第4章机器人轨迹规划本章在操作臂运动学和动力学的基础上，讨论在关节空间和笛卡尔空间中机器人运动的轨迹规划和轨迹生成方法。
所谓轨迹，是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。
而轨迹规划是根据作业任务的要求，计算出预期的运动轨迹。
首先对机器人的任务，运动路径和轨迹进行描述，轨迹规划器可使编程手续简化，只要求用户输入有关路径和轨迹的若干约束和简单描述，而复杂的细节问题则由规划器解决。
例如，用户只需给出手部的目标位姿，让规划器确定到达该目标的路径点、持续时间、运动速度等轨迹参数。
并且，在计算机内部描述所要求的轨迹，即选择习惯规定及合理的软件数据结构。
最后，对内部描述的轨迹、实时计算机器人运动的位移、速度和加速度，生成运动轨迹。
4.1 机器人轨迹规划概述一、机器人轨迹的概念机器人轨迹泛指工业机器人在运动过程中的运动轨迹，即运动点的位移、速度和加速度。
机器人在作业空间要完成给定的任务，其手部运动必须按一定的轨迹(trajectory)进行。
轨迹的生成一般是先给定轨迹上的若干个点，将其经运动学反解映射到关节空间，对关节空间中的相应点建立运动方程，然后按这些运动方程对关节进行插值，从而实现作业空间的运动要求，这一过程通常称为轨迹规划。
工业机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人工智能的问题，本章仅讨论在关节空间或笛卡尔空间中工业机器人运动的轨迹规划和轨迹生成方法。
机器人运动轨迹的描述一般是对其手部位姿的描述，此位姿值可与关节变量相互转换。
控制轨迹也就是按时间控制手部或工具中心走过的空间路径。
二、轨迹规划的一般性问题通常将操作臂的运动看作是工具坐标系{T}相对于工件坐标系{S}的一系列运动。
这种描述方法既适用于各种操作臂，也适用于同一操作臂上装夹的各种工具。
对于移动工作台(例如传送带)，这种方法同样适用。
这时，工作坐标{ S }位姿随时间而变化。
例如，图4.1所示将销插入工件孔中的作业可以借助工具坐标系的一系图4.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述列位姿P i(i=1，2，…，n)来描述。
这种描述方法不仅符合机器人用户考虑问题的思路，而且有利于描述和生成机器人的运动轨迹。
用工具坐标系相对于工件坐标系的运动来描述作业路径是一种通用的作业描述方法。
它把作业路径描述与具体的机器人、手爪或工具分离开来，形成了模型化的作业描述方法，从而使这种描述既适用于不同的机器人，也适用于在同一机器人上装夹不同规格的工具。
在轨迹规划中，为叙述方便，也常用点来表示机器人的状态，或用它来表示工具坐标系的位姿，例如起始点、终止点就分别表示工具坐标系的起始位姿及终止位姿。
对点位作业(pick and place operation)的机器人(如用于上、下料)，需要描述它的起始状态和目标状态，即工具坐标系的起始值{T0}。
目标值{Tf}。
在此，用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态(简称位姿)，例如起始点和目标点等。
对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中间点(称路径点)，必须沿特定的路径运动(路径约束)。
这类称为连续路径运动(continuous—Path motion)或轮廓运动(contour motion)，而前者称点到点运动(PTP＝point—to—point motion)。
在规划机器人的运动时．还需要弄清楚在其路径上是否存在障碍物(障碍约束)。
路径约束和障碍约束的组合将机器人的规划与控制方式划分为四类、如表4-1所示。
表4.1 机器人的规划与控制方式本章主要讨论连续路径的无障碍的轨迹规划方法。
轨迹规划器可形象地看成为一个黑箱(图4—2)，其输入包括路径的“设定”和“约束”，输出的是操作臂末端手部的“位姿序列”，表示手部在各离散时刻的中间形位。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种：第—种方法要求用户对于选定的轨迹结点(插值点)上的位姿、速度和加速度给出一组显式约束(例如连续性和光滑程度等)，轨迹规划器从一类函数(例如n次多项式)中选取参数化轨迹，对结点进行插值，并满足约束条件。
第二种方法要求用户给出运动路径的解析式；如直角坐标空间中的直线路径，轨迹规划器在关节空间或直角坐标空间中确定一条轨迹来逼近预定的路径。
在第一种方法中，约束的设定和轨迹规划均在关节空间进行。
由于对操作臂手部(直角坐标形位)没有施加任何约束，用户很难弄清手部的实际路径，因此可能会发生与障碍物相碰。
第二种方法的路径约束是在直角坐标空间中给定的、而关节驱动器是在关节空间中受控的。
因此，为了得到与给定路径十分接近的轨迹，首先必须采用某种函数逼近的方法将直角坐标路径约束转化为关节坐标路径约束，然后确定满足关节路径约束的参数化路径。
轨迹规划既可在关节空间也可在直角空间中进行．但是所规划的轨迹函数都必须连续和平滑，使得操作臂的运动平稳。
在关节空间进行规划时、是将关节变量表示成时间的函数，并规划它的一阶和二阶时间导数；在直角空间进行规划是指将手部位姿、速度和加速度表示为时间的函数。
而相应的关节位移、速度和加速度由手部的信息导出。
通常通过运动学反解得出关节位移、用逆稚可比求出关节速度，用逆雅可比及其导数求解关节加速度。
用户根据作业给出各个路径结点后．规划器的任务包含：解变换方程、进行运动学反解和插值运算等；在关节空间进行规划时，大量工作是对关节变量的插值运算。
下面讨论关节轨迹的插值计算。
三、轨迹的生成方式运动轨迹的描述或生成有以下几种方式：(1) 示教-再现运动。
这种运动由人手把手示教机器人，定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作。
(2) 关节空间运动。
这种运动直接在关节空间里进行。
由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这种方式求最短时间运动很方便。
(3) 空间直线运动。
这是一种直角空间里的运动，它便于描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。
(4) 空间曲线运动。
这是一种在描述空间中用明确的函数表达的运动，如圆周运动、螺旋运动等。
四、轨迹规划涉及的主要问题为了描述一个完整的作业，往往需要将上述运动进行组合。
通常这种规划涉及到以下几方面的问题：(1) 对工作对象及作业进行描述，用示教方法给出轨迹上的若干个结点(knot)。
(2) 用一条轨迹通过或逼近结点，此轨迹可按一定的原则优化，如加速度平滑得到直角空间的位移时间函数X(t)或关节空间的位移时间函数q(t)；在结点之间如何进行插补，即根据轨迹表达式在每一个采样周期实时计算轨迹上点的位姿和各关节变量值。
(3) 以上生成的轨迹是机器人位置控制的给定值，可以据此并根据机器人的动态参数设计一定的控制规律。
(4) 规划机器人的运动轨迹时，尚需明确其路径上是否存在障碍约束的组合。
一般将机器人的规划与控制方式分为四种情况，如表4.1所示。
4.2 插补方式分类与轨迹控制一、 插补方式分类点位控制(PTP 控制)通常没有路径约束，多以关节坐标运动表示。
点位控制只要求满足起终点位姿，在轨迹中间只有关节的几何限制、最大速度和加速度约束；为了保证运动的连续性，要求速度连续，各轴协调。
连续轨迹控制(CP 控制)有路径约束，因此要对路径进行设计。
路径控制与插补方式分类如表4.2所示。
表4.2 路径控制与插补方式分类二、 机器人轨迹控制过程机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机器人如何做，机器人记住了这个过程，于是它可以根据需要重复这个动作。
操作过程中，不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐，也浪费很多计算机内存。
实际上，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点，计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆弧需要示教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器人各关节的位置和角度(θ1, …, θn )，然后由后面的角位置闭环控制系统实现要求的轨迹上的一点。
继续插补并重复上述过程，从而实现要求的轨迹。
机器人轨迹控制过程如图4.3所示。
图4.3 机器人轨迹控制过程4.3 机器人轨迹插值计算给出各个路径结点后，轨迹规划的任务包含解变换方程，进行运动学反解和插值计算。
在关节空间进行规划时，需进行的大量工作是对关节变量的插值计算。
一、 直线插补直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。
对于非直线和圆弧轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
由于在大多数情况下，机器人沿直线运动时其姿态不变，所以无姿态插补，即保持第一个示教点时的姿态。
当然在有些情况下要求变化姿态，这就需要姿态插补，可仿照下面介绍的位置插补原理处理，也可参照圆弧的姿态插补方法解决，如图4.4所示。
已知直线始末两点的坐标值P 0(X 0，Y 0，Z 0)、P e (X e ，Y e ，Z e )及姿态，其中P 0、P e是相对于基坐标系的位置。
这些已知的位置和姿态通常是通过示教方式得到的。
设v 为要求的沿直线运动的速度；t s 为插补时间间隔。
为减少实时计算量，示教完成后，可求出：直线长度Lt s 间隔内行程d = v t s ；插补总步数N 为L /d +1的整数部分；各轴增量()()()e 0e 0e 0///X X X NY Y Y NZ Z Z N ∆=-∆=-∆=-各插补点坐标值111i i i i i i X X i XY Y i Y Z Z i Z +++=+∆=+∆=+∆式中：i =0，1，2，…，N 。
图4.4 空间直线插补二、 圆弧插补1.平面圆弧插补平面圆弧是指圆弧平面与基坐标系的三大平面之一重合，以XOY 平面圆弧为例。
已知不在一条直线上的三点P 1、P 2、P 3及这三点对应的机器人手端的姿态，如图4.5及图4.6所示。
图4.5 由已知的三点P 1、P 2、P 3决定的圆弧 图4.6 圆弧插补 设v 为沿圆弧运动速度；t s 为插补时时间隔。
类似直线插补情况计算出：(1) 由P 1、P 2、P 3决定的圆弧半径R 。
(2) 总的圆心角φ=φ1+φ2，即(){}(){}222212121222223232arccos ()2/2arccos ()2/2X X Y Y R R X X Y Y R R φφ⎡⎤=-+--⎣⎦⎡⎤=-+--⎣⎦ (3) t s 时间内角位移量∆θ=t s v /R ，据图4.4所示的几何关系求各插补点坐标。
(4) 总插补步数(取整数)N = φ /∆θ + 1对P i +1 点的坐标，有1cos()cos cos sin sin cos sin i i i i i i X R R R X Y θθθθθθθθ+=+∆=∆-∆=∆-∆ 式中：X i =R cos θi ；Y i =R sin θi 。
