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量子力学 南京大学研究生部分经典真题

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量子力学习题集(NJU)

量子力学习题集(NJU)
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
i¯ h (ψ ∇ψ ⋆ 2m
− ψ ⋆ ∇ψ ) 是几率流密度，⟨p ˆ⟩是动量的期待值。 ∫
∫
+∞
−∞
h ¯ dxj (x) = 2im
+∞
+∞
dx[ψ ∗ (x, t)
−∞
∂ ∂ ψ (x, t) − ψ (x, t) ψ ∗ (x, t)]. ∂x ∂x
利用分部积分，有 ∫
dxψ (x, t)
2 2 = + ky 其中，kx 2µE 。 h2 ¯
1 d2 f (x) f (x) dx2 1 g (y ) g (y ) dy 2 d2
= −c,
µE = − 2¯ + c, h2
再利用边界条件
f (0) = f (a) = 0, g (0) = g (b) = 0,
(可以验证，若c < 0，则无法满足以上边界条件。 ) 有 k = nπ , n = 1, 2, 3, · · · , x a ky = mπ , m = 1, 2, 3, · · · ,
∂ ⟨p ˆ⟩ )ψ (x, t) = . ∂x m
3. 设一维自由运动粒子（能量的本征态为平面波）的初态（t = 0）为ψ (x, 0) = δ (x)， 求ψ (x, t)。 ∫ +∞ ∫ +∞ √ 【提示： −∞ dx cos(αx2 ) = −∞ dx sin(αx2 ) = 2π 】 α 参考答案： 自由粒子的能量本征态为 1 ψk (x) = √ eikx , 2π 其本征函数随时间演化为 ϕk (x, t) = ϕk (x)e−i 2m t . ∫ 1 ψ( k, 0) = dxϕ⋆ . k (x)ψ (x, 0) = √ 2π ∫ ∫ h ¯ k2 1 dkeikx−i 2m t ψ (x, t) = dkψ (k, 0)ϕk (x, t) = 2π √ ∫ ( 2 ) mx 2 h ¯t 1 i mx2 m i mx −π k − − i ( ) 2¯ h t 4 h ¯t ht = e 2¯ = e dke 2m . 2π 2πh ¯t

量子力学习题集(NJU)

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2
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫

免费的南大历年《量子力学》的真题,真题

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南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与光学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。

（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。

（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2 ？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与光学(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。

北京大学南京大学量子力学考研试题题库

北京大学南京大学量子力学考研试题题库

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量子力学习题集 NJU

量子力学习题集 NJU

∂x
因此，
∫
+∞
dxj(x) =
1
∫
+∞ dxψ∗(x, t)(−ih¯ ∂
)ψ(x, t) = ⟨pˆ⟩ .
−∞
m −∞
∂x
m
3. 设一维自由运动粒子（能量的本征态为平面波）的初态（t = 0）为ψ(x, 0) = δ(x)，
求ψ(x, t)。
【提示：∫ +∞
−∞
dx
cos(αx2)
=
∫ +∞
−∞
(k + k′)2 2E − V0 + 2 E(E − V0)
T=
jt ji
=
ψt∗(x)pˆψt(x) − ψt(x)pˆψt∗(x) ψi∗(x)pˆψi(x)√− ψi(x)pˆψi∗(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
4kk′
=
=
4 E(E√− V0)
.
(k + k′)2 2E − V0 + 2 E(E − V0)
7. 质量为m的粒子在如下一维势场中运动， ∞,
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0,
V (x) = ∞,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; 其它情况.
求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。
参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为
ψ(x, y) = 0.
在势井内部，定态薛定谔方程为
− h¯2 ∇2ψ(x, y) 2µ
∫ A2
0
∞ e−x(1−e−x)pˆ[e−x(1 − e−x)] dx
∫ = A2
12
∞
(

免费的南大历年《量子力学》的真题

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南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。

（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。

（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。

2016年南京大学物理学院博士生量子力学入学考试真题

2015年南京大学物理学院博士生“申请-考核”制入学
专业课程笔试试题
考试科目： 量子力学 考试时间：三小时
本试卷共计五大题
一、基本概念题
简述量子力学的基本原理。

二、设一个质量为m 的粒子处于区域为(0, a )的一维无限深势阱中， 其状态波函数为2=sin cos x
x
a a ππψ ，试求：
1)、一维无限深势阱的本征值问题；
2)、测量到粒子处于不同能量本征态的几率。

三、设两个算子ˆA
与ˆB 满足交换关系式：ˆˆˆˆˆˆ[,]1A B AB BA =-=，试求： 1)、n 为正整数， ˆˆ[,]n A
B ； 2)、()f x 为解析函数，ˆˆ[,()]A
f B 。

四、 已知两个算子ˆa 与ˆa +满足ˆˆˆˆ1a a aa ++=-，令ˆˆˆN a a +=，且有ˆN
n n n =， 求证：n 为实数。

五、量子力学中的韦尔(Weyl)波动方程式为：
(,)(,)i r t c r t t i ψσψ∂
=⋅∇∂
，
其中=x x y y z z e e e σσσσ++
为泡利矩阵所组成的矢量，
(,)r t ψ 为泡利二 分量波函数，其它为量子力学标准符号。

求
1)、该系统的韦尔定态方程式与力学量完全集；
2)、该系统的能量本征值并说明其物理意义；
3)、该系统的本征波函数。

量子力学习题集 NJU


∫ ⟨ψ(x)|ψ(x)⟩ = 1 = A2
∞
e−2x
( 1
+
e−2x
−
2e−x)
dx
=
1
A2
=⇒
A
=
√ 2 3.
0
12
ϕ(k)
=
A √
∫
∞
e−x(1 − e−x)e−ikxdx =
√ 6
2π 0 ⟨x⟩ =
∫ A2
π (2 −
∞
e−2x(1
−
e−x)2xdx
=
13 .
1 k2)
+
. 3ik
⟨p⟩
=
∂x
因此，
∫
+∞
dxj(x) =
1
∫
+∞ dxψ∗(x, t)(−ih¯ ∂
)ψ(x, t) = ⟨pˆ⟩ .
−∞
m −∞
∂x
m
3. 设一维自由运动粒子（能量的本征态为平面波）的初态（t = 0）为ψ(x, 0) = δ(x)，
求ψ(x, t)。
【提示：∫ +∞
−∞
dx
cos(αx2)
=
∫ +∞
−∞
当a = b时，则本征能量为
En,m
=
h¯ 2 π 2 2µa2
(n2
+
m2).
基态能量为
2¯h2π2 2µa2
(n
=
1,
m
=
1)，所以是非简并的；第一激发态的能量为
5¯h2π2 2µa2
(n
=
1,
m
=
2或者n = 2, m = 1)，所以是二重简并的。

南京大学考研量子力学试题2001-2009

南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。

求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。

若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。

（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。

在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。

考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。

（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。

可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。

晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。

（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。

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（2000/4）.两个自旋1/2的非全同粒子系的Hamilton 量][)2()1(∧∧→→∧∙-=S S J H S , J>0, 求s H ∧的能量本征值和相应的简并度。

解：由于相互作用只与自旋有关，且只考虑自旋态，所以可不计粒子的空间运动（自由度）。

因此体系的Hamilton ∧H 可写为][)2()1(∧∧→→∧∙-=S S J H S= )(222212∧∧∧---S S S J =)23(22--S J它是与时间无关的保守体系，因为∧H 在耦合表象{∧21S ，∧22S ，∧2S ，∧Z S }的共同本征态m S ,上取确定值，所以 m S ,为∧H 的本征态。

因此有S=0时. 2043 J E =相应的本征态有3个：1,1=)(121z S χ)(221z S χ0,1=[21)(121z S χ)(221z S -χ+)(121z S -χ)(221z S χ1,1-=)(121z S -χ)(221z S -χ例：对于两个自旋为21粒子组成的体系。

以→1S ，1→δ和→2S ，2→δ分别表示粒子1和2的自旋角动量及Pauli 算符：→1S =211→δ，→2S =212→δ （取1= ）试求1→S ∙→2S 满足的最简代数方程，并用以确定1→δ∙2→δ的本征值，进而再确定总自旋→2S 的本征值。

解： 因为1δ和2δ分别属于粒子1和2，因而互相对易，利用公式 （→δ∙→A ）（→δ∙→B ）=→A ∙→B + i →δ∙(→A ×→B ) 得 221)(→→∙δδ=2→δ∙2→δ+i 1→δ∙（2→δ∙2→δ）由于2→δ∙2→δ=→22δ=22x δ+22y δ+22z δ=32→δ∙2→δ=2i 2→δ (因为2→S ∙2→S =i 2→S 所以2→δ∙2→δ=2i 2→δ)。

所以有221)(→→∙δδ+2→→-∙21δδ3=0⇒（→→21δδ+3）（→→-21δδ1）=0 ----------→→-21δδ满足的最简单的单数方程 ⇒321-=→→δδ 或 121=→→δδ----------本征值 总自旋 =→S →1S +→2S =21（1→δ+2→δ） →2S =41（∧21S +∧22S +2→→21δδ）=23+21→→21δδ因此 →2S 的本征值为：→→21δδ=1 →2S =2 321-=→→δδ →2S =0 亦即→2S =S （S+1）,S=0,1如果将→→21,δδ作用于（→2S ，∧Z S ）共同本征态sms χ。

显然有下列结果：S=1 (三重态) →→21δδms 1χ∙=ms 1χ 1,0,1-=s m S=0 （单态）→→21δδ00χ∙ =003χ-3-（2003/4）：两个自旋为1/2的粒子组成的体系由哈密顿量H=A(z S 1+z S 2)+B →1S →∙2S 描述。

其中→1S 和→2S 分别是两个粒子的自旋，而z S 1和z S 2分别是这两个粒子的自旋的Z 分量，A 和B 是实常数，求该哈密顿量的所有能级。

解： 由体系的哈密顿量H= A(z S 1+z S 2)+B →1S →∙2S= A(z S 1+z S 2)+B 21[])S (2221221→→→→∙-+S S S=A(z z S S 21+)+)23(222 -→S B采用sm s χ作为基矢较为方便，分别令基矢)2()1(111ααχχ==)2()1(112ββχχ==-)2()1()2()1(103[21αββαχχ+==])2()1()2()1(004[21αββαχχ-==]四个基矢都是（→2S ，→Z S ）的共同本征态，即是→1S →∙2S 和(z S 1+z S 2)的共同本征态，则H 的本征态为H 1χ=（A )42B +1χ H 2χ= (24 B -A )2χ H 3χ= 24B 3χH 4χ=0所以其哈密顿量的所有能级为24 B A ±，24B，0例：设一定域电子处于均匀外磁场B e B →→=0中，电场Hamilton 量为 x c x W S ceB B H δμμ==-=→→→2 其中=c W ceB μ2为Larmor 频率，设初始时刻电子的自旋态为沿Z 轴取值2 的本征态，即)0(x =+，求t>0时 1） 电子的自旋态)(t x ； 2） 电子自旋沿y 轴取值2的几率； 3） 时间t 为何值时电子自旋恰好沿+y 轴？解：由∧H =x c W δ ，=c WceBμ2得∧H =x c W δ =c W ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110 令ϕ（t ）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()(t b a t 代入薛定谔方程得t i ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(t b a t =∧H ϕ（t ）=c W ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()(t b a t =c W ⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()(t a t b ⇒ti∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(t b a t =c W ⎪⎪⎭⎫⎝⎛)()(t a t b ⇒)()(t b W t a dt d i c = ；)()(t a W t b dtdi c =⇒)]()([)]()([t b t a W t b t a dt d i c +=+；)]()([)]()([t b t a W t b t a dtdi c --=- ⇒)()(t b t a +=[)0()0(b a +]iwte -;)()(t b t a -=[)0()0(b a -]iwte由于+=)(o x ,，,1)0(=⇒a b(0)=0⎩⎨⎧-==t w i t b t w t a 00sin )(cos )( 即ϕ（t ）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t w i t w 00sin cos 2）：对于∧y S 在z S 表象中的波函数 ∧y S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙b a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒b a b a i i 2002 ⇒ b= a i ⇒ 1)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ai a ai a ⇒a=21 ⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121ϕ 则电子自旋沿y 轴取值2的几率为())2s i n 1(21s i n c o s 12122)(*21wt wt i wt i t -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∙ϕϕ 4） 当电子自旋恰沿+y 轴时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=22sin 22cos wt wt ππ432+=⇒k wt ，k= 0,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±,2,1 ,432w w k t ππ+=⇒ ceBW c μ2=例：一束自旋极化的Z 轴方向，并沿y 轴方向活动的极化电子进入有均匀磁场∧→=x B B 0的区域，经过t 时段后，接触到一个磁场沿z 轴方向的施特恩—格拉赫实验装置，（a ）写出均匀磁场区域里的相互作用哈密顿算符。

（b ）如果探测器D 只能探测自旋极化沿z 轴负向的电子，试求使所有电子都能被D 探测器探测到的0B 值。

（c ）对（b ）中的最小的0B 值，在T/2（不是T ）时段后被D 观测到电子百分比是多大？解：（a ）:电子和磁场之间的相互作用由电子的磁矩cm S e M e e →→=2和外磁场∧→=x B B 0决定，相互作用哈密顿算符为：H=∧→→∙=x S c m eB B e e 02μ=c m eB e 02x S =⎪⎪⎭⎫⎝⎛01100cm B e e （b ）:为了构造t 时刻的电子态，要求解薛定谔方程 ϕϕH t i =∂∂令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()(t b t a t ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒)()()()(0110)()(00t a t b c m B e t b t a c m B e t b t a t i e e；令cm eB W e o 0=dtd i⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(t b t a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(0t b t a W)()()()(00t b W t a W t b dtdi t a dt d i =⎪⎩⎪⎨⎧=⇒ 两式相加相减得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-+=+)]()([)]()([)]()([)]()([00t b t a W t b t a dtdt b t a W t b t a dtdi)]0()0([)()()];0()0([)()(b a e t b t a b a e t b t a iwt iwt -=-+=-⇒-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⇒⎩⎨⎧-==⇒==⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛=wt i wt t wt i t b wt t a b a sin cos )(sin )(cos )(0)0(,1)0(01)0(ϕϕ （t=-0时）由于D 只能探测到自旋极化沿z 轴负方向的电子，如果我们要求所有的电子都能够被D 探测到必须有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)(t ϕ 即：1sin ,0cos =-=wt i wt ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=+=⇒2,1,0,2n n wt ππ利用w=mc eBeTc m et c m B e e 22)(min 0ππ==⇒(c): 当t=T/2时 Tc m B e W e 2)(min 00π==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒i T 121)2(ϕ 探测点D 中探测到的电子的概率为：()21121102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=i P D。