北京市海淀区高三上学期期末考试数学试题含答案

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524D ．2524-2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=nym xA n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．0.3B ．0.6C ．0.75D ．0.96．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)s i n ()c o s (021s i n c o s 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知双曲线1422=-xy，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=. 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b c o s )2(c o s -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x 轴于点A ，且.221AF AF =（Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案B C A D C B C A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－912．4π13．π48+，122- 14．92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==ac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴kk ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,ON OM OQ +=2,)2,(),(0000y y x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y yx y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y yx…………………………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分注：多端点时，合计扣1分.17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB ，11A A C C BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A A C C AM 面⊆ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11 ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可 知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ²AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅21211=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBC BOC .︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分A B C M A B M C V V --= ………………………………………………………………11分 A B C A B MS MC hS∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆A B MA B CS S MC h∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1） 1BA AM ⊥ .01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB m AM m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分 显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m CB m CB m易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）所求距离为：2263||==⋅m CB m即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f …………………………2分由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f 定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞） 1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分0202,20>->-∴<<aa a a 且由0)('>x g 得aa x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a上单调递增；由0)('<x g 得aa x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛--a a2,1上单调递减…………8分 ①时 )(,320x g a a<-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ； (2)30<<a …10分②当)(,32,223x g aa a ≥-<≤时在（0，3）上单调递减，∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF = 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+yx……………………………………………………5分（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==abDE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kkx x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-kkx x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||kk x x kDE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kkkkMN ++=-++-=………………………………10分所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kkkk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=kkkk ，…………………………………12分 令uuu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分 .3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤-- （1）当n =1时，331314)1()31(+=+===f f ，不等式成立；（2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-kkkkkkkkkk f f f f f f f得≤)31(3kf 9316)31(11+≤+--k k f331)31(+≤∴kkf即当n=k+1时，不等式成立. 由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kkf 对一切正整数都成立.于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n nn nf x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n nf f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n……………………………………13分。

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A .i- B.1- C.3i - D.3-【答案】D 【解析】【分析】由复数对应的点求出复数1z ，2z ，计算12z z ⋅，得复数12z z ⋅的虚部.【详解】在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则112z i =+，22z i =-+，得()()1212i 2i 43i z z ⋅=+-+=--，所以复数12z z ⋅的虚部为3-.故选：D3.已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则=a （）A.1 B.1- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.【详解】由题意直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，所以()11202a ⨯--⨯=，解得1a =-.故选：B.4.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A. B.4C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点M 的坐标，再利用两点间的距离公式求出MO .【详解】设()00,Mxy ，2008y x =，又因为024MF x =+=，所以2002,16x y ==，故MO ===故选：D.5.在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A.4B.2C.43D.23【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案.【详解】连接,AC BD ，相交于点H ，则H 为正方形ABCD 的中心，故PH ⊥底面ABCD ，取CD 的中点Q ，连接,HQ PQ ，则,HQ CD PQ CD ⊥⊥，112HQ AD ==，故PQH ∠为二面角P CD A --的平面角，所以π4PQH ∠=，故1PH HQ ==，所以该四棱锥的体积为21433AB PH ⨯⋅=.故选：C6.已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC 为直角三角形，则（）A.0mn =B.0-=m nC.0m n +=D.2230m n -=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相交的弦长公式AB =.【详解】因为圆22:210C x x y ++-=，圆心为()1,0C -，半径为r =CA CB ==因为ABC为直角三角形，所以2AB ==,设圆心()1,0C -到直线()10mx n y +-=的距离为d，d ==由弦长公式AB =1d =1=，化简得0mn =.故选：A.7.若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A.10B.eC.2D.54【答案】D 【解析】【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需函数()xf x a =与直线y x =相交即可.【详解】对比选项可知我们只需要讨论1a >时，关于x 的方程log 0xa x a -=的解的情况，若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，因为()xf x a =与()log a g x x =互为反函数，所以()xf x a =与()log a g x x =的图像关于直线对称，如图所示：设函数()xf x a =与直线y x =相切，切点为()00,P x y ，()ln xf x a a '=，则有000ln 1xx a a a x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：0ex a =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图像可知，当(a ∈时，曲线()x f x a =与直线y x =有交点，即()xf x a =与()log a g x x =的图像有交点，即方程log 0xa x a -=有解.故选：D.8.已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件.故选：B.9.已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A.{}n a 是递增数列B.{}n a 是递减数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列【答案】B 【解析】【分析】先根据等比数列前n 项和()111nn a q S q-=-,结合11na Sq<-恒成立，得出,a q 的取值范围，得到{}n a 是递减数列.【详解】{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和()111nn a q S q-=-,()1111111n n n a q a a S S q q q-<∴=<--- ，恒成立,101n a q q ⨯>-恒成立,若0q <，则n q 可能为正也可能为负，不成立所以10,01na q q>>-,当{}10,01,n a q a ><<是递减数列,当10,1,a q {}n a 是递减数列,故选:B .10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A. B.332C.922D.924【答案】D 【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，所以10928GHI θ'∠=≈ ,连接G I ,取其中点为O ，连接OH ,所以2224tan2GO OH θ===,由1BC =，且多边形ABCDEF为正六边形，所以2sin 60AC AB == ，由于GI AC =,所以=44OH =，故一个菱形的面积为163222244GHI S GI OH =⨯⨯⋅= =，因此上顶的面积为344⨯=，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51x x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】5-【解析】【分析】由二项式的展开式的通项进行求解即可.【详解】51x x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()53521551C 1C rrrr rrr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令5312r-=得1r =，所以125C 5T x x =-⋅=-，x 的系数为5-.故答案为：5-.12.已知双曲线221x my -=30y -=,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于m 的方程,再结合离心率公式求解即可.【详解】由题意得0m >，易知双曲线221x my -=，即2211y x m-=的渐近线方程为1,y m =13,m=得13,m =所以该双曲线的离心率11 2.c e a m==+=故答案为：2.13.已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=__________；点C 到直线AB 的距离为__________.【答案】①.1-②.55755【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意()()()2,1,0,0,1,3A B C -，所以()()2,11,3231AB BC ⋅=-⋅=-=-，而直线AB 的表达式为12y x =-，即20x y +=所以点C 到直线AB 的距离为21235512d +⨯==+.故答案为：1-，55.14.已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数,公差为d ,则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和()1,2,n = 的一组1a ,d 的值为1a =__________,d =__________.【答案】①.1②.1（答案不唯一）【解析】【分析】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,根据题意可得123,,b b b .根据2132,b b b =+结合等差数列的通项公式,可得关于1,a d 的方程,解方程即可.【详解】设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,则1,n n n S a a +=112223334,,.S a a S a a S a a ∴===又{}n a 是公差为d 的等差数列,11122212312233234233,2,2,b S a a b S S a a a a da b S S a a a a da ∴===-=-==-=-=2132,b b b =+ 即()()()21231111222,422,da a a da d a d a a d d a d ⨯=+∴+=+++整理得()110,a a d -=由题知110,.a a d >∴=故满足题意的一组1a ,d 的值为11a =,1d =.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥.（1）求证：1//C M 平面11ADD A ；（2）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）连接1AD ，由四棱柱性质可得11MAD C 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11ADD A ；（2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得1,,AD AB AA 三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果.【小问1详解】连接1AD ，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =,因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =，所以11C D AM ∥，11C D AM =,所以四边形11MAD C 为平行四边形，所以11MC AD ∥，因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ，【小问2详解】在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥⋂平面ABCD AB =；所以1AA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，即可得1AA AD ⊥，因为1AD B M ⊥，11,AA B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ，而AB ⊂平面11ABB A ，即AD AB ⊥；如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M .所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =.设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z =，则111020n C B x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则1y =-，2z =，于是()2,1,2n =-；因为111cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C所成角的正弦值为9.17.在ABC 中，2cos 2c A b a =-.（1）求C ∠的大小；（2）若c =ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC的面积为；条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】17.π318.不能选①，选②或③，答案均为1【解析】【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾；选②，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线；选③，由余弦定理得到223a b ab +-=，设AC 边上的中线长为d ，再由余弦定理得到AC 边上的中线的长为1.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-.①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.②由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠.所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为即1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =222cos 2a b c C ab +-=，即2231162a b +-=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1sin sin 2B A -=.由（1）知，π33ππ2B A A ∠=--∠=-∠.所以2π1sin sin sin sin sin sin 322B A A A A A A⎛⎫-=--=+-⎪⎝⎭31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.所以π3π6A -=，即π6A =.所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以32πsin sin 3AB AC C ===.所以AC 边上的中线的长为112AC =.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223122a b ab +-=，即223a b ab +-=.设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=.所以AC 边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.【答案】（1）310（2）分布列见解析，43（3）()()()213D Y D Y D Y >>【解析】【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。

2021北京海淀高三（上）期末数 学2020.01本试卷共8页，150分。

考试时常120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）抛物线x =2y 的准线方程是（A ）21-=x （B ）41-=x （C ）21y -= （D ） 41y -= （2）在复平面内，复数ii+1对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）在()52-x 的展开式中，4x 的系数为（A ）5（B ）5-（C ）10（D ）10（4）已知直线02:=++ay x l ，点），（11A --和点）（2,2B ，若AB l //，则实数a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）12（6）已知向量a ，b 满足1=a ，），（12-=b ，且2=-b a ，则=⋅b a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（7）已知α，β是两个不同的平面，“αβ∥”的一个充分条件是（A ）α内有无数直线平行于β （B ）存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）存在平面γ，m αγ=，n βγ=且m n ∥（D ）存在直线l ，l α⊥，l β⊥ （8）已知函数2()12sin ()4f x x π=-+ 则（A ）()f x 是偶函数（B ）函数()f x 的最小正周期为2π （C ）曲线()y f x =关于π4x =-对称 （D ）(1)(2)f f >（9）数列{}n a 的通项公式为23n a n n =-，n ∈N ，前n 项和为n S ，给出下列三个结论：①存在正整数,()m n m n ≠，使得m n S S =；②存在正整数,()m n m n ≠，使得m n a a += ③记，12(1,2,3,)n n T a a a =则数列{}n T 有最小项，其中所有正确结论的序号是（A ）① （B ）③ （C ）①③ （D ）①②③（10）如图所示，在圆锥内放入连个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C 1,⊙C 2. 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G·Dandelin ）利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球。

高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+=+=+------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++------------------------------------5分cos sinx x=+π)4x+，-------------------------------------7分所以()f x的最小正周期2πT=. -------------------------------------9分因为函数siny x=的对称轴为ππ+,2x k k=∈Z, ------------------------------11分又由πππ+,42x k k+=∈Z,得ππ+,4x k k=∈Z,9． 2 10．16 11. 712．{1,2,4}13．50，1015 14．1-;①②③所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。

北京市海淀区北京师大附中2024年数学高三第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎡⎤⎣⎦D ．3,6⎡⎤⎣⎦2．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<3．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．212 B ．212C ．612D ．3124．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．55．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．347．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥8．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．169．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 10．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( )A ．29B ．30C ．31D ．3211．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元12．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．674二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市海淀区高三上学期期末考试数学试卷（文）一、选择题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.双曲线的左焦点的坐标为( )A. (-2,0)B.C.D.【答案】A【解析】先根据方程求出，再求出焦点坐标.由题意可知焦点在x轴上，，即，所以选A.2.已知等比数列满足，且成等差数列，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设公比为q，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值．成等差数列，得，即：，所以，＝16故选：C．3.若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】利用对数的运算得出，从而得出，解出a即可．化为，即，所以，，40，故选：D4.已知向量，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】利用已知条件求出t，然后可得结果．因为，所以，2t＝2，t＝1，（2,0）－（1,1）＝（1，－1），故选B5.直线被圆截得的弦长为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出.圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，因为弦长为2，所以，解得，故选A.6.已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数的零点问题转化成两个函数图象交点的问题，再判断充分必要性．＝0，得：，设函数，当时，如下图，函数有交点，所以，在区间上存在零点，充分性成立。

（2）当在区间上存在零点时，如果＝0，函数在上无交点如果＞0，函数在上图象在第一象限，的图象在第四象限，无交点所以，还是＜0，必要性成立，所以是充分必要条件，选C。

7.已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是( )A. 函数的值域与的值域不同B. 存在，使得函数和都在处取得最值C. 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数【答案】C【解析】根据辅助角公式化简可得f（x）sin（x），求导化简可得g（x）sin（x），结合三角形的函数的图象和性质即可判断，值域为：［－，］，，值域为：［－，］，两函数的值域相同，所以，A错误；B选项，不存在x0，使得函数f（x）和g（x）都在x0处取得极值点，B错误；C选项，的图像向右平移个单位：与相同，C正确；求出单调递增区间可知，在区间上不是增函数，D错误。

2023-2024学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∩B）＝（）A．{2，4，5，6}B．{4，6}C．{2，4，6}D．{2，5，6}2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数z1•z2的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．﹣3i D．﹣33．已知直线l1：x+y2=1，直线l2：2x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣44．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|＝4，O为坐标原点，则|OM|＝（）A．4√2B．4C．5D．2√55．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，二面角P﹣CD﹣A的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A．4B．2C．43D．236．已知⊙C：x2+2x+y2﹣1＝0，直线mx+n（y﹣1）＝0与⊙C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则（）A．mn＝0B．m﹣n＝0C．m+n＝0D．m2﹣3n2＝07．若关于x的方程log a x−a x=0(a＞0且a≠1)有实数解，则a的值可以为（）A．10B．e C．2D．5 48．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos（α1﹣α2）＞0”是“k1k2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，S n为其前n项和．若对任意的n∈N*，S n＜a11−q恒成立，则（）A ．{a n }是递增数列B ．{a n }是递减数列C ．{S n }是递增数列D ．{S n }是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设BC ＝1，∠GPI ＝∠IPK ＝∠KPG ＝θ≈109°28'，则上顶的面积为（ ）（参考数据：cosθ=−13，tan θ2=√2)A ．2√2B ．3√32C ．9√22D ．9√24二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（2023年西城区）高三期末（21） 已知 A n : a 1，a 2，…a n ， （n ≥ 4） 为有穷数列.若对任意的{}0,1,...,1i n ∈-，都有1i i a a +- ≤ 1 （规定 a 0 = a n ），则称A n 具有性质 P .设 T n ={}(,)1,22(,1,2,...,2)i j i j a a j i n i j n -≤≤-≤-=-（Ⅰ）判断数列 A 4 :1，0.1，－1.2，－0.5， A5 :1，2，2.5，1.5，2是否具有性质 P ?若具有性质 P ，写 出对应的集合 T n ；（Ⅱ）若A 4具有性质 P ，证明：T 4≠∅ ；（Ⅲ）给定正整数 n ，对所有具有性质 P 的数列A n ，求T n 中元素个数的最小值.（2023年海淀区）高三期末（21）对于一个有穷正整数数列Q , 设其各项为12,,,m a a a , 各项和为()S Q , 集合{(,)|},1i j i j a a m i j >≤≤<中元素的个数为()T Q .（Ⅰ）写出所有满足()4,()1S Q T Q ==的数列Q ； （Ⅱ）对所有满足()6T Q =的数列Q ，求()S Q 的最小值； （Ⅲ）对所有满足()2023S Q =的数列Q ，求()T Q 的最大值.（2023年房山区）高三期末21. 若对m ∀，N n +∈，当m n A -∈时，都有m n a a A -∈，则称数列{}n a 受集合A 制约. （1）若2n n a =，判断{}n a 是否受N +制约，{}n a 是否受区间[]0,1制约； （2）若11a =，{}23,n a a =受集合{}2制约，求数列{}n a 的通项公式；（3）若记p ：“{}n a 受区间[]1,2制约”，q ：“{}n a 受集合{}2制约”，判断p 是否是q 的充分条件，p 是否是q 的必要条件，并证明你的结论.（2023年东城区）高三期末（21）已知数列12n A a a a ：，，，，满足：{01}(122)i a i n n ∈=≥，，，，，，从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（122m i i i m <<<≥，），称数列12,,,m i i i a a a 为A 的长度为m 的子列．记()T A 为A 所有子列的个数.例如001A ：，，，其()3T A =.（Ⅰ）设数列1100A ：，，，，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；（Ⅱ）设数列12n A a a a ：，，，，11n n A a a a -'：，，，，12n A a a a ''---：1，1，，1，判断()()()T A T A T A '''，，的大小，并说明理由；（Ⅲ）对于给定的正整数(11)n k k n ≤≤-，，若数列12n A a a a ：，，，满足：12n a a a k +++=，求()T A 的最小值.（2023年大兴区）高三期末（21）已知数列{}(1,2,,2022)n a n =⋅⋅⋅，122022,,a a a 为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合1{|,0,1,2,2022}jn i i A x x a n j +====-∑,A 中元素的最大值记为M ,最小值记为N .（Ⅰ）若数列{}n a 为:1352019202120222020201842⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，,且3j =，写出M N ，的值； （Ⅱ）若3j =，求M 的最大值及N 的最小值； （Ⅲ）若6j =，试求M 的最小值.（2023年朝阳区）高三期末（21）已知无穷数列{}n a 的各项均为正数，当4n ≤时，44n a a n ≤；当4n >时，11223311{,,,,}max n n n n n a a a a a a a a a ----=++++，其中231max{,,,,}s x x x x 表示123,,,,sx x x x 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若数列{}n a 的前4项为1,2,2,4，写出5a ,6a ,7a ,8a 的值； （Ⅱ）证明：对任意的n *∈N ，均有44n a a n ≤； （Ⅲ）证明：存在正整数N ，当n N >时，44n n a a a -=+．（2023年昌平区）高三期末21. 已知数列{}n a 满足：*11,24a a ∈≤N ，且()12,12,1,2,224,12n n n n n a a a n a a +≤⎧==⎨->⎩.记集合{}*n M a n =∈N∣. （1）若12a =，写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（2023年通州区）高三期末（21） 约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数m (m ≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数.设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，，1k a -，k a ，（12k a a a <<<）.(Ⅰ)当k =4时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值. (Ⅱ)当k ≥4时，若12312,,,----k k a a a a a a 构成等比数列，求正整数a . (Ⅲ)记k k a a a a a a A 13221-+++= ，求证：2a A <.（2023年丰台区）高三期末21. 设λ为正实数，若各项均为正数的数列{}n a 满足：n *∀∈N ，都有1n n a a λ+≥+．则称数列{}n a 为()P λ数列．（1）判断以下两个数列是否为(2)P 数列： 数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：2log 5，π，5，10．（2）若数列{}n b满足10b >且1n n b b +=λ，使得数列{}n b 是()P λ数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（3）若各项均为整数的数列{}n a 是(1)P 数列，且{}n a 的前(2)m m ≥项和123m a a a a ++++为150，求m a m +的最小值及取得最小值时m a 的所有可能取值．答案（2023年西城区）高三期末【答案】（1）4A 不具有性质P ,5A 具有性质P ,()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T = （2）证明见解析 （3）3n - 【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义,观察到32 1.31a a -=>,可得4A 不具有性质P ,根据5:1,2,2.5,1.5,2A ,可以发现5A 中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A 具有性质P ,根据5T 定义代入求值,即可得出5T ;(2) “4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T 中,通过范围推出矛盾即可.(3) 设n T 中元素个数最小值为n d ,根据新定义可得11n n d d -≥+,以此类推可得44n d d n ≥+-,由(2)中的结论可得41d ≥,即可得3n d n ≥-,再进行验证即可. 【小问1详解】解:由题知4:1,0.1, 1.2,0.5A --, 即12341,0.1, 1.2,0.5,a a a a ===-=- 因为32 1.31a a -=>, 所以4A 不具有性质P , 由于5:1,2,2.5,1.5,2A ,即123451,2, 2.5, 1.5,2,a a a a a =====因为21324311,0.51,11,a a a a a a -=≤-=≤-=≤54510.51,11,a a a a -=≤-=≤故5A 具有性质P ,因为41420.51,0.51,a a a a -=≤-=≤523501,0.51,a a a a -=≤-=≤故()()()(){}51,4,2,4,2,5,3,5T =; 【小问2详解】“4T ≠∅”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T 中”, 假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T 中, 则有31421,1,a a a a ->-> 不妨设12a a ≤, 若23a a >,则由()()313221a a a a a a -=-+-, 可得3111a a -≤-<, 与311a a ->矛盾, 故23a a ≤, 同理34a a ≤,从而1234a a a a ≤≤≤,所以()()01414221421a a a a a a a a a a -=-=-+-≥->, 与4A 具有性质P 矛盾, 所以假设不成立,即4T ≠∅; 【小问3详解】 设{}()123min ,,,,21,k n a a a a a k n =≤≤-规定1k =时,1k n a a -=,k n =时,11k a a +=,则[]11,,1k k k k a a a a -+∈+, 所以111k k a a +--≤,考虑数列311:,,k k k B a a a -+,112311:,,,,,,,n k k n C a a a a a a --+,由题设可知,他们均具有性质P , 设n T 中元素个数最小值为n d , 所以11n n d d -≥+,所以124124n n n d d d d n --≥+≥+≥≥+-,由(2)知41d ≥,从而3n d n ≥-, 当21n m =+时,令()()31,2,,,1,2,,12i m i a i i m a m i i m +===+-=+,当2n m =时,令()()11,2,,,1,2,,2i m i a i i m a m i i m +===+-=,此时均有3n d n =-,所以n T 中元素个数的最小值为3n -.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答.（2023年海淀区）高三期末（21）解：（Ⅰ）1,2,1和 3,1. （Ⅱ）()S Q 的最小值为7.首先证明()7S Q ≥：由题知26n C ≥得4n ≥.① 当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=；② 当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥. 若()6S Q =，满足上述要求 的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符；③ 当n ≥6时，同②可得()S Q ≥7.综上所述，有()S Q ≥7. 同时当Q 为2,2,1,1,1时，()S Q =7，所以()S Q 的最小值为7. （Ⅲ）()T Q 的最大值为511566.下面分五步证明当()T Q 最大时，数列Q 应满足： ① 存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；② 1n a =，否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；③ 当1,2,,1t n =-时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +的顺序后()T Q 变为()1T Q +.进一步有1{0,1}t t a a +-∈，否则有12t t a a ++≥，此时将t a 改为1t a -，并在数列末尾添加一项 1，此时()T Q 变大；④ 各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中存在相邻的两项13, 2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()T Q x ++1()1x T Q -=+;⑤ 由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1的形式, 设其中有x 项为2, 有y 项为1, 则有22023x y +=, 从而有2()(20232)22023T Q xy x x x x ==-=-+，由二次函数性质可得，当且仅当5061011x y =⎧⎨=⎩时，()T Q 最大，为511566.综上可得()T Q 的最大值为511566.（2023年房山区）高三期末21. 【答案】（1）{}n a 受N +制约，不受[]0,1制约，理由见解析 （2）,211,2n n n k a n n k=-⎧=⎨+=⎩且N k +∈.（3）p 是q 的充分不必要条件，证明见解析 【解析】【分析】（1）根据数列新定义，判断m 、N n +∈且m n A -∈是否有m n a a A -∈成立即可判断； （2）由题设可得22n n a a +-=，利用等差数列的定义写出{}n a 的通项公式； （3）由新定义判断p 、q 的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论. 【小问1详解】由m 、N n +∈且N m n +-∈，则1m n >≥，而222(21)mnm n nm na a -=-=--，显然2,(21)n m n --N +∈，则N m n a a +-∈，故{}n a 受N +制约， 由m 、N n +∈且[0,1]m n -∈，当0-=m n ，即m n =，故0[0,1]n n a a -∈=； 当1m n -=，即1m n =+，故112[022,1]n n n n n a a ++=-∉=-.故{}n a 不受[]0,1制约.综上，{}n a 受N +制约，不受[]0,1制约. 【小问2详解】由m 、N n +∈且2m n -=，有2m n a a -=， 所以22n n a a +-=，又11a =，23a =，故{}n a 的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列， 当21n k =-且N k +∈，则112(1)2n n a a n +=+⨯-=， 当2n k =且N k +∈，则32(1)12n n a a n =+⨯-=+，综上，,211,2n n n k a n n k =-⎧=⎨+=⎩且N k +∈.【小问3详解】结论：p 是q 的充分不必要条件，证明如下：p 为真：{}n a 受集合[]1,2制约，由m 、N n +∈且[1,2]m n -∈，当1m n -=，有1[1,2]n n a a +-∈成立，则21[1,2]n n a a ++-∈，进而可得：2[2,4]n n a a +-∈①； 当2m n -=，有2[1,2]n n a a +-∈成立，结合①有22{2}n n a a +-=∈； 此时，{}n a 受集合{}2制约；q 为真：{}n a 受集合{}2制约，由m 、N n +∈且2[1,2]m n -=∈，有22[1,2]n n a a +-=∈；而1[1,2]m n -=∈，不一定有1[1,2]n n a a +-∈成立（反例：,212,2n n n k a n n k=-⎧=⎨+=⎩且N k +∈，显然211m n -=-=，有[]214131,2a a -=-=∉）， 故{}n a 不一定受区间[]1,2制约；所以，{}n a 受区间[]1,2制约，必受集合{}2制约，但受集合{}2制约，不一定受区间[]1,2制约； 综上，p 是q 的充分不必要条件.（2023年东城区）高三期末21 解：（Ⅰ）由()T A 的定义以及1100A ：，，，，可得：A 的长度为3的子列为：100110，，；，，，A 的长度为2的子列有3个，A 的长度为4的子列有1个，所以()6T A =.…………………5分 （Ⅱ）()()().T A T A T A '''==理由如下：若121k k m m m m -，，，，是12n A a a a ：，，，的一个子列，则121k k m m m m -，，，，为11n n A a a a -'：，，，的一个子列.若121k k m m m m -，，，，与121k k n n n n -，，，，是12n A a a a ：，，，的两个不同子列，则121k k m m m m -，，，，与121k k n n n n -，，，，也是11n n A a a a -'：，，，的两个不同子列.所以()()T A T A '≤. 同理()()T A T A '≤， 所以()()T A T A '=.同理()().T A T A ''=所以有()()().T A T A T A '''==…………………10分（Ⅲ）由已知可得，数列12n A a a a ：，，，中恰有k 个1，n k -个0.令000111n k k A *-个个：，下证：()()T A T A *≥. 由于000111n k k A *-个个：，所以A *的子列中含有i 个0，j 个1(0101,2)i n k j k i j =-=+≥，，，，，，，的子列有且仅有1个， 设为：000111i j 个个.而数列12n A a a a ：，，，的含有i 个0，j 个1的子列至少有一个，所以()()T A T A *≥. 数列000111n k k A *-个个：中，不含有0的子列有1k -个，含有1个0的子列有k 个，含有2个0的子列有1k +个，，含有n k -个0的子列有1k +个，所以2()()(1)22T A n k k k nk n k *=-++-=+--.所以()T A 的最小值为22nk n k +--.…………………15分（2023年大兴区）高三期末（21） 解：（Ⅰ）6063M =，9N =.…………………… 4分 （Ⅱ）N 最小值为6，M 的最大值6063.证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}n a ，若3j =，则A 中的每一个元素为312310,1,2,...,2019n i n n n i x a a a a n ++++===++=∑，， 由题意31max()0,1,2,,2019n i i M a n +===∑，，那么，对于任意的{}n a ，总有2020202120226063M++=.同理，由题意31min()0,1,2,,2019n i i N a n +===∑，，那么，对于任意的{}n a ，总有1236N++=，…………………… 4分当n a n =(122022)n =⋅⋅⋅，，，时，满足:6N =，6063M =.…………………… 5分 （Ⅲ）M 的最小值为6069.由于6j =，对于1，2，……，2021，2022的一个排列{}n a ， A 中的每一个元素为610,1,2,...,2016n i i x a n +===∑，，由题意61max()0,1,2,,2016n i i M a n +===∑，，对于任意的{}n a ，都有20221+2++20226M ⋅⋅⋅， 即20222023202262M ⨯，6069M .…………………… 2分 构造数列{}n a ：21,2,,1011n a n n ==，，2120231,2,,1011n a n n -=-=，，对于数列{}n a ，设任意相邻6项的和为T ，则21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++，或22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++若21221222324n n n n n n T a a a a a a -++++=+++++，则(1)(2))((2023)+20231)(20232))T n n n n n n +++++---+--=（（=20233⨯=6069，1,2,,1009n =若22122232425n n n n n n T a a a a a a +++++=+++++，则((1)(2))T n n n =+++++((20231)(20232)(20233))n n n --+--+--=202236066⨯=，（1,2,,1008n =）所以6069T ，即对这样的数列{}n a ，6069M =，又6069M，所以M 的最小值为6069.…………………… 5分（2023年朝阳区）高三期末（21）解：（Ⅰ）55a =，66a =，77a =，88a =．（Ⅱ）对任意4n >，存在{1,2,,1}i n -∈，使得n i n i a a a -=+．若4i >或4n i ->，则i a 或n i a -又可以写成数列中某两项的和，如1212()i i i a a a i i i =++=． 依此类推，存在12,,,{1,2,3,4}k j j j ∈，使得12k n j j j a a a a =+++，其中12k j j j n +++=．所以存在1234,,,p p p p ∈N ，使得11223344n a p a p a p a p a =+++， 且1234234p p p p n +++=． 设44a t =，则当4n ≤时，n a nt ≤． 当4n >时，112233441234234n a p a p a p a p a p t p t p t p t =++++⋅+⋅+⋅≤ 1234(234)p p p p t nt =+++=． 所以，对任意n *∈N ，均有n a nt ≤，即44n a a n ≤． （Ⅲ）令n n b nt a =-，其中44a t =．由（Ⅱ）知0n b ≥，40b =. 由4(1)44(1)4[4(1)][(4)]i k i k i k i k b b i k t a i k t a ++++++-=++--+-4(1)4444(1)4()0i k i k i k i k t a a a a a ++++++=-+=+-≤，得44(1)i k i k b b +++≥．所以，当1,2,3,4i =时，480i i i b b b ++≥≥≥≥.由（Ⅱ）知123411223344(234)()n b p p p p t p a p a p a p a =+++-+++11223344()(2)(3)(4)p t a p t a p t a p t a =-+-+-+- 11223344p b p b p b p b =+++.若12340b b b b ====，则0n b =．此时n a nt =，当4n >时，44n n a a a -=+. 若123,,b b b 不全为0，设123max{,,}M b b b =，m 为123,,b b b 中最小的正数，则n b M ≤． 当某个0i b >时，必有i M p m ≤．否则i M p m >，则n i i M b p b m M m>⋅=≥. 设不超过Mm的最大整数为0N ， 则11223344p b p b p b p b +++能表示的不同值的个数不超过40(1)N +． 所以，对每一个1,2,3,4i =，48,,,i i i b b b ++只能取有限多个值.所以存在0k *∈N ，当0,p k p *∈N ≥时，4i p b +为常数．令044N k =+，则当n N >时，4n n b b +=，即4(4)n n n t a nt a ++-=-． 故44n n a a a -=+．（2023年昌平区）高三期末21. 【答案】（1）2,4,8,16 （2）见解析 （3）5 【解析】【分析】（1）根据递推关系可求M 的所有元素； （2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明； （3）利用列举法可求M 的元素个数的最大值 【小问1详解】若12a =，则2124a a ==，3228a a ==，43612a a ==，542824a a =-=，故{}n a 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.故{}2,4,8,16M =. 【小问2详解】设*3,k a m m =∈N ，若112k a -≤，则132k m a -=，因2,3互质，故1k a -为3的倍数；若112k a ->，则13224k m a -=-即()1232438k a m m -=+=+，因2,3互质， 故1k a -为3的倍数， 依次类推，有21,,k a a -均为3的倍数.当1n k ≥+时，我们用数学归纳法证明：n a 也是3的倍数. 当1n k =+时，若12k a ≤，则16k a m +=，故1k a +为3的倍数； 若12k a >，则1624k a m +=-，故1k a +为3的倍数， 设当n m =时，n a 是3的倍数即m a 为3的倍数， 若12m a ≤，则12m m a a +=，故1m a 为3的倍数；若12m a >，则1224m m a a +=-，因24为3的倍数，故1m a 为3的倍数， 故当1n m =+时，n a 是3的倍数也成立，由数学归纳法可得n a 是3的倍数成立， 综上，M 的所有元素都是3的倍数. 【小问3详解】当11a =，则232,4a a ==，48a =，516a =，68a =，故M 的元素个数为5； 当13a =，则42356,12,24,24a a a a ====，故M 的元素个数为4； 当15a =，则5243610,20,16,8,16a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当17a =，则3456214,4,8,16,8a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当19a =，则234518,12,24,24a a a a ====，故M 的元素个数为4； 当111a =，则5243622,841,12,24,2a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当113a =，则524632,4,8,16,8a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当115a =，则23456,12,24,24a a a a ====，故M 的元素个数为4； 当117a =，则5243610,20,16,8,16a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当119a =，则3456214,4,8,16,8a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当121a =，则234518,412.24,24a a ====，故M 的元素个数为4；当123a =，则5243622,20,16,8,16a a a a a =====，故M 的元素个数为5； 当124a =，则224a =，故M 的元素个数为1； 当12,1,2,11a k k ==时，M 的元素个数不超过为5，综上，M 的元素个数的最大值为5.【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质，另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决.（21）(Ⅰ)存在，比如1，2，4，8为8的所有约数即a =8. ……………………3分 (Ⅱ)易知32211,,,1a aa a a a a a a k k k ====--. ……………………5分 因为4k ≥，依题意可知2111223-----=--k k k k a a a a a a a a .所以3222123aa a a a a a a a a a --=--. 化简可得322223)1()(a a a a -=-∴，所以232321()a a a a a -=-. 因为3a N ∈*，所以3221a a N a a *-∈-， 因此可知3a 是完全平方数. ……………………7分由于2a 是整数a 的最小非1因子，3a 是a 的因子，且32a a >，所以223a a =. 所以21a a -，32a a -，…，1k k a a --为12-a ，222a a -， ，2212---k k a a .所以12(4)k a a k -=≥. ……………………9分(Ⅲ)易知 ，，a a a a a a k k ==-121，1i k i a a a +-=，（1i k ≤≤），所以21212212a a a a a a a a a A k k k k +++=--- . 因为21121212111a a a a a a a a -=-≤， ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----=-≤. 所以22221211212112111()k k k k k k k k a a a A a a a a a a a a a a a a a ------=+++=+++2212231111111111()()k k ka a a a a a a a a a --+-++-=-≤ . 因为11a =，k a a =，所以111()1k a a -<.所以22111()kA a a a a -<≤. 即2a A <. ……………………15分21. 【答案】（1）数列A 是，数列B 不是； （2）不存在，理由见解析； （3）答案见解析. 【解析】【分析】（1）根据定义验证12n n a a +-≥是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知1n n b b +=1n n b b +-<. 当21n λ>时，1n n b b λ+-<<，这与假设矛盾，所以不存在； （3）根据已知推出11n n a a +≥+，进而推出m a m ≥，11m m a a -≤-，，()11m a a m ≤--，相加可推得150122m m a m ≥+-.根据基本式，结合题意可得m a m +的最小值不小于30.进而得出m 的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到m a 的所以可能的取值.【小问1详解】根据定义，(2)P 数列应满足n *∀∈N ，都有12n n a a +≥+， 即12n n a a +-≥恒成立.对于数列A ：有5322-=≥，8532-=≥，13852-=≥，211382-=≥均满足，所以数列A 是(2)P 数列；对于数列B ，因为5π2-<不满足，所以数列B 不是(2)P 数列. 【小问2详解】不存在正实数λ，使得数列{}n b 是()P λ数列.说明理由如下：假设存在正实数λ，使得数列{}n b 是()P λ数列， 则n *∀∈N ，都有1n n b b λ+≥+，即1n n b b λ+≥-恒成立.因为1n n b b +=+所以1n n b b +-==<当21n λ>时，1n n b b λ+-<<，这与假设矛盾. 所以，不存在正实数λ，使得数列{}n b 是()P λ数列.【小问3详解】因为数列{}n a 是(1)P 数列，所以11n n a a +≥+. 所以121121m m m a a a a m m --≥+≥+≥≥+-≥，所以11m m a a -≤-，2112m m m a a a --≤-≤-，3213m m m a a a --≤-≤-，，()2312m a a a m ≤-≤--，()1211m a a a m ≤-≤--，所以123m a a a a ++++()1231m ma m ≤-++++-⎡⎤⎣⎦()12m m m ma -=-， 即()11502m m m ma -≤-，所以150122m m a m ≥+-.所以1503122m m a m m +≥+-115930222≥=-=， 因为数列{}n a 是整数列，所以m a m +的最小值不小于30. 假设30m a m +=，必有150313022m m +-≤，解得25123m ≤≤， 因为*m ∈N ，所以m 可取9，10，11，12. 当9m =时，21m a =，存在满足条件的数列.110a =，214a =，315a =，416a =，517a =，618=a ，719a =，820a =，921a =；当10m =时，20m a =，存在满足条件的数列.16a =，212a =，313a =，414a =，515a =，616a =，717a =，818a =，919a =，1020a =；当11m =时，19m a =，存在满足条件的数列.15a =，210a =，311a =，412a =，513a =，614a =，715a =，816a =，917a =，1018a =，1119a =；当12m =时，18m a =，存在满足条件的数列.17a =，28a =，39a =，410a =，511a =，612a =，713a =，814a =，915a =，1016a =，1117a =，1218a =.以上都是30m a m +=的充分条件.所以m a m +的最小值为30，此时m a 的所有可能的取值为18，19，20，21.。

2024年北京市海淀区数学高三上期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1 B ．1-或2 C ．1-或12 D ．12-或1 2．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C ．13D ．373．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13 B ．23 C ．1 D ．434．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C ．13D ．225．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i - 6．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．67．已知1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79- B ．29- C ．29 D ．798．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3 CD ．2 9．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ）A ．23，-2B ．23-，-9C ．-2，-9D ．2，-210．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A．3 B．3 C．3 D．3 11．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24(,)e +∞B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞12．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( ) A ．409 B ．40 C ．16 D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期末考试数学试卷1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x(x−2)<0}，则A∩B=( )A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}2.抛物线x2=2y的准线方程为( )A. x=−1B. y=−1C. x=−12D. y=−123.复数52+i的虚部为( )A. −2B. 2C. −1D. 14.在(x−1x2)4的展开式中，x的系数为( )A. −4B. 4C. −6D. 65.已知角α的终边在第三象限，且tanα=2，则sinα−cosα=( )A. −1B. 1C. −√55D. √556.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，则“a4>a3”是“对于任意n∈N∗且n≠3，S n> S3”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若函数y=sin(πx−π6)在[0,m]上单调递增，则m的最大值为( )A. 13B. 12C. 23D. 18.已知圆C过点A(−1,2)，B(1,0)，则圆心C到原点距离的最小值为( )A. 12B. √22C. 1D. √29.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的34，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是( )A. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 3：410.已知函数f(x)=2x，g(x)=log a x，若对于f(x)图象上的任意一点P，在g(x)的图象上总存在一点Q，满足OP⊥OQ，且|OP|=|OQ|，则实数a=( )A. 14B. 12C. 2D. 411.双曲线x2−y 24=1的渐近线方程是__________.12. 已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．现从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是__________.13. 已知函数f(x)的值域为[−3,3]，f(x)的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与f(x)的图象重合，写出符合上述条件的一个函数f(x)的解析式：__________.14. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，且|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=__________，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为__________.15. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱B 1C 1的中点．动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列三个结论： ①存在点P ，使得PA 1=PE ； ②△PA 1E 的面积越来越小； ③四面体A 1PB 1E 的体积不变． 所有正确的结论的序号是__________.16. 在△ABC 中，b 2+c 2−a 2+bc =0. (Ⅰ)求∠A 的大小：(Ⅰ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在，求△ABC 的面积．条件①：cosB =13； 条件②：sinC =√22；条件③：a =√3.17. 如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=1.E 为A 1D 1的中点，平面CB 1E 交棱DD 1于点F. (Ⅰ)求证：B 1C//EF ；(Ⅰ)求二面角C −B 1E −C 的余弦值，并求点A 到平面CB 1E 的距离．18. 某班组织冬奥知识竞赛活动．规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答．假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是23且每道题正确完成与否互不影响．乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成． (Ⅰ)求甲至少正确完成其中2道题的概率；(Ⅰ)设随机变量X 表示乙正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望EX ；(Ⅰ)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由．19. 已知点A(0,−1)在椭圆C ：x 23+y 2b2=1上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程和离心率；(Ⅰ)设直线l ：y =k(x −1)(其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ，F ，直线AE ，AF 分别交直线x =3于点M ，N.当△AMN 的面积为3√3时，求k 的值． 20. 函数f(x)=ae x −sinx +2x.(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅰ)当a ≥0时，求函数f(x)在[0,1]上的最小值； (Ⅰ)直接写出a 的一个值，使f(x)≤a 恒成立，并证明． 21. 已知n 行n 列(n ≥2)的数表A =(a 1a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn)中，对任意的i ∈[1,2,…，n}，j ∈[1,2,…，n}，都有a ij ∈{0,1}.若当a ij =0时，总有∑a ij n i=1+∑a ij n j=1≥n ，则称数表A 为典型表，此时记S n =∑∑a ij nj=1n i=1.(Ⅰ)若数表B =(001100110)，C =(110011000111011)，请直接写出B ，C 是否是典型表； (Ⅰ)当n =6时，是否存在典型表A 使得S 6=17，若存在，请写出一个A ；若不存在，请说明理由；(Ⅰ)求S n 的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．【解答】解：集合A={−1,0,1,2}，B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，则A∩B={1}.故选：C.2.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线方程求解p，然后推出准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线方程的求法，是基础题．【解答】解：抛物线x2=2y，可得p=1，所以抛物线的准线方程为：y=−12.故选：D.3.【答案】C【解析】【分析】先化简复数，然后根据虚部的定义即可求解．本题考查了复数的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．【解答】解：因为复数52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，则复数的虚部为−1，故选：C.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x的系数．【解答】解：(x−1x2)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r⋅x4−r⋅(−1x2)r=C4r⋅(−1)r⋅x4−3r，令4−3r=1，求得r=1，可得展开式中x的系数为−C41=−4，故选：A.5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为角α的终边在第三象限，且tanα=2，所以cosα=−√11+tan2α=−√11+22=−√55，可得sinα=−√1−cos2α=−2√55，所以sinα−cosα=−2√55−(−√55)=−√55.故选：C.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件的判断，涉及等差数列的性质，属于中档题．根据充分必要条件的定义进行判断．【解答】解：因为{a n}是等差数列，设公差为d，若a4>a3，即a4−a3>0，也即d>0，如果{a n}是正项等差数列，当n=1时，S1>S3显然不成立，故由“a4>a3”不能推出“对于任意n∈N∗且n≠3，S n>S3”；反之，“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”可以推出“a 4>a 3”，即“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”⇒d >0，理由如下：用反证法说明：如果d <0，则数列{a n }为递减数列，n →+∞时，S n 越来越小，故不能满足对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”；如果d =0，则数列{a n }为常数数列，假设a n =1,显然S n >S 3在n ≤3且n ∈N ∗时不成立； 故假设不成立，如果d >0，“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”可以推出“a 4>a 3”， 所以“a 4>a 3”是“对于任意n ∈N ∗且n ≠3，S n >S 3”的必要不充分条件， 故选：B.7.【答案】C【解析】 【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围． 本题主要考查正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题． 【解答】解：由y =sin(πx −π6)，可得当−π2+2kπ≤πx −π6≤π2+2kπ，k ∈Z 时函数单调递增， 即x ∈[−13+2k,23+2k]，k ∈Z ， 当k =0时，x ∈[−13,23]， 又函数在[0,m]上单调递增， 所以0<m ≤23，即m 的最大值为23. 故选：C.8.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，设圆心C 的坐标为(x,y)，求出圆心C 的轨迹为直线x −y +1=0，由点到直线的距离公式分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离，属于基础题． 【解答】解：根据题意，设圆心C 的坐标为(x,y)，圆C 过点A(−1,2)，B(1,0)，则有(x +1)2+(y −2)2=(x −1)2+(y −0)2，变形可得：x −y +1=0，即圆心C 在直线x −y +1=0上， 圆心C 的轨迹为直线x −y +1=0，则圆心C 到原点距离的最小值即原点到直线x −y +1=0的距离，则其最小值d =√1+1=√22，故选：B.9.【答案】B【解析】 【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方即可求解． 本题主要考查体积的计算，立体几何的实际应用等知识，属于基础题． 【解答】解：因为A ，B 是两个形状相同的杯子，且B 杯高度是A 杯高度的34， 将两个杯子看成是圆柱体， 所以底面半径比也是34，所以两个杯子的底面积之比为S B :S A =(34)2，所以B 杯容积与A 杯容积之比S B ℎB S A ℎA =(34)2×34=2764≈0.4=2:5，故选：B.10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了指数函数和对数函数的图象及性质和分类讨论思想，难点在于找出x ，y 之间的关系，属于难题．设点P(x,2x )，点Q(b,y)，分类讨论x =0和x ≠0两种情况，结合已知条件可以得到x ，y 的关系式，分析化简知y =−x ，代入化简即可得解． 【解答】解：设点P(x,2x )，点Q(b,y)，当x =0时，点P(0,1)，根据指数函数与对数函数的性质知，此时Q(1,0)，显然满足条件； 当x ≠0，y ≠0，由OP ⊥OQ ， 知k OP ⋅k OQ =−1，即2x x ⋅yb=−1，即b =−yx ⋅2x (∗)，又|OP|=|OQ|，知√(2x )2+x 2=√b 2+y 2，即x 2+22x =y 2+b 2，将(∗)式代入，得x 2+22x =y 2+(−y x⋅2x )2=y 2+y 2x 2⋅22x =y 2x 2(x 2+22x )，由于x 2≥0，22x >0，有x 2+22x >0， 因此有y 2x 2=1，即y 2=x 2，即y =±x ，由于b >0，2x >0，所以(∗)式可知y =x 不满足条件，则有y =−x ，代入(∗)式得2xx=−b y =−a −x −x=a −x x=(1a )xx ，所以1a =2，故a =12. 故选：B.11.【答案】y =±2x【解析】 【分析】渐近线方程是x 2−y 24=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题． 【解答】解：∵双曲线标准方程为x 2−y 24=1， 其渐近线方程是x 2−y 24=0，整理得y =±2x. 故答案为y =±2x.12.【答案】1234【解析】 【分析】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．空1，总事件数为8，摸出白球事件数为4，可求解；空2总事件数为8，选出的球是白球，则该球选自甲盒的事件数为3，可求解. 【解答】解：从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是：48=12， 若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是P =3812=34.13.【答案】f(x)=3sin(2πx)(x ∈R)(答案不唯一)【解析】 【分析】本题考查函数的值域，以及函数的周期性，考查函数思想和推理能力，属于基础题． 考虑三角函数的值域和周期，可得满足条件的一个函数． 【解答】解：考虑f(x)=3sin(2πx)(x ∈R)，可得f(x)的值域为[−3,3]，且f(x)的最小正周期为1，f(x)的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与f(x)的图象重合． 故答案为：f(x)=3sin(2πx)(x ∈R)(答案不唯一).14.【答案】2−2【解析】 【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．根据向量数量积定义及其运算性质计算，再根据余弦函数最值性求解． 【解答】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，因为CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4 =1⋅2⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4 =2cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4≤−2，当<AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=0时，等号成立，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是−2， 故答案为：2；−2.15.【答案】①②③【解析】 【分析】本题主要考查立体几何中的探索性问题，锥体体积的计算等知识，属于中等题．建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出P(0,m,0)(0≤m ≤2)，选项①，列出方程，求出m 的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P 到直线A 1E 距离，表达出△PA 1E 的面积，进而得到答案；③把△A 1B 1E 作为底，高为点P 到上底面的距离h ，可以判断四面体A 1PB 1E 的体积不变． 【解答】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A 1(2,0,2)，E(1,2,2)，设P(0,m,0)(0≤m ≤2)， 则PA 1=√4+m 2+4=√m 2+8，PE =√1+(m −2)2+4=√m 2−4m +9， 令m 2+8=m 2−4m +9，解得：m =14， 存在点P ，使得PA 1=PE ，①正确；PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2−m,2)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0)，|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4=√5，cos⟨PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√5⋅√m 2−4m+9=√5⋅√m 2−4m+9，设点P 到直线A 1E 距离为d ，则d =|PE ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin⟨PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√m 2−4m +9⋅√1−(3−2m√5⋅√m 2−4m+9)2=√m 2−8m+36√5，所以S △PA 1E =12|A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅d =12√m 2−8m +36=12√(m −4)2+20，因为0≤m ≤2，动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，即m 从0逐渐变到2，随着m 的变大，(m −4)2+20变小，△PA 1E 的面积越来越小，②正确； 以△A 1B 1E 为底，高为点P 到上底面的距离h ，因为DC//底面A 1B 1C 1D 1，所以h 不变，所以四面体A 1PB 1E 的体积不变，③正确． 故答案为：①②③．16.【答案】解：(Ⅰ)因为b 2+c 2−a 2+bc =0，所以b 2+c 2−a 2=−bc ，由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12，因为A ∈(0,π)，所以A =2π3. (Ⅰ)选择条件①②：cosB =13，sinC =√22，因为A =2π3，所以C ∈(0,π2)，所以cosC =√22，所以cosB =−cos(A +C)=−cosAcosC +sinAsinC =−(−12)×√22+√32×√22=√2+√64≠13，故△ABC 不存在．选择条件①③：cosB =13，a =√3，因为A =2π3，所以B ∈(0,π2)，所以sinB =2√23， 由正弦定理知，a sinA =b sinB ，即√3√32=2√23，所以b =4√23>a ，故△ABC 不存在． 选择条件②③：sinC =√22，a =√3，由正弦定理知，asinA =csinC ，即√3√32=√22，所以c =√2，所以sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =√32×√22+(−12)×√22=√6−√24，所以△ABC 的面积为S =12acsinB =12×√3×√2×√6−√24=3−√34. 【解析】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和差公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)利用余弦定理，即可得解； (Ⅰ)选择条件①②：易知cosC =√22，再由cosB =−cos(A +C)，计算可得cosB =√2+√64≠13，故△ABC不存在；选择条件①③：利用正弦定理可得b =4√23>a ，与“大边对大角”不符合，故△ABC 不存在； 选择条件②③：先利用正弦定理求得c =√2，再由sinB =sin(A +C)，计算sinB 的值，最后根据S =12acsinB ，得解．17.【答案】(I)证明：由长方体的性质知：面BCC 1B 1//面ADD 1A 1，又B 1C ⊂面BCC 1B 1，∴B 1C//面ADD 1A 1，又面CB 1E ∩面ADD 1A 1=EF ，且B 1C ⊂面CB 1E ，∴B 1C//EF.(II)解：由题设，构建如下空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B 1(2,0,1)， E(0,1,1)，C(2,2,0)，C 1(2,2,1)，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,−1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)， 若面CB 1E 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ 1=2x −y =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 1=−2y +z =0，令y =2，则m ⃗⃗⃗ =(1,2,4)，而面C 1B 1E 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴cos⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=4√1+4+16=4√2121，即为所求二面角余弦值．∴A 到平面CB 1E 的距离为|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <m ⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√2×√4214=2√217. 【解析】本题考查利用向量解决空间角，及距离的问题，考查学生的运算能力，属于中档题． (I)由面面平行的性质可得B 1C//面ADD 1A 1，再由线面平行的性质即可证结论．(II)构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，再求面CB 1E 、面C 1B 1E 的法向量及直线AC 的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角余弦值及线线角余弦值，进而求A 到平面CB 1E 的距离．18.【答案】解：(I)设随机变量Y 表示甲正确完成题目的个数，P(Y =2)=C 32(23)2(13)=49，P(Y =3)=C 33(23)3=827，故甲至少正确完成其中2道题的概率P =P(Y =2)+P(Y =3)=49+827=2027. (II)由题意可知，X 所有可能取值为1，2，3， P(X =1)=C 41C 22C 63=15，P(X =2)=C 42C 21C 63=35，P(X =3)=C 43C 2C 63=15，故X 的分布列为： X 1 2 3P153515E(X)=1×15+2×35+3×15=2. (III)由(I)(II)可知，P(Y ≥2)=2027，P(X ≥2)=45， ∵45>2027，∴乙进入下一轮比赛的可能性较大．【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属中档题题． (I)设随机变量Y 表示甲正确完成题目的个数，分别求出P(Y =2)，P(Y =3)，并求和，即可求解． (II)由题意可知，X 所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解． (III)由(I)(II)可知，P(Y ≥2)=2027，P(X ≥2)=45，通过比较大小，即可求解．19.【答案】解：(Ⅰ)将点A(0,−1)代入方程x 23+y 2b2=1，解得b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，又c 2=a 2−b 2=3−1=2， 所以离心率e =√c 2a 2=√23=√63；(Ⅰ)联立{y =k(x −1)x 23+y 2=1，整理得(1+3k 2)x 2−6k 2x +3k 2−3=0， Δ>0恒成立，设点E ，F 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 由韦达定理得x 1+x 2=6k21+3k2,x 1x 2=3k 2−31+3k2，直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ， 令x =3，得y =3y 1+3x 1−1，即M(3,3y 1+3x 1−1)， 直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ， 令x =3，得y =3y 2+3x 2−1，即N(3,3y 2+3x 2−1)， |MN|=|3y 2+3x2−1−(3y 1+3x1−1)|=3×|x 1y 2−x 2y 1+x 1−x 2x 1x 2|=3×|k −1||x 1−x2x 1x 2|=3×|k −1|√(x 1+x 2)2−4x 1x 2(x 1x 2)2=3×|k−1|×√3×√2k 2+1|k 2−1|=2√3×√2k 2+1|k+1|， 所以△AMN 的面积S =12×|MN|×3=32×|MN|=3√3×√2k 2+1|k+1|=3√3，即√2k 2+1|k+1|=1⇒√2k 2+1=|k +1|， 解得k =0或k =2， 所以k 的值为0或2.【解析】(Ⅰ)将点A(0,−1)代入即可求解椭圆的方程，再利用离心率公式即可求解；(Ⅰ)联立{y=k(x−1)x23+y2=1，整理得(1+3k2)x2−6k2x+3k2−3=0，结合韦达定理，求出点M，N的坐标，可知S=12×|MN|×3=32×|MN|代入即可求解．本题考查了椭圆的方程及离心率，直线与椭圆的综合，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=ae x−sinx+2x，所以f(0)=a且f′(x)=ae x−cosx+2，所以f′(0)=a−1+2=a+1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y−a=(a+1)(x−0)，即y=(a+1)x+a.(Ⅰ)当a≥0，x∈[0,1]时，因为f′(x)=ae x−cosx+2≥0+2−cosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=a.(Ⅰ)取a=−1，以下证明f(x)=−e x−sinx+2x≤−1恒成立，令g(x)=e x+sinx−2x−1，即证g(x)≥0恒成立，(1)当x∈(−∞,0]时，有e x≤1，cosx∈[−1,1]，所以g′(x)=e x+cosx−2≤0，所以g(x)在(−∞,0]上单调递减，所以g(x)≥g(0)=0在(−∞,0]上恒成立；(2)当x∈(0,+∞)时，令G(x)=g′(x)=e x+cosx−2，因为e x>1，sinx∈[−1,1]，所以G′(x)=e x−sinx>0，所以G(x)=g′(x)=e x+cosx−2在(0,+∞)上单调递增，所以g′(x)>g′(0)=0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0在(0,+∞)上恒成立．综上，g(x)≥0恒成立，所以f(x)≤a恒成立．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题(Ⅰ)求出f(0)及f(x)的导函数，从而可得f′(0)，利用点斜式方程求解即可；(Ⅰ)利用导数求出f(x)的单调性，即可求解最小值；(Ⅰ)取a=−1，证明f(x)=−e x−sinx+2x≤−1恒成立，令g(x)=e x+sinx−2x−1，利用导数分别证得当x ∈(0,+∞)和x ∈(0,+∞)时，g(x)≥0即可．21.【答案】解：(I)对于数表B 有a 12=0，而∑a i2n i=1+∑a 1j nj=1=2≥3不成立，故数表B 不是典型表；对于数表C ，当a st =0时总有∑a it n i=1+∑a sj n j=1≥4成立，故数表 C 是典型表．(II)由题设知：当n =6要存在典型表A 使得S 6=17，则需(S 6)min ≤17.∵要使S 6最小，即典型表A 中的“1“最少，又a st =0时总有∑a it n i=1+∑a sj n j=1≥n ，∴让尽量多的横列和∑a it n i=1+∑a sj n j=1=6，故将表分成4个3×3数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证S 6最小． ∴如典型表A =(1110001110001110000001110001110111)，有(S 6)min =18. ∴不存在典型表 A 使得S 6=17.(Ⅰ)要使S n 最小，需让尽量多的横列和∑a it n i=1+∑a sj nj=1=n 或典型表中“1“尽量少，当n 为偶数时，由(2)知：(S n )min =2×(n2)2=n 22； 当n 为奇数时，在偶数n −1的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加n 个“1，即可满足典型数列，此时(S n )min =2×(n−12)2+n =(n−1)22+n =n 2+12； 【解析】(I)由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可．(II)根据题设分析知：数值分配时有(S 6)min ≤17即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定S 6最小时(0,1)在数表上的分布情况，即可判断是否存在． (III)结合(II)的分析，讨论n 为偶数、奇数情况下S n 的最小值． 本题考查归纳推理，考查学生的运算能力，属于中档题．。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分） 9． 222x y x += (1,0) 10． 180 11． 512． M P N e e e << 13．① ④ 14． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩ 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共12分）解：（I ） x x x f 2cos )32cos()(--=πx x x 2cos 3sin2sin 3cos2cos -+=ππ .......................................2分x x 2cos 212sin 23-=)62si n(π-=x . .......................................4分)2,0(π∈x Θ，)65,6(62πππ-∈-∴x ， .......................................5分]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2π）的值域为]1,21(- . .......................................6分（II ）由（I ）可知，)62sin()(π-=A A f ，1)62sin(=-∴πA ， ......................................7分π<<A 0Θ ， 611626πππ<-<-∴A ， .....................................8分 3,262πππ==-∴A A . ....................................9分A bc c b a cos 2222-+=Θ ， .....................................10分把3a b ==代入，得到2320c c -+=， ..................................11分1=∴c 或2=c . ....................................12分 16.（共13分） 解：（I ）方法一设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故591092)(=⨯=X E ， ....................................... 2分 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ....................................... 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................................... 5分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ....................................... 6分 36.3>Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分方法二：（I ）设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，2，4，212291(0)(1)101009918(2)(1)1010100981(4)().10100P P C P ξξξ==-===⋅-====；；所以ξ的分布列为.......................................2分6.3=∴ξE .......................................3分 同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，3123223318(0)(1);327114(3)(1);339112(6)()(1);33911(9)().327P P C P C P ηηηη==-===⋅-===-====所以η的分布列为：.......................................5分3E η∴=， .......................................6分ηξE E >Θ，∴选手甲应该选择A 区投篮. .......................................7分（Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B 区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =U U ，其中123,,C C C 为互斥事件. .......................................9分 则： 12312318881881449()()= ()()()1002710027100975P C P C C C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=U U 故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975..................................13分17. （共14分）解：（I ）Θ棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥ . .......................................1分又1A O ⊥平面ABCD, BD ⊂平面ABCD ，1AO BD ∴⊥ . .......................................2分 又1AC AO O =Q I ，1,AC AO ⊂平面11ACC A ， ⊥∴BD 平面11ACC A ， .......................................3分⊂1AA Θ平面11ACC A ，∴ BD ⊥1AA . .......................................4分（Ⅱ）连结1BCΘ四边形ABCD 为菱形，AC BD O =IABC1B 1C 1A DF1D OO ∴是BD 的中点. ....................................... 5分 又Θ点F 为1DC 的中点，∴在1DBC ∆中，1//BC OF ， .......................................6分 ⊄OF Θ平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B∴//OF 平面11BCC B .......................................8分（III ）以O 为坐标系的原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. Θ侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角为60°，1A O ⊥平面ABCD ．ο601=∠∴AO A ，在AO A Rt 1∆中，可得11,AO AO == 在Rt AOB ∆中，OB ===得1(1,0,0),(0,A A D B ...............................10分 设平面D AA 1的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴0111AD n AA n )0,3,1(),3,0,1(1--=-=Θ111100x x ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩ 可设)1,1,3(1-=n .......................................11分 又ΘBD ⊥平面11ACC A所以，平面11A ACC的法向量为2n OB ==u u r u u u r.......................................12分55353,cos 21-=⋅-=>=<∴n n , Θ二面角D —1AA —C 为锐角，故二面角D —1AA —C 的余弦值是55. ....................................14分18. （共13分）解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分（I ）由题意可得13(1)24af -'==-，解得3a =， ....................................3分 因为(1)ln 24f =-，此时在点(1,(1))f 处的切线方程为(ln24)2(1)y x --=--， 即2ln22y x =-+-，与直线:21l y x =-+平行，故所求a 的值为3. ....................4分 （II ） 令()0f x '=，得到1212,0x x a=-= ， 由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤. ................................5分 ① 即12a =时，12120x x a=-==. 所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+， ................................6分 故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a-<-<，即1210x x -<<=， 所以，在区间1(1,2)a--和(0,)+∞上，'()0f x <； ...............................8分在区间1(2,0)a-上，'()0f x >. .................................9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-， 所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得： 当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a-； 当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 19. （共14分）解：（Ⅰ）抛物线22y px = (0)p >的准线为2px =-， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知||1()1222p pMF =--=+=，解得2p =，故所求抛物线方程为24y x =. 2880y y b +-= ......................................3分 （Ⅱ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得.依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-. ..............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-. 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==， ........................6分又||AB =. 所以||28AB r ==， .........................................7分解得85b =-. .........................................8分所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. ............................................9分 方法二：联立2124y x b y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消掉y 并化简整理得22(416)40x b x b -++=， 依题意应有2216(4)160b b ∆=+->，解得2b >-. ............................................4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212416,4x x b x x b +=+= . .............................................5分 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y yx y ++===-， 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==. .....................................6分又||AB =，又||28AB r ==8， .............................................7分解得85b =-， ..............................................8分所以12485x x +=，所以圆心为24(,4)5-. 故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=. .............................................9分 （Ⅲ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，...........................................10分 直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=， 点O 到直线l的距离d ， .................................................11分所以1||42AOB S AB d ∆==-= ..................................................12分令32()2g b b b =+，20b -<<，24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 最大值为432()327g -= . ...............................................13分所以当43b =-时，AOB ∆. ...............................................14分20．（共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P ． ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ． 任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b L 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉L .又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈L , 即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时， 取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B ð是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C）2-（D2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[22；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11）1(,0)2 （12）8− （13（14）y =；(1,2] （15）①②④三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+， 单调递增区间为[,]()36k k k πππ−π+∈Z . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()sin(2)62f B B π=+=，因为0B <<π，所以22666B πππ<+<π+.所以266B π5π+=.即3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−.即2212a c ac =+−.即212()3a c ac =+−.即12363ac =−.即8ac =.所以1sin 2ABC S ac B ==△.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PD 中点N ，连接,AN MN .在PCD △中，,M N 分别为,PC PD 的中点，所以MN DC P ，1=2MN DC ， 因为AB DC P ，1=2AB DC ， 所以AB MN P ，=AB MN .所以四边形ABMN 为平行四边形，因此BM AN P .又因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，所以BM P 平面PAD .（Ⅱ）选择条件①因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥. 又因为AD DC ⊥，所以建立如图空间直角坐标系D xyz −．因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥.所以在Rt PBD △中，1PD =，PBBD 在Rt ABD △中，1AD =，BD 1AB =,又因为12AB DC =，所以2DC =. 由题意得(0,0,0)D ,(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,1)P ,1(0,1,)2M ， 所以(1,0,0)DA =u u u r ，1(0,1,)2DM =u u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r . 设平面BDM 的法向量为(,,)x y z =n ，所以0,0,DM DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n 即10,20.y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1y =−，则1,2x z ==. 所以平面BDM 的一个法向量为(1,1,2)=−n .易知DA u u u r 为平面PDM 的一个法向量.所以cos ,||||DA DA DA ⋅<>===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .因为二面角P DM B −−为钝角，所以二面角P DM B −−的余弦值为.选择条件②因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD DC ⊥，又因为AD DC ⊥，所以建立如图空间直角坐标系D xyz −．取CD 的中点E ，连接BE .因为AB DC P ，1=2AB DC ，所以AB DE P ，=AB DE ， 又因为AD DC ⊥，所以四边形ABED 为矩形. 在BCD △中，因为BD BC ⊥，所以12BE DC =. 又因为12AB DC =，所以AB BE =. 所以四边形ABED 为正方形，即1AB AD ==，2DC =. 由题意得(0,0,0)D ,(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,1)P ,1(0,1,)2M ， 所以(1,0,0)DA =u u u r ，1(0,1,)2DM =u u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r . 设平面BDM 的法向量为(,,)x y z =n ，所以0,0,DM DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n 即10,20.y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 令1y =−，则1,2x z ==.所以平面BDM 的一个法向量为(1,1,2)=−n .易知DA u u u r 为平面PDM 的一个法向量.所以cos ,||||DA DA DA ⋅<>===⋅u u u r u u u r u u u r n n n . 因为二面角P DM B −−为钝角，所以二面角P DM B −−的余弦值为6. （18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）由图可知，亩产量是400 kg 的概率约为0.005500.25⨯=，亩产量是450 kg 的概率约为0.01500.5⨯=，亩产量是500 kg 的概率约为0.005500.25⨯=.估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.250.60.15⨯=.（Ⅱ）X 的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500.(960)0.250.40.1P X ==⨯=，(1080)0.50.40.2P X ==⨯=，(1200)0.250.40.250.60.10.150.25P X ==⨯+⨯=+=，(1350)0.50.60.3P X ==⨯=，(1500)0.250.60.15P X ==⨯=.X 的分布列为()9600.110800.212000.2513500.315000.151242E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）建议农科所推广该项技术改良.设增产前每亩冬小麦产量为ξkg ，增产后每亩冬小麦产量为ηkg ，则50.ηξ=+设增产后的每亩冬小麦总价格为Y 元，由分析可知()()50(2.40.430.6)E Y E X =+⨯⨯+⨯所以增产的50 kg 会产生增加的收益是50(2.40.430.6)138125⨯⨯+⨯=>，故建议农科所推广该项技术改良.19. （本小题14分）（Ⅰ）解法一：0是()f x 的极小值点，理由如下：当0x >时，ln(1)0x +>，所以()ln(1)0f x x x =+>.当10x −<<时，011x <+<，可知ln(1)0x +<，所以()ln(1)0f x x x =+>. 而(0)0f =，由极小值点的定义知，0是()f x 的极小值点.（Ⅰ）解法二：0是()f x 的极小值点，理由如下：对函数求导得()ln(1)1x f x x x '=+++.当0x >时，ln(1)0,01x x x +>>+， 所以()0f x '>.当10x −<<时，011x <+<，可知ln(1)0,01x x x +<<+， 所以()0f x '<.所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,在区间(1,0)−上单调递减.所以0是()f x 的极小值点. （Ⅱ）证明：2()112f x x x >−+等价于ln(1)112x x x +>−+，即 21ln(1)20x x x x ++−>. 记21()ln(1)(1)2g x x x x x =++−>−. 求导得21()111x g x x x x '=+−=++. 当1x >−时易知()0g x '≥，所以函数()g x 在区间(1,)−+∞上单调递增.又(0)0g =，可得当0x >时，()(0)0g x g >=，即当0x >时，不等式21ln(1)02x x x ++−>成立.即当0x >时，不等式2()112f x x x >−+成立. 当10x −<<时，()(0)0g x g <=，即当10x −<<时，不等式21ln(1)02x x x ++−<成立.即当10x −<<时，不等式2()112f x x x >−+成立. 综合上述，不等式2()112f x x x >−+成立. （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）将点(2,1)P −，Q 坐标带入椭圆E 的方程，得222411,8 1.a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得228,2a b ==. 所以椭圆E 的方程为22182x y +=. （Ⅱ）若直线l 斜率不存在，即直线l 为0x =时，A 和M 点重合，B 和N 点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时||||(2(22GM GN ⋅=⨯=，符合题意.若直线l 斜率存在，设直线AB 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y (12x ≠−且22x ≠−). 联立方程222182y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(41)1680k x kx +++=. 222(16)32(41)32(41)0k k k ∆=−+=−>，214k ∴>，即12k >或12k <−. 1221641k x x k −+=+，122841x x k =+. 1112PA y k x −=+，所以直线PA 的方程为111(2)12y y x x −=+++，取0x =得112(1)(0,1)2y M x −++. 同理可得222(1)(0,1)2y N x −++. 由||||2GM GN ⋅=得12122(1)2(1)1212222y y x x −−+−⋅+−=++， 即12122(1)2(1)11222kx kx x x ++−⋅−=++. 所以21212(21)222x x k x x −⋅=++，即2121212(21)22()4x x k x x x x −=+++. 2222841(21)283244141k k k k k +−=−+++， 即22(21)1483k k k −=−+， 因为12k >， 所以得|21|1|23|k k −=−， 即1k =.经检验符合题意，此时直线l 为2y x =+.综上所述，直线l 的方程为0x =或2y x =+.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1,2,1和 3,1.（Ⅱ）()S Q 的最小值为7.首先证明()7S Q ≥：由题知26n C ≥得4n ≥.① 当4n =时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410S Q ≥+++=； ② 当5n =时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q ≥. 若()6S Q =，满足上述要求 的数列中有四项为1，一项为2，此时()4T Q ≤，不符； ③ 当n ≥6时，同②可得()S Q ≥7.综上所述，有()S Q ≥7. 同时当Q 为2,2,1,1,1时，()S Q =7，所以()S Q 的最小值为7. （Ⅲ）()T Q 的最大值为511566.下面分五步证明当()T Q 最大时，数列Q 应满足：① 存在大于1的项，否则此时有()0T Q =；② 1n a =，否则将n a 拆分成n a 个1后()T Q 变大；③ 当1,2,,1t n =−L 时，有1t t a a +≥，否则交换1,t t a a +的顺序后()T Q 变为()1T Q +. 进一步有1{0,1}t t a a +−∈，否则有12t t a a ++≥，此时将t a 改为1t a −，并在数列末尾添加一项 1，此时()T Q 变大；④ 各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q 中存在相邻的两项13, 2t t a a +==，设此时Q 中有x 项为2，则将t a 改为2，并在数列末尾添加一项1后，()T Q 的值至少变为()T Q x ++ 1()1x T Q −=+;⑤ 由上可得数列Q 为2,2,,2,1,1,1L L 的形式, 设其中有x 项为2, 有y 项为1, 则有22023x y +=,从而有2()(20232)22023T Q xy x x x x==−=−+，由二次函数性质可得，当且仅当5061011xy=⎧⎨=⎩时，()T Q最大，为511566.综上可得()T Q的最大值为511566.高三数学参考答案第7页（共7页）。

高三年级（数学）第1页（共5页）海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020。

01本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5}（C){1,3}（D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C)(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是 (A)y x =- （B ）y x =(C ）2y x =- （D ）2y x =(4）已知,a b R ，且ab ，则(A ）11ab（B)sin sin a b(C)11()()33ab （D)22a b(5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5 (B ）5 （C)10 （D)10(6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ,且||||||1===a b c ,则⋅a b 的值为高三年级（数学）第2页（共5页）（A ）12（B ）12(C ）32（D)2(7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ,=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件(D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD 下列结论中错误的是(A ）2BD CD=（B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D)sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9)声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x (单位:2W/m )满足12()10lg110x f x -=⨯⨯。

高三年级（数学）第1页（共5页）海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5A =,{}2,3,4B =，则集合UA B 是(A ）{1,3,5,6}(B ）{1,3,5}（C){1,3}（D ）{1,5}（2)抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)(B ）(10，) (C)(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是(A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a bR ，且a b ，则（A)11ab(B ）sin sin a b（C)11()()33ab （D ）22a b(5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为(A ）5 (B ）5 (C)10 （D ）10（6)已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为高三年级（数学）第2页（共5页）（A)12(B ）12（C ）32（2(7）已知α, β, γ是三个不同的平面,且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3。

点D 在BC 边上，且BD CD >,AD 下列结论中错误的是(A ）2BD CD=（B ）2ABDACDS S ∆∆= （C)cos 2cos BADCAD∠=∠（D ）sin 2sin BADCAD∠=∠（9)声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位:2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C)1010倍(D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为,点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合）,1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P 。