1.5带电体系的静电能

电磁学第三版（梁灿彬）思考题与习题解答第一章 静电场的基本规律思考题1.1答案： （1） ×,正的试探电荷； （2） √ ；（3）× 在无外场是，球面上E⃗ 大小相等。

1.2 答案： 利用对称性分析，垂直轴的分量相互抵消。

1.3答案：（1）× 没有净电荷 ；（2）×； （3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×。

1.4答案：无外场时，对球外而言是正确的。

1.5答案：（1）无关 （2） 有关 （3）不能（导体球）、可以（介质球）。

场强叠加原理应用到有导体的问题时，要注意，带电导体单独存在时，有一种电荷分布，它们会产生一种电场；n 个带电导体放在一起时，由于静电感应，导体上的电荷分布发生变化，这时，应用叠加原理应将各个导体发生变化的电荷分布“冻结”起来，然后以“冻结”的电荷分布单独存在时产生的电场进行叠加。

1.6答案：（a 图） 能 ，叠加法（补偿法）； （b 图） 不能 。

1.7答案：222121q q φφφφεε-==+，；113131+ -q q φφφφεε==，；134410+0 -q φφφφε==，。

1.8答案：（1）× ；（2）×； （3）×；（4）×；（5）√；（6）×。

1.9答案：n VE en∂=-∂ ，例如匀强电场；E 大，电势的变化率就大，并非一定121122010101.+.=4424R q E dl E dl rR R R πεπεπεπε∞⎝⎰⎰.0E dl =，0n VE e n∂=-=∂。

1.14证明：设s 面上有场强平行于分量，补上另一半球后球内各点的总场强应为零，可见s 面上不能有场强的平行分量，s 面上只有场强垂直分量，故s 面上应为等势面。

习题1.2.1解：（1）设一个电量为q 1，则q 2=4q 1，由公式12204q q F r πε=可以得到： ()2122041.64 5.010q πε-=⨯解之得： q 1=±3.3×10−7(C)， q 2=1.33× 10−6(C) （2）当r=0.1时，所受排斥力为：12204q q F r πε==0.4（N ） 1.2.2解：设其中一个电荷电量为q ，则另一个电荷电量为Q -q ，由库仑力 ()2q Q q F k r -= 可知，当()220dF k Q q dq r =-=，即：2Qq = 时两电荷间的斥力最大，所以两者电量均为2Q。

§ 1.8 静电能 ELECTROSTATIC ENERGE （教材 P101）1.静电互作用能电荷之间的相互作用必然伴随着能量转移，由于电荷的相互作用通过电场传递，因此，能量转移必然通过电场对电荷作功来实现.我们在1.5节已经指出，静电场的保守性质，决定了它是有势场。

任何两点之间的电势差，等于电场力（或克服电场力）将单位正电荷从一点移至另一点所作的功，这功将转化为单位正电荷静电势能的改变量.因此，电势零点一经确定，任何一点的电势U ，就相当于单位正电荷在该点具有的静电势能.电势函数 U （x,y,z）在空间的分布构成标量场。

让我们设想，在其它电荷产生的外电场E 中，某点P的电势为U（x,y,z）= U（x），我们以黑体字母x 表示该点的位置矢量.当电场力（或克服电场力）将点电荷q从电势零点移至P点，电荷q就具有了势能：(1.8-1)这能量显然反映着外电场与电荷q 的相互作用，因此，这是电场与电荷q 的相互作用能。

如果我们对上式求负梯度，我们马上会得到(1.8-2)这正是外电场E 作用于电荷q的库仑力.如果一个体积为V 的电荷体系处于其它电荷的外电场E 中，设这体系的电荷密度函数为r (x) ,某个电荷元dq = r (x) d V 所在处外电场的电势为U（x）,则这电荷元与外场的静电互作用能为显然，这电荷体系与外电场的静电互作用能，就是V 内所有电荷元与外电场的静电互作用能之和，它由下述积分给出：(1.8-3)现在，我们考虑两个点电荷之间的静电互作用能.设P1和P2两点分别存在着点电荷q1和q2，两者的距离r12= r21.对于q2，q1的电场就是外电场，它在q2所在点的电势为于是， q1对q2的静电互作用能是同理，对于q1，q2的电场就是外电场，同样可得到q1对q2的静电互作用能我们看到：两个理想点电荷的静电相互作用能与它们的相互距离成反比；而且,W12= W21，即它们的相互作用能存在空间平移对称性——两者互换位置，相互作用能量不变.这从能量守恒定律可以得到解释.根据上面两式，我们现在将两个点电荷的静电互作用能写成：(1.8-4)这里，Ui是一个点电荷在另一个点电荷所在处产生的电势.这结果显然可以推广至 n个点电荷的相互作用能：(1.8-5)其中(1.8-6)是其它点电荷在第 i 个电荷所在处产生的电势之代数和2.外电场对电偶极子的作用（教材 P39 和 P109）当电矩为p = ql 的电偶极子处于外电场E中,它将与外电场发生相互作用而具有一定的势能.由（1.8-1），两个电荷的势能分别是W += qU+W-= -qU-故电偶极子的总势能为（1.8-7）即（1.8-8）其中，q 是电矩矢量p 的方向与外电场E 的方向之间的夹角.显然，q = 0 即当电矩矢量p 的方向与外场E一致的状态，是电偶极子的能量最低状态，因而也是最稳定的状态.而q = p 即p 与外场方向相反的状态，则是电偶极子的能量最高状态，即最不稳定的状态.据（1.8-2）和（1.8-7），电偶极子受到外电场的作用力为(1.8-9)可见，若外电场是均匀场，即当E与坐标无关时，则▽E = 0，于是电偶极子受到的净作用力F =0 .从组成电偶极子的两个电荷+q和-q受到的力来看，分别是 F+ = +qE 和 F-= - qE ,因此，当外电场是均匀的，电偶极子受到的合力F= F++ F-= 0.这告诉我们，处于均匀电场中的电偶极子不会出现平移运动.但是，如果外电场是非均匀场，则▽E ≠0， F ≠0，外场力将把电偶极子拉向场强较高的方向.处于非均匀电场中的电介质(dielectric)小颗粒或轻微物体，将被极化而成为电偶极子，并被吸向场强较高的地方.例如，静电吸尘及静电选矿，就是利用这个原理.从（1.8-8）式我们看到，q≠0的状态，并非电偶极子的稳定状态.事实上，由于F+和F-两者不共线，故必定会对电偶极子形成一个净力矩，并使电偶极子朝着q = 0 即外电场的方向转动.我们记电场作用于电偶极子的力矩矢量为L，L的方向亦即转轴的方向必定垂直于p 和E 线构成的平面.我们设想在这力矩作用下，q 有微小改变δ q ，从而使电偶极子的势能W 减小，即（1.8-10）（“虚功原理”，见教材P110）两边除以δ q ，并取δ q →0的极限，有（1.8-11）将代入并求导数，我们得到(1.8-12 )实际上，转动是朝着q 减小的方向、也就是(1.8-10)式中δq < 0的方向进行的，因此力矩矢量L的绝对值应为(1.8-13)考虑及此，力矩矢量应当为(1.8-14)读者也可以从上图中，通过计算两个电荷相对于中点0 所受的力矩之和，来检验（1.8-14）.——动手算一算两个电荷相对于中点0 所受的力矩矢量之和为[例1-18] 两个电偶极子的相互作用能[解] 设两电偶极子的距离为r，电矩为p1的电偶极子处于坐标原点o并沿z轴，电矩为p2的电偶极子与p1的夹角为a ，如图所示. 由（1.7-19）我们知道 p1在p2所在处产生的场强为：(1.8-15)而矢量p1可分解成球坐标下的两个分量（两个黄色箭头）：(1.8-16)即p1在p2所在处产生的场强E 可写成(1.8-17)据（1.8-7）,两者的相互作用能为(1.8-18)大家看到,两个电偶极子的相互作用能量的数值不仅与它们距离r 的3次方成反比，还与两者的相互取向有关.如果我们对上式求负梯度（在球坐标下进行），将给出两者之间的相互作用力，显然，这力与r4成反比.------ 你能否动手计算一下？现在，让我们考察如下比较特殊的几种情形：(1) 当两者共线，例如 p2也处于 z 轴，并且相同的取向，即q = 0 ,a = 0 ，此情形下两者将互相吸引，（1.8-18）给出相互作用能为负值；如果两者共线但取向相反，即q = 0 ,a = p 时, （1.8-18）给出W 将是一个正值，表示两者互相排斥.(2) 当q = p/ 2 ,a = 0 ,即两者平行且方向相同，将互相排斥，此时为正值；如果q = p/ 2 ,a = p ,两者平行但方向相反上式将变为负值,此时两者将互相吸引.上述结果对于我们今后讨论电介质（dielectric）问题显得很重要.由于组成介质的分子一般都是电中性的（总电量为零），而其电荷分布大都偏离球对称性，因此必定会出现分子电多极矩——主要是分子电偶极矩和四极矩,因此,如果从电学的角度看,电介质内部分子之间的相互作用,主要是电偶极矩以及四极矩之间的相互作用.从例1-16和例1-17读者已经看到:电偶极子的电势与 r 的2次方成反比,它们之间的相互作用势能与距离 r 的3次方成反比，电四极子的电势则与 r 的3次方成反比，它们之间的相互作用势能应当与距离 r 的4次方成反比，因此,一般情况下分子之间的电相互作用，主要地是电偶极作用.自习内容教材 P41[例5] P105 [例1] P106 [例2]3.电荷体系的静电能量（自能量） (教材P107)电荷之间存在着相互作用能，意味着带电体自身必然具有一定能量.现在,我们就来考虑任意一个电荷体系的静电能量，亦即它的自能量.我们在前面的(1.8-5)式，已经表示出n 个点电荷的静电互作用能：其中是其它点电荷在第i个电荷qi所在处产生的电势之代数和.应当主意，上式没有包括每一个电荷自身的能量.现在，我们设体积V内连续分布着电荷，电荷密度为r(x)，一个很小的体积元dV内的电荷就是dq =r (x) dV .根据电势叠加原理，每一个很小的体积元dV内的电势U (x)，应当是dV内部的电荷自己产生的电势Us （x）与dV外部的其它电荷产生的电势Ue（x）之和：U(x) = Us （x）+Ue（x）因此，dV内的电荷所具有的静电能，包含着它内部电荷的互作用能以及它与外部其它电荷的互作用能之和：于是，这带电体的总静电能量就是(1.8-19)积分体积V遍及整个电荷分布区域.4.静电场的能量和能量密度（可参阅教材P207，但讲法不同）大家知道，电荷分布稳定的带电体产生静电场，这电场与带电体不可分割地联系在一起.因此，我们把带电体的静电场叫做它的自有场.现在我们设想，通过某种方法使一个半径为a的薄球壳带上电荷q，例如，利用电源的一个电极与导体球壳接触使之带电，这过程电源作了功，然后将电极拿开，达到稳定平衡状态后，电荷均匀地分布在球壳表面上，电荷密度为如你们所知，这带电球壳的场强分布为( r≥a)E = 0 (r < a)即这球壳的电场连续地分布于整个球外区域.而球壳表面的电势则是一个常数（r = a）由于电荷只是分布于球面上，因此根据（1.8-19），将被积函数对整个球面积分，便给出这球壳的总静电能（1.8-20）一个非常重要的问题是：这个带电体的静电能究竟以什么形式存在？大家已经知道，电荷之间的相互作用是通过电场传递的.如果我们在这带电球壳外部某点放进一个试验电荷q0，它必将受到电场力的作用而改变运动状态，这意味着q从电场中获得了一定的能量！因此电场必定具有能量.让我们假设,电场的能量密度——单位体积内电场的能量为(焦耳/米3 ) （1.8-21）对于这个带电球壳而言，电场是分布在球外区域的。

带电体的静电能1. 点电荷之间的相互作用能（e W ）：设两点电荷1q ,2q 。

我们知道1q 通过激发1E 作用于2q （2q 则通过激发2E 作用于1q ），2q 在1E 中具有电势能21W ，1q 在2E 中具有电势能12W ，并有21W =12W 。

即1q ,2q 组成的系统确定的电势能W=12W =21W 是1q ,2q 共有的，称电势能W 是1q ,2q 的相互作用能。

2. 带电体系的自能（s W ）：由点电荷i q 组成的点电荷系，它们之间相互作用的相互作用能之和称为该系统的自能。

（对于孤立的由若干个电荷连续分布的带电体组成的系统可看成点电荷系）。

3. 静电能（W ）:对于孤立的带电体它的自能就是它的静电能。

但对于（孤立的）由若干个电荷连续分布的带电体组成的系统中的任一个带电体，它不仅具有自能，还具有其它带电体对它的作用能，这两部分能量之和是这个带电体的静电能。

但从整体看，系统的自能就是系统的静电能。

需要注意的是：带电体的静电能并不等于带电体的各部分在电场中具有的电势能之和W '（点电荷系则i iiW q u '=∑，iu 是iq 处其它电荷产生的电势之和，对于连续带电体则过渡到积分：W udq '=⎰，积分包含线、面、体形式），W 与W '存在着简单倍数关系。

4. 带电体的静电能的计算：（1） 点电荷系{}|1,2,...,i q i n =：由静电能W 的定义我们知112ni ij i j iW q u =≠=∑∑,其中iju 是点电荷j q 在i q 处产生的电势。

所以112ni i i W q u ==∑(其中i u 是除i q 其它电荷在i q 处产生的电势之和)，即W=12W '。

（2） 单一电荷连续分布的带电体：12W udq =⎰，积分遍及整个带电区域，其中u 为电荷元dq 处的电势，这个电势是由整个带电体产生的，dq 处的电势可以认为不含有dq 的贡献（dq 产生的电势du 较其它电荷元产生的电势来说是一个无穷小量）（3） 若干个电荷连续分布的带电体组成的系统：12W udq =⎰，这时积分遍及所有的带电体。

《电磁学》重要知识点归纳(2017.6)1、库仑定律：12202112ˆ4e r q q F πε= 12F：q 1对 q 2的库仑力12ˆe：从q 1指向 q 2方向的单位矢量 2、电场的高斯定理真空中：∑⎰=⋅)(01内S Sq S d E ε介质中：∑⎰=⋅)(0内S SqS d D0q ：自由电荷电位移：E D r εε0= 电极化强度：E P r0)1(εε-= 3、点电荷的电场：球对称性！方向沿球面径向。

点电荷q 的电场:204)(rq r E πε=点电荷dq 的电场： 204)(r dqr dE πε=4、无限大均匀带电平面（两侧为均匀电场）5、电势与电势能： 电势：⎰⋅=baa r d E V（b 为电势零点，b V ＝0 ）某点的电势在数值等于单位正电荷在该点具有的电势能，也等于把单位正电荷从该点移到零电势点电场力所做的功。

电势能：a paV q E 0=保守力做功与势能增量的关系：pb pa p ba E E E W -=-=→∆6、静电场的环路定理：0=⋅⎰Ll d E(说明静电场为保守场）7、均匀带电球面的电场和电势：⎪⎩⎪⎨⎧><=)(4)(0)(20R r r Q R r r E πε ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=)(4)(400R r rQ R r R Q V πεπε（球面及面内等电势） 8、导体(或金属)静电平衡的特点：（1）导体内部场强处处为0；（2）导体表面的电场强度方向垂直于导体表面；（3）导体表面的电场强度大小与表面附近处的电荷面密度成正比，即0εσ=表E ；（4）导体是一等势体，其表面为等势面；（5）导体内部无净余电荷，净余电荷只能分布在导体的表面。

9、电容的定义式：U Q C =电容器的 C 只与两导体的形状、大小、相对位置及周围介质有关，与 Q 、U 无关！10、常见电容器的电容：孤立导体球的电容：R C r 04επε= （r ε为周围电介质的相对电容率） 平板电容器： dSC r 0εε=球形电容器：122104R R R R C r -=επε柱形电容器：)/(ln 2120R R lC r επε=（l 为柱形电容器长度）11、电容的串并联（与电阻的串并联公式相反）电容串联：∑=i i C C 11 电容并联： ∑=ii C C 12、带电体系的静电能：（1）点电荷系的静电能：i i i e U q W ∑=21（2）连续分布带电体的静电能：⎰=Udq W e 2113、带电电容器的电能：2221QU 212CU C Q W e === （因为 )CU Q =14、静电场能量的一般公式：⎰⎰⎰⋅=Vee dV wW其中，静电场能量密度：202121E DE w r e εε== 15、电介质中：（1）电极化强度：Vp P e ∆=∑E P r)1(0-=εε（2）极化电荷面密度：n eP ˆ⋅='σ :ˆn e 介质的外法向单位矢量（由介质内垂直指向介质外的法线方向）（3）有电介质时求解问题的顺序：先求→D 再求E→再求V M 、16、磁通量公式：⎰⎰⋅=Sm S d Bφ17、磁场的高斯定理：0=⋅⎰⎰SS d B因为磁感应线是闭合的，所以穿过任意闭合曲面的磁感应线的净条数为0！18、常见载流导线周围的磁场：r IB P20πμ=r IB P40πμ= r 为P 点离导线的距离 r 为P 点离导线的距离磁感应线为一圈一圈同心圆，绕向与 电流构成右手关系载流圆线圈 载流圆弧RIB o 20μ=π220⋅=R B o 0B 方向：与电流构成右手关系 0B方向：与电流构成右手关系III无限长直螺线管 细螺绕环（管内为均匀磁场）（管内为均匀磁场） （注意：粗环内为非均匀磁场！）nI B 0μ=（管内为真空） nI B 0μ=（管内为真空）nI B r μμ0=（管内为磁介质） nI B r μμ0=（管内为磁介质）n ：单位长度的匝数19、安培环路定理：∑⎰=⋅)(0内L iLI l d B μ（真空中）∑⎰=⋅)(0内L LIl d H （磁介质中） 0I ：导体内自由电流H B μ=20、磁介质中：（1）磁化强度：Vm M ∆=∑H H M r m)1(-==μχm：磁矩（2）磁化电流面密度：n eM M ˆ)(12⨯-='α :ˆn e 介质2指向介质1的法向单位矢量（3）有磁介质时求解问题的顺序：先求→H 再求B→再求α '、M21、洛伦兹力：B v q f m⨯=22、安培力： B l Id F d⨯= ⎰⨯=b aB l Id F23、霍耳电压公式： nqdBI H =U （H U ：霍耳电压，n :载流子浓度，d:导体板平行于磁场方向的尺寸）24、磁矩(磁偶极矩)： n e IS m⋅=（n eˆ是线圈平面法线方向，而且是与电流构成右手的法线方向）磁力矩： B m M⨯=25、磁介质分类：顺磁质：1>r μ； 抗磁质：1<r μ； 铁磁质：1>>r μ26、法拉第电磁感应定律： dtd mi φε-=27、动生电动势：⎰+⋅⨯=)((-))(l d B v iε28、自感系数：I L m φ= 自感电动势：dt dI L L -=ε 互感系数：212121I I M M M φφ==互感电动势：dtdIM dt dI M121212 , -=-=εε 29、自感线圈内的磁场能量： 221LI W m =磁场能量的一般公式： ⎰=V m m dVw W磁场能量密度：2221212H BH B w m μμ=== （因为 H B μ=）30、位移电流：本质是指变化的电场！ 位移电流密度：tDj d ∂∂=位移电流强度：S d t D dt d I S D d⋅∂∂==⎰⎰φ 31、麦克斯韦电磁场方程：32、坡印廷矢量：即电磁波的能流密度矢量！单位时间流出单位横截S L 0⎰⎰⎰⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅S L S d t D j l d H00tD j H ∂∂+=⨯∇0S=⋅⎰⎰S S d BtB E ∂∂-=⨯∇S L S d ⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅S S d t B l d ES ⎰⎰⎰⎰⎰Ω=⋅dV S d D S 0ρ0ρ=⋅∇D=⋅∇B面的电磁场能量称作坡印廷矢量。

2-7带电体系的静电能与电场的势能2-7带电体系的静电能与电场的势能§2-7 带电体系的静电能与电场的势能前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。

在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。

一、点电荷系统的静电能我们从最简单的情形开始分析。

我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU，这一点和我们熟知的重力势能很相象。

现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是ε0, r 是q 和Q 的距离。

同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。

1⎛1 2 ⎛4πε对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。

我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。

设想空间中有多个点电荷，其带电量用q i 表示，相应的位置用r i 表示，任意两个点电荷间的距离可以由r ij =r i j =r i -r j 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。

我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。

当只有两个点电荷q 1和q 2时，静电能为q 1q 2r 12现在引入第三个点电荷q 3，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上q 3与q 1及q 2之间的静电能，即q 1q 2r 12⎛1+ 4πε⎛q 2q 3⎛⎛ r 23⎛⎛括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。