2018年河南全省 含所有市 高考数学一模试卷 汇总 (2

2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．185．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．2008．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．49．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．411．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x212．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{1，2，3}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选：C．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴S n＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，S n达到最大值400．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）由2x+＝kπ，即x＝﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）＝cos（2×（﹣）+φ）＝cos（kπ﹣+φ）＝±cos（φ﹣）＝0，即φ﹣＝kπ+，则φ＝kπ+，k∈Z当k＝﹣1，φ＝﹣π+＝﹣，故选：D．6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β【解答】解：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B错误；对于C，若b⊂α，显然结论不成立，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．200【解答】解：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10＝0.65，∵支出金额在[30，50]的学生有17人，∴n＝＝180．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．9．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．【解答】解：可令|x|＝t（1≤t≤4），g（t）＝﹣，由y＝，y＝﹣在[1，4]上递增，可得g（t）在[1，4]递增，g（t）的最小值为1﹣1＝0；最大值为2﹣＝，又f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）的最小值为m＝0，最大值为M＝，则M﹣m＝，故选：A．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正面递增等比数列，则q＞1，数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0，则有1＝（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）＝（1+λq）（a4﹣a2），∴1+λq＝，a6+λa7＝a6（1+λq）＝＝，令g（q）＝，（q＞1），∴g′（q）＝．分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数，当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数，则当q＝时，g（q）取得最小值，此时g（q）＝g（）＝4，∴a6+λa7的最小值为4．故选：D．11．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x2【解答】解：由题意及框图，在①应填y＝﹣x；在②应填y＝x2；在③应填y ＝0故选：B．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．【解答】解：，，＝（k+1，k+2），，则：k+1+k+2＝0，解得k＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝4．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1﹣，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为y＝﹣2x+5，可得1﹣a＝﹣2，解得a＝3，由切点（1，3），可得3＝1+3+b，解得b＝﹣1，则a﹣b＝4，故答案为：4．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．【解答】解：∵{a n}和{}都是等差数列，且公差d相等，则＝+（n﹣1）d，S n＝na1+d，令n＝2，3，可得：＝+d，＝+2d，化为：2d2＝d，解得d＝，或d＝0．d＝0时，a1＝0，与a1＞0矛盾，舍去．把d＝代入：＝+d，化为：﹣+＝0，解得a 1＝，则a2＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sin A cos B﹣sin B cos C＝sin C cos B；∴4sin A cos B＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A；∵sin A≠0；∴；（2）由得ac cos B＝3，ac＝12；由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝24，所以可得．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．【解答】解：（Ⅰ）由平均数相同，列方程得93+90+x+81+73+77+61＝90+94+84+72+76+63，解得x＝4；（Ⅱ）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名，设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，…（6分）则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为P＝＝．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE＝2，又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴，∴SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。

八市·学评2017-2018（下）高三第一次测评理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足z+1i=1−i,其中i为虚数单位，则z=( )A．2−i B．2+i C．−2−i D．−2+i2. 集合A=0,2,a,B=1,a2−a,若A⌒B只有一个元素，则实数a的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23.已知x,y满足约束条件x−y+1≥0x+y−2≥0x≤1,则xy的最小值是( )A．1 B．12 C．13D．144. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140分之间，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2，则100~120分数段的人数为（）A．12 B．28 C.32 D．405.已知sin2θ=23，则tan2 θ−π4=( )A．15 B．56C.5 D．66.某几何体的三视图如右图所示，则改几何体的体积为( )A．6π B．9π C.15π D．18π7.已知函数f x=23−x−7,x<1ln1x,x≥1,若f m=1,则m=( )A．1e B．e C. 1e或e D．08.设等差数列a n的首项a1大于0，公差为d,则“d<0”是“4a1a n为递减数列”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件9.双曲线C:x 2a −y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),过点F斜率为−ba的直线为l,设直线l与双曲线的渐近线的交点为A,O为坐标原点，若∆OAF的面积为4ab,则双曲线C的离心率为( )A．． C.2 D．410.设函数f x=x2−a与g x=a x(a>1且a≠2)在区间0，+∞ 具有不同的单调性，则M=a−10.2与N=1a 0.1的大小关系是( )A．M=N B．M≤N C.M<N D．M>N11.记实数a,b种的最小数为min a,b,若函数f x=min1+sin2ωx,1−sin2ωxω>0的最小正周期为1，则ω的值为( )A．12 B．1 C. π2D．π12. 已知函数f x=x2+4x+2,x≤0elnxx,x>0,若函数g x=f x−3m有4个不同的零点，则m的取值范围是( )A．0，23 B． −23，23C.0，13D． −23，13第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-8，则输出y的值为．14.直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．15.x−2x⁷的展开式中，x−1的系数是．（用数字填写答案）16. 已知抛物线C1:y²=4x与圆C2:x2+y2−2x=0,直线y=kx−k与C1交于A,B两点，与C2交于M,N两点，且A,M位于x轴的上方，则AM∙NB=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在∆ABC中，边a,b,c的对角分别为A,B,C，且满足cos Bb =cos A+cos Ca+c.(1)求角B的大小；(2)若b=2，求∆ABC面积的最大值.18. 已知在四棱锥P−ABCD中，∆PAD为正三角形，PA=2，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，点E是侧棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∕∕EF；(2)若AB=2,∠DAB=60°，求平面AEF与平面PAD所成二面角（锐角）的余弦值.19. 某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会，拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加，各班邀请的学生数如下表所示；(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率；(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言，设来自高三（3）的学生数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望.20. 已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，点M3，32在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点，与直线OM相较于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值.21. 已知函数f x=−mx2+2m+1x−ln x−1−m m∈R.(1)若函数g x=f x−x+1有一个极小值点和一个极大值点，求m的取值范围；(2)设m≤12，若存在n∈1,2,使得当x∈(0,n]时，f(x)的值域是f n,+∞,求m的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中xOy中，直线l:y=,圆C的参数方程为x=3+3cosα,y=a+3sinα,(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A,B两点，且△ABC的面积是334，求实数a的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f x=x+3+x−2.(1)若f x>8,求x的取值集合；(2)若不等式ax+3≤f(x)对于xϵ0,+∞恒成立，求a的取值范围.八市·学评 2017～2018（下）高三第一次测评理科数学(参考答案)一、选择题1-5: DBCBA 6-10: CDADD 11、12：CC二、填空题13.4 14. 1 15.-280 16.1三、解答题17.解：（1）由cos B b =cos A +cos Ca +c 及正弦定理cos B sin B =cos A +cos Csin A +sin C .所以sin B cos A −cos B sin A =cos B sin C −sin B cos C ,即sin B −A =sin C −B .所以B −A =C −B 或B −A +C −B =π（舍）所以2B =A +C ，又A +B +C =π，所以B =π3.(2)由b =2,B =π3及余弦定理得4=a 2+c 2−2ac cos π3=a 2+c 2−ac ≥ac , 得ac ≤4，所以S ∆ABC =12ac sin B ≤12×4×sin π3= 3,当且仅当a =c =2等号成立.所以∆ABC 面积的最大值为 .18. ．解：（1）∵底面ABCD 是平行四边形，∴AB ∕∕CD ，又∵AB ⊄面PCD ,CD ⊂面PCD ，∴AB ∕∕面PCD ，又∵A ,B ,E ,F 四点共面，且平面ABEF⋂平面PCD =EF ,∴AB ∕∕EF .(2)取AD 中点G ，连接PG ,GB ,∵侧面PAD 为正三角形，故PA =PD ,∴PG ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD⋂平面ABCD =AD ,∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥GB ,在平行四边形ABCD 中，PA =AD =AB =2，故ABCD 为菱形， 且∠DAB =60°，G 是AD 中点，∴AD ⊥GB .如图，建立空间直角坐标系G −xyz ,因为PA =PD =AD =2,则G 0,0,0 ,A 1,0,0 ,B 0, 3,0 C −2, 3,0 ,D −1,0,0 ,P 0,0, 3 ,又∵CD ∕∕EF ,点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴E −1, 32, 32 ,F −12,0, 32 , AB = −32,0, 32 ,EF = 12,− 32,0 ，设平面AFE 的法向量为n = x ,y ,z , 则有 n ⋅AF =0n ⋅EF =0,∴ z = 3x y = 33x ,不妨令x =3,则平面AFE 的一个法向量为n = 3, 3,3 3 ,∵BG ⊥平面PAD , ∴GB= 0, 3,0 是平面PAF 的一个法向量， ∵cos <n ,GB >=n ∙GBn ∙ GB = 1313, ∴平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值为 1313.19.解：（1）从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为C 203,选出 3 人中任意两个均不属于同一班级的方法数为C 41∙C 61∙C 41+C 41∙C 61∙C 61+C 41∙C 41∙C 61+C 61∙C 41∙C 61 设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为A所以P A =C 41∙C 61∙C 41+C 41∙C 61∙C 61+C 41∙C 41∙C 61+C 61∙C 41∙C 61C 203=819(2)X 可能的取值为 0,1,2,3P X =0 =C 163C 203=5×7×163×20×19=2857,P X =1 =C 162C 41C 203=8×15×43×20×19=819,P X =2 =C 161C 42203=16×6=8,P X =3 =C 43203=4=1 所以X 的分布列为所以E X =2857×0+819×1+895×2+1285×3=5795=3520. 解：(1) 由椭圆C:x 2a +y 2b =1 a >b >0 的离心率为12,点M 3, 32 在椭圆C 上得c a =12, 32a + 324b =1,a 2=b 2+c 2.解得 a 2=4,b 2=3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)易得直线OM 的方程为y =12x . 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线y =12x 上，故直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为 y =kx +m(m ≠0),与x 24+y 23=1联立消y 得3+4k ² x 2+8kmx +4m ²−12=0, 所以∆=64k ²m 2−4 3+4k 2 4m 2−12 =48 3+4k 2−m 2 >0.设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2. 由y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =6m 3+4k ,所以AB 的中点N −4km 3+4k ，3m 3+4k ,因为N 在直线y =12x 上，所以−4km 3+4k =2×3m 3+4k ,解得k =−32所以∆=48 12−m ² >0,得− <m < 且m ≠0, AB = 1+ 32² x 2−x 1 = 132∙ x 1+x 2 2−x 1x 2= 132∙ m 2−4m 2−123= 696 12−m 2 又原点O 到直线l 的距离d =13, 所以S ∆OAB =12× 396 12−m 2× 13= 36 12−m 2 m 2≤ 36 12−m 2+m 2 ²4= 3， 当且仅当12−m 2=m 2,m =± 6时等号成立，符合− 12<m < 12,且m ≠0. 所以∆OAB 面积的最大值为： 3.21.解：(1)g x=−m x−12−ln x,则g′x=−2m x−1−1x =−2mx2+2mx−1x令 x=−2mx2+2mx−1,(x>0),若函数g(x)有两个极值点，则方程 x=0必有两个不等的正根，于是0=−1∆=4m2−8m>0−2m2−2m=12>0,,解得m>2当m>2时， x=0有两个不相等的正实根，设为x1,x2,不妨设x1<x2,则g′x=−2m x−x1x−x2x =− (x)x.当0<x<x1时， x>0,g′x<0,g(x)在(0,x1)上为减函数；当x1<x<x2时, x<0,g′x>0,g(x)在x1,x2上为增函数；当x>x2时， x>0,g′x<0,函数g(x)在(x2,+∞)上为减函数.由此，x=x1是函数g(x)的极小值点，x=x2是函数g(x)的极大值点.符合题意. 综上，所求实数m的取值范围是2，+∞（2）f′x=1−2m x−1−1x =−2mx2−2m+1x+1x=−x−1(2mx−1)x①当m≤0时，2mx−1x<0.当0<x<1时，f′x<0,f(x)在0,1上为减函数；当x>1时，f′x>0,f(x)在1,+∞上为增函数.所以，当x∈(0,n](1<n<2)时，f x min=f1=0<f n,f(x)的值域是[0,+∞∞). 不符合题意.②当0<m≤12时，f′x=−2m(x−1)(x−12m)x.(i)当12m =1,即m=12时，f′x=−x−12x≤0,当且仅当x=1时取等号.所以f(x)在0，+∞ 上为减函数．从而f(x)在（0,n]上为减函数．符合题意(ii)当12m >1,即0<m<12时，当x变化时，f′x,f(x)的变化情况如下表：若满足题意，只需满足f2<f(1),且12m <2(若12m≥2，不符合题意),即m>1−ln2,且m>14.又1−ln2>14,所以m>1−ln2,此时1−ln2<m<12所以实数m的取值范围是1−ln2<m≤1222. 解：（1）由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得3ρcosθ=ρsinθ，所以θ=π3将x=3+3cosα,y=a+3sinα,化为直角坐标方程为x−32+y−a2=3,所以x2+y2−6x−2ay+a2+6=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入上式得ρ2−6ρcosθ−2aρsinθ+a2+6=0.圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−2aρsinθ+a2+6=0.(2)因为S∆ABC=12AC×BC sin∠ACB=12×3×3sin∠ACB=334,得∠ACB=π3或23π，当∠ACB=π3时，AB=3.由（1）知直线l的极坐标方程为θ=π3,代入圆C的极坐标方程得ρ2−3+3a ρ+a2+6=0.所以ρ1−ρ2²=ρ1+ρ2²−4ρ1ρ2=3+3a 2−4a2+6=3,化简得a2−63a+18=0,解得a=33+3或a=33−3.23. 解：（1）①当x<−3时，f x=−x−3−x+2=−2x−1>8,解得x<−92；②当−3≤x≤2时，f x=x+3−x+2=5>8,解得xϵ∅；③当x>2时，f x=x+3+x−2=2x+1>8,解得x>72；综合①②③得x的取值集合为 −∞,−92∪72,+∞ .（2）分两种情况讨论：①当0<x≤2时，原不等式转化为ax+3≤x+3−x−2=5,即a≤2x恒成立，∴a≤1②当x>2时，原不等式转化为ax+3≤x+3+x−2=2x+1,即a≤2−2x恒成立，∴a≤1.综上可知：a≤1.。

2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分,共60分）1．（5分)已知集合A={x｜x2﹣2x﹣3＞0｝，B=N，则集合（∁R A）∩B中元素的个数为（)A．2B．3C．4D．52．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣6B．13C．D．3．（5分）已知f（x)=sinx﹣tanx，命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则（）A．p是假命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f(x0）≥0C．p是真命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题,￢p：∃x0∈（0，)，f（x0）≥04．(5分）已知程序框图如图，则输出i的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5分）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1）班、(2)班，(3）班、(4）班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中（1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（)A．18种B．24种C．48种D．36种6．(5分）《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某阳马”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．(5分）设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:（x+1)2+y2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围为()A．（0，）∪（,+∞）B．（，+∞）C．(0，）D．［，］8．（5分)若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足6﹣3=2，则•的值为(）A．﹣B．﹣2C．2D．9．（5分）关于函数f(x)=3sin（2x﹣）+1（x∈R），下列命题正确的是(）A．由f（x1)=f（x2)=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x)的表达式可改写成f(x）=3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象关于点（，1）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称10．（5分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1,若对于x∈[1，3］，f（x）＜﹣m+4恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0］B．C．D．11．（5分)设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点,顶点P在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（5分)已知定义在R上的函数f（x）和g（x)分别满足f（x）=，e2x﹣2+x2﹣2f（0)•x,g′（x)+2g（x）＜0，则下列不等式恒成立的是（）A．g(2016）＜f（2）•g（2018)B．f（2）•g（2016）＜g（2018）C．g（2016）＞f（2）•g（2018）D．f（2)•g（2016）＞g（2018）二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．(5分）设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式(a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．（5分）若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f(a+b）的值为．15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．(5分）如图，OA,OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣区域I和区域Ⅱ，点C在上,∠COA=θ，CD∥OA,其中，半径OC及线段CD需要用渔网制成．若∠AOB=,OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70分)17．（12分)已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2,a n＞0,6S n=+3a n+2，n∈N ＊．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若对∀n∈N＊，b n=(﹣1)n，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（12分)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4．（1)求证：PC⊥BD；（2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B﹣DF﹣C的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．(12分)某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2）假设在（90,100]段的学生中有3人得满分100分,有2人得99分,其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20．（12分)已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点(2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使｜AN｜=｜BN｜,求△ABN的面积的最小值．21．（12分)已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx(a,b∈R），其导函数为y=f′（x)．（1)当b=2时,若函数y=f′（x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）设a≠0，点P(m，n)（m,n∈R）是曲线y=f（x)上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m）使得f（x0）﹣n=f′（)（x0﹣m）成立？并证明你的结论．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]22．(10分)在直角坐标系xOy中，已知直线l1：（t为参数），l2:（t为参数）,其中α∈(0，），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A,B(非坐标原点），求｜AB｜的值．［选修4—5：不等式选讲］23．设函数f（x）=|x﹣a|（a＞0）．(1）当a=2时,解不等式f（x）≥1﹣2x；（2）已知f（x）+|x﹣1｜的最小值为3，且m2n=a（m＞0,n＞0），求m+n的最小值．2018年河南省高考数学一模试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1．【分析】可先求出集合A=｛x｜x＜﹣1，或x＞3｝,然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A=｛x|x＜﹣1，或x＞3｝；∴∁R A={x|﹣1≤x≤3};∴（∁R A)∩B={0，1,2，3}．故选：C．【点评】考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念,交集和补集的运算．2．【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则,解得a=﹣6．故选:A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3．【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣tanx,x∈（0,）,当x=时，∴f(x）=，命题p：∃x0∈（0,)，f(x0)＜0，是真命题,命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则￢p：∀x∈(0，），f（x）≥0．故选:C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件,故S=105,i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件,故S=945,i=11;当S=945时，不满足退出循环的条件,故S=10395，i=13；当S=10395时,满足退出循环的条件，故输出的i=13，故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．【分析】分类讨论，第一类,一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类,一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类,一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．【点评】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力,属于中档题．6．【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD⊥底面ABCD，且侧棱AD=1,∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形,且PA=PC=，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．故选：C．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（﹣1，﹣1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1，1），N（2，2），P（1，3)∵圆C:(x+1）2+y2=r2（r＞0)表示以C（﹣1，0)为圆心，半径为r的圆,∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时,圆C不经过区域D上的点，∵CM==,CP==．∴当0＜r＜或r＞时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题．8．【分析】根据条件可先求出，而由即可得出,这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC的边长为3;∴；;∴；∴==，=；∴===﹣2．故选:B．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9．【分析】根据函数f（x)=3sin（2x﹣）+1(x∈R）,结合三角函数的性质即可判断各选项．【解答】解：函数f(x）=3sin(2x﹣）+1（x∈R)，周期T=，对于A：由f（x1)=f（x2）=1，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1﹣x2不是π的整数倍；∴A 不对．对于B：由诱导公式，3sin（2x﹣)+1=3cos［﹣（2x﹣)］+1=3cos（2x﹣）+1．∴B不对．对于C:令x=，可得f(）=3sin（2×﹣）+1=﹣1=，∴C不对，对于D:当x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f(x）的图象关于直线x=﹣对称．故选：D．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10．【分析】利用分离参数法,再求出对应函数在x∈［1，3］上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意，f（x)＜﹣m+4，可得m(x2﹣x+1）＜5．∵当x∈[1，3］时，x2﹣x+1∈[1,7］，∴不等式f（x）＜0等价于m＜．∵当x=3时，的最小值为，∴若要不等式m＜恒成立,则必须m＜，因此，实数m的取值范围为(﹣∞，），故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11．【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得=4,得到5b=4c，即可求出a=c，根据正弦定理可得===【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0，即（x﹣5）2+y2=25所截得的两条弦长之和为12,设圆心到直线的距离为d，则d==4，∴=4，即5b=4c，即b=c∵a2=c2﹣b2=c2，∴a=c，∴|AP﹣BP|=2a,由正弦定理可得===2R，∴sinB=，sinA=,sinP=，∴===,故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12．【分析】f(x）=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0）=．由f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0）,令x=1，可得f（0）．进而得出f′（1)，f(x），f （2）．令h（x）=e2x g（x），及其已知g′(x)+2g（x）＜0，可得h′（x)=e2x[g′（x）+2g（x）]＜0，利用函数h（x)在R上单调递减，即可得出．【解答】解：f（x)=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0)=．∵f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0)，令x=1,则f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），解得f(0）=1．∴f′（1）=2e2．∴f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2)=e4．令h（x)=e2x g（x），∵g′(x）+2g（x)＜0，∴h′（x）=e2x g′（x）+2e2x g（x)=e2x［g′(x）+2g（x）］＜0，∴函数h（x)在R上单调递减，∴h(2016）＞h（2018），∴e2016×2g（2016）＞e2018×2g(2018），可得:g（2016)＞e4g（2018）．∴g(2016）＞f（2）g(2018)．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力,属于难题．二、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）13．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）｜=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=26﹣r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2,求得r=1，故含x2项的系数为26﹣1C61=192．故答案为:192【点评】本题主要考查定积分、二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．【分析】由已知中函数f(x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x)==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立,故．即，∴f（x)=，∴f（a+b)=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为:﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数求值,难度中档．15．【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长,即可求出AA1的长度．【解答】解:由题意,△ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ABC外接圆圆心G，即GA=GB=GC=2，从而正三角形ABC边长2,设球心O,由题意，E、D在球面上,OE=OD=2,F为DE中点，则OF⊥DE，OF=GD=GC=1，在Rt△OEF中，OE=2，OF=1，∴EF=，∴DE=2，∴AA1=2．故答案为：2．【点评】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系,通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力,逻辑推理能力．16．【分析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式,利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ，得∠OCD=θ,∠ODC=，∠COD=﹣θ;在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ),可得f（θ）=θ+1+sin(﹣θ）,所以f′(θ）=1﹣cos（﹣θ）,因为θ∈(0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ)=0，得cos（﹣θ)=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0,）（,）f′（θ）+0﹣f（θ）极大值所以f（θ)∈（2,］．故所需渔网长度的最大值为．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题,是难题．三、解答题（共70分）17．【分析】（1）6S n=+3a n+2,n∈N＊．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3)=0,由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，n=1时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n=(﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n=﹣(6n﹣5）2+（6n﹣2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n=+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1=+3a n+2﹣（+2)，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，n=1时,6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1=1．∴数列{a n｝是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2)b n=（﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．+b2n=﹣（6n﹣5）2+(6n﹣2)2=3（12n﹣7）=36n﹣21．∴b2n﹣1∴数列｛b n｝的前2n项的和T2n=36（1+2+……+n）﹣21n=﹣21n=18n2﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1)推导出△BAD≌△EDC,∠DBA=∠DEH,从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，【分析】得BD⊥PH,由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系,利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F 满足CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：(1）∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠EDC=∠BAD=90°,∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≌△EDC,∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DEH+∠ADB=90°，∴BD⊥EC,又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH,EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．解：（2）由(1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=，∴,∴EH=1，HC=4，DH=2,HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0，0，0）,B（3，0，0)，C（0，4，0)，D（﹣2，0，0），P（0，0，4）,假设线段PC上存在一点F满足题意，∵与共线,∴存在唯一实数λ，（0≤λ≤1)，满足=λ，解得F（0，4﹣4λ，4λ),设向量=（x,y,z）为平面CPD的一个法向量,且=（0,﹣4，4），=(﹣2，﹣4,0）,∴，取x=2,得=（2，﹣1,﹣1），同理得平面CPD的一个法向量=(0，λ，λ﹣1），∵二面角B﹣DF﹣C的余弦值是，∴|cos＜＞｜===，由0≤λ≤1,解得λ=，∴=,∵CP=4,∴线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3时,二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【点评】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是中档题．19．【分析】（1)把组中值看作各小组的平均数,根据加权平均数公式计算;（2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．【解答】解:（1）=45×0。

2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=100．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q100=2100，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，=V P﹣AEC，得，由V E﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t 1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。

2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）= 100 ． 【解答】解：∵，∴log 2a n +1﹣log 2a n =1，即，∴．∴数列{a n }是公比q=2的等比数列．则a 101+a 102+…+a 110=（a 1+a 2+a 3+…+a 10）q 100=2100，∴log 2（a 101+a 102+…+a 110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若，则双曲线的渐近线方程为 y=±x ．【解答】解：由题意得右焦点F （c ，0）， 设一渐近线OM 的方程为y=x ， 则另一渐近线ON 的方程为y=﹣x ， 由FM 的方程为y=﹣（x ﹣c ）， 联立方程y=x ， 可得M 的横坐标为，由FM 的方程为y=﹣（x ﹣c ），联立方程y=﹣x ， 可得N 的横坐标为．由2=，可得2（﹣c ）=﹣c ，水秀中华即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？临界值表：附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，=V P﹣AEC，得，由V E﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）水秀中华可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．水秀中华曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t 1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，水秀中华∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。

1．C【解析】(){|lg 21}A x x =-< (){|0210}2,12x x =<-<=, 2{|230}B x x x =--< ()1,3=-, 所以A B ⋃= ()1,12-,选C ． 2．B 【解析】因为11ia bi i+=+-,所以0,1,1,i a bi a b a b =+∴==+=选B ． 3．C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有种取法，所以概率为，故选C ．考点：古典概型及其概率的计算．5．B【解析】由A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知： 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果． 故选B ． 6．B【解析】几何体如图， SA AB SB ===，所以最大面ＳＡＢ的面积为12⨯=7．D【解析】因为2212n n a a -+= ,所以()()()100123499100250100,S a a a a a a =++++++=⨯= 选D ．9．D 【解析】试题分析：此题的程序框图的功能就是先求这2017个数的最大值，然后进行计算,2sinπb b F +=，因为2017}2017,,2,1max{== b ，所以201822017sin2017=+=πF ，故选D ． 考点：程序框图．【方法点睛】本题考查的是程序框图．对于算法与流程图的考查，一般会侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 10．C【解析】取SC 中点O ，则OA=OB=OC=OS,即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则2123,342r r r ⨯⨯==选C ． 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 12．A【解析】令1x xt e =-，则方程0x x xx e m e x e ++=-化为()2110t m t +++=有两个不等的实根12,t t ，所以312312121,11x x x x x xt t e e e=-=-=-∴3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22121t t ==，选A ． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 13．5【解析】b()()()0,23,23,45b =--=-∴=14．10 【解析】试题分析：由题意可得：5322=⇒=n n，所以()()rr rrr rrrr xC x x C x xC T 3105525525111---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令31310=⇒=-r r ，所以展开式中含x 项的系数是10．考点：二项式定理． 15．1+【解析】212222 1.F l PF PQ a PF PQ a d a b -+=++≥+=+=点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 17．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求出的通项公式，利用放缩法进行证明不等式．试题解析：（1）当2n ≥时， 21221nn n n S S S S --=-， 112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列． -------6分 （2）由（1）可知，()1111221n n n S S =+-⨯=-， 121n S n ∴=-∴当2n ≥时，()()()1111111121222121n S n n n n n n n n n ⎛⎫=<=⋅=- ⎪----⎝⎭从而123111*********...112322231222n S S S S n n n n ⎛⎫++++<+-+-++-<-< ⎪-⎝⎭ ．考点：1．裂项求和；2．放缩法；3．推理能力．【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和，放缩法，等差数列的通项公式，考查了变形能力，推理能力与计算能力，属于中档题，首先根据2221n n n S a S =-可求出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，（2）问中根据（1）中条件进行裂项求和，可发现中间部分项被消掉，因此可适当利用放缩的方法对前项和进行放大或缩小，即可证明结论，因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决问题的关键．18．(1)80岁及以上应抽取： 3人，80岁以下应抽取： 5人；(2) 2.75%；(3)2．22亿元．【解析】试题分析：（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，则Xr 可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、EX ，从而能估计政府执行此计划的年度预算．(2)在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：152045201,6006+++=用样本估计总体， 80岁及以上长者共有166116⨯=万， 80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11100400⨯％=2.75％，求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布()~,B n p ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 19．（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．设,,OB m OE h ==则OA =，)()(),0,0,0,,0,0,0,AB m E h向量()10,1,0n =为平面AEC 的一个法向量 ．8分设平面ABE 的一个法向量()2,,n x y z =，则20n AB ⋅= 且20n BE ⋅=，即00my my hz +=-=且，取1x =，则y z ==，则2n ⎛= ⎝⎭12分121212·cos45cos ,2·n n n n n n ∴====解得h m =故:2:2: 2.PD AD h m h m ===14分考点：1、平面与平面垂直的判定；2、平面与平面所成角余弦值的应用． 20．（1）2p =（2）3π【解析】试题分析：（1）设出直线l 的方程为2py x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB 中点坐标，推出中垂线方程，结合AB 的中垂线交y 轴于点()0,5Q ，求出p 即可；（2）设l 方程为1y kx =+，代入24x y =，求出AB 的距离以及AB 中点为()22,21D k k +，令2MDN α∠=，求出S 的表达式，推出关系式SABα=，利用D 到x 轴的距离221DE k =+，求出2221cos 1222DE k k AB α+==+，分离常数即可求得S AB 的最大值．（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=()212122444AB y y k x x k =++=++=+ AB 中点为()22,21D k k +令2MDN α∠= 122S A B A B αα=⋅=⋅ SABα∴= D 到x 轴的距离221DE k =+222211cos 1122222DE k k k AB α+===-++ 当20k =时cos α取最小值12α的最大值为3π故S AB的最大值为3π．21．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程2210x kx -+=：无根以及两个等根或两个负根时导函数不变号，为单调递增；当两个不等正根时，有三个单调区间，（2）由极值定义得122x x k +=， 121x x ⋅=，则化简()222221ln 22f x x x kx =+-为一元函数： 2221ln 12x x --，最后根据导数确定其单调性，得其最大值小于32-．当2440k ∆=->，即1k >时，2210x kx -+=，两根1,2x k =±所以(0,x k ∈， ()'0f x >(x k k ∈， ()'0f x <()x k ∈+∞, ()'0f x >故当(),1k ∈-∞时， ()f x 在()0,+∞上单调递增当()1,k ∈+∞时， ()f x 在(0,k 和()k +∞上单调递增()f x 在(k k 上单调递减．（2）()21ln 2(0)2f x x x kx x =+-> ()1'2f x x k x=+- 由（1）知1k ≤时， ()f x ()0,+∞上单调递增，此时()f x 无极值当1k >时， ()2121'2x kx f x x k x x-+=+-=由()'0f x =得2210x kx -+=2440k ∆=->，设两根12,x x ，则122x x k +=， 121x x ⋅=点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．22．（1）1y x =-， 22440x y x y +--=（2）PA PB -=【解析】试题分析：（１）根据加减消元法将直线l 的参数方程化为普通方程，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，（２）先化直线参数方程标准形式，代入圆C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得12PA PB t t -=+，再根据韦达定理求值．（2）点()2,1P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l的参数方程是2{ 1x y =+=+（t 为参数） 代入22440x y x y +--=，得270t -=，设两个实根为12,t t，则121270t t t t +=-<，即12,t t 异号所以1212PA PB t t t t -=-=+=点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00{ x x tcos y y tsin αα=+=+．(t 是参数，t 可正、可负、可为0) 若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|．(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +． (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0．23．（I ）1m ≥；（II ）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()max 221m x x ≥++，结合绝对值三角不等式的性质可得1m ≥；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得1a b +≥，由柯西不等式可得()()2222222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭，即221223a b a b a b +≥++．。

2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E ⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，∴===．故选：A．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=﹣5．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=2．【解答】解：当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，）=﹣S，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1化为﹣=，可得=1+，可得S n=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z 1=1，得．同理，设平面BB 1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）e ax（a≠0）的导数f′（x）=e ax+a（x+1）e ax=（ax+a+1）e ax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．所以，对任意x1，x2∈（0，1），．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。

2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知a ∈R ，复数z =(a−i)(1+i)i，若z =z ，则a =( )A.1B.−1C.2D.−22. 已知集合M ={x|x−3x−1≤0}，N ={x|y =log 3(−6x 2+11x −4)}，则M ∩N =( ) A.[1, 43]B.(12, 3]C.(1, 43)D.(43, 2)3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C ）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于0∘C 的月份有4个4. 在等比数列{a n }中，若a 2=√22,a 3=√43，则a 1+a 15a 7+a 21=( )A.23B.12C.32D.25. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺6. 定义[x]表示不超过x 的最大整数，(x)=x −[x]，例如[2.1]=2，(2.1)=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x =5.8，则输出的z =( )A.−1.4B.−2.6C.−4.6D.−2.87. 若对于任意x ∈R 都有f(x)+2f(−x)=3cosx −sinx ，则函数f(2x)图象的对称中心为（ ）A.(kπ−π4,0)(k ∈Z) B.(kπ−π8,0)(k ∈Z) C.(kπ2−π4,0)(k ∈Z)D.(kπ2−π8,0)(k ∈Z)8. 设x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +13y ≤1y ≥0，若z =−ax +y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.2或−3B.3或−2C.−13或12D.−13或29. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图像大致是( )A.B.C.D.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.20+12√2+2√14B.20+6√2+2√14C.20+6√2+2√34D.20+12√2+2√3411. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1, 0)，点A(−1, 1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.[12,1) B.[13,12] C.[15,14] D.[12,23]12. 已知函数f(x)=lnx+(2e2−a)x−b2，其中e是自然对数的底数，若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为（）A.−1e2B.−2e2C.−1eD.−2e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，|AB→|=2，则AB→⋅BC→=________已知(1+x)(a−x)6=a0+a1x+a2x2+...+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+...+a6+ a7=0，则a3=________．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n−S n2成立，若设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A(m, 18)在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取得标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．(1)求甲获得奖品的概率；(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90∘．（1）证明：B1C // 平面A1DE；（2）求二面角A−BB1−C的正弦值．已知抛物线E:y2=2px(p>0)，斜率为k且过点M(3, 0)的直线l与E交于A，B两点，（1）求抛物线E 的方程；（2）设点N(−3, 0)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 12+1k 22−2k 2为定值．已知函数f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)，且x =2a 是它的极值点．（1）求a 的值；（2）求f(x)在[t −1, t +1]上的最大值；（3）设g(x)=f(x)+2x +3xlnx ，证明：对任意x 1，x 2∈(0, 1)，都有|g(x 1)−g(x 2)|<2e 3+3e +1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k （m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +a|(a ∈R)．（1）若f(x)≥|2x +3|的解集为[−3, −1]，求a 的值；（2）若∀x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的基本运算进行化简，结合z=z，进行求解即可．【解答】解:z=(a−i)(1+i)i =a+1+(a−1)ii=a+1i+a−1=(a−1)−(a+1)i，则z=(a−1)+(a+1)i，∵z=z，∴a+1=0，得a=−1，故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求解分式不等式化简集合M，求解一元二次不等式化简集合N，再由交集运算性质得答案．【解答】∵集合M={x|x−3x−1≤0}={x|1<x≤3}，N={x|y=log3(−6x2+11x−4)}={x|−6x2+11x−4>0}={x|12<x<43}，∴M∩N={x|1<x≤3}∩{x|12<x<43}=(1, 43)．3.【答案】D【考点】频率分布折线图、密度曲线由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得最低气温低于0∘C的月份有3个．【解答】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0∘C的月份有3个，故D错误．4.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列通项公式先求出公比q=a3a2=√43√2=216，再由a1+a15a7+a21=a1+a15q6(a1+a15)=1q6，能求出结果．【解答】∵在等比数列{a n}中，若a2=√2，a3=√43，∴公比q=a3a2=√43√2=216，∴a1=a2q =√2216=213，∴a1+a15a7+a21=a1+a15q6(a1+a15)=1q6=12．5.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R=√72+52+822=√1382（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积S=4π×R2=4π×1384=138π（平方尺）．6.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x=5.8y=5−1.6=3.4x=5−1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1−1.4=−0.4，x=1−1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=−0.2，y=−1−1.6=−2.6，x=−1−1=−2不满足条件x≥0，退出循环，z=−2+(−2.6)=−4.6．输出z的值为−4.6．7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】根据题意求出函数f(x)的解析式，再化f(x)为正弦型函数，可得函数f(2x)的解析式，根据正弦函数的对称性，求出f(2x)图象的对称中心．【解答】∵对任意x∈R，都有f(x)+2f(−x)=3cosx−sinx①，用−x代替x，得f(−x)+2f(x)=3cos(−x)−sin(−x)②，即f(−x)+2f(−x)=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f(x)=sinx+cosx，∴f(x)=√2sin(x+π4)，∴f(2x)=√2sin(2x+π4)．令2x+π4=kπ，k∈Z，求得x=kπ2−π8，故函数f(2x)图象的对称中心为(kπ2−π8, 0)，k∈Z，8.【答案】A【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB），由z=y−ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x−y=0平行，此时a=2，若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=−3，综上a=−3或a=2.故选A.9.【答案】B【考点】函数的图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠±12}，关于原点对称，f(−x)=−x(e x−e−x) 4x2−1=x(e−x−e x)4x2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除选项A.令f(x)=0，即x(e −x−e x)4x2−1=0，解得x=0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除选项D.当x=1时，f(1)=1e−e3<0，故排除选项C.故选B．10.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】【解答】由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×4√2=12√2，S△PBC=12×4×4=8，S△PCD=S△PBA=12×3×4=6，△PAD中AP=PD=5，AD=4√2，∴AD边上的高为√25−8=√17，∴S△PAD=12×4√2×√17=2√34，则该几何体的表面积为12√2+8+6+6+2√34=12√2+20+2√34，11.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】通过记椭圆的左焦点为F1(−1, 0)，则|AF1|＝1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|可知a≤5；利用|PF1|≥|PA|−|AF1|可知a≥4，进而可得结论4≤a≤5．【解答】记椭圆的左焦点为F1(−1, 0)，则|AF1|＝1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a＝|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9＝10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|−|AF1|，∴2a＝|PF1|+|PF|≥|PA|−|AF1|+|PF|≥9−1＝8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴ca ∈[15,14]12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】求得f(x)的导数，讨论a≤2e2时，不恒成立；a>2e2时，求得f(x)的最大值，12b≥−1−ln(a−2e2)，可得12⋅ba≥−1−ln(a−2e2)a(a>2e2)，令F(x)=−1−ln(x−2e2)x，x>2e2，求得导数和单调区间，可得F(x)的最小值，即可得到所求最小值．【解答】∵函数f(x)=lnx+(2e2−a)x−b2，其中e为自然对数的底数，∴f′(x)=1x+(2e2−a)，x>0，当a≤2e2时，f′(x)>0，∴ f(x)≤0不可能恒成立， 当a >2e 2时，由f′(x)=0，得x =1a−2e 2，∵ 不等式f(x)≤0恒成立，∴ f(x)的最大值为0， 当x ∈(0, 1a−2e 2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(1a−2e 2, +∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴ 当x =1a−2e 2时，f(x)取最大值， f(1a−2e 2)=−ln(a −2e 2)−12b −1≤0，∴ ln(a −2e 2)+12b +1≥0， ∴ 12b ≥−1−ln(a −2e 2)， ∴ 12⋅ba ≥−1−ln(a−2e 2)a(a >2e 2)，令F(x)=−1−ln(x−2e 2)x，x >2e 2，F′(x)=−xx−2e 2+1+ln(x−2e 2)x 2=(x−2e 2)ln(x−2e 2)−2e 2(x−2e 2)x 2，令H(x)=(x −2e 2)ln(x −2e 2)−2e 2， H′(x)=ln(x −2e 2)+1， 由H′(x)=0，得x =2e 2+1e ，当x ∈(2e 2+1e , +∞)时，H′(x)>0，H(x)是增函数， x ∈(2e 2, 2e 2+1e )时，H′(x)<0，H(x)是减函数，∴ 当x =2e 2+1e 时，H(x)取最小值H(2e 2+1e )=−2e 2−1e ， ∵ x →2e 2时，H(x)→0，x >3e 2时，H(x)>0，H(3e 2)=0， ∴ 当x ∈(2e 2, 3e 2)时，F′(x)<0，F(x)是减函数， 当x ∈(3e 2, +∞)时，F′(x)>0，F(x)是增函数， ∴ x =3e 2时，F(x)取最小值，F(3e 2)=−1−23e 2=−1e2，∴ 12⋅ba 的最小值为−1e 2，即有ba 的最小值为−2e 2．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −4【考点】【解析】运用向量的平方即为模的平方，对等式两边平方，可得A 为直角，再由向量数量积的定义和解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】在△ABC 中，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|， 可得|AB →+AC →|2=|AB →−AC →|2，即有AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=AB →2+AC →2−2AB →⋅AC →， 即为AB →⋅AC →=0，则△ABC 为直角三角形，A 为直角， 则AB →⋅BC →=−BA →⋅BC →=−|BA →|⋅|BC →|⋅cosB =−|BA →|2=−4．【答案】 −5【考点】二项式定理的应用 【解析】在二项式展开式中，令x =1得a 0+a 1+...+a 7的值，从而求得a 的值，再由a 3表示x 3的系数求得a 3的值． 【解答】(1+x)(a −x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 7x 7中， 令x =1得，a 0+a 1+...+a 7=2⋅(a −1)6=0， 解得a =1，而a 3表示x 3的系数，所以a 3=C 63⋅(−1)3+C 62⋅(−1)2=−5． 【答案】 2【考点】 数列的求和 【解析】由题意可得(k −S n )(S n −S n−1)=−Sn 2，化为1S n−1Sn−1=1k ，再利用等差数列的通项公式即可得出k 的值． 【解答】当n ≥2时，恒有ka n =a n S n −S n 2成立， 即为(k −S n )(S n −S n−1)=−S n 2， 化为1S n−1Sn−1=1k ，可得1S n=1+n−1k，由S99=150，可得150=kk+98，解得k=2．【答案】2√21【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120∘，利用余弦定理算出c2=7a2，b2=6a2，结合双曲线的第二定义，可得m，A在双曲线上，代入双曲线的方程，即可得出a，即有实轴长．【解答】根据双曲线的定义，可得|AF1|−|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|−|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120∘，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120∘，即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得ca =|AF2|m−a2c=4am−a√7=√7，则m=√7，由A在双曲线上，可得257−1826a2=1，解得a=√21，则2a=2√21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC=b2c =14；又由cosC=a2+b2−c22ab =4+a2−162×2×a=14，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcosC=6，则AD=√6；根据题意，AE平分∠BAC，则CEBE =ACAB=12，cosC =14，则sinC =√1−(14)2=√154，S △ADE =S △ACD −S △ACE =12×2×2×√154−12×2×43×√154=√156． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ； （2）根据角平分线的性质得出CE ，于是S △ADE =S △ACD −S △ACE ． 【解答】根据题意，b =2，c =4，2ccosC =b ，则cosC =b2c =14； 又由cosC =a 2+b 2−c 22ab=4+a 2−162×2×a=14，解可得a =4，即BC =4，则CD =2， 在△ACD 中，由余弦定理得：AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcosC =6， 则AD =√6；根据题意，AE 平分∠BAC ， 则CEBE =ACAB =12，变形可得：CE =13BC =43，cosC =14，则sinC =√1−(14)2=√154，S △ADE =S △ACD −S △ACE =12×2×2×√154−12×2×43×√154=√156． 【答案】解：(1)设甲获得奖品为事件A ，在每轮游戏中， 甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则P(A)=612×36×23×12=112．(2)随机变量X 的取值可以为1，2，3，4． P(X =1)=612=12， P(X =2)=612×36=14， P(X =3)=612×36×13=112， P(X =4)=612×36×23=16． 随机变量X 的概率分布列为：所以数学期望E(X)=1×12+2×14+3×112+4×16=2312．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列古典概型及其概率计算公式【解析】（1）甲获得奖品的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．（2）随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列及数学期望．【解答】解：(1)设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(A)=612×36×23×12=112．(2)随机变量X的取值可以为1，2，3，4．P(X=1)=612=12，P(X=2)=612×36=14，P(X=3)=612×36×13=112，P(X=4)=612×36×23=16．随机变量X的概率分布列为：所以数学期望E(X)=1×12+2×14+3×112+4×16=2312．【答案】因为A1B1 // AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1 // BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1 // A1D．又BB1平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B // 平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE // BC，同理可证，BC // 平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC // 平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C // 平面A1DE．以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E−设平面ABB 1的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⋅AB 1→=0m →⋅AB →=0 ，即{ay 1+√3az 1=0ax 1+2ay 1=0， 取z 1=1，得m →=(2√3,−√3,1)．同理，设平面BB 1C 的一个法向量n →=(x,y,z)， 又CB 1→=(0,−a,√3a)，BC →=(−a,0,0)， 由{n →⋅BC →=0n →⋅CB 1→=0 ，得{−ax =0−ay +√3az =0 ， 取z =−1，得n →=(0,−√3,−1)， 所以cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=14，故二面角A −BB 1−C 的正弦值为：√1−(14)2=√154．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出四边形A 1B 1BD 为平行四边形，从而BB 1 // A 1D ，进而B 1B // 平面A 1DE ，由DE 是△ABC 的中位线，得DE // BC ，从而BC // 平面A 1DE ．进而平面B 1BC // 平面A 1DE ，由此能证明B 1C // 平面A 1DE ．（2）以ED ，EC ，EB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz ，利用向量法能求出二面角A −BB 1−C 的正弦值． 【解答】因为A 1B 1 // AB ，AB =2A 1B 1，D 为棱AB 的中点， 所以A 1B 1 // BD ，A 1B 1=BD ，所以四边形A 1B 1BD 为平行四边形，从而BB 1 // A 1D ． 又BB 1平面A 1DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ， 所以B 1B // 平面A 1DE ，因为DE 是△ABC 的中位线，所以DE // BC ， 同理可证，BC // 平面A 1DE ．因为BB 1∩BC =B ，所以平面B 1BC // 平面A 1DE ， 又B 1C ⊂平面B 1BC ，所以B 1C // 平面A 1DE ．以ED ，EC ，EB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，设平面ABB 1的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⋅AB 1→=0m →⋅AB →=0 ，即{ay 1+√3az 1=0ax 1+2ay 1=0， 取z 1=1，得m →=(2√3,−√3,1)．同理，设平面BB 1C 的一个法向量n →=(x,y,z)， 又CB 1→=(0,−a,√3a)，BC →=(−a,0,0)， 由{n →⋅BC →=0n →⋅CB 1→=0 ，得{−ax =0−ay +√3az =0 ， 取z =−1，得n →=(0,−√3,−1)， 所以cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=14，故二面角A −BB 1−C 的正弦值为：√1−(14)2=√154．【答案】根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立方程组{y 2=2pxy =k(x −3)得y 2−2p k y −6p =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 所以y 1+y 2=2p k，y 1y 2=−6p ，又OA →∗OB →=x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2=9−6p =−3，所以p =2，从而抛物线E 的方程为y 2=4x ．证明：因为k 1=y1x 1+3=y1y 1k+6，k 2=y2x 2+3=y2y 2k+6，所以1k 1=1k +6y 1，1k 2=1k +6y 2，因此1k 12+1k 22−2k 2=(1k +6y 1)2+(1k +6y 2)2−2k 2=2k 2+12k∗(1y 1+1y 2)+36(1y 12+1y 22)−2k 2=12k∗y 1+y 2y 1y 2+36×(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22，又y 1+y 2=2p k=4k ，y 1y 2=−6p =−12，16即1k 12+1k 22−2k 为定值．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立直线与抛物线的方程，得y 2−2p ky −6p =0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用根与系数的关系分析用p 表示OA →∗OB →+3=0，解可得p 的值，即可得抛物线的标准方程；（2）根据题意，由两点间连线的斜率公式可得k 1、k 2的值，将其值代入1k 12+1k 22−2k 2中，结合抛物线的焦点弦公式分析可得结论． 【解答】根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立方程组{y 2=2pxy =k(x −3)得y 2−2p k y −6p =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 所以y 1+y 2=2p k，y 1y 2=−6p ，又OA →∗OB →=x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2=9−6p =−3，所以p =2，从而抛物线E 的方程为y 2=4x ．证明：因为k 1=y 1x 1+3=y 1y 1k+6，k 2=y 2x 2+3=y2y 2k+6，所以1k 1=1k +6y 1，1k 2=1k +6y 2，因此1k 12+1k 22−2k 2=(1k +6y 1)2+(1k +6y 2)2−2k 2=2k 2+12k∗(1y 1+1y 2)+36(1y 12+1y 22)−2k 2=12k∗y 1+y 2y 1y 2+36×(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22，又y 1+y 2=2p k=4k ，y 1y 2=−6p =−12，所以1k 12+1k 22−2k 2=12k×(−1)3k+36×16k 2+24144=6，即1k 12+1k 22−2k 2为定值．【答案】f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)的导数f′(x)=e ax +a(x +1)e ax =(ax +a +1)e ax ， 因为x =2a 是f(x)的一个极值点， 所以f ′(2a )=(a +3)e 2=0，所以a =−3．由（1）知f(x)=(x +1)e −3x ，f′(x)=(−3x −2)e −3x ，当t −1≥−23，即t ≥13时，f(x)在[t −1, t +1]上递减，f(x)max =f(t −1)=te −3(t−1)；当t −1<−23<t +1，即−53<t <13时，f(x)max =f(−23)=e 23．证明：g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ， 设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，则m 1′(x)=(−3x −2)e −3x +2，设ℎ(x)=(−3x −2)e −3x +2，则ℎ′(x)=(9x +3)e −3x >0，可知m 1′(x)在(0, 1)上是增函数， 所以m 1′(x)>m 1′(0)=0，即m 1(x)在(0, 1)上是增函数， 所以1<m 1(x)<2+2e 3．又m 2′(x)=3(1+lnx)，由m 2′(x)>0，得x >1e ；由m 2′(x)<0，得0<x <1e ， 所以m 2(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,1)上递增，所以−3e ≤m 2(x)<0，从而1−3e <m 1(x)+m 2(x)<2+2e 3．所以，对任意x 1，x 2∈(0, 1)，|g(x 1)−g(x 2)|<(2+2e 3)−(1−3e )=2e 3+3e +1． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求得f(x)的导数，可得f′(2a )=0，解方程可得a 的值；（2）由（1）可得极值点，讨论区间与极值点的关系，结合单调性，即可得到所求最大值；（3）g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ，设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，分别求得导数和单调性，可得它们的取值范围， 即可得证． 【解答】f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)的导数f′(x)=e ax +a(x +1)e ax =(ax +a +1)e ax ， 因为x =2a 是f(x)的一个极值点， 所以f ′(2a )=(a +3)e 2=0，所以a =−3．由（1）知f(x)=(x +1)e −3x ，f′(x)=(−3x −2)e −3x ，当t −1≥−23，即t ≥13时，f(x)在[t −1, t +1]上递减，f(x)max =f(t −1)=te −3(t−1)；当t −1<−23<t +1，即−53<t <13时，f(x)max =f(−23)=e 23．证明：g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ， 设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，则m 1′(x)=(−3x −2)e −3x +2，设ℎ(x)=(−3x −2)e −3x +2，则ℎ′(x)=(9x +3)e −3x >0，可知m 1′(x)在(0, 1)上是增函数， 所以m 1′(x)>m 1′(0)=0，即m 1(x)在(0, 1)上是增函数， 所以1<m 1(x)<2+2e 3．又m 2′(x)=3(1+lnx)，由m 2′(x)>0，得x >1e ；由m 2′(x)<0，得0<x <1e ， 所以m 2(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,1)上递增，所以−3e ≤m 2(x)<0，从而1−3e <m 1(x)+m 2(x)<2+2e 3．所以，对任意x 1，x 2∈(0, 1)，|g(x 1)−g(x 2)|<(2+2e 3)−(1−3e )=2e 3+3e +1． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】∵ 直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），∴ 直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①∵ 直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k （m 为参数），∴ 直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，② ①×②，消k ，得：x 23+y 2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)．∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2， ∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα ，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)，∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： π∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）求出直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①，直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，②，①×②，消k ，能求出曲线C 1的普通方程． （2）直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0，曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2． 【解答】∵ 直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt（t 为参数）， ∴ 直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①∵ 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）， ∴ 直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，②①×②，消k ，得：x 23+y 2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)． ∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0，由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)， ∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2， ∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a −3=−49−a 23=3 ...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分 所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在，综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）根据二次函数的性质得到关于a 的方程组，解出即可； （2）问题转化为2|a|≥a 2−2a ，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a −3=−49−a 23=3 ...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分 所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分。

2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．1008．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．201810．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）【解答】解：集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}＝{x|0＜x﹣2＜10}＝{x|2＜x＜12}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜12}＝（﹣1，12）．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：∵a+bi＝＝＝＝i，∴a＝0，b＝1．∴a+b＝1．故选：D．3．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A＝36种取法，∴P＝＝．故选：C．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．【解答】解：根据题意，汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，则汽车在第1s至2s之间的1s内经过的路程S＝（3t+2）dt＝（+2t）＝；故选：D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果【解答】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．7．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．100【解答】解；n＝2k﹣1（k∈N*）时，a2k+a2k﹣1＝2．∴其前100项和＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2×50＝100．故选：D．8．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：由b2＝a（a+c），利用余弦定理，可得：c﹣a＝2a cos B，利用正弦定理边化角，得：sin C﹣sin A＝2sin A cos B，∵A+B+C＝π，∴sin（B+A）﹣sin A＝2sin A cos B，∴sin（B﹣A）＝sin A，∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A＝A，即B＝2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，那么：＜A＜，则＝sin A∈（，）．故选：B．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．2018【解答】解：分析题中程序框图的功能是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F＝b+sin；因为b＝max{1，2，…，2 017}＝2 017，所以F＝2 017+sin＝2 018．故选：D．10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB＝SC，OA＝SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB＝SC＝R，∴△AOB为正三角形，则∠BOA＝60°，∴V S﹣ABC ＝V S﹣OAB+V C﹣OAB＝，解得R＝3．故选：C．11．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，左焦点F为（﹣1，0），设P（t，），k PF＝，由y＝，求导y′＝，则k PF＝，即＝，解得t＝1，即P（1，1），设椭圆M的右焦点为F2（1，0），则2a＝|PF1|+|PF2|＝1+，∴椭圆M的离心率为e＝＝＝，故选：B．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝5．【解答】解：∵，，∴＝＝（﹣3，4），∴．故答案为：5．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10【解答】解：由题意可得2n＝32，n＝5，展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•x ﹣r＝•x10﹣3r．令10﹣3r＝1，r＝3，故展开式中含x项的系数是＝10，故答案为10．15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|＝|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y＝±x，F2（，0），F2到l的距离d＝1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故答案为：1+2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是﹣．【解答】解：动点P（x，y）满足，x≥1时，x+≥1+；∴要使（x+）（﹣y）≤1，只要﹣y≤，﹣y≤﹣x（*），设f（x）＝﹣x，x∈R，则f（x）是单调减函数，（*）可化为y≥x；∴动点P满足，该不等式组表示的平面区域如图所示：又x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9，由两点间的距离公式可得，M（3，0）到区域中A的距离最小，由，解得A（，）；∴x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9≥|AM|2﹣9＝+﹣9＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．【解答】证明：（1）当n≥2时，，S n﹣1﹣S n＝2S n S n﹣1，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，∴，∴当n≥2时，，从而．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老：人每月发放生活补贴，标准如下①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）【解答】解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，，，，，，则随机变量X的分布列为：，全市老人的总预算为28×12×66×104＝2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．【解答】解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD＝D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO＝45°设AD＝BD＝a，则OB＝a，OA＝a，在Rt△BOF中，tan∠BFO＝，可得OF＝Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE＝OF•AE即a•OE＝a•，解之得OE＝∴PD＝2OE＝，可得PD：AD＝：2即PD：AD的值为．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2＝0，x1+x2＝2p，y1+y2＝x1+x2+p＝3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x＝0代入得．∴p＝2…（6分）（2）设l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN＝2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|＝2k2+1，…（10分）当k2＝0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．【解答】解：（1），x∈（0，+∞）所以①当k≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增②当k＞0时，令t（x）＝x2﹣2kx+1，当△＝4k2﹣4≤0即0＜k≤1时，t（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立所以f（x）在（0，+∞）上单调递增当△＝4k2﹣4＞0，即k＞1时，x2﹣2kx+1＝0，两根所以，f'（x）＞0，f'（x）＜0，f'（x）＞0故当k∈（﹣∞，1）时，f（x）在（0，+∞）上单调递增当k∈（1，+∞）时，f（x）在和上单调递增f （x）在上单调递减．（2）证明：，，由（1）知k≤1时，f（x）（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值当k＞1时，由f'（x）＝0得x2﹣2kx+1＝0，△＝4k2﹣4＞0，设两根x1，x2，则x1+x2＝2k，x1•x2＝1其中f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，＝＝．令，所以t（x）在（1，+∞）上单调递减，且故．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。

2018 年河南省六市高三第一次联考试题数学（文科 )本试卷分第 I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分。

考试时间为 120分钟，此中第Ⅱ卷 22 题 -23 题为选考题，其余题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考生一定将自己的姓名、准考据号码填涂清楚，将条形码正确粘贴在条形码地区内。

2. 选择题必要用 2B 铅笔填涂； 非选择题一定使用 0.5 毫米黑色笔迹的署名笔书写， 字体工整，笔迹清楚。

3. 请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效；在底稿纸、试题卷上答题无效。

4. 保持卡面洁净，不要折叠、不要弄破、禁止使用涂改液、刮纸刀。

第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题 : 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个是切合题目要求的。

1. 已知会合 A ={ 1,2,3,4 }，会合 B={x | x 2 3x0}，则 A ∩B 等于A. { 1,2,3 }B.[1,3]C. {0.1,2,3 } D.[0,3]2. 已知 i 为虚数单位， aR,若2i 为纯虚数，则复数 z (2a 1)2i 的模等于a iA.2 B.3 C. 6 D.11x y 2 0 3.已知变量 x, y ，知足 x 2 y 5 0 ，则 2xy 的最大值是.x 2 0A. 4B. 7C. 10D. 124. 在等差数列 { a n } 中，知足 : a 1 a 3 a 5 105, a 2 a 4 a 699 , S n 表示前 n 项和，则使 S达到最大值的 n 是nB. 20C. 195. 已知函数 f ( x) 2sin(x)( ＞0) 的图象与函数 g (x)cos(2x)(| |＜ )的62图象的对称中心完整同样，则为A.B.6 C.D.3636. 在空间中， a, b 是两条不一样的直线，，是两个不一样的平面，则以下命题中的真命题是A. 若 a // , b//，则 a//bB. 若 a ,b , 则 a 丄 bC.若 a// ,a //b, 则 b //D.若 //， a//, 则 a7. 为认识学生在课外活动方面的支出状况，抽取了 n 个同学进行检查，结果显示这些学生的支出金额 ( 单位 : 元) 都在 [0,50] ，此中支出金额在 [30,50] 的学生有 117 人，频次散布直方图如下图，则A. 180B. 160C. 1508. 一个几何体的三视图如下图，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A. 215B.15 C. 2 D. 49. 若函数 f ( x) || x | 1 |在 x |1 | x | 4, xR 上的最大mx 2值为 M ，最小值为M-m=，则A.31B.2C.9 D.11164410. 若正项递加等比数列{ a n } 中 知足1 (a2 a4 )(a3 a5 )0(R) ，则 a6a7 ) 的最小值为D. 4x, x111.如图是计算函数0, 1＜ x 2 的值的程序框图，x 2 , x＞0则在①、②、③处应分别填入的是A. B. C. D.y x, y0, y x2 y,x2 ,yx yy0, y x2 , y x y0, y x, y x212.已知定义在R上的奇函数 f (x)知足：f (x2e) f (x) , (此中⋯)，且在区间 [e,2e] 上是减函数；令a ln 2 ,b ln 3 , c ln 5，则235f (a) , f (b) ， f ( c) 的大小关系(用不等号连结)为A. f (b) > f (a) > f ( c)B. f (b) > f (c) > f ( a)C. f (a) > f (b) > f (c)D. f (a) > f (c) > f (b)第Ⅱ卷（非选择题共90 分）本卷包含必考和考两部分。