高一数学两角和与差的余弦、正弦、正切2(教师版)

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学科教师辅导讲义

年级：高一辅导科目：数学课时数：

课题两角和与差的余弦、正弦、正切

教学目的通过例题的讲解，使学生对两角和差公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧

教学内容

【知识梳理】

1、两角和与差的正、余弦公式

sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos(

cossincossin)sin( cossincossin)sin(

tantan1tantan)tan( tantan1tantan)tan(

2、辅助角公式)sin(cossinxAba,其中abtan

略作推导 :)cossin(cossin222222babbaababa

由于1)()(222222babbaa,若令22baa＝cos，22bab＝sin

则asinα＋bcosα＝22ba（sinαcos＋cosαsin）＝22basin（α＋）其中abtan

例如：2sinθ＋cosθ＝)cos55sin552(1222

若令cos＝552，则sin＝55 ∴2sinθ＋cosθ＝5（sinθcos＋cosθsin）＝5sin（θ＋）

看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角比的形式，且有两种形式

【典型例题分析】

例1、已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4

分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，

即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，

再利用公式即可求解

解：∵40,24, ∴4<2α-β

由cos(2α-β)=-1411得，sin (2α-β)=1435; 由sin (α-2β)=734得，cos(α-2β)=71

∴cos(α+β)=cos［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin (2α-β)sin (α-2β)

=- 1411×71+1435×734=21

评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角。一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说

就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：

α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,α=,2222,…

变式练习：

1、432，1312)cos(，53)sin(，求sin2的值

解：∵01312)cos( 432

∴40 ∴135)sin(

∴23 又53)sin( ∴54)cos(

∴sin2=)sin()(0)cos()sin()]()sin[(sc =655613554131253

2、已知30,44335cos(),sin()45413，求sin()。

解：提示：3()()()442，则3()()()442

答案：5665

例2、已知sin(+)=32,sin()=52 求tantan的值

解： ∵sin(+)=32 ∴sincos+cossin=32 ①

sin()=52 ∴sincoscossin=52 ②

①+②：sincos=158

①②：cossin=152

例3、已知0sin2)2sin( 求证tan=3tan(+)

证：由题设：)](sin[2])sin[(

即)sin(cos2)cos(sin2sin)cos(cos)sin(

∴)cos(sincos)sin(3

∴tan=3tan(+)

例4、证明A＋B＋Ｃ＝nπ(n∈Ｚ)的充要条件是tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ

选题意图：考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法

证明：(先证充分性)

0]tan)tan(1)[tantan1(tantantantantantantan)tan(1tantantan1tantantan)tan(1tan)tan()tan(CBABACBACBACBACBABACBACBACBA

nCBA（n∈Z）

(再证必要性)

由A＋B＋Ｃ＝nπ即A＋B＝nπ－Ｃ得tan（A＋B）＝－tanＣ

tanA＋tanB＋tanＣ＝tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanＣ＝－tanＣ（1－tanAtanB）＋tanＣ＝tanAtanBtanＣ

说明：本题可考虑证明A＋B＝nπ－Ｃ（n∈Ｚ)的充要条件是tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ较为简单

例5、求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1

选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用

证明：左端＝20tan40tan)40tan20(tan3320tan40tan)40tan20tan1(60tan33

右端120tan40tan40tan20tan1

说明：可在△ABC中证明12tan2tan2tan2tan2tan2tanACCBBA

例6、已知A、B为锐角，证明4BA的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2 tantan=4152158sincoscossin

选题意图：考查两角和与差的正切公式的变换应用和求角的方法

证明：(先证充分性)

由(1＋tanA）（1＋tanB）＝2即1＋（tanA＋tanB）＋tanA·tanB＝2

得tan（A＋B）［1－tanAtanB］＝1－tanA·tanB ∴tan（A＋B）＝1

又0＜A＋B＜π ∴A＋B＝4 (再证必要性) 由.1tantan1tantan4BABABA得

整理得（1＋tanA）（1＋tanB）＝2

说明：可类似地证明以下命题：

(1)若α＋β＝43，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；

(2)若α＋β＝45，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；

(3)若α＋β＝47，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2

变式练习：

1、在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

证一：在△ABC中，∵A+B+C= ∴A+B=C

从而有 tan(A+B)=tan(C) 即：CBABAtantantan1tantan

∴tanA+tanB=tanC+tanAtanBtanC

即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC

证二：左边= tan(A+B)(1tanAtanB) +tanC=tan(C) (1tanAtanB) +tanC

=tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边

2、求(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)……(1+tan44)

解： (1+tan1)(1+tan44)=1+tan1+tan44+tan1tan44

=1+tan45(1 tan1tan44)+ tan1tan44=2

同理：(1+tan2)(1+tan43)=2 (1+tan3)(1+tan42)=2 ……

∴原式=222

例7、已知tan和)4tan(是方程02qpxx 的两个根，

证明：pq+1=0

证：由韦达定理：tan+)4tan(=p ，tan•)4tan(=q

∴qp1)4tan(tan1)4tan(tan)]4(tan[4tan1

∴pq+1=0

变式练习：

1、已知tan=)1(3m，tan()=3(tantan+m),又,都是钝角，求+的值

解：∵两式作差，得：tan+tan=3(1tantan)

即 3tantan1tantan ∴3)tan(

又 ,都是钝角 ∴<+<2 ∴+34

2、已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求)cos()sin(的值

解：∵sinsincoscossincoscossin)cos()sin(sstantan1tantan

tan，tan是方程x2+px+2=0的两实根

∴2tantantantanp ∴321)cos()sin(pp

例8、求20cos20sin10cos2的值

解：原式=20cos20sin)2030cos(2

20cos20sin20sin30sin220cos30cos2

=320cos20sin20sin20cos3

变式练习：求值：（1）.75cos75sin75cos75sin)2(;70sin20sin10cos2（3）求sin18°和cos36°的值

说明：本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18°的方程求解，但利用sin54°＝cos36°很难解出sin18°在解决三角函数问题的过程中也要适当注意一些代数方法的使用

答案：（1）3（2）3

（3）解：∵sin36°＝cos54°

即sin（2×18°）＝cos（3×18°）

2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°∵cos18°≠0∴2sin18°＝4cos218°－3

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版)

-- 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【最新考纲】 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．２.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．３.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系．4.能利用两角和（差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

１．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(１)sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsｉｎ＿β；

（2)cos(α±β)＝ｃoｓ_αｃos_β∓sin_αsin_β；

（3)ｔan(α±β)=错误!.

２．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（１)sｉn 2α＝2sｉn αｃｏs α;

（2)cｏｓ 2α=ｃｏs２α-ｓiｎ2α=2coｓ２α－1=1－２sｉn２α;

(3）tan 2α=＼f（2tan α，１-ｔan2α）．

3.有关公式的变形和逆用

(1）公式Ｔ(α＋β)的变形：

①taｎ α＋tａn β=taｎ(α＋β)(1-ｔaｎ＿αｔａn_β)； --

-- ②ｔａn α－ｔan β＝ｔan（α-β）(1+tａn_αｔan_β)．

(2)公式C2α的变形:

①sin2α=错误!（1－cｏｓ＿2α）；

②cos２α＝＼ｆ(1,2）(１+cos＿2α).

(３）公式的逆用

①1±ｓiｎ 2α＝(ｓin α±cｏｓ α)２；

②sin α±ｃos α=2sｉn错误!.

4.辅助角公式

ɑsin α＋bｃos α＝错误!ｓｉn(α＋φ)(其中tａn φ=错误!）.

1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）

（1）存在实数α,β，使等式ｓin(α＋β)＝sｉn α＋sin β成立．( ）

(2）在锐角△ＡＢＣ中，sin Asｉn B和cｏs Acos B大小不确定．( )

(3)公式tan(α+β)＝ｔaｎ α＋ｔan β1－tａn αtaｎ β可以变形为tan α+ｔan

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)公式

①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β))

②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))

③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))

④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))

⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))

⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))

(2)公式变形

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．

②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2．二倍角公式

(1)公式

①sin 2α＝2sin_αcos_α，

②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，

③tan 2α＝2tan α1－tan2α.

(2)公式变形

①cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin)4(.

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)

(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(×)

(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)

必修四两角和与差的正弦、余弦和正切公式——高一数学讲义

高一数学两角和与差的正弦、余弦和正切函数

知识点1. 两角和、差的正弦公式

sin()sincoscossin

sin()sincoscossin

例题1：若1cos2，3sin2，(,)2，3(,2)2，则sin()的值是（）

A. 32 B. 32 C. 1 D.0

知识点2. 两角和、差的余弦公式

cos()coscossinsin

cos()coscossinsin

例题2：cos(15)o的值为（）

A. 622 B. 624 C. 622 D. 624 重点难点

知识梳理 ★本节课任务★

1.两角和的正弦、余弦、正切公式（和角公式）

2.两角差的正弦、余弦、正切公式（差角公式）

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式（倍角公式）

例题3：已知2sinsin3，且4coscos3，求cos()的值。

知识点3. 两角和、差的正切公式

tantantan()1tantan

tantantan()1tantan

例题4：求tan70tan10tan120tan70tan10ooooo的值

知识点4. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1. 二倍角公式

sin22sincos；

22cos2cossin；

22tantan21tan；

2. 二倍角公式的变形：

2222221cos2cos22cos1cos2cos2cossin1cos2cos212sinsin2