贵州大学2012-2013高等数学1-2试卷及答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合},4)1(|{2R x x x M ∈<-=，1{-=N ，0，1，2，3}，则M ∩=N(A)｛0，1，2｝ (B)｛-1，0，1，2｝(C){-1，0，2，3} (D){0，1，2，3}(2)设复数z 满足i z i 2)1(=-，则=z(A)i +-1 (B)i --1 (C)i +1 (D)i -1(3)等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a (A) 31 (B)31- (C) 91 (D)91- (4)已知m ，n 为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥， l ⊄α，l β⊄，则(A)βα//且α//l (B)βα⊥且β⊥l(C)α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l(5)已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a(A) -4 (B)-3 (C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的=S (A)101...31211++++ (B)!101...!31!211++++ (C) 111...31211++++ (D) !111...!31!211++++ (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz o -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)(8)设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b c a >> (D)c b a >>(9)已知0>a ，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥).3(31x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则=a (A)41 (B) 21 (C) 1 (D) 2(10)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是(A)R x ∈∃0，0)(0=x f(B)函数)(x f y =的图像是中心对称图形(C)若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减(D)若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f(11)设抛物线C ：)0(32>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为(A)x y 42=或x y 82= (B)x y 22=或x y 82=(C)x y 42=或x y 162= (D)x y 22=或x y 162=(12)已知点A(-1，0) B(1，0),C(0，1)，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是(A) (0，1) (B) )21,221(- (C) ]31,221(- (D) )21,31[ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=∙_______.(14)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为141，则=n ________. (15)设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin _________. (16)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知S 10=0，S 15 =25，则n nS 的最小值为________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.(I)求B ；(II)若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.(18) (本小题满分12分)如图，直棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，AB CB AC AA 221===. (I)证明：//1BC 平面CD A 1； (II)求二面角E C A D --1的正弦值.(19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ，)150100≤≤X 表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(I)将T 表示为X 的函数； (II)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(III)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，市场需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若)110,100[∈X ，则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望.(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xoy 中，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. (I)求M 的方程；(II)C ,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.(21)(本小题满分12分)已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(I)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ,并讨论)(x f 的单调性；(II)当2≤m 时，证明0)(>x f .请考生在第22、23、24题中任选择一题做答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC -=-,B 、E 、F 、C 四点共圆CD(I)证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；(II)若EA BE DB ==,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值.(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：βββ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)上，对应参数分别为αβ= 与αβ2=)20(πα<<，M 为PQ 的中点.(I)求M 的轨迹的参数方程；(II)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且1=++c b a ，证明： (I)31≤++ca bc ab ； (II)1222≥++ac c b b a .。

2012-13-1高等数学（A ）期末考试参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、()2,3--2、()0f x '-3、04、()()x x f e e f x ----5、8π 二、选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、C2、A3、C4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 1、解：原式=tan 2tan 00011sec 1lim lim lim sin cos sin x x xx x x x x e x e e x x x x x --→→→=--⋅=⋅-……………每步2分 2、解：令sin x t =，则cos dx tdt =， 原式2sin cos cos t tdt t=⎰………………………………………………………………………2分 21cos 211sin sin 2222t tdt dt t t c -⎡⎤===-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰………………………………………4分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………………………6分 3、解：1(),P x x =sin (),x Q x x =于是所求通解为： 11sin dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰ln ln sin x x x e e dx C x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅+⎰1(cos ).x C x =-+……每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：当000x t y ===，，，()1(0)2t x t e x ''=+=　………………………………3分cos sin 0,(0)0y y e y t e t y y '''-+==…………………………………………6分 故，00x dy dx ==……………………………………………………………………7分 2、证明：()()()a TT a T a aT f x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰………………………………………2分 00()()()a Ta a T x t T f x dx f t T dt f t dt +=+=+=⎰⎰⎰对后者，令，=⎰f x dx a ()0…………5分 所以，f x dx f x dx f x dx a a T a T a ()()()+⎰⎰⎰=+0=⎰f x dx T()0。

贵州大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．点是函数的间断点.
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
3．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
4．函数的图形如图示，则函数
( )．
A、有一个极大值
B、有两个极大值
C、有四个极大值
D、没有极大值
【答案】A
5．设，则=（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
6．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
7．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
8．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
9．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
10． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
12．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
13．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
15．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题。

设函数221ln()2zx y =+,则d z =2222d d x y x y x y x y+++. 函数(,)(2)x f x y e x y =+在点(0,1)处的最大方向导数是13.曲线2,,31x t yt z t ===+在点(1,1,2)M --处的切线方程为112123x y z +-+==-②交换二次积分42d (,)d xxIx f x y y =⎰⎰的积分次序,得I =2220d (,)d yy y f x y x ⎰⎰.设平面曲线L 为2,02y x x =≤≤,则曲线积分d L x s =⎰136. ②设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限部分,则曲面积分421d 3y x z S ∑⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎰⎰561. 幂级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为33x -≤<.二阶齐次线性微分方程220y y y '''++=的通解为12(cos sin )x e C x C x -+.二，函数(,)zf x y =在点00(,)x y 处具有连续偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是函数在点00(,)x y 处可微的 ( B )(A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分也非必要条件. 二次积分22200d (,)d x x Ix f x y y -=⎰⎰在极坐标下的二次积分为( A ).(A)2cos 20d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰; (B)2cos 40d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰;(C)120d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰; (D)140d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰.将函数()||()f x x x ππ=-≤≤展为傅里叶级数,其中cos3x 的系数为( C ). (A)49π; (B)29π; (C)49π-; (D)29π-. 下列级数收敛的是( C ).(A)11n n n ∞=+∑; (B) 11(1)n n n ∞=+∑; (C) 111sin n nn ∞=∑; (D) 21(2)!(!)n n n ∞=∑.③求二元函数322(,)23f x y x x y xy y =++--的极值.解:2(,)322051(1,),(1,)(,)223022x y f x y x x y f x y y x ⎧=+-=⎪⇒-⎨=--=⎪⎩为驻点. (,)62,(,)2,(,)2xx xy yy f x y x f x y f x y =+=-=当5(,)(1,)2x y =时,由2164120AC B -=-=>,80A =>,可知函数在点5(1,)2取得极小值为517(1,)24f =-当1(,)(1,)2x y =-时,由20AC B -<,可知函数在点1(1,)2-不取得极值.2设函数22(,)y z f x y x =+,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,求z y ∂∂,2zy x∂∂∂.解:1212z yf f y x ∂=+∂,2111222122222112(2)(2)z y yy xf f f xf f y x x x x x ∂=--+-∂∂ 221112222223142()x y y xyf f f f x x x -=+-- 3计算二重积分sin d Dx yy σ⎰⎰,其中D 是由曲线2,y x y x ==围成的闭区域.解:10sin sin 1111d d d cos1cos1sin1sin12222y y Dx y x y y x y y σ==-+-=-⎰⎰⎰⎰ 4将函数()ln(1)f x x =+展成1x -的幂级数,并写出可展区间.解:1111()ln(21)ln 2ln(1)ln 2(1)()22n nn x x f x x ∞-=--=+-=++=+-∑11ln 2()(1),132n n n x x ∞==----<≤∑,(由1112x --<≤得到) 5微分方程cot cos y y x x '+=满足初始条件21x y π==的特解.解:通解()d ()d cot d cot d (()d )(cos d )P x x P x x x x x xy e Q x e x C e x e x C --⎰⎰⎰⎰=+=⋅+⎰⎰1sin (cos sin d )sin 2sin x C x x x C x x=+=+⎰,又21x y π==得12C =,故特解*sin 122sin x y x=+.6求微分方程2(1)x y y y x e '''+-=+的通解.解:由于特征方程220rr +-=的根为121,2r r ==-,故对应的齐次方程的通解为212x x C e C e -+,2*2111(D D 2)(x 1)(1)(1)(D+1)D+12D D+3x xx y e y e x e x +-=+⇒=+=++- 2111122(D)(1)()()D 39D 3969xx x x x e x e e x =-+=+=+ 故微分方程的通解22122()69x xx x y C e C ex e -=+++.7计算曲线积分22222()d ()d y y LIxe x y x x e y y =-+-⎰，其中L 是圆224x y +=上从点(2,0)A 沿上半圆周到点(2,0)B -的一段． 解:画图,补直线:0l y =与曲线L 构成封闭曲线绕逆时针方向用格林公式得22222222202()d ()d d 4cos d 4cos d y yL lDxe x y x x e y y x πππσθθθθ+--+-===⎰⎰⎰⎰⎰22018cos d 8222ππθθπ==⋅⋅=⎰故2222222222()d ()d 2()d ()d y y y y Llxe x y x x e y y xe x y x x e y y π-+-=--+-⎰⎰222d 2x x ππ-=-=⎰计算22d d d d d d Ixz y z yz z x z x y ∑=+-⎰⎰ ,其中∑是由曲面22z x y =+与224z x y =--所围立体的表面外侧.8计算33()d d ()d d d d Iz xz y z x yz z x x y ∑=++++⎰⎰,其中∑是有向曲面221z x y =--的上侧. 解:补曲面1:0z∑=取下侧,用高斯公式得133()d d ()d d d d ()d 2d z xz y z x yz z x x y z z v z v ΩΩ∑+∑++++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰212202d d cos sin d 2r r r πππθϕϕϕ==⎰⎰⎰,故13333()d d ()d d d d ()d d ()d d d d 2z xz y z x yz z x x y z xz y z x yz z x x y π∑∑++++=-++++⎰⎰⎰⎰3d d 222Dx y ππππ=+=+=⎰⎰.。

高数1-2 13-14 A一、选择题（每题3分，24分）1. 方程22x z z e y -=+ 确定了函数(),z z x y = ，则dz = 分析： ()222222x z x z x z dz de d y e dx e dz dy ---=+=-+整理得 2222211x z x z x ze dz dx dy e e ---=+++ 2. 曲线cos x t t =- ，3sin 2y t =+ ，1cos3z t =+ 在点2t π=处的切线方程为分析：切线方程为()()()000000x x y y z z x t y t z t ---==''' 在 2t π=处，0003cos,3sin 3,1cos12222x y z πππππ=-==+==+= ()21sin 1sin222t x t πππ=⎛⎫'=+=+=⎪⎝⎭， ()22cos 22cos 22t y t πππ=⎛⎫'===- ⎪⎝⎭()233sin 33sin322t z t πππ=⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭切线方程为 312223x y z π---==- 3. 函数()22ln u x y z =++ 在点A (1,0,1)沿A 点指向B (3,2,2)方向的方向导数为 分析：(),,f x y z 在点()000,,x y z 处沿着方向{}cos ,cos ,cos l e αβγ= 的方向导数为()()()()000000000000,,,,cos ,,cos ,,cos x y z x y z ff x y z f x y z f x y z lαβγ∂=++∂{}2,2,1,3AB AB == 221cos ,cos ,cos 333αβγ===()()()()1,0,11,0,11,0,11,0,12222112,02uu y x x y z yx y z ∂∂====∂++∂++()()1,0,11,0,12221u z zx y z ∂==∂++ ()000,,212120132333x y z f l∂∴=⋅+⋅+⋅=∂ 4. 交换二次积分()()12221112,,xxI dx f x y dy dx f x y dy =+⎰⎰⎰⎰的积分次序，得I =答案：()211,yydy f x y dx ⎰⎰ （自己画图吧）5. 设L 为连接()1,0和()0,1两点的直线段，则()2Lx y ds ++=⎰分析：第一类曲线积分公式：(),f x y 在曲线：()(),,x t y t t ϕψαβ==≤≤ 的曲线积分公式：()()()()()22,,Lf x y ds f t t t t dt βαϕψϕψ''=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰ L 的参数方程为 ,1,01x t y t t ==-≤≤()()()11222121132Lx y ds t t dt dt ++=+-+-+==⎰⎰⎰ 326. 设∑是平面1234x y z ++=在第一卦限的部分，则423x y z dS ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰第一类曲面积分计算公式（书本130页）：∑ (),z z x y =()()()()22,,,,,1,,xyx y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy ∑=++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰此题中，4423yz x =--， ()()()22224611,,1233xyz x y z x y ⎛⎫++=+-+-= ⎪⎝⎭444612242333xy D y x y z dS x y x dxdy ∑⎛⎫⎛⎫++=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 461461123332xy D dxdy ==⋅⋅⋅=⎰⎰ 4617. 幂级数2021n nn x n ∞=+∑的收敛域为 （书179页定理2）()1212211lim lim 221n n n n n nn al a n ++→∞→∞++===+ ，112R l == ， 当12x =时，原级数为 211n n∞=+∑ 收敛，当12x =- 时，原级数为 ()211nn n∞=-+∑ 收敛。

一、填空题1.已知(,)zz x y =由方程20z xz ye y +-=确定,则zy∂=∂ . 解:22zzy z zz F z e y y e y F x ye x ye ∂--=-=-=∂++类题:已知(,)z z x y =由方程10z yz xe ++=确定,则zx∂=∂ . 2.函数22(,)24f x y x y =+在点(2,1)P 处沿梯度方向的方向导数为 .解:∵4,8x y f x f y ==,∴在点(2,1)P 处沿梯度方向的方向导数为22(2,1)646482x y f f +=+=类题:函数(,)x f x y ye =在点(1,3)P 处沿梯度fgrad 方向的方向导数为 .3.曲面222236xy z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程为 .解:∵曲面的法向量为{,,}{2,4,6}x y z F F F x y z =,其中222236Fx y z =++-.∴在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-= 类题:曲线2cos ,2sin ,6x t y t z t ===在点4t π=处的切线方程为 .4.交换二次积分21d (,)d y yIy f x y x =⎰⎰的积分次序,得I = .解:画图知积分区域为:01,D x x y x ≤≤≤≤故10d (,)d xxI x f x y y =⎰.类题:交换二次积分21d (,)d x Ix f x y y =⎰⎰的积分次序,得I = .5.设L 是以(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B 为顶点的三角形边界,则曲线积分()d Lx y s +=⎰ .解:画图11()d 1d d d 21LABBOOAABx y s s y y x x +=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰类题:设平面曲线L 为圆周cos ,sin x t y t ==位于第一象限部分,则曲线积分d Lxy s =⎰ .6.设∑为上半球222zR x y =--则曲面积分d z S ∑=⎰⎰ .解:222222xy z z R x yR x y ==----2223222d DR z S R x y R R x y σπ∑=--=--⎰⎰.类题:设∑为平面21x y z++=在第一卦限中的部分,则曲面积分(2)d z x y S ∑++=⎰⎰ .7.幂级数2021nn n x n ∞=+∑的收敛域为 . 解:∵2212112n nn n x x x n =<⇒<+,12x =时,原级数2011n n ∞==+∑收敛, 12x =-时,原级数21(1)1n n n ∞==-+∑收敛.∴收敛域为12x ≤. 类题:幂级数02nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为 .8.二阶齐次线性微分方程320y y y '''-+=的通解为 .解:特征方程2320rr -+=的根为121,2r r ==,故通解为212x x C e C e +.类题:二阶齐次线性微分方程230y y y '''--=的通解为 .9.设21,0,()1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在x π= 处收敛于 .解:由收敛定理知,在x π=处收敛于22(0)(0)1(1)222f f ππππ-++--++==. 二、选择题 1.曲面(,)z f x y =对应于点000(,,)x y z 与z 轴正向相交成锐角的法向量可取为 ( ) (A) 0000{1,(,),(,)}x y f x y f x y ; (B)0000{(,),(,),1}x y f x y f x y ;(C) 0000{(,),(,),1}x y f x y f x y -; (D)0000{(,),(,),1}x y f x y f x y --.解:因与z 轴正向相交成锐角,故cos 0γ=>,0z F >,选(D).类题:曲面2222312xy z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程( )(A) 28624x y z +-=; (B)121143x y z +-+==-; (C) 121286x y z -+-==-; (D)4312x y z -+=. 2.设(,)f x y 是D 上的连续函数,若D :221x y +≤,而1D :221x y +≤,0x ≥,0y ≥,则下列式子成立的是( ). (A)12222()d d 4()d d D Df xy x y f x y x y +=+⎰⎰⎰⎰; (B)22()d d 0Df x y x y +=⎰⎰;(C)12222()d d 4()d d DD f x y x y f x y x y +=+⎰⎰⎰⎰;(D)12222()d d 2()d d DD f x y x y f x y x y +=+⎰⎰⎰⎰.解:因4个选项的被积函数关于,x y 都为偶函数,所以二重积分等于第一象限积分的4倍.选(C). 3.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是函数在点00(,)x y 处可微的( A )(A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分也非必要条件. 4.下列4个级数中,条件收敛的是( ).(A)12(1)!n nn n ∞=-∑; (B) 1(1)n n ∞=-∑; (C) 31(1)4nn n n ∞=-∑; (D)113!(1)n n nn n n ∞+=⋅-∑. 解:n ∞=为1p <的p 级数,故发散.1(1)nn ∞=-∑是交错级数满足莱布尼茨定理的条件,收敛.根据条件收敛的定义,综上有此级数条件收敛.5.设1,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩01()cos ,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑,其中102()cos d ,0,1,2,n a f x n x x n π==⋅⋅⋅⎰,则5()2S -等于( C ).(A)12; (B)12-; (C)34; (D)34-. 解:由n a 的表达式知道,此()S x 是以2为周期的()f x 的余弦级数的和,从而有511111113()()()[(0)(0)](1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.6.设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充要条件是在D 内恒有( B ) (A)P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x ∂∂=∂∂; (C)P Q x y ∂∂=-∂∂; (D)P Qy x∂∂=-∂∂. 三、解答题 1.求二元函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值,并说明是极大值还是极小值.解:由2222(,)2(2)01,12(,)(22)0x x x xy f x y e x y y e x y f x y e y ⎧=+++=⎪⇒==-⎨=+=⎪⎩为唯一驻点. 又由于011(0,0)(000)0(,1)22f e f e =++=>-=-所以在1(,1)2-处取得极小值为1111(,1)(12)222f e e -=+-=-. 类题:①求二元函数33(,)3(0)f x y axy x y a =-->的极值.解:由函数中,x y 呈轮换对称性,知必有x y =.22(,)330(0,0),(,)(,)330x yf x y ay x a a f x y ax y ⎧=-=⎪⇒⎨=-=⎪⎩为驻点. (,)6,(,)3,(,)6xx xy yy f x y x f x y a f x y y =-==-当(,)(0,0)x y =时,由2290AC B a -=-<可知不取极值当(,)(,)x y a a =时,由2222369270,6AC B a a a A a -=-=>=-可知在点(,)a a 函数取得极大值为3333(,)3f a a a a a a =--=②求函数222f x y z =++在1ax by cz ++=下的最小值.2.设函数2(,2)z f x y x y =+,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,求z x ∂∂,2zx y∂∂∂. 解:1222zxyf f x∂''=+∂, 22232111122122*********()2()22(22)2zxf xy x f f x f f xf x yf xy x f f x y∂''''''''''''''''=++++=++++∂∂ 类题:①设函数22(sin ,)x zf e y x y =+,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,求z x ∂∂,2zx y∂∂∂. 解:12sin 2x ze yf xf x∂''=+∂, 2111122122cos sin (cos 2)2(cos 2)x x x x ze yf e y e yf yf x e yf yf x y∂'''''''''=++++∂∂ 21111222cos sin cos (2sin 2cos )4x x x x e yf e y yf ye y xe y f xyf '''''''=++++ ②已知(,)()x z x y xy =,求z x ∂∂和zy∂∂. 3.计算二重积分d xyDxe σ⎰⎰,其中D 是由1,2,2,1x x yxy ====围成的闭区域.解:画图,D :112,2x y x≤≤≤≤把二重积分转化为二次积分得:22224211111d d d ()d 22xy xy x xDxe x xe y e e x e e e σ==-=--⎰⎰⎰⎰⎰. 类题:计算二重积分2d Dy σ⎰⎰,其中D 是由曲线22,2yx x ==围成的闭区域.解:(画图)2222064d 2d d 15xDy x y y σ==⎰⎰⎰ 4.将函数()ln(2)f x x =+展成x 的幂级数,并写出可展区间.解:23()ln(2)ln 2(1)ln 2ln(1)ln 222246x x x x x f x x =+=+=++=+-+-11ln 2(1)2n n n x n ∞-==+-∑,112x -<≤,即11()ln 2(1)2n n n x f x n ∞-==+-∑,22x -<≤. 类题:①将函数1()(1)f x x x =+展成1x -的幂级数,并写出可展区间.解:1111111(1)112111212x x x x x x =-=--++-+-+-+ 01(1)(1),1111n nn x x x ∞==---<+-∑,0111(1)(),112212n n n x x x ∞=--=-<-+∑故110121()(1)(1),02(1)2n n nn n f x x x x x +∞+=-==--<<+∑. ②求22x x e -到含5x 项的泰勒展开式.③展开1()1nn x f x x ∞=⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑为x 的幂级数.5.求微分方程2ln y y x x x'-=满足初始条件11x y ==的特解. 解:通解22()d ()d ()d ()d (()d )(ln d )x x P x xP x xx x y eQ x e x C e x xe x C ----⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰22ln ()2x x C =+,又由11x y ==,得1C =,故特解2*2ln (1)2x y x =+.类题:①求微分方程22(12)x y x y x '+-=满足初始条件10x y ==的特解.解:原方程2121xy y x-'⇔+=, 故通解221212d d ()d ()d (()d )(1d )x x xxP x xP x xxx y e Q x e x C eex C ----⎰⎰⎰⎰=+=⋅+⎰⎰11111222221(d )()xx x x x x e e x C x e e C x Cx e x--=+=+=+⎰,又10x y ==得1C e-=-,故特解2211ln ln *1(d )x x x xy eex e +---=-⎰②设函数()x ϕ连续,且满足0()()d ()d xx x x e t t t x t t ϕϕϕ=+-⎰⎰,求()x ϕ.6.求微分方程3232x y y y e '''--=的通解.解:由于特征方程2230rr --=的根为121,3r r =-=,故对应的齐次方程的通解为312x x C e C e -+,23*33332111(D 2D 3)2222D 2D 32D 22322x x x xx x y e y e x e x e e --=⇒====---⨯- 故微分方程的通解33122x xx x y C e C e e -=++.类题:①求微分方程2x y y y xe '''++=的通解.解:由于特征方程2210rr ++=的根为1,21r =-,故对应的齐次方程的通解为12()x C C x e -+,2*22212D 21(D 2D 1)()()D 2D 1D 2D 1D 2D 1x xx y xe y xe x e +++=⇒==-++++++ 22D 1144D 2D 144x x x x x x e e e e +=-=-++22D 1144D 2D 144x x x x x x e e e e +=-=-++ 故微分方程的通解121()44xx x x y C C x e e e -=++-.②求微分方程cos 2y y x x ''+=的通解. 解:*222212D 12D 14(cos2)()cos2()(cos2)cos2sin 2339D 1D 1D 1D 1x y x x x x x x x x ==-=--=-+++++.又由210r +=解得1,2i r =±,故故微分方程的通解124cos sin cos 2sin 239x y C x C x x x =+-+.7.计算曲线积分2(3)d ()d 2L x xy x y y ++-⎰，其中L 是圆221x y +=上从(0,1)A 到点(1,0)B 的一段．解:画图,由于P Q y x∂∂=∂∂,故补23:0,:0L y L x==与L形成封闭曲线绕逆时针方向用格林公式得232100117(3)d()d3d()d3222L L Lxxy x y y x y y--++-=+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰类题:①计算曲线积分32(2)d()dLI xy x x x x y y=-++-⎰，其中L是圆221x y+=上从点(1,0)A沿上半圆周到点(1,0)B-的一段．解:画图,补直线:0l y=与曲线L构成封闭曲线绕逆时针方向用格林公式得32(2)d()d(212)d2L lDxy x x x x y y x xπσ+-++-=+-=⎰⎰⎰故1323231(2)d()d(2)d()d d222 L lxy x x x x y y xy x x x x y y x xπππ--++-=--++-=-=⎰⎰⎰②计算()d d dCI y z x z y y z=+++⎰,其中C是上半球面2222(0)x y z R z++=≥与圆柱面22(0)x y Rx R+=>的交线从z轴正向看去按逆时针方向.8.计算22d d d d d dI xz y z yz z x z x y∑=+-⎰⎰,其中∑是由曲面22z x y=+与222z x y=--所围立体的表面外侧.解:用高斯公式得(画图)22d d d d d d (22)d d I xz y z yz z x z x y z z z v z v ΩΩ∑=+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22240d d cos sin d 2r r r πππθϕϕϕ==⎰⎰⎰类题:计算22d d d d d d I xz y z yz z x z x y ∑=+-⎰⎰,其中∑是由曲面22z x y =+与224zx y =--所围立体的表面外侧.9.求12121(1)n nn n x n∞-=+-∑的收敛域及和函数.10.求积分()d d d Dx y z x y z ++⎰⎰⎰的值,其中D 是由平面1x y z ++=,以及三个坐标平面所围成的区域.四、证明题1.已知曲线L 为22(1)(1)4x y -+-=,方向为逆时针方向,证明:曲线积分22d d 2L x y y xx y π-=+⎰.解:(画图)容易验证除了(0,0)点外.22222()Q P y x x x x y ∂∂-==∂∂+,故补一个圆222:l xy ε+=按顺时针方向,其中ε为足够小的正数使此圆包含在L 所围区域内,用格林公式得222d d 1d d 2L l x y y x x y y x x y πε--=-=+⎰⎰类题:求曲线积分22(4)d ()d 4Cx y y x y xIx y-+-=+⎰之值,其中C 为单位圆的正向. 2.证明:211d ()()d ()()d 1bxb n n aaa x x y f y yb y f y y n ---=--⎰⎰⎰.解:(画图)2211d ()()d d ()()d ()()d 1b xb bbn n n aaayax x y f y y y x y f y x b y f y y n ----=-=--⎰⎰⎰⎰⎰。

贵州大学高数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. 27答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 函数f(x)=ln(x)在区间(0, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：A5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 若函数f(x)=3x+2，则f'(x)=______。

答案：37. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为(2, ______)。

答案：-18. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程为y=______。

答案：18x-489. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的值f(1)=______。

答案：010. 定积分∫(0到π) sin x dx的值为______。

答案：2三、解答题（每题15分，共40分）11. 计算极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：由于(1+1/x)^x在x→∞时，可以看作是e的指数函数，即e^(ln(1+1/x)^x)，当x→∞时，ln(1+1/x)→0，因此lim(x→∞) (1+1/x)^x = e^0 = 1。

12. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：首先求导数y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)，令y'=0得x=1或x=3，检查端点和临界点的函数值，得到在x=1时，y=1；在x=3时，y=1，因此最大值和最小值均为1。

13. 计算定积分∫(0到2) (2x+1) dx。

答案：∫(0到2) (2x+1) dx = [x^2+x](0到2) = (4+2) - (0+0) = 6。