2015高考数学一轮课件：第 3篇 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1 2009~2013年高考真题备选题库

第3章 三角函数、解三角形

第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

考点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

1．（2013山东，5分）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(

)

解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当00，而当x＝π时，y＝－π<0，据此排除选项A、B、C，正确选项为D.

答案：D

2．(2013福建，5分)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)－π20)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P0，32，则φ的值可以是( )

A.5π3

B.5π6

C.π2 D.π6

解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3；又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin－φ＋π3，所以sinπ3－2φ＝32，所以φ可以为5π6.

答案：B

3．（2013新课标全国Ⅱ，5分）函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ

解析：本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移π2个单位 2 后得到y＝cos2x－π2＋φ的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin2x＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ

一、选择题

1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π的简图是(

)

A

B

C D

解析：当x＝－π3时，y＝sin2×－π3－π3＝0.

所以排除C、D.

又当x＝0时，y＝sin－π3＝－32＜0，

排除B.故选A.

答案：A

2．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是(

)

A．y＝sinx＋π6

B．y＝sin2x－π6

C．y＝cos4x－π3

D．y＝cos2x－π6

解析：由图知T＝4×π12＋π6＝π，

∴ω＝2，排除A、C.

∵图象过π12，1代入B项，

∴fπ12＝sin2×π12－π6＝0≠1.

答案：D

3．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )

A．向左平移5π12个单位长度

B．向右平移5π12个单位长度

C．向左平移5π6个单位长度

D．向右平移5π6个单位长度

解析：y＝cos2x＋π3＝sinπ2＋2x＋π3＝sin2x＋5π6.

由题意知要得到y＝sin2x＋5π6的图象只需将y＝sin2x向左平移5π12个单位长度．

答案：A

4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6等于( )

A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0

解析：由fπ6＋x＝fπ6－x可知x＝π6是f(x)的一条对称轴．又∵y＝2sin(ωx＋φ)在对称轴处取得最值，∴选B.

答案：B

5．函数y＝sin2x的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x＝π6对称，则φ的最小值为( )

A.512π B.116π C.1112π D．以上都不对

解析：y＝sin2x的图象向右平移φ个单位得到sin2(x－φ)的图象，又关于x＝π6对称，则2π6－φ＝kπ＋π2(k∈Z)，2φ＝－kπ－π6，取k＝－1，得φ＝512π.

第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数的简单应用

[考纲传真] 1.了解函数y＝AsinF(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

(对应学生用书第45页)

[基础知识填充]

1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示

x －φω π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A

0

3. 由y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像

先平移后伸缩 先伸缩后平移

⇓ ⇓

[知识拓展]

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )

(2)将y＝3sin 2x的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y＝3sin2x＋π4.( )

(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 课时分层训练(二十)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

A组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝2cos 3x的图象

( ) 【导学号：31222120】

A．向右平移π12个单位 B．向右平移π4个单位

C．向左平移π12个单位 D．向左平移π4个单位

A [由于y＝sin 3x＋cos 3x＝2sin3x＋π4，y＝2cos 3x＝2sin3x＋π2，因此只需将y＝2cos 3x的图象向右平移π12个单位，即可得到y＝2sin3x－π12＋π2＝2sin3x＋π4的图象．]

2．(2017·成都二诊)将函数f(x)＝cosx＋π6图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )

A．g(x)＝cos2x＋π3 B．g(x)＝cos2x＋π6

C．g(x)＝cosx2＋π3 D．g(x)＝cosx2＋π6

B [由图象变换规则可得g(x)＝cos2x＋π6，故选B.]

3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图3­4­5所示，则ω，φ的值分别是(

)

图3­4­5

A．2，－π3

B．2，－π6 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 C．4，－π6

D．4，π3

A [∵T2＝1112π－512π，∴T＝π.由T＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－π3＋2kπ.又∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π3.]

4．已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( ) 【导学号：31222121】