小波变换降噪分析
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第四章 小波变换降噪分析
小波变换是一种崭新的时域（频域）信号分析工具。它的发展和思想都来自于傅里叶分析，且在保留了傅里叶分析优点的基础上，较好的解决了时间和频率分辨率的矛盾，在频域与空间域中能够同时具有良好的局部化特性，可进行局部分析。小波去噪的基本原理是根据原始信号和噪声的小波系数在不同尺度上所 具有的不同性质，构造相应的规则，在小波域采用其他数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。
4.1 小波变换理论的研究
连续小波变换
设2()()tLR（2()LR表示平方可积的的空间，即能量有限的信号空间），其傅立叶变换为()。当()满足允许条件(Admissible Condition):
2()Cd (4.1)
时，我们称()t为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。将母小波函数()t经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续情况，小波序列为：
,1()()abtbtaa ,abR 0a (4.2)
其中，a——伸缩因子；
b——平移因子；
1a——能量归一化因子。
这样对于任一信号2011()(,)()ftbftabdadbCaa，连续小波变换定义为：
,,(,)(),()()()ababCWTabfttfttdt (4.3)
其逆变换为：
2011()(,)()ftbftabdadbCaa (4.4) 离散小波变换
实际应用中，尤其是在计算机上实现，如在信号处理领域，必须对连续小波加以离散化。需要强调的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的，这与其它形式的离散化不同。在连续小波中，考虑函数(4.5)：
,1()()abtbtaa (4.5)
这里，,abR; 0a且是容许的，为方便起见，在离散化中限制a取正值，则容许条件变为：
20()Cd (4.6)
通常，连续小波变换中的尺度因子和平移因子的离散化公式为：
000jjaabkab (4.7)
这里，jZ，扩展步长01a是固定值，且假定01a。
*,,,(),jkjkjkCftdtf (4.8)
其重构公式为：
,,()()jkjkjkftCCt (4.9)
其中，C是一个与信号无关的常数。
然而，怎样选择0a和0b才能够保证重构信号的精度是非常重要的，显然，网格点尽可能密(即0a和0b尽可能小)，因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数,()jkt和离散小波系数,jkC就越少，信号重构精确度也就会越低。
4.2 小波去噪的基本原理的研究
原理：根据原始信号和噪声的小波系数在不同尺度上所 具有的不同性质，构造相应的规则，在小波域采用其他数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。其本质是减小甚至完全剔除由噪声产生的系数，同时最大限度地保留真实信号的系数。小波变换的基本步骤如图4.1所示： 多尺度分解多尺度去噪逆小波变换含噪音频重建音频
图4.1 小波去噪的基本步骤
4.3小波分析对染噪矩形信号处理
处理结果如下图所示：
05001000150020002500-5051015参考信号05001000150020002500-1001020染噪信号05001000150020002500-1001020消噪信号
图4.2 染噪的矩形波形信号进行降噪处理结果
可见，经小波变换降噪之后，噪声水平明显下降，信噪比得到提高。
4.4某检测信号降噪
读取MATLAB中专用检测信号，对其加入噪声然后进行小波变换降噪，所得结果如下图：
020040060080010001200-505101520原始信号020040060080010001200-202468101214降噪后的信号
图4.3 染噪的某检测信号进行降噪处理结果 可见降噪效果良好。
4.5正弦信号降噪
生成一段正弦信号，对其加入高斯噪声，进行小波降噪，所得结果如下图所示：
01002003004005006007008009001000-2-1012原始信号01002003004005006007008009001000-2-1012染噪信号01002003004005006007008009001000-2-1012消噪信号
图4.4 染噪的某正弦信号进行降噪处理结果
可见，降噪之后信号平滑，信噪比得到改善。
4.6带突变信号的小波降噪
读取MATLAB中带突变的一段信号，对其加入噪声，然后进行降噪处理，所得结果如图：
200400600800100012001400160018002000-10010原始信号200400600800100012001400160018002000-10010噪声信号 - 信噪比为 3200400600800100012001400160018002000-10010降噪信号 - heuristic SURE200400600800100012001400160018002000-10010降噪信号 - SURE200400600800100012001400160018002000-10010降噪信号 - Fixed form 阈值200400600800100012001400160018002000-10010De-noised signal - Minimax
图4.5 染噪的某正弦信号进行降噪处理结果 可见，降噪之后，信号的突变也消失了，从而产生了失真，因此，该种信号不适合用小波变换进行降噪处理。
4.7小波包降噪
020040060080010001200-10-50510原始信号020040060080010001200-10-50510降噪后信号
图4.6 染噪的某正弦信号进行降噪处理结果
可见，降噪之后，信号平滑性增强，有利于信号检测。
4.8高斯噪声语音信号的小波降噪
语音信号处理的一个重要应用就是进行语音信号的降噪处理，噪声中最常见的是高斯白噪声，故首先研究对高斯白噪声的降噪。读取一段语音信号，在信号中加入高斯白噪声，所得信号的波形及频谱如下图所示：
0100200300400500600-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.501234567x 10405001000150020002500
图4.7 带有高斯噪声的信号波形及频谱
可见，叠加高斯白噪声之后信号的变化比较快，而且无规则，在噪声比较小的情况下，虽然可见信号包络，但是有严重的背景噪声，当噪声比较大时，则可能完全听不到信号。
宽带噪声与语音信号在时域和频域上基本上重叠，只有在无话期间，噪声分量才单独存在，因此消除这种噪声比较困难。下面采用小波变换法进行滤波降噪。 0100200300400500600-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.401234567x 10405001000150020002500
图4.8 滤波之后波形及频谱
图4.8中左图为小波变换后的信号的时域波形图，与处理前的信号相比可以看出，大量的噪声已经去掉，信号已经基本还原为没有噪声干扰的波形了，效果比较理想。右图为处理后信号的频域图，可以看出高频部分大量的噪声谱已经被滤除了，而低频部分的原信号频谱基本全部保留了下来，因此效果比较理想。
4.9单频噪声语音信号的小波降噪
在语音降噪中，另外一种比较常见的噪声就是单频哨声，这种哨声可能是由于外界某机器产生，也有可能是录音设备稳定性不好造成的。比如，设备中的放大电路中如果有反馈，很肯就会产生正弦振荡产生单频哨声。取一段信号，叠加单频噪声之后的信号波形如下图所示：
0100200300400500600-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.501234567x 10405001000150020002500
图4.9 带有单频噪声的信号波形及频谱
可见，信号变化比较快，从频谱中可见，信号中有较强的单频噪声。试听该带噪音乐会发现其中有异常尖锐的单频哨声。
频噪声与语音信号在时域上基本上重叠，但在频域是分离的，因此如果知道单频噪声的频率的范围，在频域将其分离比高斯噪声更简单。下面采用小波变换法进行滤波降噪。 0100200300400500600-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.401234567x 10405001000150020002500
图4.10 滤波之后波形及频谱
如上图所示，为对含有单频噪声的语音信号进行处理之后的信号的波形和频谱图，与处理前的信号（如图4.10所示）相比，可以看出，左图中，信号时域波形中大量的高频跳动噪声信号已经被去掉，信号已经基本还原为没有噪声干扰的波形了，效果比较理想。
右图为处理后信号的频域图，可以看出高频部分强度很大的单频噪声谱已经被滤除了，而低频部分的原信号频谱基本全部保留了下来，因此效果比较理想。
上述实验展示了小波变换从噪声数据中恢复信号的问题，从图中可以看出，消噪后的信号大体上显示了原始信号的形状，并明显地除去了噪声所引起的干扰。但是，所恢复的信号与原始信号相比有明显的改变。这主要是因为在进行消噪处理的过程中所使用的分析小波和细节参数阈值不恰当所致。
4.9小结
小波分析是语音信号去噪的新途径，它提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频局部信号,它都能自动调节时频窗口,以适应实际分析的需要,可以对信号的任意局部细节加以分析。在过去，我们一般使用短时傅里叶变换在频域内对语音信号进行分析去噪，但是对于白噪声，这种方法的效果往往不尽人意。而小波变换在去除语音信号高斯白噪声时，显现出了优势，它的多尺度变换特点，可以由粗到精地逐步观察信号；适当的选择基本小波，便可以使其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此非常有利于信号的分析，基于这种特性，它能有效的区分信号中的突变部分和噪声，从而实现信号的去噪。通过以上实验可以看出，在去除语音信号中的高斯白噪声时，小波变换方法明显优于其它方法。
附录
小波去噪matlab程序
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clear clc
%在噪声环境下语音信号的增强
%语音信号为读入的声音文件
%噪声为正态随机噪声
sound=wavread('c12345.wav');
count1=length(sound);
noise=0.05*randn(1,count1);
