光学教程第3章_参考答案

1 3.1 证明反射定律符合费马原理。

证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n1和n2。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。为了确定实际光线的路径，通过A,B两点作平面垂直于界面，'OO是它们的交线，则实际光线在界面上的反射点C就可由费马原理来确定，如下图所示。

(1)反证法：如果有一点'C位于线外，则对应于'C，必可在'OO线上找到它的垂足''C.由于''AC'AC,''BC'BC,故光线BAC'总是大于光程B''AC而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。

(2)在图中建立坐XOY坐标系，则指定点A,B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），未知点C的坐标为（x，0）。C点是在'A、'B之间的，光程必小于C点在''BA以外的相应光程，即21vxx，于是光程ACB为

yxxnyxxnCBnACnACBn2211221221111)()(

根据费马原理，它应取极小值，即0)(1ACBndxd

0)sin(sin)()()()()()(21112222211212111iinCBBCACCAnyxxxxnyxxxxnACBndxd 所以当11'ii，取的是极值，符合费马原理。

3.2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点发出并会聚倒像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。

解：略

2

3.3 眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d为30cm。 求物PQ的像与物体PQ之间的距离2d为多少？

解：玻璃板前表面有折射定律得1'sinsin21nii，后表面有'1'sin'sin12nii，所以有1212sinsin'sin'siniiii

显然对于平板玻璃来说22'ii，因此，由1212sinsin'sin'siniiii得11'ii，说明出射光线A2E//QA1，平板玻璃厚度为d出射光线对入社光线的侧移量

大学物理教程上册-第3章答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 3 -7 如图所示，质量为m 的物体,由水平面上点O 以初速为v0 抛出,v0与水平面成仰角α．若不计空气阻力,求：(1) 物体从发射点O 到最高点的过程中,重力的冲量；(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量．

解1 物体从出发到达最高点所需的时间为

gαtsinΔ01v

则物体落回地面的时间为

gttsinΔ2Δ0122v

于是,在相应的过程中重力的冲量分别为

jjFIsinΔd011Δ1vmtmgtt

jjFIsin2Δd022Δ2vmtmgtt

3 -8 Fx ＝30＋4t(式中Fx 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m＝10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2ｓ 内此力的冲量；(2) 若冲量I ＝300 N·s,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v1 ＝10 m·s-1 ,方向与Fx相同,在t＝6.86 s时,此物体的速度v2 ．

解 (1) 由分析知

sN68230d43020220ttttI

(2) 由I ＝300 ＝30t ＋2t2 ,解此方程可得

t ＝6.86 s(另一解不合题意已舍去)

(3) 由动量定理,有

I ＝m v2- m v1

由(2)可知t ＝6.86 s 时I ＝300 N·s ,将I、m 及v1代入可得

112sm40mmIvv

3 -18 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上．此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点的最初速率是v0 ．当它运动一周时,其速率为v0 /2．求：(1) 摩擦力作的功；(2) 动摩擦因数；(3) 在静止以前质点运动了多少圈？

解 (1) 摩擦力作功为

20202k0k832121vvvmmmEEW (1)

dz

mx



dz

mx

2)12(



dz

dz

21

3

2)132(

nm67.508

67

12极大值

极小值解：53

mm

dz

e45.0105.0

103.33

6

3







mhn)1(

m

dz

x



zxd

m

zxd

hn

)1(

zhdx

n

1

52.1

1001.03103.31073.4

1

333









n条纹向上移动解：43

cms40

5

mmdd152.0

cmsz52210

mm

dz

e26.0，则由成像公式）若右移（cm2

3方向垂直于

21ss

21

e

001.0

1022.0

221



fd

fzd



mmme25.0105.2

002.010500

49







，带公式求的像距求亦可用成像

2121ssssS）直条纹（1解：63

间距为空间周期

）条纹无变化（

2x

dz

e155.1

1015

e

nm

zed

587

15.11045.05.15





解：33

86.2

1

dz

e

nm400

93.3

2z

de

nm550

nm700

5

3e解：23

4d5.1z1875.0

dz

e

由几何关系45.3x15.1

x

3.215.145.3

xxx

条取可观察：122.12

1875.03.2

解：11360l18012060z





60)1(2nz

e

rad3

1084.8



2.0

51

e

mmxn6.10)12(

范围：解：103rade3

100.1

5.0l25.15.0z

mm

lz

e1

105.022500

23







lzl

xd

m

5.12l

xl

m

mmx

m3

条3

ex

m

可观察解：93

）有由几何关系（见书上图7.2.32

01cos2

02cos



而

)cos(

光学教程第四版

1 1. 证：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n1

和n2。光线通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指

定的B点。为了确定实际光线的路径，通过A,B两点作平面垂直于界面，OO′是他们的交线，则实际 光线在界面上的反

射点C就可由费马原理来确定（如右图）。

（1） 反正法：如果有一点C′位于线外，则对应于C′，必

可在OO′线上找到它的垂足C′′.由于

CA′>CA′′,BC′>BC′′,故光谱BCA′总是大于光程BCA′′而

非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射

面在同一平面内得证。

（2） 在图中建立坐oxy标系，则指定点A,B的坐标分

别为（yx

11,）和（yx

22,），未知点C的坐标为（0,x）。

C点在BA′′,之间是，光程必小于C点在BA′′以外的

相应光程，即xxx21<<，于是光程ACB为：

xxnyxxnCBnACnACBn2112

122

1111)()(+−++−=+=

根据费马原理，它应取极小值，即：

(

)()(

)()(

)(1

22

2221

12

1211

1−′=

+−−

−

+−−

=

ACCA

n

yxxxxn

yxxxxn

ACBn

dxd

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2 Qii11=′，

∴0)(1=ACBn

dxd

取的是极值，符合费马原理。故问题得证。

2.(1)证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S发出的光

束

经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S′。由于球面AC是由

S点

发出的光波的一个波面，而球面DB是会聚于S′的球面波的

一个

波面，固而SBSC=, BSDS′=′.又Q光程

FDEFnCECEFD++=， 而光程ABnAB=。根据费马原理，它们都应该取极值或恒

定值，

这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值

或

极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光

程却相等。

由于实际的光线有许多条。我们是从中去两条来讨论，故从