高三数学一轮复习 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[基础题组练]

1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是( )

解析：选A.令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.令x＝π6，得y＝sin2×π6－π3＝0，排除C.

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则fπ6的值是( )

A．－3 B.33

C．1 D．3

解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以fπ6＝tanπ3＝3.

3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝A2cos ωx的部分图象如图所示，则( )

A．A＝1 B．A＝3 C．ω＝π3 D．ω＝3π

解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝A2cos ωx，即A2＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝2πω＝1.5×4，可得ω＝π3.

4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )

A．向右平移5π12个单位长度

B．向左平移5π12个单位长度

C．向右平移5π6个单位长度

D．向左平移5π6个单位长度

解析：选B.因为y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2，

y＝cos2x＋π3＝cos2x＋5π12－π2，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y＝cos2x＋π3的图象．故选B.

5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|

用心 爱心 专心 1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象说课稿

一、说教材

1.本节课主要内容是会用五点法来画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，主要是运用图像研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的平移伸缩规律，同时能理解数形结合的数学思想方法，具有一定的审美意识。

2.地位作用：本节课是高中数学必修4第一章第8节第二课时的内容，它是在学生学过了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质之后的一节，具有更强的综合作用，尤其是让学生能更好的理解平移规律，对后面研究其性质起着很重要的作用，因此它起着承上启下的作用。同时，也是培养了学生观察能力和理解数形结合的重要数学思想方法。

3.教学目标

知识与技能

（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的涵义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。

过程与方法

通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观

通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

4. 教学重、难点

重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像

课时作业

A组 基础对点练

1．(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )

A．向左平行移动π3个单位长度

B．向右平行移动π3个单位长度

C．向左平行移动π6个单位长度

D．向右平行移动π6个单位长度

解析：∵y＝sin2x－π3＝sin 2x－π6，

∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y＝sin2x－π3的图象．

答案：D

2．(2017·长沙模拟)将函数y＝cos 2x的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y＝f(x)·cos x的图象，则f(x)的表达式可以是( )

A．f(x)＝－2sin x B．f(x)＝2sin x

C．f(x)＝22sin 2x D．f(x)＝22(sin 2x＋cos 2x)

解析：由题意得，将函数y＝cos 2x的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝cos 2(x＋π4)＝cos2x＋π2＝－sin 2x＝－2sin x·cos x，故f(x)的表达式可以是f(x)＝－2sin x，故选A.

答案：A

3．(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A．5 B．6

C．8 D．10

解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8.

答案：C

4．(2017·辽宁五校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|＜π2，ω＞0)的图象如图所示，为了得到y＝sin ωx的图象，只需把y＝f(x)的图象上所有点(

)

A．向右平移π6个单位长度

B．向右平移π12个单位长度

C．向左平移π6个单位长度

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

【2021年高考会这样考】

1．考察正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考察y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．

3．考察y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．

【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点〞作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

根底梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，详细如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M，最小值为m，那么A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．