2018届高考数学二轮考点27平面向量的数量积专题卷(全国通用)

2018届透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题12 平面向量【主题考法】本热点考查形式为择题或填空题，主要考查平面向量的概念与向量的线性运算、平面向量基本定理与平面向量的数量积的概念、运算法则及性质，考查利用平面向量的知识计算向量的夹角、长度及最值或范围问题，考查分运算求解能力、数形结合思想，以向量为工具和载体与其他知识交汇命题的也是命题的一个方向，难度为基础题或中档题，分值为5分. 【主题考前回扣】 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. 5．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 7.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.【易错点提醒】1.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行． 2．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律4.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系. 【主题考向】考向一 平面向量的概念与线性运算【解决法宝】1．对平面向量的线性运算问题，若已知向量的坐标或易建立坐标系，常用坐标法，否则利用三角形法则和平行四边形法则处理向量的线性运算，一般地，共起点的向量利用平行四边形法则，差用三角形法则.当M 是BC 的中点，AM =)(21AC AB +应作为公式记住. 2．对向量共线问题，要熟记平面向量共线的充要条件，①b a //（0≠a ）⇔存在唯一实数λ，使得a b λ=；②已知),(11y x a =，),(22y x b =，则b a //⇔01221=-y x y x ，处理选择合适的方法.例1【西北师大附中2018届二模】已知向量()2,1a =, (),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（ ）A. 2-B. ２C. 2±D. ４【分析】求出向量a b +与a b -的坐标，利用向量共线的充要条件的坐标形式列出关于x 的方程，即可求出x 的值.【解析】由()2,1a =， (),1b x =，则()2,2a b x +=+， ()2,0a b x -=-， 因为a b +与a b -共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ． 考向二 平面向量基本定理【解决法宝】平面向量的线性表示，常选择已知不共线的向量为基底，常从未知向量开始，逐步构造三角形，最终用已知向量表示出来，即直接法；也可用待定系数法，即所要表示的向量用基底表示出来，用两种不同逐步构造三角形的方法所要表示的向量表示出来，再利用平面向量基本定理即可列出关于参数的方程，解出参数，即可所要表示向量的表示形式，其中回路法是解题的常用方法，回路即向量从一点出发，通过一个的图形又回到起点的那个通路，构成一个回路.回路法的关键是利用条件，将我们关心的两个向量列成比例式，关联题设条件，最后将向量分解成共线形式，问题迎刃而解.例2 【陕西榆林市2018届一模】已知AB 与AC的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈ ，且0AM BC = ，则λμ的值为 ．【分析】建立直角坐标系，用坐标法及0AM BC = 列出关于μλ,的方程，解出μλ,的值，即可求出λμ的值.例3【山东省菏泽市2018届一模】已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD=3DC ，点E 为AD 的中点，，则=_________.【答分析】通过构造三角形，利用向量加法的三角形法则逐步将未知向量用已知向量表示出来. 【解析】如图：.又，所以，所以.又因为与不共线，所以，，所以.考向三 平面向量的数量积【解决法宝】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b 在向量a 方向上的投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用∙a b|a |计算. 3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算. 4.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.5.对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a 是非坐标形式，用==∙22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a |=2211x y +来求解.例4【安徽黄山市一高2018届一模】若非零向量,a b满足223a b = ,且()()32a b a b -⊥+ ,则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【分析】利用向量垂直的充要条件，计算出a 与b 的数量积与a 、b模的关系，再利用向量夹角公式，即可求出向量a 与b的夹角.【解析】()()()()22223232=03203a b a b a b a b a b a b a b b -⊥+⇒-⋅+⇒--⋅=⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r r所以22223cos ,,.2422||||3b a b a b a b a b b π⋅<>===⇒<>=r r r r r r r r r r 选A. 考向四 向量与其他知识的交汇【解题法宝】对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.例5【山东省聊城市2018届一模】在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【分析】以BC 边的中点为原点，BC 上的中线为y 轴建立坐标系，设P(x,y)，将PA PB PA PC ⋅+⋅用x,y 表示出来，再求出其范围.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．设点P 的坐标为(),x y ，则()(),2,,PA x y PO x y =--=--，故()()22222PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y⋅+⋅=⋅+=⋅=+-()222122x y ⎡⎤=+--≥-⎣⎦，当且仅当0,1x y ==时等号成立． 所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为2-．选C ． 【主题集训】1.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届三模】在ABC ∆中，若4AB AC AP += ，则CP＝（ ）A. 3144AB AC -B. 3144AB AC -+C. 1344AB AC -D. 1344AB AC -+【答案】C【解析】由题意得4AB AC AP += =()4AB CP + ，解得CP ＝1344AB AC -，选C.2. 【河北省衡水中学2018届七调】已知向量()2,3a =， ()1,2b =- ，若ma b + 与2a b - 垂直，则实数m 的值为（ ）A. 65-B. 65C. 910D. 910- 【答案】B。

平面向量的数量积专题[基础达标](35分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A.|a|=a·aB.|a·b|=|a||b|C.λ(a·b)=λa·bD.|a·b|≤|a||b|B【解析】|a·b|=|a||b||cosθ|，故易知B错误.2BA=12，32，BC=32，12，则∠ABC=() A.30° B.45° C.60° D.120°A【解析】由夹角公式可得cos∠ABC=BA·BCBA· BC =32，则∠ABC=30°.3.已知AB·BC=0，|AB|=1，|BC|=2，AD·DC=0，则|BD|的最大值为()A.255B.2C.D.2C【解析】由AB·BC=0，AD·DC=0知B点，D点都在以AC为直径的圆上，当BD为圆的直径时其值最大且为5.4.已知向量a=(1，2x)，b=(4，-x)，则“x=2”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A【解析】当x=2时，a·b=4-2x2=4-4=0，即有a⊥b，反之，当a⊥b时，有a·b=0，即4-2x2=0，解得x=±.5a与向量b的夹角为120°，若(a+b)⊥(a-2b)且|a|=2，则b在a上的投影为()A.-1+338B.1+338C.33-18D.33+18A【解析】由(a+b)⊥(a-2b)得(a+b)·(a-2b)=0，即|a|2-a·b-2|b|2=0，又|a|=2，由向量a与向量b的夹角为120°得a·b=|a||b|cos<a，b>=-|b|，故4+|b|-2|b|2=0，解得|b|=1+334或|b|=1-334(舍去)，而b在a上的投影为|b|cosθ，即1+334cos 120°=-1+338.6m，n的夹角为π6，且|m|=3，|n|=2，在△ABC中，AB=m+n，AC=m-3n，D为BC边的中点，则|AD|=() A.1 B.2 C.3 D.4A【解析】由题意可得m·n=2×3×32=3，则|AB|=|m+n|=|m|2+2m·n+|n|2= 13，|AC|=|m-3n|=|m|2-6m·n+9|n|2=21，AB·AC=(m+n)·(m-3n)=|m|2-2m·n-3|n|2=-15，则|AD|=12|AB+AC|==1.二、填空题(每小题5分，共20分)7.已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=2，则|c|的取值范围是.[2-2，2+2]【解析】由a，b是单位向量，a·b=0.可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y).∵向量c满足|c-a-b|=2可得(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1，1)，半径r=2，∴|OC|=2.∴r-|OC|≤|c|≤|OC|+r，即2-2≤|c|≤2+2.∴|c|的取值范围是[2-2，2+2].8ABC中，∠C=90°，且|CA|=3，点M满足BM=2AM，则CM·CA=.6【解析】由题意可得CM=CB+BM=CB+23BA=CB+23(CA−CB)=23CA+1 3CB，则CM·CA=23CA+13CB·CA=23|CA|2=6.9△ABC中，若AB=(2，-1)，BC=(-1，-1)，则cos ∠BAC的值等于.4 5【解析】由题意可得AC=AB+BC=(1，-2)，则cos∠BAC=AB·AC|AB|·|AC|=45.10.若平面向量a，b满足|2a-b|≤3，则a·b的最小值是.-98【解析】由|2a-b|≤3可知，4a2+b2-4a·b≤9，所以4a2+b2≤9+4a·b.而4a2+b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|·|b|≥-4a·b，所以-4a·b≤9+4a·b，得a·b≥-98.[高考冲关](20分钟30分)1.(5分△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF·BC的值为()A.-58B.18C.14D.118B【解析】因为D，E是AB，AC的中点，且DE=2EF，所以AD=12AB，DF=34AC，所以AF·BC=(AD+DF)·BC=12AB+34AC·BC=12AB·BC+34AC·BC=1 2×|AB|·|BC|cos 120°+34×|AC|·|BC|cos 60°=12×1×1×-12+34×1×1×12=18.2.(5分a，b是两个单位向量，且a·b=-12，向量c与a+b共线，则|a+c|的最小值为()A.32B.22C.33D.1A【解析】由于向量c与a+b共线，所以可设c=λ(a+b)，因此|a+c|=|(1+λ)a+λb|，而|(1+λ)a+λb|2=(1+λ)2|a|2+2(1+λ)·λa·b+λ2|b|2=(1+λ)2+2(1+λ)·λ·-12+λ2=λ2+λ+1=λ+122+34，所以当λ=-12时，|(1+λ)a+λb|2取最小值为34，即|a+c|2的最小值为34，故当λ=-12时，|a+c|取最小值为32.3.(5分A ，B ，C ，D 满足|DA |=|DB |=|DC |，DA ·DB =DB ·DC =DC ·DA =-2，动点P ，M 满足|AP |=1，PM =MC ，则|BM |2的最大值是 ( )A.434 B.494C.37+6 34 D.37+2 334B 【解析】由|DA |=|DB |=|DC |可知，D 为△ABC 外心，由DA ·DB =DB ·DC =DC ·DA =-2，可得DA ·DB −DB ·DC =DB ·(DA −DC )=DB ·CA =0，所以BD ⊥AC ，同理可得AD ⊥BC ，CD ⊥AB ，即D 为△ABC 垂心，所以△ABC 为正三角形.DC ·DA =|DC |2cos 2π3=-12|DC |2=-2，所以|DC |=2，所以△ABC 边长为2 3.取AC 中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM=12AP=12，所以|BM |max =|BE|+12=72，所以|BM |max 2=494.4.(5分)向量AB =(1，1)，CD =( 1-x ， x +3)，f (x )=AB ·CD ，函数f (x )的最大值为 .2 2 【解析】由题得f (x )= 1-x + x +3(-3≤x ≤1)，所以f 2(x )=4+2 (1-x )(x +3)，即f 2(x )=4+2 -x 2-2x +3=4+2 -(x +1)2+4，因此当x=-1时，f 2(x )取最大值为8，故f (x )的最大值为2 2.5.(10分)设两个向量e 1，e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 【解析】由向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角，得(2te 1+7e 2)·(e 1+te 2)|2te 1+7e 2||e 1+te 2|<0，即(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)<0，化简即得2t2+15t+7<0，解得-7<t<-12.当夹角为π时，也有(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0，但此时夹角不是钝角.设2t e1+7e2=λ(e1+t e2)，λ<0，可求得2t=λ，7=λt，λ<0，解得λ=-14，t=-142.∴所求实数t的范围是-7，-142∪-142，-12.。

专题十九平面向量的数量积及其应用考点42平面向量的数量积考场高招1 三大方法(定义法、坐标法、转化法)解决平面向量数量积问题1.解读高招2.典例指引1(1)(2017届山西临汾一中等五校三联)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=3,||=1,则的值为()A.1B.2C.3D.4(2)在菱形ABCD中,对角线AC=4,E为CD的中点,则=()A.8B.10C.12D.14(3)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则的值是()A.-B.-C.-D.-(2)(坐标法)特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为2,以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,2),E(,2).所以=(2,2),=(,2).所以=2+2×2=12.故选C.(3)(转化法)∵=2,r=1,∴||==()·()=·()+=+0-1=-,故选B.【答案】(1)C(2)C(3)B3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理3)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5【答案】 A∵|a+b|=,∴(a+b)2=10,即a2+b2+2a·b=10.①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,即a2+b2-2a·b=6.②由①②可得a·b=1.故选A.2.(2013课标Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则= .【答案】2高手解惑典题(2017四川资阳一诊)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且满足+2+4=0,则= ()A.-B.-C.D.考生困惑：感觉所求的无法和已知条件联系到一起.如何将已知条件+2+4=0通过转化得到所求的,采用什么运算方式达到转化目的是困惑点.解惑绝招：第一步:明确转化法分析已知条件含有三个向量,观察所求,联系到,代入所求=()·,问题可以转化为求,这一步体现了利用“转化法”的指导作用.第二步:借助平方技巧如何将已知+2+4=0进行转化,达到消去的目的是解题的关键.将已知变形为2=-4,借助两边平方技巧,既能达到消去的目的,又能得到,胜利就在眼前!第三步:回扣条件顺利求解利用△ABC的外接圆半径为1,即||=||=||=1,化简第二步得到的等式,顺利求解.【解析】由+2+4=0,得2=-4,两边平方,得4+4=16.因为△ABC的外接圆半径为1,所以||=||=||=1.所以4+1+4=16.所以.所以=()·-1=.故选C.考场高招2 求向量a在向量b方向上的投影的方法1.解读高招3方向上的投影为2.典例指引2(1)(2017辽宁葫芦岛第二次考试)已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量-a方向上的投影为()A.0B.1C.2D.-1(2)圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为【答案】 (1)D(2)33.亲临考场1.(2016陕西西安质检)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为()A.3B.-3C.-D.【答案】 B由a⊥(a+b)得a·(a+b)=0,即a2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.2.(2017江西抚州七校联考)在Rt△AOB中,=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若,则向量在向量方向上的投影为()A. B.1 C.1或 D.【答案】 D 因为•=0,所以OA⊥OB,|AB|=5,S△OAB =·AB·OD=·OA·OB.所以OD==2.因为=||·||·cos∠DEA=,所以||·||=.所以(2-||)·||=,即||=或||=.故选D.考点43 平面向量的长度与角度考场高招3 平面向量基本定理的应用方法1.解读高招>=2.典例指引3(1)(2017河北唐山期末)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos θ=()A.-B.C.D.-(2)若a,b均为非零向量,且(a-2b)⊥a,( b-2a)⊥b,则a,b的夹角为.5【答案】 (1)A(2)3.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理3)已知向量,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】 A由题意得cos∠ABC==,所以∠ABC=30°,故选A.2.(2017湖南郴州二测)已知a,b均为单位向量,且(2a+b)·(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为()A. B. C. D.【答案】 A设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=|b|=1,所以(2a+b)·(a-2b)=-3a·b=-3cosθ=-,即cosθ=,θ=.故选A.3.(2017广东阶段测评)已知向量满足,||=2,||=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若=-,则向量的夹角为()A. B. C. D.考场高招4 巧用公式法、几何法求解向量的模1.解读高招2.典例指引4(1)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|= .(2)若向量=(1,-3), ||=||,=0,则||=3.亲临考场1.(2017课标Ⅰ,理13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .7【答案】 2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1×+4×1=12,所以|a+2b |==2.2.(2017云南大理一测)已知向量a与b的夹角为30°,且|a |=,|b|=2,则|a-b|等于()A.1B.C.13D.【答案】 A因为a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=3,所以|a-b |====1.故选A.考场高招5三法(代数法、几何法、不等式法)搞定向量模的最值1.解读高招2.典例指引5(1)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6B.7C.8D.9(2)若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是.方法二:同方法一,得||=|2|.又,所以||=|2|=|-3|====7,当且仅当∠POB=180°时取等号,故||的最大值为7.方法三:同方法一,得||=|2|.设B(cosα,sinα),则|2|=|2(-2,0)+(cosα-2,sinα)|=|(-6+cosα,sinα)|==7,当cosα=-1,即B落在点(-1,0)处时取等号.故||的最大值为7.(2)由向量的数量积知,-|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a||b|≥-a·b(当且仅当<a,b>=π时等号成立).由|2a-b|≤3⇒4|a|2-4a·b+|b|2≤9⇒9+4a·b≥4|a|2+|b|2≥4|a||b|≥-4a·b⇒a·b≥-(当且仅当2|a|=|b|,<a,b>=π时取等号),所以a·b的最小值为-.【答案】 (1)B(2)-3.亲临考场1.(2017课标Ⅱ,理12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是 ()A.-2 B .-C .-D.-19所以·()=2x2-2y(-y)=2x2+2≥-.当点P的坐标为时,·()取得最小值为-,故选B.2.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,则的最小值为.【答案】=×1×1×cos120°-×1×2×cos180°-λ×1×1×cos120°+1×2×cos60°=-+1=+2,当且仅当λ=时等号成立.故应填.考点44 平面向量的综合应用考场高招6 用向量解决平面几何问题的“三部曲”111.解读高招2.典例指引6.(1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若=1,则AB 的长为 .(2)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC=3BE ,DC=λDF.若=1,则λ的值为 .方法二:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,过点D 作DM ⊥AB 于点M. 由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=.设|AB|=m (m>0),则B(m,0),C,D.因为E是CD的中点,所以E.所以.由=1可得=1,即2m2-m=0.所以m=0(舍去)或m=.故AB的长为.(2)如图,由题意可得=||·||cos120°=2×2×=-2.在菱形ABCD中,易知,所以=-2=1,解得λ=2.【答案】 (1)(2)23.亲临考场1.(2017课标Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2【答案】 A建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).13设z=x-y+1,即x-y+1-z=0. 因为点P (x ,y )在圆(x-2)2+y 2=上,所以圆心C 到直线x-y+1-z=0的距离d ≤r ,即,解得1≤z ≤3,所以z 的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A .2.(2016湖北宜昌一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1,若3+4+5=0,则△AOC 的面积为( )A.B.C.D.3.(2016辽宁大连质检)设F 1,F 2为椭圆+y 2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P ,Q 两点,当四边形PF 1QF 2面积最大时,的值等于( ) A.0B.2C.4D.-2【答案】 D由题意得c==2=2×·|F1F2|·h(h为△PF1F2的边F1F2上的高),所以当h=b=1时,取最大值,此时∠F1PF2=120°,||=||=2.所以当四边形PF1QF2面积最大时,=||||cos120°=2×2×=-2.。

1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2。

了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系热点题型一平面向量的数量积运算例1、【2017课标II,文12】已知ABC∆是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()⋅+的最小是( )PA PB PCA.2-B.3-C。

43-2D.1-【答案】B【变式探究】(1）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋（1－t）b，若b·c＝0,则t＝__________。

（2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则错误!·错误!的值为__________，错误!·错误!的最大值为__________.【答案】（1）2 （2）1 1【解析】(1)由c＝t a＋（1－t)b得，b·c＝t a·b＋(1－t）b2＝0,整理得t｜a｜|b|c os60°＋（1－t)|b｜2＝0，化简得错误!t ＋1－t＝0,所以t＝2。

（2）方法一：如图所示，以AB，A D所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系,设E（t,0),0≤t≤1,则D(0，1），B（1，0），C（1，1)，错误!＝(t，－1)，错误!＝（0，－1），所以错误!·错误!＝1。

【提分秘籍】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解,即a·b ＝|a｜｜b｜cosθ。

(2）当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2。

【举一反三】已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3,若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝__________。

【答案】－6【解析】b1·b2＝（e1－2e2）·(3e1＋4e2)＝3e错误!－2e1·e2－8e错误!＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6。

专题12 平面向量的线性运算与数量积【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(2,1)OC m m =+．若AB OC ∥，则实数m 的值为（ ）A ．15B ．35C ．3-D ．17-【答案】C【解析】因为//AB OC ，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C. 3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b 是非零向量，则2a b =是a abb =成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()313a b a b -⋅+=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-，即21113a b ⋅-=-，得1a b ⋅=-，则1cos 2a b a bθ⋅==-⋅，0θπ≤≤，23πθ∴=. 故选：C.5、（2020·河南高三期末（文））如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 【答案】D【解析】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =.因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 6、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b 满足3a =，2b = ，4a b +=，则a b -=___________.【答案】10【解析】由已知：3a =，2b = ，4a b +=，所以224a b +=，展开得到22216a a b b +⋅+=，所以23a b ⋅=，所以222210a b a a b b -=⋅+=-， 所以10a b -=； 故答案为：10．7、在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________.【答案】. 58解析：如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边的中线，且AD ∩CE ＝O .在△AEO 中，由正弦定理得AE sin ∠AOE ＝EO sin ∠EAO ；在△ACO 中，由正弦定理得AC sin ∠AOC ＝CO sin ∠CAO，两式相除得AE AC ＝EOOC ，因为AE ＝12AB ＝1，AC ＝3，所以EO OC ＝13.所以CO →＝3OE →，即AO →－AC →＝3(AE →－AO →)，即4AO →＝3AE →＋AC →，所以4AO →＝32AB →＋AC →，从而AO →＝38AB →＋14AC →，因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝38，y ＝14，于是x ＋y ＝58.【问题探究，变式训练】题型一 平面向量的线性运算与基本定理的应用例1、【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.变式1、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+C ．2133BF AB AD =-+D ．1263CF AB AD =-【答案】ABC 【解析】∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ， 由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++12AB AD AB =-++12AB AD =-+，A 对； ∵3BC EC =，∴23BE BC =1233AB AD =-+，∴AE AB BE =+1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2233AB AD =+，又F为AE的中点，∴12AF AE=1133AB AD=+，B对；∴BF BA AF=+1133AB AB AD=-++2133AB AD=-+，C对；∴CF CB BF=+BF BC=-2133AB AD=-+12AB AD⎛⎫--+⎪⎝⎭1263AB AD=--，D错；故选：ABC．变式2、【2020年高考江苏】在△ABC中，43=90AB AC BAC==︒，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PA mPB m PC=+-（m为常数），则CD的长度是▲．【答案】185【解析】∵,,A D P三点共线，∴可设()0PA PDλλ=>，∵32PA mPB m PC⎛⎫=+-⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PCλ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，即32mmPD PB PCλλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m≠且32m≠，则,,B D C三点共线，∴321mmλλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP=，∴3AD=，∵4AB=,3AC=,90BAC∠=︒，∴5BC=，设CD x=，CDAθ∠=，则5BD x=-，BDAπθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos26AD CD AC xAD CDθ+-==⋅，()()()222257cos265xAD BD ABAD BD xπθ--+--==⋅-，∵()cos cos0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.题型二 向量的坐标运算例2、【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．变式1、【2018年高考全国III 卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 变式2、【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，；∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量(2,1), (1,1), (, 2)a b c k ==-=，若()a b c -⊥，则k 的值是( ) A ．4 B ．-4C ．2D ．-2【答案】B【解析】()(1,2)(,2)404a b c k k k -⋅=⋅=+=⇒=-，故选B.变式4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a =(1,3),b =-(2,1)c =，且()//a b c λ-，则λ=（ ） A ．3 B ．-3C ．17D ．17-【答案】C【解析】由题意(1,13)a b λλλ-=+-，∵()//a b c λ-，∴2(13)1λλ-=+，解得17λ=． 故选：C.题型三 向量数量积的简单运用例3、【2020年高考全国III 卷理数】已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b A ． 3135-B ． 1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D ．变式1、【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b的夹角为π3，故选B ．变式2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设,a b 为单位向量，且||1+=a b，则||-=a b ______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以||||1==a b 所以||1+====ab ，解得：21⋅=-a b ， 所以||-===a b【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.变式3、【2020年高考全国II 卷理数】已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】2【解析】由题意可得：211cos 45a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 变式4、【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,=a c ___________.【答案】23【解析】因为25=-c a b ，0⋅=a b ，所以225⋅=-⋅a c a a b 2=，222||4||455||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．题型四、运用平面向量的基底解决向量的数量积例4、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.变式1、【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=变式2、(2019苏北三市期末）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为________．【答案】、 －1【解析】、因为CP →＝32PB →＋2PA →，所以AP →－AC →＝32(AB →－AP →)－2AP →，解得AP →＝13AB →＋29AC →，故CP →·AB →＝(AP →－AC →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋29AC →－AC →·AB →＝13AB →2－79AC →·AB →＝43－79×2×3×cos 60°＝－1.题型五 运用建系法解决向量的数量积例5、【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】(1). 16；(2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭， 解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则533,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，333,2DN x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 变式1、【2020年高考北京】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案5；1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，()22215PD =-+=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.故答案为：5；1-. 变式2、【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=___________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)2D .因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-.由3(23),33y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-，所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。

2018届高三最新考试数学文科试题平面向量专题2017.10一．选择题1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →1.答案：A解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →2．答案：A 解析：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 3.答案：D解析：由向量的坐标运算，得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b ) ⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.4．[2015·四川卷]设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4.答案：B解析：∵ a ∥b ，∴ 2×6－4x ＝0，解得x ＝3.5．[2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 5.答案：B解析：解法一：若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来，故选B.解法二：因为a ＝(3,2)，若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.6．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 6.答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.7．[2016·北京卷]设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.答案：D解析：取a ＝－b ≠0，则|a|＝|b|≠0，|a ＋b |＝|0|＝0.|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b|≠|a －b |，故由|a|＝|b|推不出|a ＋b|＝|a －b|.由|a ＋b|＝|a －b|，得|a ＋b|2＝|a －b|2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a ＋b|＝|a －b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D. 8．[2015·重庆卷]若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 8.答案：A解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵ |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0，∴ 83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴ cos θ＝22.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝π4. 9．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 9.答案：A解析：由条件可得，(a ＋b )2 ＝10，(a －b )2 ＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a·b ＝1.10．[2016·天津卷]已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.11810.答案：B解析：如图，设AC →＝m ，AB →＝n .根据已知得，DF →＝34m ，所以AF →＝AD →＋DF →＝34m ＋12n ，BC →＝m －n ，AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫34m ＋12n ·(m －n )＝34m 2－12n 2－14m·n ＝34－12－18＝18. 11.（泰安市2017高三第一轮检测（一模））在△ABC 中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则CB CA ⋅的值为（ ） A ．3B ．3-C ．92-D ．9211.答案：D12.（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））平面向量a 与b 的夹角为23π，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）A ．1B ．2C ．D ．412.答案： B二．填空题13．[2015·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21 13.答案：A解析：∵ AB →⊥AC →，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝⎛⎭⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝⎛⎭⎫0，1t 1t＋4(t ，0)t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝⎛⎭⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.14．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．14.答案：90°解析：∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.15. 已知P 是△ABC 内一点，且AP →＝13AB →＋718AC →，△PBC 的面积是2 015，则△P AB 的面积是________．[思路分析] △PBC ，△P AB 分别与△ABC 共底边于BC ，AB ，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△P AB 的面积．15.[解析] ：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解) 由AP →＝13AB →＋718AC →，可得5P A →＋6PB →＋7PC →＝0.令P A ′→＝5P A →，PB ′→＝6PB →，PC ′→＝7PC →， 连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，如图所示，于是P A ′→＋PB ′→＋PC ′→＝0. 即P 是△A ′B ′C ′的重心，S △P A ′B ′＝S △PB ′C ′，根据已知条件，得S 1＝12|PB →||PC →|sin ∠BPC ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪16PB ′→⎪⎪⎪⎪⎪⎪17PC ′→sin ∠BPC＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PB ′→||PC ′→|sin ∠BPC ＝142S △PB ′C ′， 所以S △PB ′C ′＝42S 1，同理可得S △P A ′B ′＝30S 2.于是S 2＝4230S 1＝2 821.故填2 821.[答案] 2 82116．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 16.答案：12解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.17．[2015·北京卷]在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.17.答案：12 －16解析：∵ AM →＝2MC →，∴ AM →＝23AC →.∵ BN →＝NC →，∴ AN →＝12(AB →＋AC →)，∴ MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴ x ＝12，y ＝－16.三、解答题1、（德州市2017届高三第一次模拟考试）已知向量(2cos ,2cos )44x x m =，(2cos )44x xn =，设()f x m n =⋅．（Ⅰ）若()2f α=，求cos()3πα+的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a b C c B -=，求()f A 的取值范围．1．【解答】（Ⅰ）2()2cos cos 444x x x f x =+cos 122x x =++2sin()126x π=++． ∵()2f α=，∴sin()26απ+12=，∴21cos()12sin ()3262παπα+=-+=．（Ⅱ）∵(2)cos cos a b C c B -=， ∴(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，2sin cos sin cos cos sin sin()A C B C B C B C =+=+，∴2sin cos sin A C A =， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． ∴203A π<<，6262A πππ<+<， ∴1sin()1226A π<+<， ∵()2sin()126A f A π=++，∴()f A 的取值范围为(2,3)．2、（菏泽市2017年高考一模）已知向量=（sinx ，mcosx ），=（3，﹣1）．（1）若∥，且m=1，求2sin 2x ﹣3cos 2x 的值； （2）若函数f （x ）=•的图象关于直线x=对称，求函数f （2x ）在[，]上的值域．2．【解答】解：（1）当m=1时， =（sinx ，cosx ），=（3，﹣1）．∵，∴sinx=﹣3cosx ．又sin 2x +cos 2x=1， ∴sin 2x=，cos 2x=． ∴2sin 2x ﹣3cos 2x=2×﹣3×=．（2）f （x ）==3sinx ﹣mcosx=sin （x ﹣φ），其中tanφ=． ∵函数f （x ）=•的图象关于直线x=对称，∴sin（﹣φ）=1或sin（﹣φ）=﹣1．∴φ=+2kπ，或φ=﹣+2kπ．∴m=．∴f（x）=2sin（x﹣）或f（x）=﹣2sin（x﹣）．∴f（2x）=2（2x﹣）或f（2x）=﹣2sin（2x﹣）．∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣，2]或[﹣2，]．。

第11集平面向量的数量积——2018年高考数学天津卷理科第
8题
平面向量的数量积问题是高考的重点兼热点，考查题型主要是选择题或填空题，近几年常常以压轴题出现，难度较大。

高考中，有关平面向量的数量积的运算包括三类问题：
（1）利用平面向量的数量积的定义计算几何图形中的相关数量积问题；
（2）利用数量积的坐标运算，建立直角坐标系计算数量积；
（3）由数量积求其中参数的值。

下面以2018年高考数学天津卷理科第8题为例，简述求平面向量的数量积的方法。

#高考志愿填报#
一·套路
二·脑洞
本题考查平面向量的数量积，涉及数量积的坐标运算、二次函数的性质、极化恒等式等知识点，考查分析与应用能力、逻辑推理与计算能力，属于中档题。

法1，由题意，可以建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算；然后由数量积的运算得到关于参数的二次函数，利用二次函数的性质求得最值。

法2，借助高等数学中的极化恒等式，将不好计算的数量积问题转化为容易计算的长度问题，然后根据几何图形求得长度的最小值，进而得出结论。

值得说明的是，极化恒等式是一个看似高大上的结论，但其证明并不复杂，也不难理解，它是解决平面向量数量积问题的一把倚天剑，因此掌握此法对解题无疑是如虎添翼。

以平面图形为载体，考查平面数量积的最值问题，是高考中常考的题型，2017年全国2卷理科数学的第12题就考了一道类似的题型，当然无论是坐标法，还是极化恒等式斩杀此题都不是什么难事，就交
给聪明的你吧。