《等比数列的概念与通项公式》教学设计1
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第 1 页 《等比数列的概念与通项公式》教学设计
惠贞书院 陈磊
一、 教学内容解析
等比数列是学生学习了等差数列后的一个特殊而又重要数列, 是数列整个章节的重要组成部分.等比数列与实际生活有密切的联系, 如细胞分裂、银行贷款问题等都可以用等比数列的知识来解决, 在这个过程中可让学生体验数学的实用性,
激发他们的学习兴趣.通过对等比数列的学习, 既是对等差数列学习的一种巩固和提高, 也为学习等比数列前n项和奠定基础.而且在研究等比数列的过程中, 学生可以体验类比思想、特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想等, 这些都可以提升他们分析问题解决问题的能力, 提升他们的学科素养.
二、 教学目标设置
1.知识与技能: 理解等比数列的定义, 掌握等比数列的通项公式及推导过程.
2.过程与方法：在教学过程中, 让学生观察、动手体验知识发生发展的过程,
增强学生在学习过程中的互相合作, 提高他们分析、类比猜想、归纳、证明的能力.
3.情感态度与价值观: 以国学经典作为导入, 激发学生学习数学的兴趣与爱国主义热情, 培养学生勇于探索敢于创新的精神, 养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.
教学重点: 等比数列的定义及通项公式.
教学难点: 等比数列通项公式的推导过程.
三、学生学情分析
学生在学习等比数列前已经完成了对函数知识的学习和以及等差数列有关知识的学习, 但对于孙子算经里的问题还有些陌生, 不能用已学的等差数列来表示.本课由此入手, 引发学生的认知冲突, 产生求知的欲望.而研究等比数列的过程中学生可以类比等差数列的定义和性质去研究等比数列, 又是符合他们“跳一跳,
摘得到”的最近发展区.另外, 高一学生正处于从初中到高中的过渡阶段, 是他们从形象思维过渡到抽象思维的关键时期.因此, 本堂课的教学设计一方面要遵循第 2 页 从特殊到一般的认知规律, 让学生学会观察、分析问题, 并尝试自主解决；另一方面也重视逻辑推理、归纳概括能力的培养, 为后续的学习打下坚实的基础.
四、教学策略分析
等比数列与等差数列较为类似, 可以利用类比的方式来学习等比数列.如由等差数列的通项公式类比到等比数列的通项公式, 由累加法类比到累乘法等.在这个过程中需要学生经历从类比猜想到逻辑证明, 从特殊到一般, 从形象思维到抽象思维的过程, 培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.而在证明等比数列的过程中, 让学生回归课本定义, 训练学生逻辑思维的严密性和深刻性, 提升他们的思维能力和数学学科的核心素养.
五、教学过程
（一）创设情境, 提出问题
（1）《孙子算经》中有这样一个问题: 出门见九堤, 每堤有九木, 每木有九巢, 每巢有九鸟, 每鸟有九雏, 每雏有九毛, 问共有几堤, 几木, 几巢, 几鸟, 几雏, 几毛, 几色？ 可以构成怎样的数列？
解答: 9,92,93,94,95,96,97
（2）如下图为谢宾斯基三角形, 着色的小三角形个数一次构成一个数列的前5项, 依此规律, 第6幅图有多少个小三角形？ 可以得到怎样的数列？ 如果假设第一幅图中三角形的面积为1, 则图中每幅图中黑色面积又可以构成怎样的数列？
解答: 第6幅图有 个小三角形, 数列为
面积构成的数列为123433331,(),(),(),(),4444……
设计意图: 以国学经典作为引入, 可以让学生们从数学的角度去重新认识国学经典, 激起学生学习兴趣和爱国热情；谢宾斯基三角形在数列的递推公式中已经碰到过, 但未点出是等比数列, 在这里介绍引入起到很好的前后呼应作用.
（二）自主探究, 引入概念
探究: 上面的三个数列有什么共同点？
引入等比数列的概念: 一般地,如果一个数列,从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数, 那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比, 通常用字母q来表示(q≠0).即 第 3 页 类比引入等比中项的定义:
等差中项 等比中项
如果a, A, b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项.
即2A=a+b 如果a, G, b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项.
即G2=a·b(a·b>0)
设计意图: 在学生对等比数列有初步了解的基础上,通过具体例子,经历从特殊到一般的过程, 加深对概念的理解,培养学生辨证思维能力.
（三）深入探究, 合作学习
例1.判断下列数列是否为等比数列? 若是,找出公比;不是,请说明理由.
(1) 1, 4, 16, 32.
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,－10,100,－1000,10000.
(4) 3, 3, 3, 3, 3.
(5) a, a, a, a, a.
请以四人小组为单位, 合作讨论, 并派代表发言.
解答: (1)不是；
(2)不是；
(3)是, 公比是-10；
(4)是, 公比是1；
(5) 当0a时不是等比数列；当0a时是等比数列, 公比是1.
设计意图: 前4个数列重在考察等比数列的定义, 其中第4个又为第5个做了铺垫, 让学生养成分类讨论的好习惯, 让学生自主思考公比能否为0.
练习1: 已知数列 的前n项和为 ,且 ,试判断 是否为等比数列.
解答: 而 , ,则 不是等比数列.
设计意图: 练一练旨在提醒学生利用 求通项时需分类讨论,并利用定义判断 是否为等比数列,是学生的易错点所在.
探究: 等比数列的通项公式: 第 4 页 提问: 在等差数列中an可以用a1和d表示, 类似地, 在等比数列中an可以用a1和q表示吗?怎样表示呢? 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程, 试着推出等比数列的通项公式.
请以四人小组为单位, 合作讨论, 并派代表发言.
法一: 不完全归纳法
等差数列的通项公式
推导过程 等比数列的通项公式
推导过程
213141123(1)naadaadaadaand…… 2123134111nnaaqaaqaaqaaq……
法二: 累加(乘)法
等差数列的通项公式
推导过程 等比数列的通项公式
推导过程
累加法 累乘法
由定义式可得: （n-1）个等式
a2－a1=d
a3－a2=d
……
an－an-1=d
将上述式子累加得
an=a1+(n-1)d
由定义式可得: （n-1）个等式
qaa12
qaa23
……
qaann1
将上述式子累乘得
an=a1qn-1
法三: 迭代法
等差数列的通项公式
推导过程 等比数列的通项公式
推导过程 第 5 页 由定义式可得:
123123(1)nnnnaadadadand 由定义式可得:
2312311nnnnnaaqaqaqaq
由以上方法可知: 等比数列通项公式为: an= a1qn-1（a1, q≠0）, 以上方法均强调n=1时等式也成立, 养成严谨的思维态度.
设计意图: 类比等差数列通项公式的推导过程, 让学生通过不完全归纳法、迭代法和累乘法三种不同的方式得出等比数列的通项公式.培养学生类比、猜想的能力, 在这个过程中学会知识、方法的迁移, 转化难点.
试一试、请写出引题中的三个数列的通项公式
解答: ① ② ③
设计意图: 解决引题中的数列的通项公式, 前后呼应, 有始有终.
探究：在直角坐标系中, 画出通项公式为 的数列的图象和函数 的图象,
你发现了什么？类似地, 在同一直角坐标系中, 画出通项公式为 的数列的图象和函数 的图象, 并观察等比数列和指数函数之间的关系.
请以四人小组为单位, 合作讨论, 并派代表发言.
等比数列的图象是相应函数图象上的孤立的点.
设计意图: 通过这个环节, 让学生理解等比通项公式的图象和相应函数的图象的关系, 体现了函数思想.
（四）课堂演练, 思维碰撞
例2.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18, 求它的第1项与第2项.
解: 设这个等比数列的首项是 , 公比是q,
易得32q，1a=16/3,2a=8
答: 这个数列的第1项与第2项分别是 ,8.
设计意图: 解决本题可采用启发式和讨论式教学方法.启发学生要求a1 , a2只要求出an, 而要求an只要求出a1,q, 使学生知道解决本题关键是求基本量a1,q.
追问: 等比数列通项公式中涉及哪几个量？
设计意图: 加强对通项公式的认识,用方程思想知三求一. 第 6 页 练习2、已知等比数列 满足 求 .
请以四人小组为单位, 合作讨论, 并派代表发言.
法一: 由 知 或 均可解得 .
法二: 由 , 得 .
设计意图: 本题从两种方法来解决问题, 方法一, 基本量法, 使学生熟悉等比数列的通项公式, 体现了分类讨论思想；方法二：本题并非必须解出 , 而可以利用整体思想, 由 解出, 提高学生灵活应用知识的能力.
练习3: 已知数列 的前n项和为 ,且
(1)设12,nnnbaa证明{}nb为等比数列;
(2)求{}na的通项公式.
解答: (1)略；
(2) ,则 , 有
故数列{}2nna是首项为12, 公差为34的等差数列,
设计意图: 本题通过铺设台阶, 构造新数列的方法, 求出数列的通项公式, 考查了等比数列的定义与证明, 体现了数学的转化思想, 也为后续的学习中, 利用待定系数构造新数列求通项公式埋下伏笔.
（五）归纳总结, 提高升华
1.通过本堂课的学习, 你掌握了哪些新的知识、方法、技巧？
2.本堂课你“悟”到了哪些数学思想方法？
3、你有何心得和收获？
知识内容 技巧方法 思想方法
等比数列的定义
等比数列的通项公式
等比中项
一、不完全归纳法、累乘法、迭代法
二、类比、归纳
三、基本量法、构造法 方程思想
整体思想
函数思想
转化思想
分类讨论思想
作业: 教材P52 NO.1 NO.2 习题2.4A组
