2020年河南省六市联考 理科数学 试题卷+参考答案

2020年河南省六市高三第二次联合教学质量监测理科答案一、选择题1--5CBADC 6--10ACDAB 11—12DA二、填空题13、14、2815、3416、第一空2n （2分）第二空{}2（3分）17.解：（1）由①2633()b ac c a b -+=+及余弦定理得，2223)a c b +-=-（所以362cos 222-=-+=ac b c a B ...............3分②由cos 2cos C c b A a a +=及正弦定理，得cos sin cos sin 2sin cos sin sin C A A C B A A C +=，即sin(2sin cosAsinA sin A C B A+=）,0A C A π+∈ （，）sin sin 0A CB ∴+=≠（）1cos 2A ∴=0A π∈ （，），3A π∴=……………………6分因为32),,0(,2136cos ππ>∈-<-=B B B 所以且.,矛盾所以π>+B A 不能同时满足所以ABC ∆①②............................8分（2）有（1）知，满足故ABC ∆①③④或②③④...........................9分若ABC ∆满足①③④因为Bac c a b cos 2222--=024,36626822=-+⨯⨯⨯++=c c c c 即所以26-=c 解得............................11分23sin 21-==∆∴B ac S ABC 的面积............................12分另：若ABC ∆满足②③④............................9分1sin ,sin 22236,sin sin ===B BB b A a 解得即c ∴=..................................11分3sin 21==∆∴A bc S ABC 的面积........................12分18.解：（1）过P 做AB PO ⊥与O ，连ODOC ,由题可知，3==CD AB ，222AB PB PA =+∴,3,32,2,1,2=====∴OC OD OA OB PO ，所以CD OC ⊥.........................................2分平面⊥PAB 底面ABCD ,交线为AB ，⊥∴PO 底面ABCD ，所以CD PO ⊥，又⊂=PO OC O PO OC ,, 平面POC ，故⊥CD 平面POC ，所以CD PC ⊥；................................................6分（2）由（1）知OD AB ⊥，以O 为坐标原点，OP OB OD ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标如图所示..7分则)0,23,23(),0,0,32(),2,0,0(C D P .....................................8分所以)0,23,233(),2,0,32(-=-=CD PD 设平面平面PCD 的法向量),,(z y x =故⎪⎩⎪⎨⎧=-=-023*******y x z x 令1=x ，可得)6,3,1(=平面PAB 的法向量取)0,0,1(=n ，.............10分所以1010101||||,cos ==>=<n m nm n m 故平面PCD 与PAB 夹角的余弦值为1010..............12分19.解：（1）设)(),,(1,100y x P y x M ，则),(00y x N --由⎪⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11221221220220b y a x b y a x 得0))(())((2101021010=-++-+b y y y y a x x x x 即2210101010))(())((ab x x x x y y y y -=-+-+222b a =∴，又122=-b a ，1,222==∴b a ，故椭圆C 的标准方程为：1222=+y x ..............4分（2）设直线PQ 的方程为：1+=ty x ，则直线MN 的方程为代入tyx =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ty x 得012)2(22=-++ty y t ，设)(2,2y x Q 则0)1(8)2(44222>+=++=∆t t t ，22122121,22t y y t t y y +-=+-=+......7分所以222122)1(22||1||t t y y t PQ ++=-+=….........................................9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222y x ty x 得22022t y +=，...................................10分=∴||MN 2220220202)1(22)1(22t t y t y x ++=+=+............................11分故22||||2=PQ MN 为常数.得证....…....................................12分20．【解析】（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，故估计50位农民的年平均收入x 为17．40千元．…………………………………...3分（2）由题意知()17.40,6.92X N ~，①()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14．77千元．…………………………………………6分②由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈，每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773…………….……………………..….8分记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ ，其中0.9773P =……………………………..………………………………….…9分于是恰好有k 个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为()()331010C 1k k k p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，得1001k p <……………………………………….…10分而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=；当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．…………………………………………………………………………….….12分21.（1）1令 x t +=由题意知()(1)f x a x ≤+等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立…………1分令()2ln h t a at t =-+，则'22()at h t a t t-=-=………………………………………………2分当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于(1)0h =，不合题意…………………3分当0a >时，'2()()a t a h t t --=，故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'()0h t >()h t 单调递增当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭'()0h t <()h t 单调递减，故max 2()()22ln 22ln h t h a a a ==-+-……………………………………………………………4分所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤即22ln 22ln 0a a -+-≤()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则'22()1a a a aϕ-=-=，所以()0,2时x ∈'()0a ϕ<，()a ϕ单调递减()2,时x ∈+∞'()0a ϕ>，()a ϕ单调递增，又因为(2)0ϕ=也可以分离参数或者数形结合，同样给分（2）由（1）知，1令 x t+=(1)()()1x f x g x x a +=+-变形成22ln ()(2)2t t t t t t θ+=>-，所以/22(2ln 4)()(2)t t t t θ--=-……………………………………………………………………7分令()2ln 4s t t t =--，则/22()1t s t t t -=-=由于2t >，所以/()0s t >。

2020六市一模理科数学一、选择题1.若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =( )A ．2 B ．32 C ．10 D ．122、集合},4|{2Z x x y y M ∈-==的真子集的个数为A.7B. 8C. 31D. 323、五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为 A.15 B. 14 C.13 D. 124、著名的斐波那契数列,,8,5,3,2,1,1:}{Λn a 满足*1221,,1N n a a a a a n n n ∈+===++，若∑=-=2020112n n k a a ，则=kA.2020B.4038C.4039D.40405、已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D ．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益6、设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．7、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，若32z x y =-+的最大值为n ，则n x x )12(-的展开式中2x 项的系数为A. 60B. 80C. 90D. 1208、已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为A.35B.932C.34D.925 9、已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ,准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A,B 两点，若2PA AF =u u u r u u u r,则AB 为A.409 B. 40 C. 16 D.16310、已知P 为圆C:36)5(22=+-y x 上任意一点，)0,5(-A ，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为A.116922=+y x B.116922=-y x C.)0116922<=-x y x （ D.)0116922>=-x y x （ 11.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若201920202018S S S <<，设21++=n n n n a a a b ，则数列}1{nb 的前n 项和n T 取最大值时n 的值为 A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 201712.方程01sin )1(2=+-x x π在区间]4,2[-内的所有解之和等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题13、已知向量),,4(),1,2(y =-=若⊥，则=+|2| . 1014.设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20200,2019)(x x e x f x ，则满足)3()4(2x f x f ->-的x 的取值范围为 . ),1(+∞15、六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种. 13516、若方程)1,0(≠>=a a x a x有两个不等实根，则实数a 的取值范围为 .),1(1ee三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。

2020届河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{（x ，y ）｜y ＝x ＋1，x ∈Z}，集合B ＝{y ｜y ＝2x ，x ∈Z}，则集合A ∩B 等于A ．{1，2}B ．（1，2）C ．{（1，2）}D ．2．若复数z 满足（3－4i ）z ＝｜3－4i ｜，则z 的虚部为A ．－4B ．45C ．4D ．－453．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学 生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1－2400编号，按编号顺序平均分成30组（1－80号，81－160号，…，2321－2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是A ．416B ．432C ．448D ．4644．若等差数列{n a }的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最 小值时n 的值等于A ．7B ．6C ．5D ．45．设P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、 平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点PA ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在6．已知Rt △ABC ，点D 为斜边BC 的的中点，｜AB u u u r ｜＝AC uuu r ｜＝6，AE u u u r ＝12ED u u u r ， 则AE u u u r ·EB u u u r 等于A ．－14B ．－9C ．9D ．147．设变量x，y满足不等式组1x yx yx⎧⎪⎨⎪⎩＋－4≤－3＋3≤，≥则z＝｜x－y－4｜的最大值为A．5 3B．72C．133D．68．函数22xx xf x－2－3（）＝的大致图象为9．设实数a，b，c分别满足a＝125－，b1nb＝1，3c3＋c＝1，则a，b，c的大小关系为A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c10．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b＋＝（a＞b＞0）的左焦点，A、B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M 是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．22B．12C．13D．1411．已知数列{na}中，1a＝1，且对任意的m，n∈N*，都有m na＋＝ma＋na＋mn，则201911i ia∑＝＝A．20192020B．20182019C．20181010D．2019101012．已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx－2y－kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1－x2）tan（x2－2x3）＝A．－2 B．－12C．0 D．1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan（x＋4π）＝2，x是第三象限角，则cosx＝_________．14．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率）_________．15．抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M（5，25）作直线l的垂线，垂足为H，则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是__________．16．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。

试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（ ）A.5B.554C.5D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则Bb A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 . 14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D -BE -C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ u u u r u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x-1）<f（x）+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x -1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围。

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知z=(a−1)+(a+2)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围为()A. (−1,2)B. (−2,1)C. (2,+∞)D. (−∞,−2)3.“k<1”是“方程x23−k +y2k−1=1表示双曲线”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若等比数列{a n}，前n项和S n，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则S4=()A. 29B. 30C. 31D. 335.设a⃗=(1,−2),b⃗ =(3,4),c⃗=(2,−1),则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=()A. 6B. 5C. 4D. 36.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减7. 函数f(x)=e x x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =x +e −1B. y =eC. y =x −e −1D. x =e8. 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为( )．A. 125B. 925C. 1625D. 24259. 将y =f(x)的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y =sin(x −π6)的图象，则f(x)=( )A. cos2xB. sin 12xC. cos(12x +π6)D. sin(2x +π6)10. 函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n+1=a n +a n+２，且a 2=32，则Ｓ105为( )A. 3B. 6C. 9D. 1212. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四面体M −ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知C n 4=C n 6，设(3x −4)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯…+a n (x −1)n ，则a 1+a 2+⋯…+a n =_________ ．14. 已知不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0表示的平面区域为D.若直线y =a(x +1)与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是______．15.已知点F1是抛物线C1：y=14x2与椭圆C2：x2a2+y2b2=1(b>a>0)的公共焦点，F2是椭圆C2的另一焦点，P是抛物线C1上的动点，当|PF1||PF2|取得最小值时，点P恰好在椭圆C2上，则椭圆C2的离心率为________．16.函数f(x)=12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．时间区间[9011)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入(元)6 5.56 6.4 5.5 6.5(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；(2)这个外卖小哥记得在[13,15)这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13,15)这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．19.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD=CD=12BC=2，E为BC的中点，BD⊥CD，且AE=√2．(1)证明：平面ACD⊥平面ABD．(2)求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2:1．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．21. 已知函数g(x)=e x −2ax −b ，a ，b ∈R ．(1)求函数g(x)的单调区间； (2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=−|x|−|x+2|．(1)解不等式f(x)<−4；(2)若正实数a，b满足a+b=√5，试比较a2+b2与f(x)+3的大小，并说明理由．4【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题． 先求出A ，再求交集即可．解：集合A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1，2，3，4}， B ={x|0<x ≤2}， 则A ∩B ={1,2}． 故选D ．2.答案：D解析：本题考查复数的几何意义，属于基础题目．依据复数a +bi(a,b ∈R)与复平面上的点(a,b)--对应，再由第三象限点横纵坐标都为负，即可求取值范围．解：因为z =(a −1)+(a +2)i 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以{a −1<0a +2<0，解得a <−2．故选D ．3.答案：A解析：解：若方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，则(3−k)(k −1)<0，即k <1或k >3．∴k <1⇒方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，反之不一定成立． ∴“k <1”是“方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线”的充分不必要条件． 故选：A ． 由方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线求得k 的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的判断，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，化简整理的运算能力，属于中档题．设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．解：设等比数列{a n}的公比为q，a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，可得a1q⋅a1q2=2a1，2×54=a4+2a7=a1q3+2a1q6，解得q=12，a1=16，则S4=a1(1−q4)1−q =16(1−124)1−12=30．故选B．5.答案：A解析：解：根据题意，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+b⃗ =(4,2)，又由c⃗=(2,−1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=4×2+2×(−1)=6；故选：A．根据题意，由a⃗、b⃗ 的坐标计算可得向量a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量的数量积的计算，关键求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．6.答案：D解析：解：由图易知A，B正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确，由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．7.答案：B解析：先对f(x)求导，然后得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．解：由f(x)=e xx ，得f′(x)=xex−e xx2，∴切线斜率k=f′(1)=0，又f(1)=e，∴在点(1,f(1))处的切线方程为y=e．故选：B．8.答案：A解析：本题考查几何概型，是基础题．由已知直角三角形的边长分别求出两个正方形的面积，即得答案．解：∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4−3=1．大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以此点取自内部小正方形部分的概率为125．故选：A．9.答案：A解析：本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于基础题．由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将y=sin(x−π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到f(x)的图象．解：将y =sin(x −π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到y =sin(2x −π6)， 再把所得图象向左平移π3个单位， 得到f(x)=sin[2(x +π3)−π6]=cos2x ， 故选：A ．10.答案：A解析：解：∵函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数，即为f(x)=0的根的个数，∴f(x)=(x−1)ln(−x)x−3=0，即(x −1)ln(−x)=0，∴x −1=0或ln(−x)=0， ∴x =1或x =−1， ∵{−x >0x −3≠0，解得x <0，∵函数f(x)的定义域为{x|x <0}， ∴x =−1，即方程f(x)=0只有一个根， ∴函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数1个．故选：A ． 将函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数问题转化为方程f(x)=0的根的个数问题，求出方程的根，即可得到答案．本题考查了根的存在性及根的个数的判断．要注意函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x 轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．11.答案：A解析：本题考查数列的递推公式和求和，属中档题．解：根据题意，a n+2=a n+1−a n =a n −a n−1−a n =−a n−1， 则有a n+3=−a n ，故a n+6=a n，∴数列{a n}的周期为6，又a n+3=−a n，则a1+a4=0，a2+a5=0，a3+a6=0，∴a1+a2+⋯+a6=0．又因数列{a n}的周期为6，则S105=17(a1+a2+⋯+a6)+a103+a104+a105=a1+a2+a3=2a2=3．故选A．12.答案：C解析：本题考查正方体棱长，考查四面体M−ABD的外接球表面积，属于中档题．设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M−ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M−ABD的外接球表面积为36π，设外接球的半径为R，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=√2a，由勾股定理可得32=(√2a)2+(2a−3)2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．13.答案：1023解析：解：∵已知C n4=C n6，∴n=10，∵(3x−4)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，即(3x−4)10=a0+a1(x−1)+a 2(x −1)2+⋯a 10(x −1)10， 令x =1，可得a 0=1；再令x =2，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =210，∴a 1+a 2+⋯+a n =210−1=1023， 故答案为：1023．由题意利用二项式系数的性质，求得n =10，再分别令x =1、x =2，可得a 1+a 2+⋯+a n 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：[0,34]解析：画出满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域，然后分析平面区域各角的顶点，将其代入y =a(x +1)中，求出y =a(x +1)对应的a 的值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角的顶点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．解：满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域如图示：因为y =a(x +1)过定点(−1,0)． 所以当y =a(x +1)过点P ，由{y =x 2x +y −9=0，解得A(3,3)，得到3=a(3+1)，解得a =34，又因为直线y =a(x +1)与平面区域D 有公共点． 所以0≤a ≤34 故答案为[0,34]．15.答案：√2−1解析：解：如下图所示，易知抛物线C 1的焦点为F 1(0,1)，所以，椭圆C 2的下焦点为F 2(0,−1)，抛物线C 1的准线为y =−1，该直线过点F 2，过点P 作PA ⊥l ，垂足为点A ，由抛物线的定义可得|PF 1|=|PA|，所以，|PF 1||PF 2|=|PA||PF 2|=cos∠APF 2=cos∠PF 2F 1，当直线PF 2与抛物线C 1相切时，∠PF 2F 1最大，此时，cos∠PF 2F 1取得最小值，即|PF 1||PF 2|取最小值，设直线PF 2的方程为y =kx −1，将该直线方程与抛物线C 1的方程联立得{x 2=4yy =kx −1，消去y 得，x 2−4kx +4=0，△=16k 2−16=0，解得k =±1，代入方程得x 2±4x +4=0，可求得点P 的坐标为(±2,1)， 由椭圆定义可得2a =|PF 1|+|PF 2|=√(±2)2+(1−1)2+√(±2)2+(1+1)2=2+2√2， ∴a =1+√2，因此，椭圆C 2的离心率为e =ca =1+√2=√2−1． 故答案为：√2−1．过点P作PA⊥l，由抛物线定义可得|PF1|=|PA|，再结合锐角三角函数得出|PF1||PF2|=|PA||PF2|=cos∠APF2=cos∠PF2F1，于是得出当直线PF2与抛物线C1相切时，∠PF2F1取得最大值，此时，|PF1||PF2|取得最小值，并设直线PF2的方程为y=kx−1，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用△=0求出k 的值，从而求出点P的坐标，然后利用椭圆的定义求出a的值，最终计算出椭圆的离心率．本题考查圆锥曲线的综合问题，考查抛物线与椭圆的定义，解决本题的关键在于找出直线与抛物线相切的位置，考查计算能力与推理能力，属于难题．16.答案：π解析：此题考查利用导数研究函数在闭区间的最大值，注意函数的定义域．对函数求导，研究单调性，进而得到答案．解：因为f′(x)=12+cosx，令f′(x)=0，x∈[0,2π]，解得x=2π3或x=4π3，当x∈(0,2π3)或(4π3,2π)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(2π3,4π3)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=2π3时，函数f(x)的极大值为f(2π3)=12×2π3+sin2π3=π3+√32，又f(0)=0，f(2π)=π，所以函数最大值为π．故答案为π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图得：2a=1−2×(0.05×2+0.08×2+0.14)=0.2，∴a=0.1，∵样本n=50，∴在[9,11)这个时间段的频数为0.08×2×50=8，同理可求得[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[10,21]这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，5，∴外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5=293.5(元)；(2)由(1)知，在[13,15)这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C63C103=20120=16，P(X=1)=C41C62C103=60120=12，P(X=2)=C42C61C103=36120=310，P(X=3)=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．解析：本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题．(1)由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可．(2)求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．19.答案：(1)证明：取BD的中点为O，连接OA，OE.因为BD⊥CD，BC=4，CD=2，所以BD=2√3，OB=√3.又AB =AD =2，所以BD ⊥AO ，且AO =1. 在△AOE 中，EO =12CD =1，AE =√2，所以AO 2+OE 2=AE 2，即OE ⊥AO ，从而CD ⊥AO. 又CD ⊥BD ，BD ∩AO =O ，所以CD ⊥平面ABD. 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． (2)解：由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O −xyz ， 则B(√3,0,0)，C(−√3,2,0)，D(−√3,0,0)，A(0,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0). 设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面ABC 的法向量，可得{−√3x +2y −z =0,−2√3x +2y =0,令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3).设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ACD 的法向量，因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)， 则{2y 1=0,−√3x 1+2y 1−z 1=0,令x 1=1，得n ⃗ =(1,0,−√3)．设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|1−3√7×2|=√77， 即平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角，考查推理能力、计算能力，属中档题．(1)取BD 的中点为O ，连接OA ，OE.推导出CD ⊥AO ，CD ⊥BD ，可得出CD ⊥平面ABD ，进而可证平面ACD ⊥平面ABD ．(2)由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ACD和平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．20.答案：解：(I)已知椭圆中2c=2，且2a2b =√2，又a2=b2+c2，可得椭圆的方程为x22+y2=1．(Ⅱ)由题意：可设l的方程为y=kx+m(k存在且k≠0)与椭圆C联立消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，由直线l与椭圆C相切，可设切点为(x0,y0)，由判别式△=0可得m2=1+2k2．解得x0=−2km ,y0=1m因此，直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，即直线OP与直线l的斜率之积为−12．解析：(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x0,y0)，利用△=0，推出直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，然后求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a <e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(ln(2a))=2a −2aln(2a)−b ； 当a ≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(1)=e −2a −b ．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x −2ax −b ，g′(x)=e x −2a.对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性； (2)利用(1)的结论，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知|x|+|x+2|>4，①当x≤−2时，−2x−2>4，解得x<−3；②当−2<x≤0时，2>4，矛盾，无解；③当x>0时，2x+2>4，x>1；所以该不等式的解集为{x|x<−3或x>1}．(2)因为|x|+|x+2|≥|x−x−2|=2，当且仅当−2≤x≤0时，取“=”，所以f(x)=−|x|−|x+2|≤−2，即f(x)+3≤1．又a2+b24=5b24−2√5b+5=54(b2−85√5b)+5=54(b−45√5)2+1≥1，当且仅当a=√55,b=4√55时取等号．所以a2+b24≥f(x)+3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式以及二次函数的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)+3≤1，根据二次函数的性质求出a2+b24≥1，从而比较大小．。

2020年河南省六市高三第一次联合调研检测数学理科参考答案一㊁选择题1-6 C A D D C D 7-12 B A D B B C 二㊁填空题13.10 14.(1,+ɕ) 15.135 16.(1,e )三㊁解答题17㊁解:(Ⅰ)因为D 在边B C 上,所以c o s øA D B =-c o s øA D C ,在ΔA D B 和ΔA D C 中由余弦定理,得A D 2+B D 2-A B 22A D ˑB D +A D 2+D C 2-A C 22A D ˑD C =0,3分 因为A B =213,A C =4,A D =3,B D =D C ,所以9+B D 2-52+9+B D 2-16=0,所以B D 2=25,B D =5.所以边B C 的长为10.6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知ΔA D C 为直角三角形,所以S ΔA D C =12ˑ4ˑ3=6,S ΔA B C =2S ΔA D C =128分因为C E 是øB C A 的角平分线,所以S ΔA C E S ΔB C E =12A C ˑC E ˑs i n øA C E 12B C ˑC E ˑs i n øB C E =A C B C =410=2510分 所以S ΔA B C =S ΔB C E +S ΔA C E =S ΔB C E +25S ΔB C E =75S ΔB C E =12,所以S ΔB C E =607.即ΔB C E 的面积为607.12分 18.解:(Ⅰ)因为四边形A B C D 是菱形,且øB A D =60ʎ所以ΔA B D 是等边三角形,又因为O 是A D 的中点,所以B O ʅA D又因为A B =6,A O =3所以B O =332分又P O =4,P B =43,B O 2+P O 2=P B 2所以P O ʅO B又P O ʅA D ,A D ɘO B =O所以P O ʅ平面A B C D 3分所以P O ʅA C又因为A B C D 是菱形,O E ʊB D)页5共(页1第 案答学数科理三高所以A C ʅO E ,又P O ɘO E =O所以A C ʅ平面P O E所以A C ʅP E 5分 (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知O P ʅO A ,O P ʅO B ,O A ʅO B ,以点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O -x y z ,则:P (0,0,4),B (0,33,0)0(0,0,0),E (23,323,0),D (-3,0,0)设平面P O E 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1)则: m ㊃O P ң=4z 1=0m ㊃O E ң=32x 1+323y 1=0ìîíïïïï,据此可得平面P O E 的一个法向量为m =(3,-1,0)8分 设平面P B D 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2)则:n ㊃B D ң=-3x 2-33y 2=0n ㊃P D ң=-3x 2-4z 0=0{据此可得平面P B D 的一个法向量为n =(-43,4,33)10分 c o s <m ,n >=m ㊃n |m ||n |=-16291=-89191平面P O E 与平面P B D 所成锐二面角的余弦值8919112分 19.解:(Ⅰ)由题知e =c a ,c =1,ʑP (1,c a )在椭圆上所以1a 2+c 2a 2b 2=1,ʑb 2+c 2a 2b 2=1b 2=1故b =1,a =2所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.4分 (Ⅱ)由题意得,P 不在x 轴上,不妨设P (m ,n ),(n ʂ0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由A F 1ң=λF 1P ң,得(-1-x 1,-y 1)=λ(m +1,n ),所以x 1=-λm -λ-1,y 1=-λn ,又由x 212+y 21=1得(λm +λ+1)22+(λn )2=1①6分 又m 22+n 2=1②,联立①②消去n 得(3+2m )λ2+(2m +2)λ-1=0即[(3+2m )λ-1](λ+1)=0,由题意知λ>0,λ+1ʂ0,所以λ=13+2m 8分 同理可得μ=13-2m 10分 )页5共(页2第 案答学数科理三高所以λ+μ=13+2m +13-2m =69-4m 2故当m =0时,λ+μ取最小值23.12分 20.解:(Ⅰ)由题可知f '(x )=(x +1)e x -2a e 2x =0有两个不相等的实根即:x +1-2a e x =0有两个不相等实根1分令2a =x +1e x =h (x )h '(x )=e x -(x +1)e x (e x )2=-x e x ,x ɪR x ɪ(-ɕ,0),h '(x )>0;x ɪ(0,+ɕ),h '(x )<0故h (x )在(-ɕ,0)上单增,在(0,+ɕ)上单减3分 ʑh (x )m a x =h (0)=1又ȵh (-1)=0,x ɪ(-ɕ,-1)时,h (x )<0;x ɪ(-1,+ɕ)时,h (x )>0ʑ2a ɪ(0,1),即a ɪ(0,12)5分 此题还可以利用数形结合转化为y =12a (x +1)与y =e x 相交问题,(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知,x 1,x 2是方程x +1e x =2a 的两根,ʑ-1<x 1<0<x 2,则x 1+λx 2>0⇔x 2>-x 1λ>0因为h (x )在(0,+ɕ)单减,ʑh (x 2)<h (-x 1λ),又h (x 2)=h (x 1),ʑh (x 1)<h (-x 1λ)即x 1+1e x <-x 1λ+1e -,两边取对数,并整理得:λl n (x 1+1)-λl n (1-x 1λ)-(1+λ)x 1<0对x 1ɪ(-1,0)恒成立8分 设F (x )=λl n (x +1)-λl n (1-x λ)-(1+λ)x ,x ɪ(-1,0)F '(x )=λx +1+11-x λ-(1+λ)=(1+λ)(x +1-λ)x (x +1)(λ-x )9分 当λȡ1时,F '(x )>0对x ɪ(-1,0)恒成立,ʑF (x )在(-1,0)上单增,故F (x )<F (0)=0恒成立,符合题意;10分 当λɪ(0,1)时,λ-1ɪ(-1,0),x ɪ(λ-1,0)时F '(x )<0ʑF (x )在(λ-1,0)上单减,F (x )>F (0)=0,不符合题意.综上,λȡ112分)页5共(页3第 案答学数科理三高方法二:设x 1㊁x 2是x +1-2a e x =0的两根,且x 1<x 2,则x 1-x 2<0即x 1+1=2a e x x 2+1=2a e x {⇒0<x 1+1x 2+1=e x -x =t <1x 1-x 2=l n t x 1+1=t (x 2+1){⇒x 1=l n t +l n t +1t -1x 2=l n t -t +1t -1ìîíïïïïx 1+λx 2>0即l n t +l n t -t +1t -1+λl n t +t -1t -1>0恒成立(0<t <1)即t l n t -t +1+λ(l n t -t +1)<0恒成立8分 令g (t )=t l n t -t +1+λ(l n t -t +1)g '(t )=l n t +λ1-t t ,g ᵡ(t )=1t -λt 2=t -λt 29分 当时λȡ1,g ᵡ(t )<0,g '(t )单减,故g '(t )>g '(1)=0故g (t )在(0,1)上为增函数,ʑg (t )<g (1)=010分 当0<λ<1时,t ɪ(0,λ),g ᵡ(t )<0;t ɪ(λ,1),g ᵡ(t )>0g '(t )在(λ,1)上为增函数,故g '(t )<g '(1)=0,故g (t )在(λ,1)上为减函数ʑg (t )>g (1)=0,ʑ舍去.ʑλȡ1.12分21.解:(Ⅰ)设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则q =1-p .所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k ,呈阳性反应的概率为1-q k .依题意可知X =1k ,1+1k,所以X 的分布列为:5分 (Ⅱ)方案②中.结合(Ⅰ)知每个人的平均化验次数为:E (X )=1k ㊃q k +(1+1k )㊃(1-q k )=1k -q k +17分 所以当k =2时,E (X )=12-0.92+1=0.69,此时1000人需要化验的总次数为690次,8分 k =3时,E (X )=13-0.93+1ʈ0.6043,此时1000人需要化验的总次数为604次,9分 k =4时,E (X )=14-0.94+1=0.5939,此时1000人需要化验的次数总为594次,10分 即k =2时化验次数最多,k =3时次数居中,k =4时化验次数最少而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当k =4时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次12分)页5共(页4第 案答学数科理三高22.解:(Ⅰ)由x =1+3t y =33+t ìîíïïïï消t 得,x -3y =0 即y =33x 2分 C 2是过原点且倾斜角为π6的直线ʑC 2的极坐标方程为θ=π6(ρɪR )5分 (Ⅱ)由 θ=π6ρ=a (1-s i n θ)ìîíïïïï得,ρ=a 2θ=6ìîíïïïï ʑA (a 2,π6)由 θ=7π6ρ=a (1-s i n θ)ìîíïïïï得ρ=3a 2θ=7π6ìîíïïïï ʑB (3a 2,7π6)ʑ|A B |=a 2+3a 2=2a .10分 23.解:(Ⅰ)当a =1时,f (x )=-2x +1,x ɤ-1,3,-1<x <2,2x -1,x ȡ2,ìîíïïïï2分 当x ɤ-1时,由f (x )ȡ7得-2x +1ȡ7,解得x ɤ-3;当-1<x <2时,f (x )ȡ7无解;当x ȡ2时,由f (x )ȡ7得2x -1ȡ7,解得x ȡ4,所以f (x )ȡ7的解集为(-ɕ,-3]ɣ[4,+ɕ).5分 (Ⅱ)若f (x )ɤ|x -4|+|x +2a |的解集包含[0,2]等价于|x +a |-|x +2a |ɤ|x -4|-|x -2|在x ɪ[0,2]上恒成立,因为x ɪ[0,2]时,|x -4|-|x -2|=2所以|x +a |-|x +2a |ɤ2在x ɪ[0,2]上恒成立6分 由于x ɪ[0,2]若-a ɤ0即a ȡ0时,|x +a |-|x +2a |=x +a -x -2a =-a ɤ2恒成立;7分若-a ȡ0即a ɤ-2时,|x +a |-|x +2a |=-x -a +x +2a =a ɤ2恒成立;8分 若0<-a <2即-2<a <0时,|x +a |<2,|x +a |-|x +2a |ɤ2恒成立.9分 综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是R .10分 )页5共(页5第 案答学数科理三高。