高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切苏教版

用心 爱心 专心 高三数学两角和与差的正弦、余弦、正切苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

两角和与差的正弦、余弦、正切

二、教学目标：

1. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2. 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

三、知识要点：

1、和、差角公式

sincoscossin)sin(；

sinsincoscos)cos(；

tantantan()1tantan。

2、二倍角公式

cossin22sin；

2222sin211cos2sincos2cos；

22tantan21tan。

3、降幂公式

22cos1sin2；22cos1cos2。

4、半角公式

2cos12sin

2cos12cos；1cossin1costan21cos1cossin。

*5、积化和差公式

)]sin()[sin(21cossin；

)]sin()[sin(21sincos；

)]cos()[cos(21coscos；

)]cos()[cos(21sinsin。

*6、和差化积公式

2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin；

2cos2cos2coscos；2sin2sin2coscos。

两角和与差的三角函数，二倍角公式是高考的重点内容之一，同时也是三角部分后继学用心 爱心 专心 习的基础，最重要的是这是多数考生得分的主要阵地之一。如2005年全国高考卷（Ⅰ）理科第（7）（11）题，文科第（6）（11）考查两角和与差及倍角公式，且得分率是相当高的；再如2005年全国高考卷（Ⅲ）文理科第（7）（8）题，得分率也是比较高的；而且在2005年全国高考卷（Ⅱ）文科卷第（17）题以大题形式出现。这些都足以说明和、差、倍角的三角函数的重要地位。

两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式、在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如，22，等；（3）注意倍角的相对性；（4）要时时注意角的范围；（5）化简要求；（6）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。

从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%。因此能否掌握好本重点内容，在一定程度上制约着高考能否成功。

【典型例题】

例1、已知0coscos1sinsin，，求cos）的值（。

分析：因为）（既可看成是的和，也可以与看作是2的倍角，因而可得到下面的两种解法。

由已知sin+sin=1 ① ， cos+cos=0 ②

①2＋②2得 2+2cos1）（ ∴ cos21）（

①2－②2得 cos2+cos2+2cos（）=－1

即2cos（）〔1cos）（〕=－1

∴1cos

点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误。若利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系。本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。

例2、已知tanα，tanβ是方程06x5x2的两个实根，求222sin3sincoscos的值的值。

分析：由韦达定理可得到tantantantan及的值，进而可以求出tan的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan6tantan5tan，

所以tan.1615tantan1tantan

22222sin3sincoscossincos原式

222tan3tan1213113tan111

解法二：由韦达定理得tan6tantan5tan， 用心 爱心 专心 所以tan.1615tantan1tantan

34kkZ于是有

223333312sinsin2cos13422422kkk原式

点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如 。，，，tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos

例3、化简下列各式

（1）2232cos21212121，，

（2）4cos4cot2sincos222

分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。

解：（1）因为coscos2cos2121223，所以，

又因2sin2sincos2121243，所以，

所以，原式=2sin

（2）原式=4cos4sin22cos4cos4tan22cos2

=12cos2cos22sin2cos。

点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多用心 爱心 专心 种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意442，，三个角的内在联系的作用，4cos4sin222sin2cos是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。

（3）公式变形，sin22sincos22cos1cos2，22cos1sin2。

例4、已知正实数a,b满足的值。，求abbaba158tan5sin5cos5cos5sin

分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于的方ab程，从而可求出ab，若注意到等式左边的分子、分母都具有cossinba的结构，可考虑引入辅助角求解。

解法一：由题设得158cos158sin5sin5cos5cos5sinabab

.33tan5158cos5158sin5sin158sin5cos158cos5sin158cos5cos158sinab

解法二：22sincossin555abab因为，

22cossincostan5558tantan.51585153tantantan3.33bababakkbka，其中，由题设得所以，即，故

解法三：tan85tan151tan5baba原式可变形为：， 用心 爱心 专心

点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式sincossin22baba，tanba其中，或sincosab22costanaabb，其中在历年高考中使用频率是相当高的。

【模拟试题】

1. 设的值是则，中，CBAABCcos,135sin53cos（ ）

A. 6556 B. －6556 C.－6516 D. 6556或－6516

2. 函数y=xxcossin21的最大值是（ ）

A. 122 B. 221 C. 4 D. 334

3. 求下列各式的值：（1）tan34°+tan26°+26tan34tan3，（2）10tan3150sin。

4. 已知222354cos54cos，，且，，分别求2cos2cos和的值。

5. 观察sin10°+sin20°+sin30°+…+sin200°=10sin100sin105sin2；sin12°+sin24°+sin36°+…+sin192°=12sin96sin102sin2写出一个与以上两式规律相同的一个等式。

6. 已知sinθ，sin2x，cosθ，成等差数列，sinθ，sinx，cosθ成等比数列，求cos2x的值。