小波变换在图像去噪中的应用

小波变换在图像去噪中的应用

摘 要: 研究了几种基于小波变换的图像去噪方法,分别是小波阀值法、基于小波变换的中值滤波以及维纳滤波与小波滤波相结合的方法,Matlab仿真实验表明上述三种方法都取得了较好的效果,同时也保留了图像的边缘信息。

关键词:小波变换;维纳滤波;中值滤波;阀值去噪

1.引言

图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤,去噪效果的好坏直接影响到后续的图像处理工作如边缘检测、图像分割以及一些科技应用等。传统的图像去噪方法分为空间域去噪方法和频域去噪方法,图像空间域去噪的实质是对图像的像素直接进行操作,常用的图像空间域滤波器有均值滤波器、中值滤波器和高斯平滑滤波器。图像频域去噪是将图像变换到频域,其噪声的频率主要集中在高频,所以选择低通滤波器去除噪音频率,保留低频成分以及逆频重构图像。但是上述的方法存在一些不足之处[1]:对多种噪声共同干扰的图像去噪效果不理想;去噪的同时平滑了图像的细节,使图像清晰度降低,质量下降。小波变换具有良好的时频局部特性,可以很好地弥补上述去噪方法的不足。

小波去噪方法的成功主要得益于小波变换具有如下特点[2]:

(1)低熵性:小波系数的稀疏分布,使得图像变化后的熵很低。

(2)多分辨率特性: 由于采用了多分辨率的方法,所以可以很好地刻画信号的非平稳特性,如边缘、尖峰、断点等。

(3)去相关性: 因为小波变换可对信号去相关,且噪声在变换后有白化趋势,所以小波域比时域更利于去噪。

(4)选基灵活性:由于小波变换可以灵活选择基底,也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。

近些年来,学者提出了大量的去噪模型和算法,Ma11at提出的基于小波变换模极大值方法[3],Xu[4]等人提出的相关性去噪方法,Donoho[5]等人提出的阈值去噪方法。除此之外,各相异性扩散方程模型、全变分模型、双边滤波、非局部平均滤波也受到广泛的研究。本文描述了小波阀值法、基于小波变换的中值滤波和维纳滤波与小波域滤波相结合的方法对图像进行去噪,matlab仿真实验表明这三种方法取得了不错的效果。

2.小波变换在图像去噪中的原理

2.1小波阀值法

图像经过小波变换后,幅值比较大的的小波系数以原图像的信号为主,幅值比较小的可能以噪声为主。阈值法去噪的做法是:将含噪信号进行小波分解,设置适当阈值,保留大于该阀值的小波系数保留,小于该域值的小波系数置零,最后用处理后的小波系数进行信号重构得到去噪后的图像。小波阈值降噪算法中,最重要的是阀值函数和阀值的选取,常用的阀值函数有硬阀值函数和软阀值函数两种,硬阀值和软阀值函数的表达式分别如下:

(1)

硬阈值函数在整个小波域内是不连续的,在 和 处存在间断点,它只对小于阈值的小波系数进行处理,对大于阈值的小波系数不加处理,而大于阈值的小波系数中可能存在的噪声不相符,所以具有一定的局限性。

(2)

软阈值函数在小波域内是连续的,不存在间断点问题,所以在某些方面它优于硬阈值函数。如采用软阈值处理方法[6],则估计信号和原始信号具有同样的光滑性,这是因为小波是一类光滑函数的无条件基,并且软阈值处理保证满足缩小条件,正是缩小条件保证了估计函数和原始函数具有相同的光滑性,此外,软阈值处理方法是满足缩小条件的最优估计。这种光滑性保证了软阈值处理方法不同于硬阈值或其它常用的频域处理方法,它所得到的估计信号同原始信号相比不会产生振荡,和传统的方法相似,处理方法也会造成小程度上的图像(或数据)细节丢失。阀值化处理的关键问题是选择合适的阀值 。如果阀值太小,去噪后的图像仍有噪声存在;相反的,阀值太大,重要的图像特征将被滤掉,引起偏差。大多数阀值选择过程是针对一组小波系数,即根据本组小波系数的统计特性,计算出一个阀值。如果噪声是加性的、随即平稳的,则在小波变换域中,每个子带或者每层分辨率上的噪声仍然保持加性与随机平稳。当无干扰噪声的小波系数与去噪后的小波系数之间均方误差最小时,存在一个最优的阀值。

2.2基于小波变换的中值滤波

基于小波变换的中值滤波就是将一个包含有奇数个像素的窗口 在图像上依次移动,在每一个位置上对窗口内像素的灰度值由小到大进行排列,然后将位于中间的灰度值作为窗口中心像素的输出值,该方法能够较好地去除噪声,又能够保持其边缘特征。其具体步骤如下:

(1)对含噪图像进行小波变换。

(2)根据中值滤波技术对小波分解中各高频分量进行中值滤波,滤波窗口大小取为 i≥2,式中W0对应第一层的滤波窗口大小。

(3)进行小波反变换,得到去噪后的图像。

实验表明,图像分解的层数一般为3-5层,这是因为当图像分解为3-5层时,含噪图像信噪比达到所有分解层的最大值,而最小均方误差则达到最小。

2.3维纳滤波与小波滤波相结合

维纳滤波是一种求解最佳线性滤波器的方法,它能使其输出端以均方误差最小准则尽量重现输入信号,从而使输出噪声具有最大的抑制。维拉滤波的原理是根据信号的自相关函数或功率谱知识及输出的观测值,在均方误差最小的意义下,解出最佳滤波器的单位抽样相应,以此对信号作出最优估计。假如一幅图像加有服从(0,σ2)分布,且 的高斯白噪音,维纳滤波过程如下:

(3)

其中, , 分别是图像协方差矩阵的特征值和特征向量, 是图像矩阵最好平均平方估计。

小波滤波采用上面介绍的小波阀值法进行图像去噪,Mallat提出了小波变换的Mallat快速算法[7] 。若设H(低通)和G(高通)为两个一维滤波算子,其下标m和n分别对应于图像的行和列,则按照二维Mallat算法,在尺度j-1上有如下的Mallat分解公式:

式中, , , , 分别对应于图像C的低频成分、垂直方向上、水平方向上、对角线方向上的高频成分,与之对应的二维图像的Mallat重构公式为:

(8)

式中,、 分别为H、G的共轭转置矩阵。若对二维图像进行N层的小波分解,最终将有(3V+1)个不同频带,其中包含3V个高频分量和一个低频分量。从上面分析可知,小波分解就是把一幅图像分解为一个为4个子带图像:即1个低频子带LL1(原始图像的近似)和3个高频子图:HL1(水平方向细节)、LH1(垂直方向细节)、HH1(对角方向细节)。若对低频子带LL1在进行分解又可以得到4个2级子带图像LL2、LH2、HL2、HH2。如图1所示,图2显示了2尺度下lena图像的小波变换。

图像经小波分解后,采用阀值去除噪音部分。目前,采用的阀值有全局阀值和局部适应阀值,考虑到算法的复杂程度以及得到的效果,这里采用Donoho和Johnstone的统一阀值 ,其中 为噪音标准方差,N为信息的长度,这是在正态高斯噪音模型下,针对多维独立正态变量联合分布,维数接近无穷时得到的结论,即大于该阀值的系数含有噪音信号的概率为0。然而在实际应用中噪音标准方差是不知道的,所以一般选用

(9)

式中,j为小波分解的尺度,median为MATLAB求中值函数。

因为维纳滤波对去除高斯噪声效果明显,所以这里先用维纳滤波对图像进行处理,再用小波滤波对得到的图像进行再次去噪。

3.仿真实验结果及分析

3.1仿真实验结果

本文采用的图像为512X512的lena图像,噪音为混合噪音(主要是高斯噪音)。图3示出了文中分析的三种去噪方法对该图像matlab仿真后的结果。

3.2试验结果分析

从结果中可以看出,三种去噪方法对该图像去噪都取得了很好的效果。但无论哪一种算法都不能做到完美地去除图像的噪音,主要原因是噪声的分布特点和小波变换系数的统计特性未能够深入研究,小波基和去噪阈值的选择未能很好的适应图像噪音的特点。

4.结束语

小波图像去噪的关键就是在小波域去除噪声的同时,又能保留有用图像高频信息。本文利用Matlab对含有高斯噪声的图像进行三种方法去噪,虽然不能做到完美的去除噪音,但实例证明基于小波变换的图像去噪方法是一种提取有用信号、展示噪音和突变信号的优越方法,具有广阔的实用价值。

参考文献

[1]艾泽潭,石庚辰.小波变换在图像去噪中的应用[J].科技导报,2010,28(1):102-106.

[2]曲天书,戴逸松,王树勋.基于SURE无偏估计的白适应小波阀值去噪[J].电子学报,2002, 30(2):266-268.

[3]Mallat S G,Hwang W L.Singularity detection and processing with

wavelets[J].1EEE Transactions on Information Theory,1992,38(2):617—643.

[4]Xu Y,Weaver Healy M.Wavelet transform domain filters:A spatially

selectivenoise filtration technique III .1EEE Transactions on Image

Processing,1999,3(6):747-758.

[5]Donoho D L,Johnstone L M.Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage[J].

Biometrika,1994,81(3):425-455.

[6]赵景清.基于小波变换的图像去噪算法研究[J].科技创新导报,2009,35,7.

[7]Huang CX,Chen JX.Medical image fusion based on regional similarity of

waveletcoefficients.Application Research of Computers,2008,25(1):274-276.