高二数学选修1、3-1-1变化率问题与导数的概念

高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。

它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。

下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。

1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。

在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。

对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。

如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。

如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。

- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。

切线的斜率可以用导数来表示。

- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。

3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。

变化率和导数的概念---------学习要点1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率3．导数的概念例1、求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解析： 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193， 由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．类题通法：求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0.(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0. 要点2：求瞬时速度例2、一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．解析：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，0lim t ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， 0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.类题通法：1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．(2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求Δy Δx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出Δy Δx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．要点3：求函数在某点处的导数例3、 (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数．解析： (1)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 0lim t ∆→11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481201，Δy Δt＝48.120 1. ②0lim t ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.类题通法：1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)求极限0lim x ∆→Δy Δx. 2．瞬时变化率的变形形式0limx ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝0limx ∆→f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0)．。

3.1.1 变化率和导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；2. 过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法；3. 情态与价值观经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。

体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。

二、教学重点.难点重点：导数的概念；难点：导数的概念；三、学情分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．四、教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.五、教学过程新课引入利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。

导数是微积分的核心概念之一。

它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。

引出学习本章的意义及重要性。

设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。

六、自主学习1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。