浙江理工大学09-10高数A2期末试卷(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高等数学A2参考答案一、选择、填空题设向量(1,0,1),(1,1,0),a b =-=r r 则1,(1,1,1).??-r r r ra b a b1． 设(),z f u f =是可导的函数,其中,u xy =则d ()(d d ).¢=+z f xy y x x y 2． 曲面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面方程为323160.x y z +-+= 3． 设L 为圆周221,x y +=则2.p =òs4． 设数项级数1(32)n n u ¥=-å收敛,则2lim .3n n u =5． 函数23u x y z x yz =+-在(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大,其最大值是( B )A ．．C ．．7．化二次积分200d xf y 蝌为极坐标系下二次积分为( A )A ．2cos 20()d f d p q qr r r 蝌; B ．2sin 00()d f d pq qr r r 蝌; C ．2sin 2()d f d p q qr r r 蝌; D ．2cos 0()d f d pq qr r r 蝌.8．第一类曲面积分222()d (D ),å++=蝌x y z S 其中222: 1.x y z ?+=A ． 1;B ．p ;C ． 2p ;D ． 4p .9．级数21(1)nn n n ¥=+-å ( C ) A ． 绝对收敛; B ． 条件收敛; C ． 发散; D ． 敛散性不确定. 10．设函数()f x 是周期为2p 的周期函数,且它在[,)p p -上的表达式为1,0,()1,0.x f x x p p ì--?ïï=íï?ïî 记()S x 为函数()f x 展开的傅里叶级数的和函数,则(0),()2S S p分别为( C ).A ． 1,1-;B ． 1,1;C ． 0,1;D ． 0,1-. 二、解答下列各题（每小题6分,共18分）1．设22223arctan()ln 2,x z x y y e x =+++求2,.z z x x y抖抖?解:224262,1x z x x y y e x x ¶=++? 222242()(62)64.1x xz z x x y y e x ye x y y x y x抖抖==++=+抖抖? 2．设sin ,u z e v =其中,23,u xy v x y ==+求,.z z x y抖抖 解: sin cos 2[sin(23)2cos(23)],u u x y z z u z v e v y e x u x v xe y x y x y 抖抖?=+=??抖抖?=+++ sin cos 3[sin(23)3cos(23)].u u x y z z u z v e v x e y u y v y e x x y x y 抖抖?=+=??抖抖?=+++3．设函数设(,)z z x y =是由方程20y z xe z e -+=所确定的隐函数,求22,.z z x x 抖抖 解:法一:令(,,)2,y z F x y z x e z e =-+则,,2,y y z x y zF e F xe F e ===-,2yx zz F z e x F e¶\=-=? 22223()().2(2)(2)y zyy z z z z z e e z z e e x x x x x e e e +¶抖抖¶====抖抖--- 法二:方程两边同时对x 求导得20,y zz z e e x x抖-+=抖 ,2y z z e x e ¶\=? 22223()().2(2)(2)y z yy z z z z z e e z z e e x x x x x e e e +¶抖抖¶====抖抖--- 三、解答下列各题（每小题7分,共28分）1．交换积分次序并计算二次积分220sin d d .y xyx x蝌 解: 2220002sin sin d d d d sin d 1cos 2.===-蝌蝌òx y x x y x x y x x x x2．计算三重积分d ,z V W蝌?其中W 是由旋转抛物面22z x y =+与平面4z =所围空间立体区域.解： 法一:z44D d d d d d 64.3p p W==?=蝌蝌蝌?z V z z x y z z z法二: 投影区域22:4,+?xy D x y22240d d d d 64.3p r q rr rp W==蝌蝌蝌z V z3．证明曲线积分2L2d (1)d xy x x y ++ò在xoy 面内与路径无关,并计算(1,1)2(0,0)2d (1)d xy x x y ++ò的值.解: 因为2(,)2,(,)(1),==+P x y xy Q x y x 则2.抖==抖P Q x y x 所以曲线积分2L2d (1)d xy x x y ++ò在xoy 面内与路径无关.法一：又因为2222d (1)d 2d d d d()++=++=+xy x x y xy x x y y x y y (1,1)(1,1)222(0,0)L(0,0)2d (1)d d()[]2.++=+=+=蝌xy x x y x y y x y y法二： 12,1,L ::01,L ::01.0,,祆==镲镲眄镲==镲铑x x x x y y y y (如上图)12222LL L 12d (1)d 2d (1)d 2d (1)d 0(11)d 2++=+++++=++=蝌?òxy x x y xy x x y xy x x yy4．计算d d ,z x y å蝌其中å是锥面22z x y =+01z＃部分的下侧.解:法一:曲面2222:,:1xy zx y D x y ?++? 所以22D 210d d d d 2d d .3ppqr r r å=-+=-?-蝌蝌xyz x y x y x y法二:补面221:1,:1xy zD x y ?+? 取上侧.则1??构成了闭合曲面,由Gauss 公式得1d d d .3p?錡==蝌蝌?Òz x y V 又因为1D d d d d ,p å==蝌蝌xyz x y x y所以11d d d d d d 2.33p p p 邋+邋=-=-=-蝌蝌蝌Òz x y z x y z x y四、解答下列各题（第1、2小题每小题6分,第3小题7分，第4小题5分，共24分）1．判断级数1(1)2nnn n ¥=-×å的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛？ 解：因为 (1),2n n n u n -=×所以 1,2n nu n =× 由比值审敛法知道, 1121lim lim 1.(1)22n n n x x n u n u n ++×==<+? 所以级数 1112n nn n u n ゥ===×邋 收敛. 即级数1(1)2nnn n ¥=-×å绝对收敛. 2．将函数1()1f x x =+展开成1x -的幂级数.解：由于1(1),(1,1).1n n n x x x ¥==-?+å所以 1001111()112121211(1)(1)()(1),(1,3).222nn n n n n n f x x x x x x x ゥ+=====?-++-+--=-=-?邋3．求幂级数(1)nn n x ¥=+å的收敛区间以及和函数()S x ,并计算01.2nn n ¥=+å解: 该幂级数的系数(1),n a n =+ 所以 12limlim1,1n nnna n a n r ++===+ 即收敛半径R =1,收敛区间为 (-1,1). 又20()(1)123(1)n n n S x n x x x n x ¥==+=++++++åL L则d d d d d 021()(1)2(1),(1,1).1xx x x xn n n n S x x n x x x x x n x x xx x x x x¥=+=+=+++++=++++=?-å蝌蝌?L LL L所以 21()(),(1,1).1(1)x S x x x x ¢==?-- 200111(1)() 4.122(1)2n nn n n n ゥ==+=+==-邋 4．利用二重积分证明无穷积分20d 2x e x +?-=ò解:记20I d ,2+?-==òx e x 则I >0.又因为222222222()200(d )d d d d d d d d .4pr p qr r +?????-----+???-+-=====蝌蝌?蝌蝌x x x x y xy ex ex ex ex e ye x y e所以2d 2x e x +?-=ò。

高数a1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. x^2+3C. x^2+3xD. 2x^2+3x答案：A2. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分？A. e^x + CB. e^xC. e^x * xD. ln(e^x) + C答案：A4. 求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根。

A. (1, 2)B. (1, 1/2)C. (2, 1/2)D. (1, 1)答案：D5. 计算定积分∫(0 to 1) x dx。

A. 1/2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的反函数？A. e^xB. e^(-x)C. ln(x)D. 10^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=____。

答案：3x^2-12x+112. 计算定积分∫(1 to 2) (x^2-3x+2) dx的值。

答案：5/33. 函数y=x^3-3x+1的拐点是____。

答案：(1, -1)4. 求解方程x^3-6x^2+11x-6=0的根。

答案：1, 2, 3三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,2]上的最大值和最小值。

答案：最大值出现在x=2，f(2)=2；最小值出现在x=1，f(1)=0。

2. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=1围成的区域。

答案：∬D (x^2+y^2) dA = 1/33. 证明：函数f(x)=x^3在(-∞, +∞)上是增函数。

答案：略4. 求函数f(x)=e^x*sin(x)的不定积分。

答案：∫e^x*sin(x) dx = -e^x*cos(x) + C5. 求函数y=x^2-4x+c的图像与x轴的交点。

级高数新期末考试题及答案Last updated on the afternoon of January 3, 202110级高数A 2期末考试题及答案一、填空题（每题3分，共24分）1.微分方程054=-'-''y y y 的通解为x x e C e C y -+=251.2.设函数2232y x z -=，则全微分=dz ___ydy xdx 64-______3．椭球面522222=++z y x 在点（1，1，1）处的切平面方程为___522=++z y x _4.设积分区域4:22≤+y x D ，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标下化为二次积分为______⎰⎰2020)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ___ 5.设积分区域为11,11,11:≤≤-≤≤-≤≤-z y x Ω，则三重积分⎰⎰⎰=Ωdxdydz 2____16_____6.设L 是圆周222=+y x ，则对弧长的曲线积分⎰=+Lds y x )(22____π24_____ 7.无穷级数 +++=∑∞=4332211n n u 的通项=n u __1+n n ___. 8.函数x x f 211)(+=展开成x 的幂级数为_____∑∞=-0)2(n n n x _____. 二、计算下列各题（每题7分，共63分）1、求微分方程0)1()1(=+-+dy y dx x 的通解.解：分离变量：dy y dx x )1()1(+=+ 两边积分，得通解C y y x x ++=+222121 2、设函数2223cos y x x y z -+=，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z ∂∂∂2 解：x x y xy x x y x y x z 6sin 6)(sin 22+=+-⋅-=∂∂3、设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求x z ∂∂，y z ∂∂. 解：213f f x z +=∂∂，2f y z -=∂∂ 4、求函数1245),(22+++-=x y xy x y x f 的极值.求偏导数2410+-=y x f x ，y x f y 24+-=令0=x f ，0=y f 解得驻点2,1-=-=y x求二阶偏导数10=xx f ，2=yy f ，4-=xy f ，于是有042>=-B AC ，且0>A 所以，在点)2,1(--处，函数取极小值0)2,1(=--f5、计算二重积分⎰⎰+=Dy x y x I d d )1(2，其中D 是由直线x y =，xy -=2及y 轴所围成的区域.解：原式=⎰⎰-+x x dy y x dx 2210)1(⎰+--=1032)2222(dx x x x 67= 6、计算对坐标的曲线积分⎰+-+-Ldy y x dx y )21()31(，其中L 为从)0,2(A 到)0,2(-B 的上半圆周24x y -=，取逆时针方向.解：yx Q y P +-=-=21,312,3-=∂∂-=∂∂x Q y P ，1=∂∂-∂∂yP x Q 补线：x y L ,0:1=从-2到2则⎰+-+-1)21()31(L dy y x dx y 422==⎰-dx 由格林公式，π2)21()31(1==+-+-⎰⎰⎰+D L L dxdy dy y x dx y 于是，⎰⎰-=+11L L L I 42-=π7．用高斯公式计算积分⎰⎰∑+++++=dxdy z y dzdx y x dydz z x I )()()(，其中曲面∑为圆柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的圆柱体的整个边界曲面的外侧。