2012中代数式和因式分解

代数式的展开与因式分解一、代数式的展开1.代数式的概念：代数式是由数字、变量和运算符号组成的表达式。

2.代数式的展开：将代数式中的乘法运算进行展开，使乘法运算中的各项分别相乘。

3.完全平方公式的展开：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²4.平方差公式的展开：(a+b)(a-b) = a² - b²5.立方公式：a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)二、因式分解1.因式分解的概念：将一个多项式表达为几个整式的乘积形式。

2.提公因式法：找出多项式中公共的因子，将其提出来进行因式分解。

3.公式法：利用已知的公式进行因式分解。

4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后对每组进行因式分解。

5.十字相乘法：对于二次多项式，通过交叉相乘的方式进行因式分解。

6.多项式的最大公因式：找出两个或多个多项式的公共因子中最大的一个。

7.因式分解的应用：解决代数方程、简化代数表达式等问题。

三、常见的错误和注意事项1.注意区分乘法和除法，避免在展开和因式分解过程中出错。

2.在使用公式法进行因式分解时，要确保公式适用。

3.因式分解时要彻底，不要遗漏任何可分解的因子。

4.在解决实际问题时，要根据题目要求选择合适的因式分解方法。

通过掌握代数式的展开和因式分解，同学们可以更好地解决中学数学中的各种问题，提高解题能力。

习题及方法：1.习题：展开下列代数式：(a+b)(a+b)解题方法：根据完全平方公式进行展开。

解答：a² + 2ab + b²2.习题：因式分解下列多项式：解题方法：使用平方差公式进行因式分解。

解答：x² - 4 = (x+2)(x-2)3.习题：展开下列代数式：(2x-3y)(2x+3y)解题方法：根据平方差公式进行展开。

2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题2：代数式和因式分解一、选择题1.（上海市2002年3分）在下列各组根式中，是同类二次根式的是【 】 （A ）2和12；（B ）2和21； （C ）ab 4和3ab ；（D ）1-a 和1+a ．【答案】B ，C 。

． 【考点】同类二次根式。

【分析】首先把各选项中不是最简二次根式的式子化成最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断：A 、1223=和2被开方数不同，不是同类二次根式；B 、11222=和2被开方数相同，是同类二次根式； C 、4=2ab ab 和3=ab b ab 被开方数相同，是同类二次根式；D 、被开方数不同，不是同类二次根式。

故选B ，C 。

．[来源:][来源:Z_xx_]2.（上海市2004年3分）下列运算中，计算结果正确的是【 】 A. 4312a a a ⋅= B. a a a632÷= C. ()aa325= D. ()a b a b 333⋅=⋅ 【答案】D 。

【考点】同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、应为437a a a ⋅=，故本选项错误；B 、应为633a a a ÷=，故本选项错误；C 、应为()236aa =，故本选项错误；D 、()ab a b 333⋅=⋅，正确。

故选D 。

3.（上海市2007年4分）在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是【 】 A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a【答案】C 。

[来源:] 【考点】同类二次根式。

【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a 的选项即可：A 、2a 与a 被开方数不同，故二者不是同类二次根式；B 、23=3a a 与a 被开方数不同，故二者不是同类二次根式；C 、3=a a a 与a 被开方数相同，故二者是同类二次根式；D 、42=a a 与a 被开方数不同，故二者不是同类二次根式。

2001-2012年浙江温州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题2：代数式和因式分解一、选择题1. （2002年浙江温州4分）若a ＜0，化简|a 其结果是【 】 A ．0 B ．2a C ．－2a D ．2a 或－2a 【答案】C 。

【考点】二次根式化简，绝对值。

【分析】∵a ＜0a -。

∴a a+a =2a =2a -。

故选C 。

2. （2003年浙江温州4分）下列各单项式中，与2x 4y 是同类项的为【 】 A ．2x 4B ．2xyC ． x 4y D ． 2x 2y 3【答案】C 。

【考点】同类项的概念。

【分析】所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。

因此， 与2x 4y 是同类项的为x 4y 。

故选C 。

3. （2003年浙江温州4分）x 2－4的因式分解的结果是【 】A ．(x －2)2B ．(x －2)(x ＋2)C ．(x ＋2)2D ．(x －4)(x ＋4) 【答案】B 。

【考点】应用公式法因式分解。

【分析】直接应用平方差公式即可：()()2x 4x 2x 2-=+-。

故选B 。

4. （2004年浙江温州4分）2x －x 等于【 】(A) x (B) －x (C) 3x (D) －3x 【答案】A 。

【考点】合并同类项。

【分析】根据合并同类项法则直接得2x －x= x 。

故选A 。

5. （2005年浙江温州4分）若a 3b 5= ，则a+b b 的值是【 】 A 、85B 、35C 、32D 、58【答案】A 。

【考点】求分式的值，待定系数法的应用，【分析】设a3kb5==，则a3k,b5k==，∴a+b3k5k8b5k5+==。

故选A。

6. 2006年浙江温州4分）晓晓根据下表，作了三个推测：①x13x-- (x>0)的值随着x的增大越来越小；②x13x-- (x>0)的值有可能等于2；③x13x-- (x>0)的值随着x的增大越来越接近于2．则推测正确的有【】A.0个B.1个 C．2个 D. 3个【答案】C。

中考数学第一轮复习第一单元数与式第3课时整式及因式分解命题点1 代数式及其求值1. (2012安徽5题4分)某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是()A. (a－10%)(a＋15%)万元B. a(1－10%)(1＋15%)万元C. (a－10%＋15%)万元D. a(1－10%＋15%)万元2. (2014安徽7题4分)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为()A. －6B. 6C. －2或6D. －2或30命题点2 整式的运算3. (2016安徽2题4分)计算a10÷a2(a≠0)的结果是()A. a5B. a－5C. a8D. a－84. (2014安徽2题4分)x2·x3＝()A. x5B. x6C．x8 D. x95. (2012安徽3题4分)计算(－2x2)3的结果是()A．－2x5B．－8x6C．－2x6D．－8x56. (2013安徽4题4分)下列运算正确的是()A. 2x＋3y＝5xyB. 5m2·m3＝5m5C. (a－b)2＝a2－b2D. m2·m3＝m67. (2012安徽15题8分)计算：(a＋3)(a－1)＋a(a－2)．命题点3 因式分解8. (2014安徽4题4分)下列多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1 B．a2－6a＋9C．x2＋5y D．x2－5y9. (2012安徽4题4分)下面的多项式中，能因式分解的是()A. m2＋nB. m2－m＋1C. m2－nD. m2－2m＋110. (2016安徽12题5分)因式分解：a3－a＝________________．11. (2013安徽12题5分)因式分解：x2y－y＝________________．命题点4 规律探索12. (2015安徽13题5分)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中连续的三个数，猜测x、y、z满足的关系式是________．13. (2014安徽16题8分)观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5①52－4×22＝9 ②72－4×32＝13 ③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×()2＝()；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．14. (2016安徽18题8分)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(__________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝____________．1. B【解析】由题意可知，4月份产值为a(1－10%)万元，5月份产值为a(1－10%)(1＋15%)万元.2. B【解析】由x2－2x－3＝0得x2－2x＝3，所以2x2－4x＝2(x2－2x)＝2×3＝6.3. C【解析】根据同底数幂的除法运算法则：“底数不变，指数相减”计算即可．a10÷a2＝a10－2＝a8.4. A【解析】本题考查同底数幂的乘法. 根据“底数不变，指数相加”可得x2·x3＝x2＋3＝x5.5. B【解析】(－2x2)3＝(－2)3·x2×3＝－8x6.6. B【解析】7. 解：原式＝a2＋2a－3＋a2－2a(6分)＝2a2－3.(8分)8. B【解析】9. D【解析】A、B、C均不能进行因式分解，只有选项D能利用完全平方公式进行因式分解．10. a(a＋1)(a－1)【解析】a3－a提取公因式a得a(a2－1)，利用平方差公式分解因式得a(a＋1)(a－1)．11. y(x＋1)(x－1)【解析】先提取公因式y得y(x2－1)，再用平方差公式分解因式得y(x＋1)(x－1)．12. xy＝z【解析】观察这一列数可得：23＝21·22，25＝22·23，28＝23·25，213＝25·28，…，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积，由x、y、z表示这列数中的连续三个数，则有xy＝z.13. 解：(1)4，17；(4分)【解法提示】观察所给的三个等式可得：等式左边第一项分别为32，52，72，…；第二项为4×12，4×22，4×32，…；等式右边分别为5，9＝5＋4，13＝9＋4，…；∴第四个等式第二项为4×42，等式右边为13＋4＝17.(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1，∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立．(8分)14. 解：(1)42；n2；(每空2分)【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有4行时，小球的总个数＝4×4＝42(个)，∴第一个空填42；根据此规律可知，当小球有n行时，小球的总数＝n·n＝n2，∴第二个空填n2.(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.(每空2分)【解法提示】在连续的奇数中，2n－1后边的数是2n＋1，∴第一个空填“2n ＋1”；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中，“2n－1”前面的所有数之和等于n2，后面的所有的数之和也等于n2，∴总和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n ＋1，∴等式的右边填“2n2＋2n＋1”．。

广西各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题2：代数式和因式分解一、选择题1. （2012广西北海3分）下列运算正确的是：【】A ．x 3·x 5＝x 15B ．(2x 2)3＝8x 6C ．x 9÷x 3＝x 3D ．(x －1)2＝x 2－12【答案】B 。

【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式。

【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、x 3•x 5=x 3+5=x 8，故本选项错误；B 、（2x 2）3=23•x 2×3=8x 6，故本选项正确；C 、x 9÷x 3=x 9－3=x 6，故本选项错误；D 、（x －1）2=x 2－2x ＋1，故本选项错误。

故选B 。

2. （2012广西贵港3分）计算(－2a)2－3a 2的结果是【 】A ．－a 2B ．a 2C ．－5a 2D ．5a 2【答案】B 。

【考点】幂的乘方和积的乘方，合并同类项。

【分析】利用积的乘方的性质求得(－2a)2＝4a 2，再合并同类项，即可求得答案：(－2a)2－3a 2＝4a 2－3a 2＝a 2。

故选B 。

3. （2012广西桂林3分）计算2xy 2＋3xy 2的结果是【】A ．5xy 2B ．xy 2C ．2x 2y 4D ．x 2y 4【答案】A 。

【考点】合并同类项。

【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可：2xy 2+3xy 2=5xy 2。

故选A 。

4. （2012广西河池3分）下列运算正确的是【】A ．236(2a )8a -=-B ．a 2a a -=C ．632a a a ?D ．222(a b)a b +=+ 【答案】A 。

【考点】幂的乘方和积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式【分析】根据幂的乘方和积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法运算法则和完全平方公式解答：A 、因为（()323236(2a )2a 8a ´-=-=-，故本选项正确；B 、因为a 2a a -=-，故本选项错误；C 、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可知63633a aa a -?=，故本选项错误； D 、根据完全平方公式，可知222(a b)a 2ab b +=++，故本选项错误。

福建9市2012年中考数学试题分类解析汇编专题2：代数式和因式分解一、选择题1. （2012福建南平4分）下列计算正确的是【 】A ．a 3＋a 2=a 5B ．a 5÷a 4=aC ．a•a 4=a 4D ．（ab 2）3=ab 6【答案】B 。

【考点】合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方。

【分析】分析根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案：A 、a 3与a 2不是同类项，不能合并，故选项错误；B 、a 5÷a 4=a 5-4=a ，故选项正确；C 、a•a 4=a 4+1=a 5，故选项错误；D 、（ab 2）3=a 3b 6，故选项错误。

故选B 。

2. （2012福建宁德4分）下列运算正确的是【 】A ．a 3＋a 2＝a 5B ．a 3·a 2＝a 5C ．a 6÷a 2＝a 3D ．(4a)2＝8a 2【答案】B 。

【考点】合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A ．a 3和a 2不是同类项，不可以合并，选项错误；B ．32325a a aa +⋅＝＝，选项正确；C ．62624a a a a -÷＝＝，选项错误； D ．2222(4a )4a 16a ＝＝，选项错误。

故选B 。

3. （2012福建莆田4分）下列运算正确的是【 】A ．3a a 3-=B ．33a a a ÷=C ．235a a a = D ．222(a b)ab +=+【答案】C 。

【考点】合并同类项，同底幂乘法和除法，完全平方公式。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断：A ．3a a 2a -=，故本选项错误；B ．3333a a a=a =1-÷=，故本选项错误；C．232+35，故本选项正确；a a a a==D．222+=++，故本选项错误。

2012届中考数学往年考点分类解析汇编：代数式和因式分解广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题2代数式和因式分解一、选择题1.（佛山3分）在①；②；③；④中，计算结果为的个数是A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】A。

【考点】同底幂乘法运算法则，幂的乘方运算法则，同底幂除法运算法则。

【分析】根据同底幂乘、除法运算法则和幂的乘方运算法则，有①；②；③；④。

故选A。

2.（广州3分）下面的计算正确的是A、32•42＝122B、3•5＝15C、4÷＝3D、（5）2＝7【答案】C。

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式。

【分析】根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判定：A、32•42=124，故本选项错误；B、3•5=x8，故本选项错误；C、正确；D、（5）2=10，故本选项错误。

故选C。

3.（河源3分）下列各式运算正确的是【答案】B。

【考点】合并同类项，同底幂乘法、积和幂的乘方、同底幂除法运算法则。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法、积和幂的乘方、同底幂除法运算法则，A.指数不同不可以相加，选项错误；B.选项正确；C.，选项错误；D.选项错误。

故选B。

4.（清远3分）下列选项中，与2是同类项的是A．—22B．22C．D．22【答案】A。

【考点】同类项。

【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项的定义，只有—22与2所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同。

故选A。

5.（深圳3分）下列运算正确的是A.B.C.D.【答案】D。

【考点】完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方。

【分析】根据合并同类项法则：底数和指数相同才可以相加，故A选项错误；根据完全平方公式，故B选项错误；根据同底数幂的乘法法则：，故C选项错误；根据幂的乘方法则：。

故选D。

6.（台山3分）下列计算正确的是A、2•B、C、D、（【答案】D。

【考点】同底幂乘法运算法则，幂和积的乘方运算法则，同底幂除法运算法则。

- 1 - 无锡新领航教育浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编专题2：代数式和因式分解一、选择题1.（2012浙江杭州3分）下列计算正确的是【 】A ．（﹣p 2q ）3=﹣p 5q 3B ．（12a 2b 3c ）÷（6ab 2）=2abC ．3m 2÷（3m ﹣1）=m ﹣3m 2D ．（x 2﹣4x ）x ﹣1=x ﹣4【答案】D 。

【考点】整式的混合运算，积的乘方和幂的乘方，整式的乘法，同底数幂的乘法和除法。

【分析】根据整式的混合运算法则对各选项分别进行计算，即可判断：A 、（﹣p 2q ）3=﹣p 6q 3，故本选项错误；B 、12a 2b 3c ）÷（6ab 2）=2abc ，故本选项错误；C 、223m 3m 3m 13m 1÷=（﹣）（﹣），故本选项错误； D 、（x 2﹣4x ）x﹣1=x ﹣4，故本选项正确。

故选D 。

2.（2012浙江湖州3分）计算2a －a ，正确的结果是【 】A ．－2a 3B ．1C ．2D ．a【答案】D 。

【考点】合并同类项。

【分析】根据合并同类项的运算法则计算作出判断：2a －a= a 。

故选D 。

3.（2012浙江湖州3分）要使分式1x 有意义，x 的取值范围满足【 】A ．x=0B ．x≠0C ．x ＞0D ．x ＜0【答案】B 。

【考点】分式有意义的条件。

【分析】根据分式分母不为0的条件，要使1x 在实数范围内有意义，必须x≠0。

故选B 。

4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）若分式x 1x+2-的值为0，则【 】。

[中考12年]海南省2001-2012年中考数学试题分类解析专题2：代数式和因式分解一、选择题1. （2001年海南省3分）下列运算正确．．的是【】．A．x3＋x3＝2x6 B．x·x2＝x3C．（－x3）2＝－x6 D．x6÷x3＝x22. （2001年海南省3分）（a－b）2＝【】．A．a2－b2B．a2＋b2C．a2－ab＋b2D．a2－2ab＋b2【答案】D。

【考点】完全平方公式。

【分析】直接根据完全平方公式得出结论：（a－b）2＝a2－2ab＋b2。

故选D。

3. （2001年海南省3分）某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10%，三月份比二月份减少10%，则三月份的销售额比一月份的销售额【】．A．增加10% B．减少10% C．不增也不减D．减少1%4. （2002年海南省3分）下列运算中正确的是【】A．x2+x2=x2 B．x•x4=x4 C．（xy）4=xy4 D．x6÷x2=x4【答案】D。

【考点】合并同类项，同底幂乘法和除法，积的乘方。

【分析】根据合并同类项，同底幂乘法和除法，积的乘方运算法则逐一计算作出判断：A 、应为x 2+x 2=2x 2，故本选项错误；B 、应为x•x 4=x 5，故本选项错误；C 、应为（xy ）4=x 4y 4，故本选项错误； D 、x 6÷x 2=x 4，故本选项正确。

故选D 。

5.（2002年海南省3分）下列因式分解中，错误的是【 】A ．()()219x 13x 13x -=+-B ．2211a a (a )42-+=-C ．()mx my m x y -+=-+D ．()()ax ay bx by x y a b --+=--6. （2003年海南省2分）下列各式中，不一定成立的是【 】A ．222a b a 2ab b +=++（）B ．222b a a 2ab b -=-+（）C ．()()22a b a b a b +-=-D ．222a b a b -=-（）【答案】D 。

2001-2012年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题2：代数式和因式分解一、选择题1.（2001江苏泰州3分）下列计算正确的是【 】。

A. ()2n2naa =aa 0÷≠ B.32xx=xyy()b a b -≥【答案】B 。

【考点】同底幂除法，分式化简， 根式化简。

【分析】根据同底幂除法，分式化简， 根式化简运算法则逐一计算作出判断：A. 2n22n 2aa =a-÷ ，计算错误； B.32xx=xyy，计算正确；a - ，计算错误；ab -不等，计算错误， 故选B 。

2.（江苏省泰州市2002年4分）下列运算正确的是【 】 A 、a 3·a 4=a 12B 、a 5－a 3=a 2C 、(a 2)m =a 2mD 、(a+1)0=1【答案】C 。

【考点】同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，零指数幂。

【分析】根据同底数幂的乘法的性质，合并同类项的法则，幂的乘方的性质，零指数幂的意义，对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、a 3•a 4=a 7，此选项错误；B 、a 5和a 3不是同类项，不可以合并，此选项错误； C 、（a 2）m =a 2m ，此选项正确；D 、（a+1）0=1必须a≠－1，此选项错误。

故选C 。

3.（江苏省泰州市2003年4分）下列运算正确的是【 】 A ．4222x x x =+ B ．532a a a =⋅C ．64216)2(x x =- D ．223)3)(3(y x y x y x -=-+ 【答案】B 。

【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式。

【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、应为2222x x x +=，故本选项错误；B 、235a a a ⋅=，故本选项正确；C 、应为248(2)16x x -=，故本选项错误；D 、应为22(3)(3)9x y x y x y +-=-，故本选项错误。