※高二文科班数学课堂学习单40※班级 姓名 小组3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念 一，学习目标:1、 理解函数的变化率、瞬时变化率的意义2、 能求简单函数的导数。
二，自学导航：p72-p76[例1] 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．小结：1,若函数f (x )在[x 1，x 2]内平均变化率大于0，能否说明函数f (x )在区间[x 1，x 2]上是增函数？2．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？3．求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，4．求平均变化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[例2] 求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．若y ＝2x 2＋4x 在x ＝x 0处的导数是8，求x 0的值．小结：1．“Δx →0”的意义是什么？2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.[例3] 建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．小结：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况导数可以描述任何事物的瞬时变化率．4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.14．若f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝________.3．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． 5．已知函数f (x )＝4x 2，求f ′(2)．6．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3作直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m.)7．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么它在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s 8．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，下列说法中正确的是( ) A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度． B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的速度．C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率． 9．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.,五，作业一、选择题1．将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2 C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：Δs ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B2．一物体的运动方程是s ＝t ＋1t ，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )A.52B.34 C ．1D ．2解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12＝Δt －Δt2(2＋Δt )Δs Δt ＝1－12(2＋Δt )t ＝2时的瞬时速度为lim Δt →Δs Δt ＝lim Δt →0[1－12(2＋Δt )]＝34. 答案：B3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．答案：D4．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →f (1＋x )－f (1)x＝( ) A ．2 B ．1 C.12D.14解析：lim x →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B 二、填空题5．当h 无限趋近于0时，lim h →0 (3＋h )2－32h ＝________.解析：lim h →0 (3＋h )2－32h ＝lim h →0 6h ＋h 2h ＝lim h →0 (6＋h )＝6.答案：66．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10 m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝30＋5Δt .答案：30＋5Δt8.如图是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案：34三、解答题9．利用定义求函数y ＝x 3在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝(1＋Δx )3－1＝(1＋Δx )2(1＋Δx )－1 ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx ΔyΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3 y ′|x ＝1＝lim Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3. 10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2，(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度； (3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度． 解：(1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt .当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt →3，所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1.当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1，所以t ＝2时的瞬时速度为－1. (3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.[读教材·填要点]1．函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：ΔyΔx.①平均速度； ②曲线割线的斜率.刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →ΔyΔx. ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率.刻画函数值在x 0点附近变化的快慢.2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. [小问题·大思维]※高二文科班数学课堂学习单40※班级 姓名 小组3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念 一，学习目标:2、 理解函数的变化率、瞬时变化率的意义 2、 能求简单函数的导数。
