[精品]2019高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构知识导航学案新人教A版必修109

必修2 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1. 多面体与旋转体：（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.2. 棱柱：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。

（4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。

（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

3. 棱锥：（1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。

正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。

（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.（4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标：1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 理解多面体的有关概念；4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

学习过程自主学习：1.棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：2.棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类合作探究：【探究一】多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：【探究二】旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:【探究三】棱柱的结构特征问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）试试1：你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?''''我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱ABCD—A B C D 【探究四】棱锥的结构特征问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S ABCDE-【探究五】棱台的结构特征问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？典型例题：例1由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？学习小结：1. 多面体、旋转体的有关概念；2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质. 知识拓展：1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.课堂检测：1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）. A ．棱锥 B ．棱柱 C ．平面 D ．长方体2. 棱台不具有的性质是（ ）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点3. 已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）.A.E F D C B A ⊆⊆⊆⊆⊆B.E D F B C A ⊆⊆⊆⊆⊆C.E F D B A C ⊆⊆⊆⊆⊆D.它们之间不都存在包含关系4. 长方体三条棱长分别是AA '=1AB =2，4AD =，则从A 点出发，沿长方体的表面到C ′的最短矩离是_____________.5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.。

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征教学目标1.掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想.教学重、难点教学重点：柱、锥、台、球的结构特征.教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征.教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价.引出课题：柱、锥、台、球的结构特征.二、讲授新课：提出问题1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？图12.你能给出多面体和旋转体的定义吗？活动：让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提示.1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类.2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体.讨论结果：1.通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面体；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体.2.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.按围成多面体的面数分为：四面体、五面体、六面体、……，一个多面体最少有4个面，四面体是三棱锥.棱柱、棱锥、棱台均是多面体.旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体.提出问题1.与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？2.请给出棱柱的定义？3.与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征？应用示例例1 下列几何体是棱柱的有（）图2A.5个B.4个C.3个D.2个活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.答案：D点评：本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述. 变式训练1.下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.。

1.1.1 构成空间几何体的基本元素1．几何体如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．长方体长方体可以看作由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体．(1)长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面，它共有6个面． (2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有12条棱． (3)长方体的顶点：棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点，它共有8个顶点． 3．构成空间几何体的基本元素点、线、面是构成空间几何体的基本元素． 4．平面及其表示方法 (1)平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的． (2)平面的表示方法：(1)(2)(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．6．空间中直线与直线的位置关系空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系．7．空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内；(2)直线与平面平行：直线与平面没有公共点；(3)直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点．①直线与平面垂直：图1如图1，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为垂足．记作直线AA1⊥平面AC.直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．②点到平面的距离：在上图1中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的最短的一条．线段AA1的长称作点A1到平面AC的距离．8．空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面相交：两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．(2)两个平面平行：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面垂直且等长，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离．1．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4B[球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B．长方体中相对的面都相互平行C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D．两底面之间的棱互相平行且等长A[A中只有移动相同距离才能形成长方体．]3．下列说法正确的是________．(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．(2)(3) [(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．]①平面是无限延展的；②一个平面长3 cm，宽4 cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．①④[①正确．平面是无限延展的．②不正确．平面没有大小．③不正确．平面没有厚薄．④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．]1．准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．2．平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．3．可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．1．已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3A[在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错．]①②③[思路探究]线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．[解]①②③1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．2.本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．[解]1．射线运动后的轨迹是什么？[提示]水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．[提示]面可以列举如下：平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；线可以列举如下：直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；点可以列举如下：点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；它们共同组成了课桌这个几何体．【例3】在长方体ABCD­A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？[思路探究]观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．[解](1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.1．(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？[解](1)有平面AB′，平面CD′.(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？[解]有A′A，A′B′，D′D，D′C′.由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？[解]A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．1．平行关系的判定(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．2．垂直关系的判定(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平面与平面图形的区别与联系；(2)用运动的观点认识几何体；(3)平行与垂直关系的直观判断．3．本节课的易错点是对平面的概念理解.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．( )(2)直线的移动只能形成平面．( )(3)平静的太平洋就是一个平面．( )[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．(2)直线移动可能形成曲面，故错误．(3)平面是没有大小的，故错误．2．下列结论正确的个数有( )①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．A．3个B．4个 C．5个 D．2个B[只有⑤不正确．]3．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________cm；(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.(1)3 (2)4 (3)5[如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.]4．如图，画出(1)、(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体．(1) (2)[解](1)L绕直线l旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图(1)；(2)L绕直线l旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图(2)．(1) (2)。

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点).2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型(重、难点)．知识点1 空间几何体1．概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．知识点2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征【预习评价】1．下列棱锥有6个面的是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥答案 C2．下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上)．①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．答案①②题型一棱柱的结构特征【例1】下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形解析选项A、B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．答案 D规律方法 1.判断一个几何体是否为棱柱的方法(1)有两个面互相平行；(2)其余各面是平行四边形；(3)每相邻两侧面的公共边都互相平行．这三个条件缺一不可，解答此类问题要思维严谨，紧扣棱柱的定义．2．棱柱概念的推广(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．【训练1】下列命题中，正确的是( )A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.答案 D题型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．答案①②规律方法判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：【训练2】下列说法中，正确的是( )①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①② B．①③ C．②③ D．②④解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．答案 B方向1 绘制展开图【例3－1】画出如图所示的几何体的表面展开图．解表面展开图如图所示：方向2 由展开图复原几何体【例3－2】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．方向3 求几何体表面上两点间的距离【例3－3】长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．解沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：AC1＝AC1＝32＋（5＋4）2＝90＝310.AC1＝（4＋3）2＋52＝74.规律方法(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．(3)求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，将几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.课堂达标1．下列说法错误的是( )A．多面体至少有四个面B．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错．答案 D2．下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行C．棱柱的侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B 错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．答案 A3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．答案①③④⑥⑤4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱．解析①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．答案①③课堂小结1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．2．棱柱、棱台、棱锥关系图基础过关1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点解析四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案 C2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．答案 B3．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱 D．组合体解析余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.答案 B4．下列三个命题，其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．解析①截面不一定与底面平行，不正确；②侧棱不一定相交于一点，不正确；③侧棱不一定相交于一点，不正确．答案05．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案136．如图，在边长为2a 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形． (3)S △PEF ＝12a 2，S S 7(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义． (2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BB 1M －CC 1N ，下方部分是四棱柱ABMA 1－DCND 1.能力提升8．下列命题中，真命题是( )A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题．答案 D9．如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．其中，正确的说法是( )A．①② B．① C．①②③ D．①③解析显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE －DCGH 的高不变，所以梯形ABFE 的面积不变，所以AE ＋BF 是定值，故③正确．所以四个命题中①③正确．故选D. 答案 D10．从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．解析 如图所示：四边形ABCD 为矩形，故(1)满足条件；四面体D －A 1BC 1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D －B 1C 1D 1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C －B 1C 1D 1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个．故答案为4.答案 411．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．解析 设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，bc ＝6，ac ＝8，∴abc ＝24.分别除以bc ，ac ，ab ，得a ＝4，b ＝3，c ＝2. ∴体对角线长为42＋32＋22＝29.答案 29 12．如图，在三棱锥V －ABC 中，VA ＝VB ＝VC ＝4，∠AVB ＝∠AVC ＝∠BVC ＝30°，过点A 作截面△AEF ，求△AEF 周长的最小值．解 将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA 1的长为所求△AEF 周长的最小值．∵∠AVB ＝∠A 1VC ＝∠BVC ＝30°，∴∠AVA 1＝90°.又VA ＝VA 1＝4，∴AA 1＝4 2.∴△AEF 周长的最小值为4 2.13．(选做题)给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解 如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．。

1.1空间几何体的结构（第1课时）设计者：田许龙教学内容空间几何体的结构教学目标知识与技能1.知识目标: 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征；2.能力目标：会表示有关几何体；能判断组合体是由哪些简单几何体构成的.过程与方法通过观察根据几何结构特征对空间物体进行分类，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想。

情感、态度与价值观通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.教学重点几类空间几何体的结构特征教学难点几类空间几何体的分类及判断教学方法自主学习、小组讨论法、师生互动法。

教学准备导学、课件。

教学步骤教什么怎样教如何组织教学一、温故（情境导入）(5分钟)空间几何体的概念新课引入，（出示《课件1》）观察日常生活中一些常见的图形图片，提出问题：它们是什么图形？共性是什么？同学们，请看多媒体图片，你知道它们是什么图形吗？出示《课件1》在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着一定的空间，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.二、知新空间几 1、学生看书2分钟后，老师提问学生什么同学们，大家看完书并解决如下面中心的棱锥称为正棱锥。

例题解答学生看导学案完成例题，难度大的小组讨论，完成导学内容，并派代表说出小组结论，教师参与小组讨论指导个别小组或学生并汇总结果并反馈。

之后，老师出示《课件4》的前两张规范解答例1、下列几何体是棱柱的有（ D ）A.5个B.4个C.3个D.2个【分析】判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.答案：D例2、下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点前面我们学习了多面体的概念，以及几个特殊的多面体，接下来大家看导学案的例题并给出解答。

空间几何体的结构(2)——球简单组合体的结构特征教学分析：立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础，简单几何体（柱体、椎体、台体和球）是构成简单组合体的基本元素，本节主要是让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征。

教学目标：1、掌握简单组合体的概念、学会观察、分析图形、提高空间想象能力和几何直观能力。

2、能够描述现实生活中简单的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思想。

教学重难点：描述简单组合体的结构特征问题回顾：在上一节课中_______________是三个基本的多面体，______________是三个基本的旋转体，其中棱柱和圆柱统称为_______，_______和_______统称为锥体，棱台和圆台统称为_______.除此之外，在我们的生活中还有一个最常见的空间几何体是什么？问题探究：思考1：现实生活中有哪些物体是球状几何体___________________________ 思考2: 从旋转的角度分析，球是由什么图形绕哪条直线旋转而成的?______________以半圆的直径所在直线为_________，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做______，简称球.思考3:半圆的圆心、半径、直径，在球体中分别叫做球的______、球的_____、球的_____球的_______叫做球面.那么球的半径还可怎样理解______________.思考4:用一个平面去截一个球，截面是什么图形__________思考5:如图设球的半径为R，截面圆半径为r，球之间的关系如何____________思考6: 棱柱、棱锥、棱台都是多面体，但它们有本质的区别.如果棱台上底面的大小发生变化，它与棱柱、棱锥有什么关系____________________________________________思考7:现实世界中几何体的形状各种各样，除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由这些简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.你能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单几何体组合而成的吗？思考8:试说明下列几何体分别是怎样组成的？____________________思考9: 一般地，简单组合体的构成有那几种基本形式_____________________ 思考10: 试说明如图所示的几何体的结构特征.________________例题分析：例1 如图，AB 为圆弧BC 所在圆的直径，45BAC ∠=,将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.例2 如图，四边形ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，且EF<AB ，试说明这个简单组合体的结构特征.ABCD例3 如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是 .ABCDEFABCDEF例4 已知球的半径为10cm，一个截面圆的面积是36 cm2，则球心到截面圆圆心的距离是 .小结与反思：课后作业:P9习题1.1A组：3。

高一数学第一单元教案：空间几何体的结构【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高一数学第一单元教案：空间几何体的结构，供大家参考!本文题目：高一数学第一单元教案：空间几何体的结构大连二十四中课时1课型新授教学目标知识与技能：从运动的观点来认识点、线、面、体之间的生成关系，以长方体为载体，学习点、线、面之间的位置关系，重点掌握几何体基本元素的位置关系以及异面直线的概念;本节采用直观感知认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力以及几何直观能力。

过程方法与能力：通过观察我们生活的空间，直观感知认识空间图形，然后以长方体为载体，通过直观认识、操作确认去初步的认识空间点、线、面之间的位置关系。

情感态度与价值观：通过实物展示，体现一种几何体的数学直观美，在数学与实际问题的密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神。

在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团队精神。

重点分析从运动的观点来初步认识点、线、面、体之间的生成关系和位置关系。

难点分析通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系以及异面直线的概念。

学法教具图片、多媒体板书计课题一、长方体的面、棱、顶点是如何定义的? 练习：二、点、线、面、体的生成关系。

三、空间线、面的分类和表示如何?四、空间直线、平面之间的位置关系。

教学过程与内容师生活动一、引入：1、生活中实例：汽车、飞机、床、桌子、房屋2、小学和初中学过的几何体。

几何体：一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做几何体。

二、新授：(一)长方体的面、棱、顶点是如何定义的?1、围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面。

2、相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱。

3、棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点。

(二) 点、线、面、体的生成关系。

(三)空间线、面的分类和表示如何?1、分类：ABD2、平面无限延展，通常表示为平行四边形(也可表示为三角形、矩形、圆等平面图形)ABCD记做：希腊字母：平面ABCD;平面AC注：如何检查物体的表面是不是平的。

三视图时，易出现的问题主要有：（1）不能正确确定特殊几何体的三视图；（2）不能由几何体的三视图正确确定几何体的形状；（3）不能正确把三视图中得数据转化为对应的几何体中得线段长度，尤其是侧视图中的数据处理很容易出错，从而导致几何体中的计算出现错误。

【突破策略】（1）熟练把握常见的规则几何体如柱体、椎体与球的三视图，注重“三面一线”，即底面、侧面、对角面（轴截面）、侧棱（母线）四个方面的基本特征。

（2）熟练掌握常见几何体的三视图是解决由三视图确定几何问题的关键，先根据俯视图确定几何体的底面，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧面；（3）三视图原则：“主侧等高，主俯等宽”是我们利用三视图中的数据确定几何体中相关线段的长度，特别注重侧视图中数据的长度。

2、空间几何体的表面积和体积【问题诊断】空间几何体表面积与体积的求解是新课标考查的重点，多以选择题或填空题的形式出现求解此类问题易出现的问题主要有下面几个方面：（1）对几何体的结构特征把握不准，导致空间线面关系的推理、表面积与体积的求解出现错误，尤其是对正棱柱、正棱锥中隐含的线面关系不能熟练把握，正确应用；（2）混淆几何体的表面积与侧面积两个概念，导致计算时错用公式，漏掉底面积的计算；（3）在组合体的表面积的计算问题中，对于两个几何体重合问题或几何体的挖空问题，不能正确确定几何体表面积的构成导致计算重复或漏算；（4）计算失误问题是最常见的错误，基本计算能力是高考重点考查的四大能力之一，在这个方面一定要正确对待3、空间几何体的三视图与表面积和体积的综合【问题诊断】由三视图确定几何体的形状并求解表面积或体积是高考命题的重点，多为客观题，在求解过程中易出现的问题主要有：（1）不能根据三视图确定几何体的形状，尤其是组合体的三视图以及几何体挖空、切割等问题，导致无法计算几何体的体积与表面积；（2）不能把三视图中的数据准确地与几何体中有关几何体的有关度量对应起来，导致计算出错，对于组合体三视图中的相关数据的处理不当导致失误；（3）几何体的表面积和体积的求解过程出错；（4）计算不细心导致运算失误问题。