(完整word版)西安电子科技大学12级数学系大一期中考试数学分析试卷

西安2023—2024学年度第一学期期中考试高一数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}N|13M x x =∈-≤<的真子集的个数是（）A.3B.6C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得{}012M =,,，结合真子集的个数的计算方法，即可求解.【详解】由集合{}{}N|130,1,2M x x =∈-≤<=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=.故选：C.2.设,a b ∈R ，则“lg lg 0a b +=”是“1ab =”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由lg lg 0a b +=lg 01ab ab ⇒=⇒=且0a >且0b >，故选：A ．3.已知集合{}2A x x =>，{}2B x x m =<，且R B A ⊆ð，则实数m 的取值范围是（）A.()1,+∞B.[)1,+∞C.(),1-∞ D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】先求出{}R |2B x x m =≥ð，再根据条件R B A ⊆ð，即可求出结果.【详解】因为{}2B x x m =<，所以{}R |2B x x m =≥ð，又{}2A x x =>，R B A ⊆ð，所以22m >，得到1m >，故选：A.4.已知8215,log 3ab ==，则32a b -=（）A.25B.5C.259D.53【答案】B 【解析】【分析】先由对数公式把,a b 化简，然后代入32a b -即可求解.【详解】由题意可得2215log 15aa =⇒=，38221log 3log 3log 33b ===，所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫-=-⨯=-== ⎪⎝⎭，所以2log 53225a b -==.故选：B.5.三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b a c>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A6.已知0.150log 2,log 2a b ==，则21a b+=（）A.-2 B.-1C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.【详解】因为0.150log 2,log 2a b ==,所以2211log 0.1,log 50a b==，2222211log 0.01log 50log 0.5log 12a b +=+===-.故选:B.7.已知:p 存在2,10x R mx ∈+≤；:q 对任意2,10x R x mx ∈++>，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为（）A.2m ≤-B.2m ≥ C.2m ≥或2m ≤- D.22m -≤≤【答案】B 【解析】【分析】先求出p ，q 是真命题的x 的范围，由于p 或q 为假命题，得到p ，q 应该全假，即p ，q 的否定为真，列出方程组，求出m 的范围．【详解】解：若p 真则0m <；若q 真，即210x mx ++>恒成立，所以△240m =-<，解得22m -<<．因为p 或q 为假命题，所以p ，q 全假．所以有022m m m ⎧⎨-⎩或 ，所以2m ．故选：B ．【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：p 且q 的真假，当p ，q 全真则真，有假则假；p 或q 的真假，p ，q 中有真则真，全假则假；非p 的真假与p 的真假相反．8.一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20cx bx a ++<的解集为（）A .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1123,⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.()3,2-- D.113,,2⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b 、c 与a 的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，∴a<0，且2，3是方程20ax bx c ++=的两个实数根，∴2323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得5,6b a c a =-=，其中a<0；∴不等式20cx bx a ++<化为2650ax ax a -+<，即26510x x -+>，解得13x <或12x >，因此所求不等式的解集为11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）9.若函数()2313x ax f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像经过点()31，，则（）A.2a =- B.()f x 在()1∞-，上单调递减C.()f x 的最大值为81 D.()f x 的最小值为181【答案】AC 【解析】【分析】利用函数经过点()31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于A :由题意得()361313a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，得2a =-,故A 正确;对于B :令函数223u x x =--，则该函数在(),1-∞上单调递减，在[)1,∞+上单调递增．因为13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减，故B 错误;对于C D :因为()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减,所以()()max 181f x f ==,()f x 无最小值．故C 正确,D 错误;故选:AC .10.若0a b <<，那么下列不等式一定成立的是（）A.11b ba a+>+ B.11a b a b -<-C.22ac bc < D.11a b>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.【详解】对于A,若 1.5,0.5a b =-=-，则10.51110.53b b a a +==-<=+-,故A 不一定成立;对于B,因为0a b <<,所以11a b>,所以11a b -<-,所以11a b a b-<-,所以B 一定成立;对于C,当0,c =22ac bc =,所以C 不一定成立;对于D,因为0a b <<,所以11a b>,所以D 一定成立.故选:BD.11.下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A.()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B.()f x 的值域为RC.()f x 在定义域上单调递减D.点(2,2)是()f x 图象的对称中心【答案】AD 【解析】【分析】由1()22f x x =+-，可知由1y x =向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到()f x ，根据1y x =的性质得到()f x 的性质，即可判断；【详解】解：()221231()2222x x f x x x x -+-===+---由1y x =向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到1()22f x x =+-，因为1y x=关于()0,0对称，所以()f x 关于()2,2对称，故D 正确；函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，故A 正确，B 错误；函数()f x 在(,2)-∞和(2,)+∞上单调递减，故C 错误；故选：AD12.已知正数,a b 满足421a b +=，则（）A.144a a +的最小值为 2 B.ab 的最大值为132C.112a b+的最小值为8 D.22164a b +的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式的性质，逐个选项进行判断即可，注意等号成立的条件.【详解】对于A ，0a >，所以，1424a a +≥，当且仅当1=4a 时等号成立，但此时，=0b ，与题意不符，故A 错误；对于B，421a b +=≥解得132ab ≥，当且仅当4=24+2=1a b a b ⎧⎨⎩，即1=41=8b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时，等号成立，故B 正确；对于C ，11114()(42)4822b aa b a b a b a b +=++=++≥，当且仅当22=44+2=1b a a b ⎧⎨⎩，即1=41=8b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时，等号成立，故C 正确；对于D ，由421a b +=，可得2241168b a a =+-，所以，2223281164a a a b +=-+，当18a =时，此时，14b =，所以，22164a b +的最小值为12，故D 正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）13.若33m m --=99m m -+的值为__________.【答案】14【解析】【分析】33m m --=.【详解】33m m --=()23312m m --=，即99212m m -+-=，解得9914m m -+=.故答案为：1414.某城市出粗车按如下方法收费：起步价6元，可行3km （含3km ），3km 后到10km （含10km ）每多走1km （不足1km 按1km 计）加价0.5元，10km 后每多走1km 加价0.8元，某人坐出租车走了13km ，他应交费____________元．【答案】11.9【解析】【分析】结合已知条件，利用分段函数的概念直接计算即可.【详解】结合已知条件可知，某人坐出租车走了13km 所交费为6(103)0.5(1310)0.811.9y =+-⨯+-⨯=（元）.故答案为：11.9.15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为______.【答案】[0,1)【解析】【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).故答案为：[0,1)16.已知关于x 的不等式2(1)320k x x -+-<有且仅有两个不同的整数解，则实数k 的取值范围为__________.（结果用区间表示）【答案】[)3,6【解析】【分析】根据题意，分10k -=，10k -<以及10k ->讨论，结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】当10k -=时，即1k =，此时不等式为320x -<，解得23x <，则不等式有无数个整数解，不符合题意；当10k -<时，即1k <，则函数()2(1)32f k x x x -=+-的开口向下，则不等式的整数解有无数个，不符合题意；当10k ->时，即1k >，使得不等式2(1)320k x x -+-<有且仅有两个不同的整数解，则()981810k k ∆=+-=+>，且函数()2(1)32f k x x x -=+-，()020f =-<，所以0是其中的一个整数解，则另一个整数解为1或1-，而()11320f k k =-+-=>，所以1不是另一个整数解，所以另一个整数解是1-，则()()1020f f ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩，解得36k ≤<；综上所述，实数k 的取值范围为[)3,6.故答案为：[)3,6四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）计算：122302132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知lg 2a =，lg 3b =，用a ，b 表示36log 5【答案】（1）52-；（2）122aa b -+.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算法和换底公式，准确运算，即可求解.【详解】解：（1）由指数幂的运算性质，可得：原式12232927344531()41299822--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝==---=-⎭+（2）由对数的运算性质，可得：36lg 5lg10lg 21lg 21log 5lg 36lg 4lg 92lg 22lg 322aa b---====+++.18.已知集合302x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<.（1）若m 使幂函数()234()33m f x m m x-=-+在(0,)+∞上为减函数，求集合R A B ⋂ð；（2）已知x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）2{|0x x -<≤或23}x ≤<（2）[]0,1【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质，求得1m =，再由不等式的解法，求得集合,,A B C ，结合集合的运算法则，即可求解；（2）根据题意，求得集合,A C ，结合题意，转化为C 是A 的真子集，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由幂函数()234()33m f x m m x-=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，可得1()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，符合题意；当2m =时，可得2()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意，所以1m =，可得集合{}{}220|02B x x x x x =-<=<<，{}{}12|13C x x x x =-<=-<<则R {0B x =≤ð或2}x ≥，又因为{}30|232x A xx x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，所以R {|20A x x B =-<≤ ð或23}x ≤<.【小问2详解】解：由集合{}|23A x x =-<<，{}{}2|22C x x m x m x m =-<=-<<+，因为x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，可得集合C 是A 的真子集，则满足2223m m -≥-⎧⎨+≤⎩且等号不能同时成立，解得01m ≤≤，即实数m 的取值范围为[]0,1.19.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()12x f x =+（1）求函数()f x 的解析式.（2）画出函数()y f x =的图象，并写出函数()y f x =单调区间及值域.【答案】（1）()12,0{0,011,02x xx f x x x +<==-->（2）单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1<y<2或－2<y<－1或y ＝0}【解析】【分析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得()00=f ，将0x >转化为0x -<，代入函数式，结合奇偶性可求得函数解析式；（2）利用函数图像可得到单调区间及值域试题解析：（1）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－0）＝－f （0），所以f （0）＝0，因为x<0时，f （x ）＝1＋2x ，所以x>0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（1＋2－x ）＝－1－12x，所以f （x ）＝12,0{0,011,02x x x x x +<=-->（2）函数f （x）的图象为根据f （x ）的图象知：f （x ）的单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1<y<2或－2<y<－1或y ＝0}.考点：函数求解析式及函数单调性最值【详解】20.已知()f x 是二次函数，且满足()02f =，()()224f x f x x +-=+，（1）求()f x 的解析式（2）当[],1x m m ∈+，其中m R ∈，求()f x 的最小值.【答案】（1）()2122f x x x =++（2）()2min 272,2223,2122,12m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩【解析】【分析】（1）设()2f x ax bx c =++，利用待定系数法可求函数的解析式；（2）分类讨论二次函数的对称轴在区间的左侧，中间，右侧，结合二次函数的的性质求解函数的最值即可．【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，因为()02f =，所以2c =又()()224f x f x x +-=+，∴22(2)(2)()24a x b x c ax bx c x ++++-++=+，即44224ax a b x ++=+，∴42424a ab =⎧⎨+=⎩，解得1,12a b ==，∴()2122f x x x =++.【小问2详解】∵()2122f x x x =++，对称轴=1x -，开口向上，故函数在区间(],1-∞-单调递减，在区间[)1,-+∞单调递增，故()()min 312f x f =-=当2m ≤-时，即11m +≤-，此时函数在区间[],1m m +上单调递减，()()2min 171222f x f m m m =+=++；当21m -<≤-时，此时函数在区间[],1m -上单调递减，在区间(]1,1m -+上单调递增，()()min 312f x f =-=；当1m >-时，此时函数在区间[],1m m +上单调递增，()()2min 22m f x f m m ==++；所以()f x 的最小值为()2min 272,2223,2122,12m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩21.已知函数()21x b f x ax +=+是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()112f -=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，并用函数单调性的定义证明.（3）求满足不等式()()2110f t f t -+-<的实数t 的取值范围.【答案】（1）()21x f x x =+；（2）单调递增，证明见解析；（3）[)0,1.【解析】【分析】（1）由奇函数性质及()112f -=-求得参数即可；（2）设1211x x -£<£，结合因式分解证()()120f x f x -<；（3）由[][]211,111,1t t ⎧-∈-⎪⎨-∈-⎪⎩求得定义域，由奇函数及增函数性质可得211t t -<-，求解即可【小问1详解】由奇函数性质得，()()()222200111x b x b b f x f x b ax ax a x +-+=--⇒=-⇒=⇒=++-+，又()()21112111f a a -==-⇒=--+，∴()21x f x x =+；【小问2详解】函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增.证明如下：设1211x x -£<£，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，由121210,0x x x x ->-<得()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增；【小问3详解】由[][]211,111,1t t t ⎧-∈-⎪⎡⇒∈⎨⎣-∈-⎪⎩，由奇函数性质得()()()()()222110111f t f t f t f t f t -+-<⇔-<--=-，由增函数性质得21121t t t -<-⇒-<<.综上，实数t 的取值范围为[)0,1。

2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题一、计算题(1-6每题10分，7-8每题15分，共90分).220231lim .(1)x x x x e e x e →---- 2.20232023202320241lim(12).n n n→∞+++3.3x .4.设,a b为常数且20 1.xx a →>=求a 和b . 5.求函数(,,)22f x y z x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最值。

6.判断2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--的原函数是否存在，说明理由。

若存在，求出它的一个原函数。

7.作适当变换，计算d d y x yDex y +⎰⎰,这里{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥∣. 8.计算2d (1)SSx y ++⎰⎰,其中S 为平面1x y z ++=在第一卦限部分。

二、证明题(9-11每题10分，12-13每题15分，共60分)9.设数列{}n a满足111,1).n a a n +==≥证明数列{}n a 收敛，并求lim .n n a →∞10.利用函数的凹凸性证明不等式ln ln ()ln(0,0).2x yx x y y x y x y ++≥+>> 11.求证：当0y >时，21sin d 1xy e x x y +∞-=+⎰. 12.设函数()f x 定义在区间I 上。

试证()f x 在I 上一致连续的充要条件为：对任何数列{}{},,n n x y I ⊂若lim()0,n n n x y →∞-=则[]lim ()()0.n n n f x f y →∞-= 13.设211(),[1,1]ln(1)n n f x x x n n ∞==∈-+∑.求证： 1)()f x 在[1,1]-上连续； 2)()f x 在1x =-处可导。

2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题-高代 一、填空题（每题6分，共30分）1.设3阶实矩阵22332,,3A B αβγγγγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中23,,,αβγγ均为3维行向量，且||18,||2A B ==,则||A B -=2.设λ是A 的特征值，则1P AP -的特征值是。

西安电子科技大学2008一、（35）计算下列各题1．（6分）求11n x x -→- 2．（6分）20ln 1x dx x +∞+⎰ 3．（64．（8分）1L dy dx x y --+⎰，其中L 是下半圆周()220x y ax a +=>沿x 增加的方向。

5．（9分）23xzdydz zydzdx xydxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x z =--≤≤ 的上侧。

二、（36分）下列结论是否成立？请说明理由1．若数列{}n x ，{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，且n x 无界，则n y 必有界。

2．若函数在一点处存在左、右导数，则函数在该点处连续；3．若一个函数的导函数在有限区间上有界，则该函数也在此区间有界；4．符号函数在[]1,1-上可积并存在原函数；5．若多元函数在某点不连续，则在该点一定不存在偏导数。

三、（10分）设(),z z x y =是由方程(),0F x z y z --=所确定的隐函数，其中F 具有连续二阶偏导数。

证明20xx xy yy z z z ++=。

四、（10分）一质点在力(),F x y yi xj =+的作用下，从原点沿直线移动到抛物线21y x =-上一点()(),0P u v v ≥。

当力F 所作的功达到最大和最小时，点P 所在的位置分别在哪里？五、（15分）设lim 0n n a →∞=， (1)证明12lim 0n n a a a n→∞+++= (2)若{}n a 单调递减，证明12n a a a n +++ 单调递减，()1211n n n a a a n ∞=+++-∑ 收敛。

六、（15分）设()f x 在[),a +∞上二阶可导，且()0f a >，()0f a '<，()()0f x x a ''≤>。

证明：方程()0f x =在[),a +∞中有且仅有一个实根。

2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，B ={3,4}，则(∁U A )∩B =( )A. {3}B. {3,4}C. {2,3,4}D. ｛4｝ 2. 若A ={0,1，2，3}，B ={x|x =3a,a ∈A}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {0,1}C. {0,3}D. {3}3. 函数f(x)=log 2(1−2x)+1x+1的定义域为( )A. (0,12) B. (−∞,12)C. (−1,0)∪(0,12)D. (−∞,−1)∪(−1,12)4. 已知f (x )在R 上是奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f (x )=2x 2−x ，则f (−1)=( )A. −3B. −1C. 1D. 35. 已知集合A ={x||x +2|≥5}，B ={x|−x 2+6x −5>0}，则A ∪B 等于( )A. RB. {x|x ≤−7或x ≥3}C. {x|x ≤−7或x >1}D. {x|3≤x <5}6. 已知函数f (x )={0,x >0,π,x =0,π2+1,x <0,则f (f (f (−1)))的值等于( )A. π2−1B. π2+1C. πD. 0 7. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =lnxB. y =x 3C. y =3xD. y =sinx 8. 已知函数f(x)={f(x +2)(x ≤1)2x −4(x >1)，求f(0)的值( )A. −4B. 0C. 4D. 29. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a10. 设f(x)={2−x +a,(x ≤0)−x 2+2ax,(x >0)，若对任意x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,0] B. [0,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]11. 若函数f(x)=lg(x +√x 2+1)，则f(−52)+f(52)的值( )A. 2B.C. 0D. 312. 已知x ∈(0,π2)，且函数f (x )=1+2sin 2x sin2x的最小值为m ，若函数g (x )={−1,π4<x <π28x 2−6mx +4,0<x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为( )A. (π4,π2)B. [√34,π2)C. [√34,√32)D. (π4,√32]二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 函数y =a x 2−3x+2(a >1)的单调增区间是______ ． 14. 已知2m =5n =10,则2m +2n =_________．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x ,x ≤0则f(f(f(13)))= ______ ．16. 集合{−1,0,1}共有__________个子集． 三、解答题（本大题共5小题，共56.0分） 17. 计算(Ⅰ)log 38+2log 32−log 3329(Ⅱ)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 2318. 求函数f(x)=log 13(x 2−5x +4)的定义域和单调区间．19. 已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0和f(x +2)−f(x)=4x(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[a,a +2](a ∈R)上的最小值g(a)．20. 已知函数f(x)={ax +3−4a,x <1x 2−ax,x ≥1．(Ⅰ)若a =3，则m 取何值时y =f(x)的图象与直线y =m 有唯一的公共点？ (Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围．21.已知二次函数f(x)与x轴的两交点为(−2,0)，(3,0)，且f(0)=−3，求f(x)．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查的是交、补集的混合运算，属基础题． 根据补集、交集的定义计算即可． 【解答】解：C U A ={2,4}，B ={3,4}， ∴(C U A)∩B ={4}， 故选D ． 2.答案：C解析： 【分析】本题考查集合的交集及其运算，属于基础题．将集合A 中的元素代入x =3a 中计算确定出集合B ，求出两集合的交集即可． 【解答】解：因为B ={x|x =3a,a ∈A}={0,3，6，9}，所以A ∩B ={0,3}． 故选C ． 3.答案：D解析：解：由函数的性质可得：{1−2x >0x +1≠0，解得x <12且x ≠−1．故f(x)的定义域为：(−∞,−1)∪(−1,12)， 故选：D ．由题意可得：{1−2x >0x +1≠0，即可求得x 的取值范围，求得函数f(x)的定义域．本题考查函数定义域及求法，考查计算能力，属于基础题． 4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．先根据已知条件求得f(−1)=−f(1)，再根据奇函数的性质，即可得到f(−1)的值． 【解答】解：f(x)为R 上的奇函数，那么有：f(x)=−f(−x)，那么f(−1)=−f(1)； 当x ∈[0,+∞)时，f (x )=2x 2−x ，则有：f(−1)=−f(1)=−(2−1)=−1． 故选B ． 5.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的并集，以及一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法． 【解答】解：因为A ={x||x +2|≥5}={x|x ≤−7或x ≥3},B ={x|1<x <5}， 所以A ∪B ={x|x ≤−7或x >1}， 故选C ． 6.答案：C解析： 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 【解答】解：因为f(x)={0,x >0,π,x =0,π2+1,x <0,所以f(−1)= π2+1， f(f(−1))=f(π2+1)=0， f(f(f(−1)))=f(0)=π． 故选C ．7.答案：B解析：解：y =lnx 的定义域为(0,+∞)，关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数． y =x 3是奇函数，又在区间(0,+∞)上为增函数，满足条件．y =3x 在区间(0,+∞)上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件． y =sinx 是奇函数，但在(0,+∞)上不是单调函数， 故选：B根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性． 8.答案：B解析：解：函数f(x)={f(x +2)(x ≤1)2x −4(x >1)，f(0)=f(0+2)=f(2)=22−4=0． 故选：B ．直接利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可．本题考查分段函数以及测试赛的应用，函数值的求法，考查计算能力． 9.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：∵对任意x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，∴f(x)是R 上的减函数， ∴{a ≤01+a ≥0∴−1≤a ≤0． 故选C ．由题设得f(x)是R 上的减函数，结合图象，注意在R 上单调，得到{a ≤01+a ≥0，解出即可．本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性，注意函数的连续性，本题是一道易错题． 11.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．先证明f(x)为奇函数，再由奇函数性质f(x)+f(−x)=0即可求解． 【解答】解：由题意可知，f(x)的定义域为R ， 且，故函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(−52)+f(52)=0．故选C ． 12.答案：B解析：由已知得f (x )=1+2sin 2x sin2x=1+2sin 2x 2sinxcosx =3sin 2x+cos 2x 2sinxcosx=3sinx 2cosx +cosx2sinx ，因为x ∈(0,π2)，故sinx >0,cosx >0，由基本不等式得f(x)≥2√34=√3，故m =√3.当π4<x <π2时，f(x)=−1满足；当0<x ≤π4时，由f(x)=8x 2−6√3x +4≤1，解得√34≤x ≤√32，所以√34≤x ≤π4，综上所述，不等式g(x)≤1的解集为[√34,π2)．13.答案：[32,+∞)解析：解：令t =x 2−3x +2，则函数即y =a t ， 根据a >1时，本题即求函数t 的增区间，利用二次函数的性质可得t 的增区间为[32,+∞)， 故答案为：[32,+∞)．令t =x 2−3x +2，则函数即y =a t ，根据a >1时，本题即求函数t 的增区间，利用二次函数的性质可得t 的增区间．本题主要考查指数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题． 14.答案：2解析： 【分析】本题考查了指数与对数互化，考查对数的运算，属于基础题． 先由2m =5n =10,得到m ，n ，再代入2m +2n 中运算即可求解． 【解答】解：∵2m =5n =10,∴m =log 210，n =log 510， ∴2m+2n=2log 210+2log 510=2(lg2+lg5)=2，故答案为2．15.答案：log 312解析：解：∵f(x)={log 3x,x >02x ,x ≤0，∴f(13)=log 313=−1， f(f(13))=f(−1)=2−1=12，∴f(f(f(13)))=f(12)=log 312．故答案为：log 312．利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16.答案：8解析： 【分析】本题考查了子集的个数，集合的元素有n 个，则其子集的个数为2n 个. 【解答】解：集合{−1,0,1}共有3个元素，故其子集的个数为8． 故答案为8． 17.答案：解(Ⅰ)原式=2;(Ⅱ)原式=2−2+12+2×3=132．解析：(Ⅰ)本题主要考查对数的化简求值.结合对数的运算法则进行运算即可． (Ⅱ)本题主要考查指数对数的化简求值.结合对数的运算法则与性质进行运算即可． 18.答案：解：由μ(x)=x 2−5x +4>0，解得x >4或x <1， 所以x ∈(−∞,1)∪(4,+∞)，因为函数f(x)=log 13(x 2−5x +4)是由y =log 13μ(x)与μ(x)=x 2−5x +4复合而成， 函数y =log 13μ(x)在其定义域上是单调递减的， 函数μ(x)=x 2−5x +4在(−∞,52)上为减函数，在[52,+∞]上为增函数． 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y =log 13(x 2−5x +4)的增区间是定义域内使y =log 13μ(x)为减函数、μ(x)=x 2−5x +4也为减函数的区间，即(−∞,1)；y =log 13(x 2−5x +4)的减区间是定义域内使y =log 13μ(x)为减函数、μ(x)=x 2−5x +4为增函数的区间，即(4,+∞)．解析：根据对数函数的性质求出函数的定义域，函数y =log 13(x 2−5x +4)是由y =log 13μ(x)与μ(x)=x 2−5x +4复合而成，根据复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，即可求出函数y =log 13(x 2−5x +4)的单调区间． 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，注意对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题． 19.答案：解：(1)∵f(0)=0， ∴设f(x)=ax 2+bx ，∴a(x +2)2+b(x +2)−ax 2−bx =4ax +4a +2b =4x ， ∴{4a =44a +2b =0，解得：a =1，b =−2，∴f(x)=x 2−2x ．(2)当a +2≤1时,即a ≤−1时,f(x)min =f(a +2)=a 2+2a ， 当a <1<a +2时，即−1<a <−1时，f(x)min =f(1)=−1 当a ≥1时,f(x)min =a 2−2a ，∴g(a)={a 2+2a,a ≤−1−1,−1<a <1a 2−2a,a ≥1．解析：本题考查了求函数的表达式，考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)先设出函数的表达式，由f(x +2)−f(x)=4x 得方程组求出a ，b 的值即可； (2)通过讨论a 的范围，根据函数的单调性，从而求出函数的最小值．20.答案：解：(I)若a =3，则函数f(x)={3x −9,x <1x 2−3x,x ≥1的图象如下图所示：由图可得：当m ∈(−∞,−6)∪{−3}∪(−2,+∞)时，y =f(x)的图象与直线y =m 有唯一的公共点； (Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增， 则{a >0a2≤1a +3−4a ≤1−a ，解得a ∈[1,2]．解析：(I)画出a =3时，函数f(x)={3x −9,x <1x 2−3x,x ≥1的图象，数形结合，可得满足条件的m 的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增，则{a >0a2≤1a +3−4a ≤1−a，解得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的图象，数形结合思想，难度中档．(x−3)(x+2)．21.答案：f(x)=12，所以f(x)=解析：由题意可设二次函数的解析式f(x)=a(x−3)(x+2)，因为f(0)=−3，所以a=121(x−3)(x+2)．2。

说明：本学期的期中考试内容为第五章、第六章，在题目中题目标号是红色的是第七章的内容，本次不考！高等数学（A ）05-06-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y x y x y +≤+=⎰⎰；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y tπ=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ] (A)π (B)π- (C)0 (D)π29． 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续； （B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。

陕西省西安市西安电子科技大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．函数1()1f x x=+的定义域为（）A ．[3,)+∞B ．(,1)(1,3]-∞-- C ．(1,)-+∞D ．[3,1)(1,)--⋃-+∞2．若非空且互不相等的集合M ，N ，P 满足：M N M ⋂=，N P P ⋃=，则M P =U （）A ．MB ．NC ．PD ．∅3．已知0a >，2n ≥且*n ∈N ，下列三个式子，正确的个数为（）①111362a a a ⋅=a =；③11nnaa --⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．0B ．1C ．2D ．34．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A ．()f x =()g x x =B ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C ．()242x f x x -=+，()2g x x =-D ．()f x x =，()2x g x x=5．幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A ．4m =B ．4m =或1m =-C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是偶函数6．下列命题中正确的是（）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.7．设命题:p 若函数()()32xf x a =--是减函数，则1a <，命题:q 若函数()224g x x ax =++在2,+∞上是单调递增，则2a <-.那么下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p⌝C ．()p q⌝∨D ．()p q ⌝∧8．设函数2()21xf x =+，求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++ 的值为（）A ．9B ．11C ．92D ．112二、多选题9．我们定义一种新函数，形如22(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数223y x x =--的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（）A ．图象与y 轴的交点为0,3B ．图象具有对称性，对称轴是直线1x =C ．当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大D ．当1x =时，函数的最大值是410．给出以下四个判断，其中正确的是（）A ．函数()2f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ B ．函数()f x 的定义域为[]1,1-，若满足()()11f f -=，则函数()f x 是偶函数C ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．不等式211x ≥+的解集是(]1,1-11．已知实数0a >，函数5,(,2)2()2,[2,)ax x f x a x a x x ∞∞⎧+∈-⎪⎪=⎨⎪++∈+⎪⎩在R 上是单调函数，若a 的取值集合是M ，则下列说法正确的是（）A ．1M ∈B ．{4,5}M⊆C ．20x x a ++>恒成立D ．a M ∃∈，使得()(2)3x g x a =-⋅是指数函数三、填空题12．函数y =的单调递增区间是.13．以下说法中正确的是：.①已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==，则()2243f x x x =-+；②已知函数()y f x =满足()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()()2033x f x x x =-+≠；③函数y x =3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.14．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()24f =，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x -<-恒成立，则不等式()326f x x ->-的解集为．四、解答题15．已知p ：关于x 的不等式()224300x ax a a -+≤>的解集为A ，q ：不等式502x x -<-的解集为B .(1)若1a =，求A B ⋂；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.16．定义在R 上的函数()f x ，满足对任意x ，y ∈R ，有()()()f x y f x f y -=-，且()31012f =.(1)求()0f ，()6f 的值；(2)判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)当0x >时，()0f x >，解不等式()242024f x ->.17．已知指数函数()x f x a =.(1)若()f x 在[1,3]-上的最大值为8，求a 的值；(2)当1a >时，若()30f x x ≤-对[1,3]x ∈-恒成立，求a 的取值范围.18．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x （台）是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数()f x ；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）19．已知函数()21x bf x ax +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()112f =.(1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 在[]1,1-上的值域；(3)设()12g x kx k =+-，若对任意的[]11,1x ∈-，对任意的[]20,1x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.。

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()ex y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）（A ）．x O z坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）(A).L 在π内; (B).L 与π不相交;(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

西安电子科技大学2005一、填空（25分）1．已知()()ln 1sin lim2tan x f x x x→+=，则()0lim x f x →=。

2．设()1sin ,00,0x x f x xx α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则当α时，f 在0x =处连续，当α时，f 在0x =处可导且()0f '=。

3．设()21,0,0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()312f x dx -=⎰。

4．2ln ,1xdx x+∞=+⎰。

5．设()21,01,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于。

二、（10分）设函数(),,u f x y z =具有连续偏导数，且(),z z x y =由方程x y zxe ye z e-=确定，求du 。

三、（16分）计算下列各题。

1．{}22max ,x y Dedxdy ⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤。

2．()()()Cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ ，其中C 是曲线2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的。

四、（12分）求()()22222y axdydz z a dxdyx y z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =上侧，0a >为常数。

五、（12分）设10x >，且()1212n n nx x x ++=+，1,2,,n n = ，证明{}n x 收敛并求极限。

六、（10分）求11nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛域，并判定其一致收敛性。

七、（13分）讨论曲线4ln y x k =+与44ln y x x =+的交点的个数，其中k 为参数。

八、（13分）(1)证明y 在()0,+∞上一致连续。

(2)设二元函数(),f x y 在点()0,0的某个邻域内连续，且有 ()()2220,lim1x y f x y xyxy→→-=+试问()0,0是否为(),f x y 的极值点？请说明理由。

西安电子科技大学2012级《高等数学》第二学期期末考试（试题A ）及解答一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设2(,)()()x yx y u x y x y x y t dt ψ+-=++-+⎰，其中：()t ψ具有一阶导数，则（ ）（A ）2222u ux y ∂∂=∂∂； （B ）2222u u x y ∂∂=-∂∂；（C ）222u u x y x ∂∂=∂∂∂； （D ）222u ux y y ∂∂=∂∂∂.解 2()1()(x u x y x y x y ψψ=++++--，2()()xx u x y x y ψψ''=++--，2()1()(y u x y x y x y ψψ=+-+++-，2()()yy u x y x y ψψ''=++--，答案：A2. 函数(3)z xy x y =--的极值点是 （ ） （A ）(0,0)； （B ）(1,1)； （C ）(3,0)； （D ）(0,3). 解1 232x z y xy y =--，232y z x xy x =--，A 、B 、C 、D 都是驻点，2xx z y =-，322xy z x y =--，2yy z x =-，224(322)0AC B xy x y -=--->，仅当(1,1)满足 答案：B解2 ,x y 对称，C 对，D 也对，单选题，故排除C ，D ，(3)3z xy x y xy =--≈，(,)(0,0)x y ≈，3z xy ≈可正可负，不是极值点，答案：B3. 设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥与22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则 （ ）（A ）124xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）124ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）124zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （D ）124xyzdV xyzdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.解 答案：C4. 一个形如1sin n n b nx ∞=∑的级数，其和函数()S x 在(0,)π上的表达式为1()2x π-，则()S x 在32x π=处的值3()2S π= （ ） （A ）4π； （B ）4π-； （C ）2π； （D ）2π-.解 33111()(2)()()()2222224S S S S ππππππππ=-=-=-=--=- 答案：B5. 若级数2(1)(1)na nn n ∞=-+-∑收敛，则a 的取值范围是 （ ） （A ）0a >； （B ）13a >； （C ）12a >； （D ）1a >. 解 22(1)(1)[(1)](1)[(1)][(1)]nn a n a n an a nn n n n n n ∞∞==----=+-+---∑∑22(1)11n a a n n n ∞=--=-∑ 2222(1)(1)11n a a naan n n n nn∞∞==-=---∑∑，0a >时收敛，2211an n ∞=--∑，21a >，即12a >时收敛， 答案：C二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设{(,)||||1}D x y x y =+≤，则二重积分(||)Dx y dxdy +=⎰⎰__________解 1(||)4DD x y dxdyydxdy +=⎰⎰⎰⎰ 11100044(1)ydy ydx y y dy -==-=⎰⎰⎰237. 向量场222(2)(2)(2)A x y i y z j z x k =-+-+-，则rotA =__________.解 r o t A=222222ij k x y z x yy zz x∂∂∂=∂∂∂---(2,2,2) 8.曲面z =在点(1,9,4)处的切平面方程是：________________. 解(,,1)(x y n z z =--=，(1,9,4)11|(,,1)26n =--，或(3,1,6)-，切平面：3(1)(9)6(4)0x y z -+---=，或 36120x y z +-+=9. 设C 为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线，则2Cx ds ⎰=____解222222111()2333CCCx d sx y zd s ad s aa π=++==⋅=⎰⎰⎰323π 10. 级数212n n n x∞=∑的收敛域为 ：___________ 解 210,||1||1||,||1222,||1nnn nx x x x x <⎧⎪⎪=→=⎨⎪+∞>⎪⎩，收敛域为：[1,1]- 三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中：F 是可微函数，求dz .解1 x y dz z dx z dy =+1212122233F F dx dy F F F F =-+-----1212223F dx F dyF F +=+ 解2 12(23)(2)0F dx dz F dy dz ⋅-+⋅-=1212223F dx F dydz F F +=+12.求二重积分：11211422x x y y x dx dy dx dy +⎰⎰.解 2112x yyy I dy e dx =⎰⎰112()yy e e dy =-⎰123182e e =-四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 设曲面∑为柱面221x z +=介于平面0y =和2x y +=之间部分，求zdS ∑⎰⎰.分析： 求柱面221x z +=部分的面积 1.用公式：xyD I =⎰⎰，用:S z =√2.用公式：yzD I =⎰⎰，用:S x =3.不能用公式：xzD I =⎰⎰，用？？？求导解12::z z ∑=∑={(,)02,11}xy D x y y x x =≤≤--≤≤12zdS zdS zdS ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12∑∑=+⎰⎰⎰⎰0=2()1x=-]14. 计算：331Cx y dx dy r r --+⎰，其中C为上半圆周2y x x =-，方向从()1,0到()0,0，r =解1()522232(1)2[1]P x y y x y ∂-=-⋅∂+-＝()522232(1)2[1]Q x y x x y ∂-=-⋅∂+-，(0,0)33(1,0)3311Cx y xy dx dy dx dy rrrr----+=+⎰⎰3122(1)x dx x -=+⎰(1=-解2 111:cos ,sin 222C x t y t =+=，:0t π→， 330321sin cos 112231(cos sin )22C t tx y dx dy dt r r t t π+--+=+-⎰⎰ 12031(cos sin )|22t t π-=+-(1=-15. 计算：22(2)(1)()xy y dydz y dzdx x z dxdy ∑--+-++⎰⎰，其中，∑为曲面2z =-xoy 平面上方部分的上侧。

西 安 电 子 科 技 大 学考试时间120分钟试 题1.考试形式：闭卷；2。

本试卷共 十道 大题，满分 100分。

一．判断下列级数是绝对收敛还是条件收敛（每题4分，共16分）（1）12(1)2n nn ∞=+-∑ （2）1n ∞=∑（3）1cos 2n n n ∞=∑ （4)1ln (1)nn n n ∞=-∑二．计算下列积分（每题4分，共16分）（1）0a⎰(2）222221sin cos x dx a x b x+⎰（2）1||x t dt -⎰ (4)20ln(sin )x dx π⎰三．（本题10分)设函数f(x)在［0,1]上有界，且不连续点的集合仅有有限个聚点,证明f(x ）在［0，1]上可积.四．（本题10分)求由拱线L ：x=a(t —sint ）,y=a （1-cost ）（其中02t π≤≤,a>0）绕y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。

五．（本题7分)证明级数1(1)n n ∞=-∑六．（本题8分）设函数f （x ）在［a ，b ］上有界,请判断下列命题是否正确，若正确，请给出证明;若不正确，请给出反例. （1）|()|baf x dx ⎰存在2()baf x dx ⇔⎰存在（2）|()|af x dx +∞⎰存在⇔2()af x dx +∞⎰七．（本题7分）设级数1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑都收敛，且成立不等式n n n a b c ≤≤（n=1，2,···），证明级数1n n b ∞=∑也收敛.若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散，试问级数一定发散吗？八．（本题10分)判断下列积分的敛散性，若收敛，请给出绝对收敛或者条件收敛。

（1）1cos xdx x λ+∞⎰,λ〉0（2）0ln |1|p qxdx x x +∞-⎰，p ＞0，q ＞0九．（本题8分）设lim n n na rb →∞=，lim nn n a r b →∞=,且0r r +∞＜＜＜,证明：级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑具有相同的敛散性。

大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。

遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。

4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。

5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。

6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。

7．计算不定积分?-dx e x11。

8．计算定积分?20xdx x 。

9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。

数学分析(下)期中考试试题一、填空题 (每小题5分,共20分)1． 求2222limx x y x y →∞+＝2． 设()21010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的Fourier 级数在点x π=处收敛于3． 'tan cos +=y y x x 的通解为 4． 设()f x =则此函数在()1,1,1的梯度为二、单项选择(每小题5分,共20分) 1. 对二元函数(),f x y 的如下四个命题：1) (),f x y 在点()00,x y 连续2) (),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续3) (),f x y 在点()00,x y 可微4)(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在则下列逻辑推理关系正确的是： 【 】Ａ．3)2)1)⇒⇒ Ｂ. 2)3)1)⇒⇒ Ｃ．3)4)1)⇒⇒ D . 3)1)4)⇒⇒2. 设线性无关的函数 (),1,2,3=i y x i 都是微分方程()()()'''++=y p x y q x y f x 的特解，则方程的通解为 【 】 A ．()()()112233c y x c y x c y x ++ B .()()()112223()()++-c y x c y x y x y xC .()()()()11221231c y x c y x c c y x ++-- D .()()()11223c y x c y x y x ++3. 已知反常积分 20sin m xdx x +∞⎰ 收敛，则m 的取值范围是 【 】A ． 12≤≤mB ． 23<≤mC . 02<<mD . 13<<m4. 若()()0000lim lim ,,lim lim ,x x y y y y x x f x y f x y →→→→存在但是不相等，则 【 】A ．()00lim ,x x y y f x y →→一定不存在 B .()00lim ,x x y y f x y →→一定存在C . ()00lim ,x x y y f x y →→存在性无法判断 D .()00lim ,0x x y y f x y →→=三、计算题（本题30分）(1) 将函数()2f x x =+在[]2,6上展为正弦级数.(2) 求下列常微分方程的通解：''3'23-++=xy y y e(3) 设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中(,),()f u v g t 有连续二阶导数或偏导数，求2z x y ∂∂∂四、问题分析（15分）设函数()()()()()222,0,0,0,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩讨论此函数在原点的连续性、偏导数的存在性、可微性。

陕西省西安市电子科技大学附属中学2021-2022高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1.已知数列12n-1，，则 ）项 A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】==2145n -=，即246n = ， 解得23n = ， 故选D 2.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的（ ）. A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由5,12k k Z αππ=+∈可推出1sin 22α=，反之由1sin 22α=可得到 12αππ=+k 或5,12k k Z αππ=+∈，由此可得出结论.【详解】因为5,12k k Z αππ=+∈，所以522,6αππ=+∈k k Z ，所以1sin 2sin 262παπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭k ，反之由1sin 22α=可得12αππ=+k 或5,12k k Z αππ=+∈，所以“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了命题的充分条件、必要条件、充要条件的判断，属于基础题.3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）. A. 1a b >+ B. 1a b <-C. 22a b >D. 33a b >【答案】A 【解析】 【分析】判断a b >成立的充分而不必要条件，需要满足该条件能推出a b >，但是a b >不能推出该条件，然后对四个选项逐个判断即可得出结果.【详解】A 项1>+>⇒>a b b a b ，反之a b >推不出1a b >+，所以1a b >+是a b >成立的充分而不必要条件；B 项1<-<⇒<a b b a b ，不能推出a b >，反之11>>-⇒>-a b b a b 不能推出1a b <-，所以1a b <-是a b >成立既不充分也不必要条件；C 项22>⇒>a b a b ，不能得到a b >，反之0a b >>时才能得到22a b >，所以22a b >是a b >成立的既不充分也不必要条件；D 项33>⇒>a b a b ，反之33a b a b >⇒>，所以33ab >是a b >成立的充要条件. 故选：A【点睛】本题主要是考查充分条件、必要条件、充要条件的概念，是基础题. 4.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A. ()8,10B. (C. ()D.)【答案】B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围。