋2；②当直线y ＝kx ＋b 经过点(2，0)时，由题意可知⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，3k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧k ＝5，b ＝－10，故该直线所对应的函数关系式为y ＝5x －10.综上所述，该直线所对应的函数关系式为y ＝x ＋2或y ＝5x －10.26.2.3二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质1．将抛物线y ＝x 2向________平移________个单位得到抛物线y ＝(x ＋5)2；将抛物线y ＝x 2向________平移________个单位得到抛物线y ＝(x －5)2.2．下列方法可以得到抛物线y ＝25(x －2)2的是( )A ．把抛物线y ＝25x 2向右平移2个单位B ．把抛物线y ＝25x 2向左平移2个单位C．把抛物线y＝25x2向上平移2个单位D．把抛物线y＝25x2向下平移2个单位3．顶点是(－2，0)，开口方向、形状与抛物线y＝12x2相同的抛物线是( )A．y＝12(x－2)2 B．y＝12(x＋2)2C．y＝－12(x－2)2 D．y＝－12(x＋2)24．抛物线y＝12(x＋3)2的开口向______；对称轴是直线________；当x＝______时，y有最______值，这个值为________；当x________时，y随x的增大而减小．5．对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2( )A．开口方向相同 B．对称轴相同C．顶点相同 D．都有最高点6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法中正确的是( )A．其图象开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x>－3时，y随x的增大而减小7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是( )8．已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“<”“>”或“＝”)9．在平面直角坐标系中画出函数y＝－12(x－3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝－12x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．10．如图是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．已知二次函数y＝－(x－h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x ＞－3时，y随x的增大而减小．当x＝0时，y的值为( )A．－1 B．－9 C．1 D．912．将抛物线y＝ax2－1平移后与抛物线y＝a(x－1)2重合，抛物线y＝ax2－1上的点A(2，3)同时平移到点A′的位置，那么点A′的坐标为( )A ．(3，4)B ．(1，2)C ．(3，2)D ．(1，4)13．已知抛物线y ＝a (x －h )2的形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，且顶点坐标为(－2，0)，则a ＋h ＝________．14．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图所示，若点A (－2，y 1)，B (－4，y 2)是该图象上的两点，则y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)15．若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为二次函数y ＝(x －2)2图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____________．16．已知直线y ＝kx ＋b 经过抛物线y ＝－12x 2＋3的顶点A 和抛物线y ＝3(x－2)2的顶点B ，求该直线的函数关系式．17．已知二次函数y ＝(x －3)2.(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值． (2)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)位于对称轴右侧的抛物线上，且x 1<x 2，试比较y 1与y 2的大小关系．(3)抛物线y ＝(x ＋7)2可以由抛物线y ＝(x －3)2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．18．一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，对称轴与抛物线y＝1 2 (x＋2)2的对称轴相同，且顶点在x轴上，求这条抛物线所对应的函数关系式．19．已知抛物线y＝13x2如图所示．(1)抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值；(2)画出(1)中平移后的图象；(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．参考答案1．左 5 右 5 2．A 3．B4．上x＝－3 －3 小0 <－35．A 6．D 7．D 8．>9．解：图略．(1)该函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)．(2)二次函数y＝－12(x－3)2的图象是由二次函数y＝－12x2的图象向右平移3个单位得到的．(3)当x >3时，y 随x 的增大而减小． 10．B 11．B 12．A 13．－4 14．＝ 15．y 1＞y 2＞y 316．解：抛物线y ＝－12x 2＋3的顶点A 的坐标为(0，3)，抛物线y ＝3(x －2)2的顶点B 的坐标为(2，0)．∵直线y ＝kx ＋b 经过点A ，B ， ∴⎩⎨⎧b ＝3，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝3，∴该直线的函数关系式为y ＝－32x ＋3.17．解：(1)因为a ＝1>0，所以该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为(3，0)；当x ＝3时，y 最小值＝0，没有最大值．(2)因为当x >3时，y 随x 的增大而增大．又因为3<x 1<x 2，所以y 1<y 2. (3)可以．将抛物线y ＝(x －3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y ＝(x ＋7)2.18．解：根据题意设这条抛物线所对应的函数关系式为y ＝a (x －k )2. ∵这条抛物线的形状与抛物线y ＝2x 2的形状相同，∴|a |＝2，即a ＝±2. 又∵这条抛物线的对称轴与抛物线y ＝12(x ＋2)2的对称轴相同，∴k ＝－2，∴这条抛物线所对应的函数关系式为y ＝2(x ＋2)2或y ＝－2(x ＋2)2.19．解：(1)平移后得到的抛物线对应的函数关系式为y ＝13(x －m )2，把(0，3)代入，得3＝13(0－m )2，解得m 1＝3，m 2＝－3.因为m >0，所以m ＝3.(2)如图所示．(3)如图，由题意可知平移后抛物线的函数关系式为y ＝13(x －3)2，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，34，点C 的坐标为(6，3)，点P 为直线BC 与抛物线y ＝13(x －3)2的对称轴(直线x ＝3)的交点．设直线BC 所对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧32k ＋b ＝34，6k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝0，即直线BC 所对应的函数关系式为y ＝12x ，当x ＝3时，y ＝32，因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32.26.2.4二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质1．二次函数y ＝－3()x －42＋2的图象是由抛物线y ＝－3x 2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到的．2．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－53．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位4．在同一平面直角坐标系内，将抛物线y＝(x－2)2＋5先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为( )A．(4，4) B．(4，6)C．(0，6) D．(0，4)5．抛物线y＝3(x－2)2＋3的开口________，顶点坐标为________，对称轴是________；当x>2时，y随x的增大而________，当x<2时，y随x的增大而________；当x＝________时，y有最________值是________．6.如图所示为二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，则a________0，h________0，k________0.(填“＞”“＜”或“＝”)7．二次函数y＝(x－2)2－1的图象不经过的象限为( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)9．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋2，则下列说法正确的是( )A．其图象开口向上B．其图象与y轴的交点坐标为(－1，2)C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．其图象的顶点坐标是(－1，2)10．二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象如图所示．(1)求b，k的值；(2)二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y＝－x2的图象？11．已知二次函数y＝34(x－1)2－3.(1)画出该函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x 的变化情况；(2)函数y有最大值还是最小值？并写出这个最大(小)值；(3)设函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标．12．若抛物线y ＝(x －1)2＋2不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的关系式变为( )A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x －2)2＋5C ．y ＝x 2－1D ．y ＝x 2＋413．如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A (1，m )，B (4，n )平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋414．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋c的大致图象可能是图26－2－21中的( )15．已知二次函数y ＝－(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数y 的最大值为－1，则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或616．已知二次函数y ＝－(x ＋k )2＋h ，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是________．17．已知抛物线y ＝()x ＋m －12＋m ＋2的顶点在第二象限，试求m 的取值范围．18．如图，抛物线y ＝－(x －1)2＋4与y 轴交于点C ，顶点为D . (1)求顶点D 的坐标； (2)求△OCD 的面积．19．已知抛物线y ＝3()x ＋12－12如图所示． (1)求出该抛物线与y 轴的交点C 的坐标； (2)求出该抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； (3)如果抛物线的顶点为D ，试求四边形ABCD 的面积．参考答案1．右 4 上22．A 3．B 4．D5．向上(2，3) 直线x＝2 增大减小 2 小 36．< > >7．C 8．B 9．D10．解：(1)由图象可得二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(1，3)．因为二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(b，k)，所以b＝1，k ＝3.(2)把二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到二次函数y＝－x2的图象(其他平移方法合理也可)．11．解：(1)画函数图象略．∵a＝34＞0，∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)．当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．(2)∵a＝34＞0，∴函数y有最小值，最小值为－3.(3)令x＝0，则y＝34×(0－1)2－3＝－94，所以点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－94.12．C 13．D 14．A 15．B16．k≥2 [解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－k，因为a＝－1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＞－k时，y随x的增大而减小．又因为当x＞－2时，y随x的增大而减小，所以－k≤－2，所以k≥2.17．解：因为y ＝()x ＋m －12＋m ＋2＝[x －(－m ＋1)]2＋(m ＋2)，所以抛物线的顶点坐标为(－m ＋1，m ＋2)．因为抛物线的顶点在第二象限，所以⎩⎨⎧－m ＋1<0，m ＋2>0，即⎩⎨⎧m >1，m >－2，所以m >1. 18．解：(1)顶点D 的坐标为(1，4)． (2)把x ＝0代入y ＝－(x －1)2＋4，得y ＝3， 即OC ＝3，所以△OCD 的面积为12×3×1＝32.19．解：(1)当x ＝0时，y ＝－9，所以点C 的坐标为(0，－9)．(2)当y ＝0时，3()x ＋12－12＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，所以点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(1，0)．(3)由抛物线所对应的函数关系式可知点D 的坐标为(－1，－12)，设对称轴与x 轴交于点E ，则点E 的坐标为(－1，0)，所以S 四边形ABCD ＝S △ADE ＋S 梯形OCDE ＋S △BOC ＝12×2×12＋12×1×(9＋12)＋12×1×9＝27.26.2.5二次函数y =a 2x +bx +c 的图象与性质一．选择题1．已知二次函数y =ax 2﹣2x +2（a ＞0），那么它的图象一定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D.第四象限2.抛物线y =2x 2，y =﹣2x 2，y =12x 2共有的性质是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是y 轴 C.都有最低点 D.y 的值随x 的增大而减小3．抛物线y =2x 2+1的顶点坐标是（ ） A.（2，1）B ．（0，1）C ．（1，0）D ．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B.对称轴是直线x=12C．当x＜12，y随x的增大而减小 D.当﹣1＜x＜2时，y＞0二．填空题6．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是（填“上升”或“下降”）．7．二次函数y=x2﹣4x﹣5图象的对称轴是直线．8．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是．三．解答题9．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．10．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴.（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？11．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y =x 2﹣x ﹣1与x 轴的交点为（m ，0），求代数式m 2+21m的值．参考答案1.C2. B3. B4. C5. D6.上升7.x =28. a ＜﹣3 9． 解：列表，得10．解：（1）∵二次函数y =a （x ﹣h ）2O （0，0），A （2，0）．解得h =1，a =， ∴抛物线的对称轴为直线x =1.（2）点A ′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，过点A ′作A ′B ⊥x 轴于点B ， ∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′， ∴OA ′=OA =2，∠A ′OA =60°. 在Rt△A ′OB 中，∠OA ′B =30°， ∴OB =12OA ′=1，∴A ′B∴点A ′的坐标为（1），∴点A ′为抛物线y =x ﹣1）2的顶点．11.解：(1) y =x 2﹣x ﹣1=x 2﹣x +14﹣1﹣14=（x ﹣12）2﹣54， 所以顶点坐标是（12，﹣54），对称轴是直线x =12. （2）当y =0时，x 2﹣x ﹣1=0，解得x 或x当m时，m 2+21m =）2+2=；当mm 2+21m =22+=64-（），故m 2+21m=3．26.2.6 二次函数最值的应用1．二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最________值(填“大”或“小”)，把函数关系式配方得____________，其图象的顶点坐标为________，故其最值为________．2．某二次函数的图象如图所示，根据图象可知，当x＝________时，该函数有最______值，这个值是________．3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数y＝ax2＋bx＋c有( )A．最小值－3 B．最大值－3C．最小值2 D．最大值24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )A．函数有最小值－5，最大值0 B．函数有最小值－3，最大值6 C．函数有最小值0，最大值6 D．函数有最小值2，最大值6 5．若二次函数y＝ax2＋bx＋1同时满足下列条件：①图象的对称轴是直线x ＝1；②最值是15.则a的值为( )A．14 B．－14 C．28 D．－286．一小球被抛出后，它距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1米 B．5米 C．6米 D．7米7．某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图26－2－32)．若喷水时水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋1.25，则在喷水过程中水流的最大高度为( )图26－2－32A．1.25 m B．2.25 mC．2.5 m D．3 m8．如图26－2－33，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )A．60 m2 B．63 m2C．64 m2 D．66 m29．飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝60t－32t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线的长x(cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x的值是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？11．用长8 m的铝合金条制成矩形窗框(如图所示)，使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2 B.43m2 C.83m2 D．4 m212．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当三角尺MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设三角尺的另一直角边PN与边CD相交于点Q，则CQ的最大值为( )A．4 B.94C.92D.17413．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝12x上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x( )A．有最大值，最大值为－92B．有最大值，最大值为92C．有最小值，最小值为92D．有最小值，最小值为－9214．如图26－2－36，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s 时，四边形EFGH的面积最小，其最小面积是________cm2.15．如图，矩形ABCD 的周长为20，求： (1)矩形ABCD 的面积的最大值； (2)矩形ABCD 的对角线的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝12x 2＋x －4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．17．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润y 1(元)与国内的销售数量x (千件)之间的关系为y 1＝⎩⎨⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2＜x ＜6）.若在国外市场销售，则平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t (千件)之间的关系为y 2＝⎩⎨⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2＜t ＜6）.(1)用含x 的代数式表示t 为t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w (千元)与国内的销售数量x (千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？参考答案1．小 y ＝(x －1)2＋5 (1，5) 5 2．2 小 －13．B 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．2010．解：(1)S ＝12x (60－x )＝－12x 2＋30x .(2)在S ＝－12x 2＋30x 中，a ＝－12<0，∴S 有最大值．当x ＝－b2a＝－302×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝30时， S 取得最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0－3024×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝450. ∴当x 的值为30时，菱形风筝的面积S 最大，最大面积是450 cm 2. 11．C .12．B 13．B14．3 18 [解析] 设运动时间为t s(0≤t ≤6)，则AE ＝t cm ，AH ＝(6－t )cm.根据题意，得S 四边形EFGH ＝S 正方形ABCD －4S △AEH ＝6×6－4×12t (6－t )＝2t 2－12t＋36＝2(t －3)2＋18，∴当t ＝3时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3，18.15．解：(1)∵设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ， ∴矩形ABCD 的面积S ＝x (10－x )＝－x 2＋10x ＝－(x －5)2＋25， ∴当x ＝5时，S 最大＝25.即矩形ABCD 的面积的最大值为25.(2)设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ，对角线长为y ， ∴y 2＝x 2＋(10－x )2＝2x 2－20x ＋100＝2(x －5)2＋50， ∴当x ＝5时，y 最小2＝50，∴矩形ABCD 的对角线的最小值为5 2.16．解：(1)当x ＝0时，y ＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)．当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(2，0)．(2)过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n )，则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4，∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMCO －S △ACO＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12×4×4＝－2n －2m －8 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋m －4－2m －8＝－m 2－4m (－4<m <0)． ∵S ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∴当m ＝－2时，S 最大值＝4. 17．解：(1)6－x 5x ＋80 6(2)当0＜x ≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝10x 2＋40x ＋480； 当2＜x ≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝－10x 2＋80x ＋480； 当4＜x ＜6时，w ＝(－5x ＋130)x ＋100(6－x )＝－5x 2＋30x ＋600.所以w ＝⎩⎨⎧10x 2＋40x ＋480（0＜x ≤2），－10x 2＋80x ＋480（2＜x ≤4），－5x 2＋30x ＋600（4＜x ＜6）.(3)当0＜x ≤2时，w ＝10x 2＋40x ＋480＝10(x ＋2)2＋440，此时，当x ＝2时，w 最大值＝600；当2＜x ≤4时，w ＝－10x 2＋80x ＋480＝－10(x －4)2＋640，此时当x ＝4时，w 最大值＝640；当4＜x ＜6时，w ＝－5x 2＋30x ＋600＝－5(x －3)2＋645，此时当4＜x ＜6时，w ＜640.所以当x ＝4时，w 最大值＝640.所以该公司每年国内销售4千件、国外销售2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为64万元(或640千元)．26.2.7 求二次函数的表达式一．选择题1．如果二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，那么（ ）A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜02．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图，则a的取值范围为（）A.a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D.a＜03．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1过原点，则m的值为（）A.±1B．0 C．1 D.﹣14．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（）A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+1 D． y=（x﹣1）2﹣1 二．填空题5．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是．6．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a b．（填“＞”“＜”或“=”）．7．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线的顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为．三．解答题8．在平面直角坐标系内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．9．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．10．已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．参考答案1.C2.B3.D4. D5. （3，﹣3）6. ＜7. y=3（x﹣2）2+2．8.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，∴0, 422,5, ca ba b=⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩解得2,3,0, abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．（2）∵y=﹣2x2﹣3x=﹣2（x+34）2+98，∴抛物线的顶点坐标为（﹣34，98）．9.解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC=AB=5，∴点C的坐标为（0，5）.（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+5，把点A（﹣1，0）、B（4，0）的坐标分别代入原函数解析式，得a=﹣54，b=154.∴二次函数的解析式为y=﹣54x2+154x+5．10.解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，∴抛物线的表达式为y=x2﹣5x+6.（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6,∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），∴S△ABC=12×（3﹣2）×6=3．26.3 实践与探索一．选择题1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a ﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③2已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1 B．直线x=1 C．直线x=﹣D．直线x=4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△O AB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞18．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限二．填空题9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为_________ ．10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_________ ．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为_________ 个．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 …y … 5 2 1 2 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是_________ ．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．。
26.1 反比例函数一、选择题上，则y1，y2，y3的1.已知(−3,y1)，(−15,y2)，(2,y3)在反比例函数y=−y2y大小关系为()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2，下列说法正确的是()2.对于反比例函数y=2yA. 图象经过点(1,−2)B. 图象在第二、四象限C. 当y>0时，y随x的增大而增大D. 当y<0时，y随x的增大而减小3.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数y=−6(y<0)上一个动点，yy⊥y轴于点B，y当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会()A.先增后减B. 先减后增C. 逐渐减小D. 逐渐增大的图象上，则下列各点在此函数图象上的是() 4.点(2,−3)在反比例函数y=yyA. (2,3)B. (3,−2)C. (−2,−3)D. (−6,−1)(y≠0)，它们在同一坐标系内5.如图，已知关于x的函数y=y(y−1)和y=yy的图象大致是()A. B.C. D.6.在反比例函数y=yy中，当y=−1时，y=−4，如果y的取值范围为−4≤y≤−1，则x的取值范围是()A. 1<y<4B. 4<y<1C. −1<y<−4D. −4≤y≤−17.反比例函数y=y+3y的图象在二、四象限，则k的取值范围是()A. y≤3B. y≥−3C. y>3D. y<−38.如图，两个边长分别为a，y(y>y)的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=yy在第一象限的图象经过小正方形右下顶点y.若yy2−yy2=10，则k的值是()A. 3B. 4C. 5D. 4√59.已知y(y1,y1)，y(y2,y2)是反比例函数y=yy(y≠0)图象上的两个点，当y1<y2<0时，y1>y2，那么一次函数y=yy−y的图象不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.如图，直线y⊥y轴于点P，且与反比例函数y1=y1 y (y>0)及y2=y2y(y>0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△yyy的面积为2，则y1−y2的值为()A. 2B. 3C. 4D. −4二、填空题11.已知反比例函数y=y+1y，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为______ ．12.已知反比例函数y=8y的图象经过点y(y,−2)，则m的值为______．13.反比例函数y=yy的图象经过点(1,6)和(y,−3)，则y=______ ．14.如图，一次函数y=yy+y的图象与反比例函数y=y的图象交于点y(−2,−5)，y>0的解集是C(5,y)，交y轴于点B，交x轴于点D，那么不等式yy+y−yy ______ ．的图象在第二、四象限，则n的取值范围为______，y(2,y1)，15.反比例函数y=y−1yy(3,y2)为图象上两点，则y1______y2(用“<”或“>”填空)．三、计算题的图象经过y(−2,1)、y(1,y)、y(2,y)两点，试比较m、n的16.反比例函数y=yy大小．17.已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当y=1时，y=4；当y=2时，y=5；求y与x的函数解析式．y+2的图象分别与坐标轴相交于A、18.已知一次函数y=23(y>0)的图象相B两点(如图所示)，与反比例函数y=yy交于C点．19.(1)写出A、B两点的坐标；20.(2)作yy⊥y轴，垂足为D，如果OB是△yyy的中位(y>0)的关系式．线，求反比例函数y=yy【答案】1. A2. D3. D4. B5. D6. D7. D8. C9. B10. C11. y >−1 12. −4 13. −214. −2<y <0或y >5 15. y <1；<16. 解：∵反比例函数y =y y ，它的图象经过y (−2,1)，1=y−2，y =−2，∴y =−2y，将B ，C 两点代入反比例函数得，y =−21=−2，y =−22=−1，∴y <y .17. 解：由题意可设y =k 1x +k2x (k 1≠0且k 2≠0).(1分)∵当y =1时，y =4；当y =2时，y =5， 所以{2y 1+12y 2=5y 1+y 2=4(2分)，解得{y 2=2y 1=2(2分)， ∴y =2y +2y .(1分)18. 解：(1)∵y =23y +2，∴当y =0时，y =2， 当y =0时，y =−3，∴y 的坐标是(−3,0)，B 的坐标是(0,2)． (2)∵y (−3,0)， ∴yy =3.∵yy 是△yyy 的中位线， ∴yy =yy =3，即D 点、C 点的横坐标都是3，把y =3代入y =23y +2得：y =2+2=4，即C 的坐标是(3,4).∵把C 的坐标代入y =y y 得：y =3×4=12，∴反比例函数y =yy (y >0)的关系式是y =12y (y >0)．26．2 实际问题与反比例函数1. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示y与x之间函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.2. 海南某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图，则下列说法正确的是（）A. 该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B. 该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C. 若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D. 当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷3. 根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（Pa）与它的体积V（m3）的乘积是一个常数k，即pV＝k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与V之间函数关系的是（）A. B. C. D.4. 用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P＝I2R，下列说法正确的是（）A. P为定值，I与R成反比例B. P为定值，I2与R成反比例C. P为定值，I与R成正比例D. P为定值，I2与R成正比例5. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）之间满足函数解析式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图，则k的值为（）A.9B. －9C. 4D. －46. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20．若2≤x≤10，则y关于x的函数图象是（）A. B. C. D.7. 将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间满足反比例函数关系S＝（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米．（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式.（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？8. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．（1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）.（2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？（3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？9. 由物理学知识我们知道：物体在力F（牛顿）的方向上发生位移S（米）做的功为W （焦耳），即W＝FS，若W＝100焦耳，求：（1）F与S的关系式；（2）当F＝4牛顿时，求物体在力的方向上发生的位移S．10. 某中学组织学生参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式.（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少？11. 朱先生利用分期付款的形式购买了一套住房，他购买的住房的价格为24万元，交了首付之后每年付款y万元，x年结清余款，y与x的函数关系如图所示，请根据图象所提供的信息，回答下列问题：（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目.（2）朱先生若用10年结清余款，则每年应付多少钱？（3）如果朱先生打算每年付款不超过7000元，那么他至少需要几年才能结清余款？参考答案1.B 【解析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y=，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，故可先求得k的值．根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，∴k=0.2×500=100，∴y=．2.D3.C 【解析】∵pv=k（k为常数，k＞0）,∴p=（p＞0，v＞0，k＞0），故选C．4.B 【解析】根据可以得到：当P为定值时, 与R的乘积是定值,所以与R成反比例.故选B.5.A 【解析】由图象可知，函数图像经过点反比例函数为：解得：故选A.6.A 【解析】由题意知剪去的两个小矩形的面积都是10，即xy＝10，所以y是x的反比例函数，根据自变量x的取值范围可以确定答案为A．7.【解】（1）把a＝0.1，S＝700代入S＝，得700＝，解得k＝70，∴该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式为S＝（a＞0）.（2）把a＝0.08代入S＝，得S＝875，∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶875千米．8.【解】（1）∵xy＝1200，∴y＝.（2）x＝12×5＝60，将x＝60代入y＝，得y＝＝20.答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完.（3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60＝720（米3），剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，则每天至少运720÷6＝120（米3），则需要拖拉机120÷12＝10（辆），10－5＝5（辆），即至少需要增加5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．9.【解】（1）∵W＝FS，W＝100焦耳，∴F＝，即F与S的关系式为F＝（S＞0）.（2）当F＝4牛顿时，S＝＝25（米），即物体在力的方向上发生的位移是25米．10.【解】（1）由表中数据得：xy=6000，∴，∴y是x的反比例函数，故所求函数关系式为.（2）由题意得：（x﹣120）y=3000，把代入得：（x﹣120）•=3000，解得x=240. 经检验，x=240是原方程的根.答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．11.【解】（1）设y＝，把（2，7）代入，得k＝14，所以y＝（x＞0），24－14＝10（万元），所以首付款的数目为10万元.（2）当x＝10时，y＝==1.4，所以朱先生每年应付1.4万元.（3）7000元＝0.7万元，当y≤0.7时，x≥＝20，即朱先生至少需要20年才能结清余款．27．1图形的相似1. 下列各选项中的两个图形是相似图形的是( )A. B. C. D.2. 下列图形是相似图形的是( )A. 两张孪生兄弟的照片B. 一个三角板的内、外三角形C. 行书中的“美”与楷书中的“美”D. 在同一棵树上摘下的两片树叶3. 下列四组图形中，一定相似的是( )A. 正方形与矩形B. 正方形与菱形C. 两个菱形D. 两个正五边形4. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )A. 60°B. 75°C. 87°D. 120°5. 一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )A. 6B. 8C. 10D. 126. 用放大镜看四边形ABCD.若四边形的边长被放大为原来的10倍，则下列结论正确的是( )A. 放大后的∠B是原来的10倍B. 两个四边形的对应边相等C. 两个四边形的对应角相等D. 以上选项都不正确7. 在一幅比例尺是1∶100000的地图上，测得A，B两地间的距离为3.5厘米，那么A，B两地间的实际距离为________米．8. 如图，△ADE∽△ACB ，且，DE＝10，则BC＝________．9. 如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm.10. △ABC和△A′B′C′的各角的度数与各边的长度如图，这两个三角形相似吗？若相似，则相似比是多少？若不相似，请说明理由．11. 如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求：(1)相似比；(2)∠A和∠B′的度数；(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．12. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．13. 如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由.(2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？14. 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比a∶b，设S甲，S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝，又设V，V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝.甲(1)下列几何体中，一定属于相似体的是（____）A．两个球体B．两个圆锥体C．两个圆柱体D．两个长方体(2)请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于________________；②相似体表面积的比等于________________；③相似体体积的比等于________________．参考答案1.D2.B 【解析】两张孪生兄弟的照片,不一定完全相同；一个三角板的内、外三角形形状相同,故相似；行书中的“美”与楷书中的“美”，形状不同；在同一棵树上摘下的两片树叶，形状不同.故选B.3.D 【解析】A. 正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B. 正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C. 菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D. 正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意.故选D.4.C 【解析】由已知可得：α的度数是：360y-60y-75y-138y=87y.故选C.5.B 【解析】设这个多边形的最短边是x，则，解得x=8．故选B.6.C 【解析】A、∵放大后的四边形与原四边形相似，∴∠A不变，故本选项错误；B、∵放大后的四边形与原四边形相似，相似比为10，∴边长是原来的10倍，故本选项错误；C、∵放大后的四边形与原四边形相似，对应角相等，故本选项正确.故答案为C.7. 3500 【解析】由已知可得，A，B两地间的实际距离为3.5÷×10-2=3500米.8. 15 【解析】∵△ADE∽△ACB，且，∴.又∵DE=10，∴，解得BC=15.9. 2 【解析】设留下的矩形的宽为x.∵留下的矩形与矩形相似，∴，x=2，∴留下的矩形的宽为：2 cm.10. 3∶1 【解析】∵∠A＝180°－∠B－∠C＝82.5°，∠A′＝180°－∠B′－∠C′＝82.5°，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′.又∵,，，∴.∴根据相似图形的定义可知，△ABC与△A′B′C′相似，相似比是3∶1.11.解：(1)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，BC与B′C′是对应边，∴，即相似比为.(2)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.又∵∠A′＝90°，∠B＝150°，∴∠A＝90°，∠B′＝150°.(3)∵六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，∴＝＝＝＝.由＝，AF＝4 cm，得＝，∴A′F′＝(cm)．由＝，E′F′＝4 cm，得＝，∴EF＝(cm)．由＝，ED＝5 cm，得＝，∴E′D′＝(cm)．由＝，C′D′＝3 cm，得＝，∴CD＝(cm)．即CD＝cm，EF＝cm，A′F′＝cm，E′D′＝cm.12.解：由题意知，四边形ABEF是正方形．设AD＝x.∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1.∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，解得x1＝，x2＝(舍去)，经检验x＝是原方程的解且符合题意，∴AD＝.13.解：(1)不相似．理由：由题意，得AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而≠，故矩形A′B′C′D′与矩形ABCD不相似．14.【解】(1)球体形状都一样，大小不一样，故选A.(2)①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似比；②相似体的表面积的比等于相似比的平方；③相似体的体积比等于相似比的立方．27.2相似三角形一、选择题21.在△yyy与△y′y′y′中，有下列条件：；；(3)∠y=∠y′；(4)∠y=∠y′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△yyy∽△y′y′y′的共有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组22.如图在△yyy中，yy//yy//yy，AD：AF：yy=1：3：6，则y△yyy：y四边形yyyy：y四边形yyyy=()A. 1：8：27B. 1：4：9C. 1：8：36D. 1：9：3623.如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠yyy=∠yyy；②∠yyy=∠yyy；③y是BC的中点；④yy：yy=2：3，其中能推出△yyy∽△yyy的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个24.如图，在直角△yyy中，∠y=30∘，点O是△yyy的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作yy⊥yy交BC于点F，连接AF交CE于点M，则yyyy的值为()A. 12B. √54C. 23D. √3325.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得yy⊥yy，yy⊥yy，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得yy=30y，yy=15y，yy=30y，则河的宽度AB长为()A.90mB. 60mC. 45mD. 30m26.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使yy=3yy，yy=3yy)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当yy=1.8yy时，则AB的长为()A. 7.2cmB. 5.4cmC. 3.6cmD. 0.6cm27.如图，已知在Rt△ABC中，∠yyy=90∘，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作yy⊥yy于E，yy⊥yy于F，则yy+yy的值()A.不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小28.如图△yyy中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点.若∠y=90∘，yy=5，yy=3，yy=1，则BN的长度为()A.43B. 32C. 85D. 12729.如图，在矩形ABCD中，yy=2，yy=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A.√5B. 136C. 1D. 5630.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B，C重合)，yy⊥yy，CN与AB交于点N，连接OM，ON，yy.下列五个结论：①△yyy≌△yyy；②△yyy≌△yyy；③△yyy∽△yyy；④yy2+yy2=yy2；⑤若yy=2，则y△yyy的最小值是1，其中2正确结论的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题31.在△yyy中，yy=6，yy=5，点D在边AB上，且yy=2，点E在边AC上，当yy=______时，以A、D、E为顶点的三角形与△yyy相似．32.如图，在△yyy中，D、E分别在AB、AC上，yy//yy，AD：yy=1：3，则△yyy与△yyy的面积之比为______．33.在△yyy中，yy=6yy，点P在AB上，且∠yyy=∠y，若点P是AB的三等分点，则AC的长是______．34.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△yyy与△yyy的面积比等于______．35.如图，在梯形ABCD中，yy//yy，且AD：yy=1：3，对角线AC，BD交于点O，那么y△yyy：y△yyy：y△yyy=______．三、计算题36.如图，在△yyy中，∠y=90∘，在AB边上取一点D，使yy=yy，过D作yy⊥yy交AC于E，yy=8，yy=6.求DE的长．37.如图，在矩形ABCD中，yy=1，yy=2，点E在AD上，且yy=3yy．38.(1)求证：△yyy∽△yyy.39.(2)yy与BE交于点H，求HC的长．40.小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度．【答案】1. C2. A3. B4. D5. B6. B7. C8. D9. D10. D11. 125或5312. 1：913. 2√3yy或2√6yy 14. 14 15. 1：9：316. 解：在△yyy 中，∠y =90∘，yy =8，yy =6，∴yy =√yy 2+yy 2=10.又∵yy =yy =6，∴yy =yy −yy =4. ∵yy ⊥yy ，∴∠yyy =∠y =90∘. 又∵∠y =∠y ，∴△yyy ∽△yyy ， ∴yyyy =yy yy ，.3684=⨯=⋅=∴BC AC AD DE 17. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴yy =yy =1，yy =yy =2，∠yyy =∠yyy =90∘.∵yy =3yy ， ∴yy =12，yy =32. ∵yyyy =2，yy yy =2， ∴yyyy =yyyy. ∵∠yyy =∠yyy =90∘， ∴△yyy ∽△yyy ． (2)解：∵△yyy ∽△yyy ， ∴∠yyy =∠yyy . ∵∠yyy +∠yyy =90∘， ∴∠yyy +∠yyy =90∘， ∴∠yyy =90∘， ∴yy ⊥yy .在Rt△ACB中，∵∠yyy=90∘，yy=1，yy=2，∴yy=√yy2+yy2=√12+22=√5.∵1 2⋅yy⋅yy=12⋅yy⋅yy，∴yy=yy⋅yyyy =2√55，∴yy=√yy2−yy2=4√55．18. 解：如图，∵某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，∴yy：yy=1：1.2，∴yy=1.2yy=1.2×2=2.4，∴yy=yy+yy=9.6+2.4=12. ∵yy：yy=1：1.2，∴yy=12×11.2=10．答：旗杆AB的高度为10m．27.3位似一、选择题41.在平面直角坐标系中，点y(−4,2)，点y(−1,−1)，以点O为位似中心，按比例1：2把△yyy缩小，则点E的对应点E的坐标为()A. (2,−1)或(−2,1)B. (8,−4)或(−8,4)C. (2,−1)D. (8,−4)42.如图，以点O为位似中心，将△yyy缩小后得到，已知，则与△yyy的面积的比为()A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：943.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：yy=2：3，则下列结论正确的是()A. 2yy=3yyB. 3yy=2yyC. 3∠y=2∠yD. 2∠y=3∠y44.关于对位似图形的4个表述中：45.①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；46.②位似图形一定有位似中心；47.③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；48.④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．49.正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 450.△yyy三个顶点的坐标分别为y(2,2)，y(4,2)，y(6,6)，在此直角坐标系中作△yyy，使得△yyy与△yyy位似，且以原点O为位似中心，位似比为1：2，则△yyy的面积为()B. 1C. 2D.A. 12451.如图，线段CD两个端点的坐标分别为y(1,2)，y(2,0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(6,0)，则点A的坐标为()A. (2,5)B. (2.5,5)C. (3,5)D. (3,6)52.如图，已知△yyy和△yyy是位似图形，那么其位似中心是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D53.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形()A. 左上B. 左下C. 右下D. 以上选项都正确54. 如图，五边形ABCDE 和五边形y 1y 1y 1y 1y 1是位似图形，点A 和点y 1是一对对应点，P 是位似中心，且2yy =3yy 1，则五边形ABCDE 和五边形y 1y 1y 1y 1y 1的相似比等于( ) A. 23 B. 32 C. 35 D. 53 55. 在平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则() A. 将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B. 将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C. 将各点横，纵坐标都乘2，得到的鱼与原来的鱼位似D. 将各点横坐标乘2，纵坐标乘12，得到的鱼与原来的鱼位似二、填空题56. △yyy 三个顶点的坐标分别为y (0,0)，y (4,6)，y (3,0)，以O 为位似中心，将△yyy 缩小为原来的12，得到△yy′y′，则点A的对应点y′的坐标为______．57. 如图，直线y =13y +1与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，△yyy 与△y′y′y′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点y′的坐标为______．58. 位似图形上任意一对对应点到______ 的距离之比等于位似比．59. 如图，△yyy 与△yyy 位似，位似中心为点O ，且△yyy 的面积等于△yyy 面积的14，则yy yy =______ ．60.一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，7，8，与它位似的另一个多边形的最大边长为12，那么另一个多边形的周长为______ ．三、解答题61.如图，△yyy的三个顶点坐标为y(0,−2)，y(3,−1),y(2,1)．(1)在网格图中，画出△yyy以点B为位似中心放大到2倍后的△y1y1y1；(2)写出y1，y1的坐标．62.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△yyy与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．63.64.(1)画出位似中心点O；65.(2)直接写出△yyy与△y′y′y′的位似比；66.(3)以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△y′y′y′各顶点的坐标．67.如图，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，△yyy是一个格点三角形．68.(1)在图①中，请判断△yyy与△yyy是否相似，并说明理由；69.(2)在图②中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与△yyy的位似比为2：1；70.(3)在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与△yyy相似，且有一条公共边和一个公共角．【答案】1. A2. D3. B4. B5. B6. D7. B8. B9. B 10. C11. (−2,−3)或(2,3)12. (3,2)或(−9,−2)13. 位似中心14. 1215.5416. 解：(1)如图所示：△y1y1y1，即为所求.(2)如图所示：y1(−3,−3),y1(1,3)．17. 解：(1)如图.(2)2：1.(3)y′(−6,0)，y′(−3,2)，y′(−4,4)．18. 解：(1)如图①所示：△yyy与△yyy相似，理由：∵yy=1，yy=√5，yy=2√2；yy=√2，yy=√10，yy=4，∴yy yy =yyyy=yyyy=1√2=√22，∴△yyy与△yyy相似.(2)如图②所示：△y′y′y′即为所求.(3)如图③所示：△yyy和△yyy即为所求．28.1 锐角三角函数一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. cos30°的相反数是( )A. －B. －C. －D. －2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sin A=，那么sin B的值是（）A. B. C. D.3. 已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A. B. C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 以上都不对5. 点（－sin 30°，cos 30°）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （，）B. （，－）C. （－，－）D. （－，）6. 在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值A. 扩大2倍B. 缩小C. 不变D. 无法确定7. 如图，是的外接圆，AD是的直径，若的半径为则的值是A. B. C. D.二、填空题8. 计算：sin 45°+tan 60°•tan 30°﹣cos 60°=_____．9. 在锐角△ABC中，如果∠A，∠B满足|tan A－1|＋＝0，那么∠C＝________．10. 如图，若点A的坐标为，则sin∠1=_____．11. 观察下列等式根据上述规律，计算______ ．12. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠AFG的值是________．三、解答题13. 计算+|-2|-2tan 60°+（）-1．14. 计算：（1）﹣2sin 45°+（2﹣π）0﹣tan 30°；（2）2cos 60°﹣（）﹣1+tan 600+|﹣2|.15. 先化简，再求值：，其中．参考答案1. C 【解析】∵cos30°=，∴cos30°的相反数是－.故选C.2.A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，∴cos A=，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A=．故选A．3.A 【解析】根据直角三角形的性质可知最小的内角的度数为0°至45°之间，则，即，故选A．4.B 【解析】根据直角三角形的三角函数可得：sin A=，cos A=，tan A=，故选B．5.A 【解析】点即为关于y轴对称的点的坐标是故选A.6.C7.B 【解析】如图，连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D.在Rt△ACD中，AD=5×2=10，AC=8，∴CD=6，∴cos D===，∴cos B=cos D=.故选B．8.【解析】原式＝＝1＋1－＝．9.75°【解析】∵|tan A－1|＋2＝0，∴tanA=1，cosB=.∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．10.故答案：.11.1 【解析】∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα，∴sin2α+sin2（90°-α）=1.12.【解析】∵等边△ABC，∴AC=AB，∠B=∠CAD=60°.∵在△ADC和△BEA中，，∴△ADC≌△BEA，∴∠CDA=∠AEB，∴∠CEA=∠CDB，∴∠CFE=∠B=60°，∴∠AFG=60°，∴sin∠AFG=.13.解：+|-2|-2tan 60°+（）-1＝2＝5-.14.解：（1）原式=2﹣+1﹣1=.（2）原式=1﹣2+1+2﹣=2﹣．15.解：－=－==－．当x=tan 60°－1即x=－1时，原式=－=－=－．28.2.1 解直角三角形知识点 1 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( ) A.3sin40° B ．3sin50°C.3tan40° D ．3tan50°3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝23，则∠B 的度数为________．4.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝8 3，∠A ＝60°，则a ＝________，b ＝________.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形.(1)已知∠A ＝60°，b ＝4； (2)已知a ＝13，c ＝23；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，AB ＝6，求BC 的长．知识点 2 解直角三角形的应用7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点15米的C 处(AC ⊥AB )测得∠ACB ＝50°，则A ，B 间的距离应为( )A.15sin50° 米 B ．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D ．15cos50° 米 8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为( )A.4sin θ平方米B.4cos θ平方米C.(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米 9.如图，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E .若sin B ＝23，AD ＝6，则菱形ABCD的面积为( )A.12 B ．125 C ．24 D ．5410.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E .设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为( )A.3B.163C.203D.22311.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．能力提升12.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是( )A.R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin36°C.a ＝2r tan36° D ．r ＝R cos36°13.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D .已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A.1B.203 C ．3 D.16314.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.htan αD ．h ·cos α15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos ∠ABC ＝45，点D 在BC 边上，BD ＝6，CD ＝AB ，则AD 的长为__________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB 上的高CD ＝3，BD ＝1，解这个直角三角形．17.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求△ABC 的面积．18.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，并且CD ＝2.(1)求BD 的长； (2)求cos ∠DAC 的值．参考答案1．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝BC AB ＝35，BC ＝6，∴AB ＝BC sin A ＝635＝10.2.D [解析] 已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝50°.∵tan B ＝ACBC ，即tan50°＝AC3，∴AC ＝3tan50°.故选D.3.30° [解析] ∵tan B ＝ba ，b ＝23，a ＝6，∴tan B ＝2 36＝33，∴∠B ＝30°.4.12 4 3 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A ＝a c，得a ＝c ·sin A ＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b ＝43.5.解：(1)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝30°.∵tan A ＝ab，∴a ＝b tan A ＝4tan60°＝4 3，∴c ＝a 2＋b 2＝8. 即∠B ＝30°，a ＝43，c ＝8.(2)由勾股定理，知b ＝c 2－a 2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b ， ∴∠A ＝∠B ＝45°. 即∠A ＝∠B ＝45°，b ＝13.(3)∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，b ＝12c ＝12×282＝14 2.又∵cos B ＝a c，∴a ＝c ·cos B ＝28 2×cos30°＝14 6.即∠A ＝60°，a ＝146，b ＝142.6.解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝BC AB. ∵AB ＝6，sin A ＝23，∴BC 6＝23，∴BC ＝4.7.B [解析] 由tan ∠ACB ＝ABAC知AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝15tan50°.故选B. 8.D9.C [解析]∵四边形ABCD 是菱形，AD ＝6，∴AB ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，sin B＝AE AB. ∵sin B ＝23，∴AE 6＝23，解得AE ＝4，∴菱形ABCD 的面积是6×4＝24.故选C.10.B [解析] 由已知可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt △DEC 中，cos α＝CE CD ＝35，即CE 4＝35，∴CE ＝125.根据勾股定理，得DE ＝165.在Rt △AED 中，cos α＝DEAD＝35，即165AD ＝35，∴AD ＝163.故选B. 11.解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝23，则EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.12.A[解析]∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BOC ＝15×360°＝72°.∵OB＝OC ，OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝12∠BOC ＝36°，BH ＝12BC ＝12a .在Rt △BOH 中，OB 2－OH 2＝BH 2，∴R 2－r 2＝(12a )2＝14a 2，则选项A 错误．∵sin36°＝BHOB ，∴BH ＝OB ·sin36°，即12a ＝R sin36°，∴a ＝2R sin36°，则选项B 正确．∵tan36°＝BHOH ，∴BH ＝OH ·tan36°，即12a ＝r tan36°，∴a ＝2r tan36°，则选项C 正确．∵cos36°＝OH OB ，∴OH ＝OB ·cos36°，∴r ＝R cos36°，则选项D 正确．故选A.13. D [解析]∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .在Rt △ABC 中，∵cos B ＝cos ∠ACD ＝BC AB ＝35，BC ＝4，∴AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（203）2－42＝163.故选D.14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCD ，由cos ∠BCD ＝CDBC，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α.故选B.15.210 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .设DE＝x ，则BE ＝6＋x ，CD ＝6＋2x .∵cos ∠ABC ＝45，AB ＝CD ＝6＋2x ，∴BE AB ＝6＋x 6＋2x ＝45，解得x ＝2.∴AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝210.16.解：在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝12＋（3）2＝2，∴sin B ＝CD BC ＝32， ∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC cos B ＝2cos60°＝212＝4，∴AC ＝AB 2－BC 2＝42－22＝16－4＝12＝23.即∠A ＝30°，∠B ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝2 3. 17.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝12－3＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3，∴△ABC 的面积为12CD ·AB ＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32.18.解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.∵AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4. (2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝82＋22＝217，∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形知识点 1 利用直角三角形解决一般的实际问题 1.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地．已知AC ＝120 km ，∠A ＝30°，∠B ＝135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米．2.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A 处观测对岸点C ，测得∠CAD ＝45°，小英同学在距A 处50米远的B 处测得∠CBD ＝30°，请你根据这些数据求出河宽．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)知识点 2 利用仰角、俯角解决实际问题3.如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A.100 3m B ．50 2mC.503m D.100 33m4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为( )。
