上海市闸北区2015届高三上学期期末练习(一模)数学(理)试题 Word版含答案

闸北区2013学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷考生注意：1．本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3．本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．设k ⨯-=οο3602014α,ο2014=β，若α是与β终边相同的最小正角，则=k ______．2．已知双曲线204522=-y x 的右焦点与抛物线px y 22=的焦点重合，则=p ．3．设()1,3-=，()x x sin ,cos =，则函数x f ⋅=)(的最小正周期为_______． 4．已知函数⎩⎨⎧≤>=.0,,0,log )(22x x x x x f 则不等式1)(>x f 的解集为_______．5．已知直线l 的一个法向量()b a ,=，其中0>ab ，则l 的倾斜角为 ． 6．相距480米有两个垂直于水平地面的高塔AB 和CD ，两塔底B 、D 的中点为P ，已知280=AB 米，320=CD 米，则APC ∠cos 的值是 ．7．设0>a ，0>b ，2=+b a ，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号) ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ．8．若等差数列{}n a 的首项为2，公差为)0(≠d d ，其前n 项和n S 满足：对于任意的*∈N n ，都有nnS S 2是非零常数．则=d ． 9．设1,0≠>a a ，已知函数22sin 2)(-+=x a x f xπ(0>x )至少有5个零点，则a 的取值范围为 ．10．设曲线C ：)(32222y x y x +=++，则曲线C 所围封闭图形的面积为_______． 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 11．如果{}Z ,12|∈+==n n x x S ，{}Z ,14|∈±==k k x x T ，那么 【 】A ．S 真包含于TB ．T 真包含于SC ．S 与T 相等D ．S 与T 没有交集 12．在平面内，设A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足：2k =⋅（k 为实常数），则动点P 的轨迹为 【 】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不确定13．给出下列等式：233321=+，23336321=++，23333104321=+++，…，现设23333321n a n =+⋅⋅⋅+++（*∈N n ，2≥n ），则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++∞→n n a a a 111lim 32 【 】 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0三、解答题（本题满分72分）本大题共有4题，解答必须在答题纸的规定区域内． 14．本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分设ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足：BbAa sin cos 3=． （1A （2）若12sin 22sin222=+CB ，试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 15．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分定义域为R 的函数xxx f --=22)(，xx x g -+=22)(．（1）请分别指出函数)(x f y =与函数)(x g y =的奇偶性、单调区间、值域和零点；（请将结论填入答题卡的表中，不必证明） （2）设)()()(x g x f x h =，请判断函数)(x h y =的奇偶性和单调性，并证明你的结论． （必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）16．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分如图所示：一块椭圆形状的铁板Γ的长轴长为4米，短轴长为2米． （1）若利用这块椭圆铁板Γ截取矩形，要求矩形的四个顶点都在椭圆铁板Γ的边缘，求所能截取 的矩形面积的最大值；（2）若以短轴的端点A 为直角顶点，另外两个锐角的顶点B 、C 都在椭圆铁板的边缘，切割 等腰直角三角形，则在不同的切割方案中， 共能切割出几个面积不同的等腰直角三角形？ 最大面积是多少？（结果保留一位小数）17．本题满分20分，第1小题满分8分，第2小题满分12分如图，在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A L L 、、、、,其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ,且113+-=n n n n A A A A ),4,3,2(Λ=n ,在射线)0(≥=x x y 上依次有点12n B B B L L 、、、、,点1B 的坐标为)3,3(，且221=--n n OB OB ),4,3,2(Λ=n .（1）求点n A 、n B 的坐标；（2）设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ，解答下列问题： ① 问{}n S 中是否存在连续的三项n S ,1+n S ,2+n S （•∈N n ）恰好成等差数列？若存在，求出所 有这样的三项；若不存在，请说明理由； ② 求满足不等式801229<-n S 的所有自然数n .B n+1 B nB 2B 1A n +1 A nA 2A 1 Oyx闸北区2013学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷参考答案与评分标准一、1．5； 2．6； 3．π2； 4．()()+∞-∞-,21,Y ； 5．⎪⎭⎫⎝⎛-+b a arctan π； 6．85852； 7．①③； 8．4； 9．()()2,11,0Y ； 10．38332+π． 二、11．C ； 12．A ；1 3．C ． 三、14．解：（1）由条件结合正弦定理得，Aa Bb Aasin sin cos 3==从而AA cos 3sin =，3tan =A ，----------------------------------------------4分∵π<<A 0，∴3π=A ．-------------------------------------------------------------2分（2∴，∴1cos cos =+C B ,分即,得到,分为等边三角分15（2）)(x h y =是奇函数． --------------------------------------------------------------1分 证明：任取Rx ∈，)()()()()()(x h x g x f x g x f x h -=-=--=-Θ，----------------------------2分)(x h y =∴是奇函数． --------------------------------------------------------------1分)(x h y =是R 上的单调递增函数． -----------------------------------------------------------1分 证明：任取,,,2121x x R x x <∈即,021<-x x又)()()()()()(221121x g x f x g x f x h x h -=-Θ ------------------------------------------------------------1分())()(22221)(2121x g x g x x x x ----=)()()(22121x g x g x x f -=． ---------------------------------1分)(x f y =Θ是单调递增函数函数，且0)0(=f ，∴ 0)(21<-x x f ． --------------------------------------------------------------1分)(x g y =Θ的值域为[)+∞,2，0)(>∴x g 恒成立．----------------------------------------1分所以，)()(21x h x h <． --------------------------------------------------------------1分故，)(x h y =是R 上的单调递增函数．16．解：（1）建系（略），得椭圆的标准方程为4422=+y x -------------------------------3分 设矩形的一个顶点坐标为()y x ,4422422=+≤==∴y x y x xy S --------------------------------------------------------------4分 当且仅当yx 2=，即22,2==y x 时等号成立．-------------------------------------------1分（2）设AB 所在的直线方程为：1+=kx y ，则AC 所在的直线方程为：11+-=x ky ---2分 将AB 所在的直线方程代入椭圆方程，得08)41(22=++kx x k 可求得，224181kk k AB +⋅+=--------------------------------------------------------------2分 同理可求得481122+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k AC ，-----------------------------------------------------------1分 不妨设>k ，令ACAB =，得14423=-+-k k k ，-----------------------------------1分 即()()01312=+--k k k ，解得，1=k 或253±=k ． --------------------------------------------------------------1分当1=k 时，所截取等腰直角三角形面积为 2.6平方米；-----------------------------------------1分当253±=k 时，所截取等腰直角三角形面积为 2.1平方米．---------------------------------1分所以，切割出的等腰直角三角形的最大面积约 2.6平方米． -----------------------------------1分 17．（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且Θ,-----------------------------------------------1分311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A----------------------------------------------1分12231||||||n n A A A A A A -+++L 4412711931()()3223n n --=++++=-Ln A 点∴的坐标))31(21229,0(4--n ,-------------------------------------------------------------2分1||||n n OB OB --=Q (2,3,n =L )且1||OB =-----------------------------------1分{||}n OB ∴是以23为首项,22为公差的等差数列||((2n OB n n ∴=+-=+ ---------------------------------------------------2分n B ∴的坐标为(21,21)n n ++.-------------------------------------------------------------1分（2）连接1+n n B A ,设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S , 则111n n n n n n nA AB B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()232223n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+.---------------------3分① 设连续的三项n S ,1+n S ,2+n S （•∈N n ）成等差数列， 则有，212+++=n n n S S S ，-------------------------------------------------------------1分即132322293229312292---++++=⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n n n ，解得1=n .所以，存在连续的三项1S ,2S ,3S 恰好成等差数列. -------------------------------------------------2分 ② 031221>-=--+n n n n S S Θ ∴数列{}n S 是单调递减数列.-------------------------------------------------------------2分由于⇔<-801229n S 80133<-n n 用计算器可知80124383838>=-，8018113939<=-. 由于数列{}n S 是单调递减数列，所以，满足不等式801229<-n S 的所有自然数n 为不小于9的所有自然数. --------------4分。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编极限一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）计算lim n →∞2123n n ++++＝2、（崇明县2015届高三上期末）设无穷等比数列{}n a (*)n N ∈的公比12q =-,11a =，则2462lim()n n a a a a →∞++++=3、（长宁区2015届高三上期末）已知()214732lim6752n a n n n →∞++++-⎡⎤⎣⎦=--，则a =4、（虹口区2015届高三上期末）若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122lim nn a a a n →∞+++=5、（黄浦区2015届高三上期末）已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ 6、（嘉定区2015届高三上期末）设无穷等比数列}{n a 的公比为q ．若1242)(lim a a a a n n =+++∞→ ，则=q ________7、（金山区2015届高三上期末）计算：112323lim ++∞→+-n n nn n = ▲ 8、（闸北区2015届高三上期末）设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim9、（浦东区2015届高三上期末）若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .10、（普陀区2015届高三上期末）若1lim=+∞→an ann ，则常数=a .11、（青浦区2015届高三上期末）已知1cos 22n n n a π=，则无穷数列{}n a 前n 项和的极限为12、（徐汇区2015届高三上期末）已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++，其中*n N ∈．当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞=二、选择题1、（杨浦区2015届高三上期末）对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=， 则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

2014学年度第一学期高三物理学科期末练习卷（2014.12）本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

全卷包括六大题，第一、二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。

考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。

2、第一、第二和第三大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第四、第五和第六大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共16分，每小题2分，每小题只有一个正确选项。

）1. 下面物理量中不．属于标量的是（）（A）电流强度（B）电场强度（C）功（D）磁通量2. 在牛顿第二定律公式F=kma中，比例系数k的数值（）（A）在任何情况下都等于1（B）与质量m、加速度a和力F三者均无关系（C）是由质量m、加速度a和力F三者的大小所决定的（D）是由质量m、加速度a和力F三者的单位所决定的3．在下列公式中选出加速度a的定义式（）（A）Fam=（B）vat∆=∆（C）22sat=（D）2saT∆=4. 奥斯特发现电流的磁效应的这个实验中，小磁针应该放在（）（A）南北放置的通电直导线的上方（B）东西放置的通电直导线的上方（C）南北放置的通电直导线同一水平面内的左侧（D）东西放置的通电直导线同一水平面内的右侧5. 如图，一个物体在O点以初速度v开始作曲线运动，已知物体只受到沿x轴方向的恒力F作用，则物体动能的变化情况是（）（A）不断减小（B）先增大后减小（C）先减小后增大（D）先减小后不变6. 在国际单位制（简称SI制）中，力学和电学的基本单位有：m（米）、kg（千克）、s（秒）、A（安培）。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U A B =ð . 2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 .10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33 B .53C .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.3 / 141sin602a a ︒，正棱柱的高1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【提示】由题意可得1sin 601632a a a ⎛⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征数学试卷 第10页（共42页）数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷 第12页（共42页）123270x +=5 / 14011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，6m x <<≤|(m f x -++的最小值．7 / 14【解析】解：如图，||||2AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-． 85||||15DE DF =数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）9 / 14易求得(0,2,D C =，(2,2,0)AC =-，(0,1,A E =11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,)(2,2,0),)(0,1,1)z z -=-=，所以(1,1,1)n =，所以111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代3数学试卷 第34页（共42页）2(a a +-+2112()b b a +++-2)b a +-2(a +-+1(2a b +（Ⅱ）∵()f x 的值域为R ；∴存在0x ，使0()f x c =；又(),)]([c f a f b ∈；∴0()()()f a f x f b ≤≤，而()f x 为增函数；∴0a x b ≤≤；即存在0,[]x a b ∈，使0()f x c =；（Ⅲ）证明：若0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解；则：0cos ()1f u T +=，02T u T T +≤≤；∴0cos ()1f u =，且00u T ≤≤；∴0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解；∴“0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上得解”的充分条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解”；下面证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+：①当0x =时，(0)0f =，∴显然成立；②当x T =时，cos (2)cos ()1f T f T ==；∴11(2)2,()f T k k Z π=∈，()4πf T =，且12π4πk >，∴12k >；1）若13k =，(2)6πf T =，由（Ⅱ）知存在0(0,)x T ∈，使0()2πf x =；0002cos ()cos ()1()2πf x T f x f x T k +==⇒+=，2k ∈Z ；∴0()()(2)f T f x T f T <+<；∴24π2π6πk <<；∴223k <<4，无解；2）若15k ≥，(2)10πf T ≥，则存在122T x x T <<<，使得1()6πf x =，2()8πf x =；则T ，1x ，2x ，2T 为cos ()1f x =在[],2T T 上的4个解；但方程cos ()1f x =在[0]2T ,上只有()0f x =，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当14k =时，(2)8π()()f T f T f T ==+，结论成立；③当(0)x T ∈,时，()(04π)f x ∈,，考查方程cos ()f x c =在(0)T ,上的解； 设其解为1()f x ，2()f x ，…，()n f x ，12()n x x x <<<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,； 而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；数学试卷 第40页（共42页）∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可；（Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查cos ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。

上海市闸北区2015届高三上学期期末练习(一模)英语试题I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversation and the question will be spoken only once. After you hear the conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. On University campus B. in a department storeC. In a Community ServiceD. On a street2. A. Husband and wife B. Headmaster and teacherC. Teacher and parentD. Shop assistant and customers3.A. Spring B. Summer C. Autumn D. Winter4. A. Interesting B. Positive C. Opposite D. Boring5. A. She was terribly sick.B. She arrived for work narrowly.C. She walked to work every day.D. She was always late for work.6. A. The woman shouldn’t let her daughter wear so scary clothes.B. Her daughter’s Halloween dress wasn’t smart enough.C. She couldn’t have spent too much money on the dress.D. She couldn’t encourage her daughter to celebrate Halloween.7. A. Playing tennis.B. Writing term paper.C. Gathering materials.D. Holding a meeting.8. A. Gaby was a good neighbour.B. Gaby didn’t think highly of his neighbours.C. Gaby often told wrong stories.D. Gary often quarrels with his neighbours.9. A. 40. B. 60. C. 80. D. 120.10. A. The woman pretends to be pregnant.B. Men here are not polite enough.C. Men aren’t allowed to smoke here.D. The woman shouldn’t complain about the men here.Section BDirections: in Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. They cooked a meal excellently with given ingredients.B. They were recommended by Manchester restaurant.C. They were asked to replace two former high quality chefs.D. They were selected by the school parents board.12. A. The cost of the meal has risen.B. Some pupils complained about the meal.C. Children get bored with the meals at home.D. The chefs can’t handle so many meals a day.13. A. Because they are from a famous restaurant.B. Because they pay attention to what pupils like.C. Because they are highly paid.D. Because they are good at communicating with parents.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. Looking like humans. B. Having two wheels.C. Being mobile and communicative.D. Having essential working ability.15. A. 82. B. 86. C. 273. D. 300.16. A. They got there through a land bridge.B. They got there on foot.C. They got there by the sea.D. They got there followin g animals’ footprints.Section CDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you hear.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation:Complete the report form. WRITE ONE WORD for each answer.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation:Complete the form. WRITE NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.II. Grammar and VocabularySection ADirections: Read the following two passages. Fill in the blanks to make the passage coherent. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word. For the other blanks, fill in each blank with one proper word. Make sure that your answers are grammatically correct.(A)Are you on a diet? Then maybe you should consider (25)_________(sit) by the window the next time you eat out.A new book claims that (26)________ you sit in a restaurant can affect how many you consume.A New research found that people sitting farthest from the front door ate the fewest salads and were 73 percent (27)________(likely) to order dessert.Those seated at a dark table ate heavier food and ordered more of it (28)______ diners seated at bright bar tables ordered more salads and fewer desserts.According to the researchers, the darker it is, the more invisible you (29)______ feel, the less easy it is to see how much you’re eating and the less guilty you are when you eat more.In contrast, (30) ________(see) the sunlight, people or trees outside might make you more conscious of (31)________ you look, might make you think about walking or might make you want a green salad.The researchers also noted that slim diners chewed around 15 times per mouthful, three chews more than heavier diners. By eating more slowly, the diner consumes less in the time (32)_________ takes for the brain to register satisfaction.(B)Beijing’s annoying smog(雾) seems to have hurt the city’s appeal to tourists. Last year, Beijing Youth Daily reported that the number of visitors to Beijing (33)_________(fall) 50 percent since January. It’s said that the city’s bad air quality was to blame for the decline. It’s also more difficult (34) _______(attract) high-end employees to work in Beijing, especially those with children.However, the blanket of poisonous smog hasn’t hurt Beijing’s office market, (35)_______has jumped up quickly on a global ranking to become the fourth-most-expensive location to rent office space in the wor ld. According to a recent research, office space in Beijing’s Central Business District costs (36)________ average $1,412 per square meter per year.That’s more expensive than No.5-rankes central Tokyo or No.6-rangked Madison & Fifth Avenues in New York. The research took into consideration both (37)________ (publish) rental rates and “additional costs,” which include agent fees and (38)_________costs to make the deal happen.London (39)_________ (remain) the world’s most expensive city in which to rent off ice space. Hong Kong, home to the priciest office space in Asia, comes in second globally. The cities (40)___________(experience) the highest annual growth in office rental rates are both in South Africa with 40 percent rate rise for Durban and 44 percent for Sandton.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can be used only once. Note that there is one word more than you need.Music has been playing a major role in the lives of teenagers for decades and today’s teens are no ____41_____. Teens listen to over 2.5 hours of music per day. Earbuds, Mp3players, and smartphones make it easy for teens to listen to music while they go about much of their daily lives.The digital world also means that parents must face new challenges when it comes to a teen’s music. In the past---when music was ___42_____ through audio tape or CD, it was much easier for parents to be aware of a teen’s musical ___43_____. But mow that teens have free access to millions of songs and music videos through the internet, parents are less likely to be ____44____ of what their teens are listening to.Today, it’s hard to believe that today’s over-50-years people used to be ___45_____ againstElvis Presley’s dance moves. Fast-forward to the present day and the society has certainly become more ____46____ of many strange forms of art.As for parents, music is a powerful tool and certainly music with pro-social or warm lyrics(歌词) can be a(n)___47_____ influence in teens. It’s important to take an active approach when ____48_____ your teen’s musical inte rests. Get your teen to talk to you. Ask questions without passing ___49_____. Always be curious and inquire about what your teen looks for in music and talk about what ____50____ can be found in certain songs.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Gallup used to conduct a poll(投票) that asked students to name the school subject that they considered to be the most difficult. Not ____51____, mathematics came out on top of the difficulty chart. So what is it about math that makes it difficult? defines the word “difficult” as “not easily or readily done; requiring much ____52___ or planning to be performed successfully.” This definition gets to the point of the problem when it comes to math. What makes math difficult is that it takes patience and persistence. For many students, math is not something that comes ___53_____. It takes effort. It is a subject that sometimes requires students to devote lots and lots of time and ___54_____.This means, for many, the problem has little to do with brain power; it is mostly a matter of staying power. And since students don’t make their own timelines, they can ___55____ the time as the teacher moves on to the next topic.In fact, there is also an element of brain style in the big picture, according to many scientists. They believe that people are born with ___56____math understanding skills. Logical, left-brain thinkers tend to understand things in sequential bits, while artistic, intuitive, right-brainers are more ___57____. They take in a lot of information at one time and allow t ime to let it “sink in”. so left-brain students may grasp concepts __58____ while right-brain students don’t. To the right brain student, time loss can make them feel confused and behind. Unfortunately in busy classrooms with too many students, students are most always ___59____ enough time. We have tomove on, ready or not.Math know-how is also cumulative(积累), which means it works much like a pile of building blocks. You have to gain enough ___60___ in one area before you can effectively go on to “build upon” another area. Our first mathematical building blocks are establishe d in primary school, when we learn ____61___ for addition and multiplication, and those first concepts become our ___62__. These mathematical concepts or knowledge has to sink in and become ___63___ before students can move on to challenge the next stage o f new concepts. However, teachers don’t have time to ensure that every single student understands every single concept. So some students move to the next level with really shaky knowledge system. ___64____, as they climb the ladder, they may meet with more and more difficulties and might ___65_____ complete failure at some point.51. A. surprisingly B. interestingly C. necessarily D. similarly52. A. emotion B. labor C. curiosity D. money53. A. regularly B. possibly C. automatically D. secretly54. A. space B. confidence C. character D. energy55. A. make up for B. run out of C. take advantage of D. add up to56. A. steady B. abstract C. different D. sharp57. A. negative B. global C. simple D. specific58. A. quickly B. typically C. patiently D. strangely59. A. reminded about B. exposed to C. blessed with D. accused of60. A. praises B. scores C. material D. blocks61. A. conditions B. rules C. aims D. choices62. A. thought B. attitude C. foundation D. source63. A. native B. accessible C. firm D. superior64. A. In addition B. In contrast C. For example D. In result65. A. realize B. acknowledge C. suffer D. regretSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose theone that fits best according to the information given in the passage you have read.(A)October 17, 1989 is a day San Francisco will never forget. On that day, an uncommon number of tragedies took place. It was also a day when total strangers became linked. The story of Jim Betts and Julio Berumen is a moving example of one such meeting.On that day, Petra Berumen took her daughter Cathy to the dentist. Also in the car was her son six-year-old Julio and their family friend Yolanda. Soon after Petra drove onto the highway, disaster struck. Without warning, the earth began to shake.The damage was terrible. Hugh trees bent as if they were made of rubber. Streets cracked and buildings collapsed. At least a stretch of the highway had crashed onto the lower level.Then as quickly as it started, the earthquake stopped. The Berumens’s car had been crushed be the steel. Petra and Yolanda were killed instantly. Cathy escaped unhurt but Julio, though still alive, was in danger. Not only was his right leg pinned down by the steel, he was also squeezed between the dead bodies of his mother and Yolanda.Rescuers had calmed Julio by the time Jim Betts, a doctor from Oakland Hospital, arrived. For two hours, Jim tried to free Julio with two bare hands. He did not stop to worry about the fact that aftershocks could send the highway to the ground. As soon as Julio was breathing, Jim kept working. However, Julio was languishing. Jim realized that he had only one choice. He would have to cut the boy’s right leg at the knee. Conditions were far from ideal. It was hot inside the car. Darkness had fallen outside.With great care, Jim started the operation. He had to try risky methods. Finally Julio was free.Those hours on the highway were like a nightmare. Jim said: “If my family members were up there badly hurt, they would urgently need help like that.” Though the day the earthquake tore many things apart, it also brought brave people together.66. The San Francisco earthquake was an uncommon event for Julio and Jim because _________.A. the earth shook violently and suddenlyB. they became linked unexpectedlyC. they neither could see the broken highwayD. they both lost their family members67. In the fifth paragraph, Julio was languishing, which means that he was _________.A. about to dieB. complaining about the painC. losing his voiceD. crying68. According to the passage, Jim _________.A. successfully performed the operationB. had necessary equipment to rescue JulioC. was able to save Julio’s right legD. had one family member operated on69. Which of the following statements is TRUE according to the passage?A. The Berumens were trying to leave the dangerous city when the earthquake struck.B. Two people of the Berumen family finally survived from the earthquake.C. Knowing aftershocks would come soon, Jim tried to rescue Julio from the car.D. The conditions were agreeable enough for Jim to perform the operation.(B)At the end of the year, our magazine is revealing our annual food and shopping predictions based on our research.Grazing Golden-Agers:Ninety-one percent of people say they snack daily, according to Nielsen. While snacking is on the rise among all ages and genders, research shows that snacking among consumers over the age of 65 could contribute to additional years with a higher quality of life. We’ll see more boomers-those raised in the “three square meals a day” period-employ a “grazing” approach to eating foods rich in nutrients like protein, fiber and Omega3 that can help promote bone health.Same-Day Delivery Not Just for City Clickers:Online grocery shopping and delivery has become a crowded space, with a host of services competing for consumer attention. This trend allows everyone who sells food to be in the same-day delivery business without having to add additional operational facilities. Look for Google Shopping Express to put every supermarket in the same day delivery business and change consumer behavior to shop online for food to be delivered to homes fresh for each meal. You now can throw your refrigerator away!The Rise of Fermented Foods:The next year will be the year when fermented (发酵的) foods-foods like yogurt, pickles(泡菜) take center stage. These foods contain live cultures, or are preserved in liquid so their sugars and other seasonings can become bacteria-promoting agents. In fact, a survey has found that nearly 50 percent of Americans have shown interest in fermented foods, who, especially those over 60s, have improved a lot in digestion. However, if treated inappropriately, the bacteria hidden in these foods might have our hospitals full of sick dinners. Therefore make sure to study the cooking skills well before you these foods.Supermarkets change into Socializing Spaces:Supermarkets have evolved from straightforward centers where consumers could buy groceries to providers of lifestyle. Supermarkets are developing a variety of services that help to establish each outlet as a show case of lifestyle trends. A desire to be “all things food” to their customers, young and old, is positioning the supermarkets as head to head competitors with chain and local restaurants. Cooking classes, and online home-made recipes are also giving consumers reasons beyond a grocery list to step inside their neighborhood supermarkets instead of a local restaurant.70. The passage advises readers to give up refrigerator because_____A. people eat more snacks which don’t have to be put in refrigeratorsB. the refrigerators has become useless operational facilities for food sellersC. food can be sent to customers within short time and freezing is not neededD. Fermented foods can be kept in normal temperature for much more time.71. For fermented foods, people must guarantee that______A. live cultures should be introduced while eating themB. these help in digestion should be introduced to the publicC. bacteria should be killed before being put into the foodsD. cooking should be conducted carefully to avoid disease72. It is implied in the last paragraph that______A. supermarkets sell recipes for trendy lifestyle to customersB. supermarkets used to be friends of chain and local restaurantsC. people can apply for cooking classes and obtain recipes in supermarkets。

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．14．在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ={1，4} ．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ112345P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.213．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD 与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=vt1=5×=千米，甲∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值．当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf （x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x ∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f （x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．。

上海市闸北区2016届高三一模数学理试卷2015.12一. 填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1. 2521(2)(1)x x+-的展开式中常数项为 ； 2. 函数ln(1),0()1ln,01x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪-⎩的单调性为 ；奇偶性为 ； 3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ；4. 在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u r u u u r的值是 ；5. 如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A 测得水坝对面的山顶P 的仰角为40︒，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B 测得56ABP ︒∠=，若坝面与水平面所成的锐角为30︒，则山高为 米；（结果四舍五入取整）6. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ；（用数字作答）7. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ；8. 过点0(3,)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是 ；9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ([0,])x π∈，OP 所经过的在正方 形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①3()3f π=；② 对任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=；③ 对任意12,(,)2x x ππ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；其中所有正确结论的序号是 ；二. 选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10. “抛物线2y ax =的准线方程为2y =”是“抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213y x -= 的焦点重合”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题： ① 若,αβ垂直于同一平面，则α与β平行； ② 若,m n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③ 若,αβ不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④ 若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 112. 已知i r 和j r 是互相垂直的单位向量，向量n a u u r 满足：n i a n ⋅=r u u r ，21n j a n ⋅=+r u u r ，*n N ∈，设n θ为i r 和n a u u r的夹角，则（ ）A. n θ随着n 的增大而增大B. n θ随着n 的增大而减小C. 随着n 的增大，n θ先增大后减小D. 随着n 的增大，n θ先减小后增大三. 解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且[,)42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆 于点B ，过B 作BC y ⊥轴于点C ；（1）若点A 的纵坐标为32，求点B 的横坐标； （2）求△AOC 的面积S 的最大值；14. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴；为迎接2015年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销；经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p （万件）与促销费用x （万元）满足231p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数），已知生产该产品还需投入成本102p +万 元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为20(4)p+元，假定厂家的生产能力完全能 满足市场的销售需求；（1）将该产品的利润y （万元）表示为促销费用x （万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值；15. 如图，已知动直线l 交圆22(3)9x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线6x =于点B ； （1）若||35OB =，求点A 、点B 的坐标；（2）设动点M 满足OM AB =u u u u r u u u r，其轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程(,)0F x y =；（3）请指出曲线C 的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C 是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由；16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S *()n N ∈在函数122x y +=-的图像上；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一. 填空题1. 3；2. 单调递增，奇函数；3.34； 4. 1； 5. 176；6. 96；7. 5；8. [1,1]-； 9. ①②；二. 选择题10. A； 11. D； 12. B；三. 解答题13.（1）12-；（2）318+；14.（1）4161y x x =--+；（2）1x =，max 13y =； 15.（1）2412(,)55A ±，(6,3)B ±；（2）326x y x =-；（3）关于x 轴对称；顶点(0,0)；[0,6)x ∈，y R ∈；（4）6x =；16.（1）2nn a =；（2）n 为奇数，223n n b -=；n 为偶数，223n n b +=；（3）1λ>；。

理科答案一．填空题：4.1； 2.2-； 3.2； 7.4； π4.5； 4.6； ),2()2,.(7+∞--∞ ； 8.(,5]-∞；9.②④ 二．选择题：10.11.12.A C D三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+ ……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x x a -⋅>，即：(2)x a a > ………………………3分①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………2分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………2分③当21a =时，即12a =时，不等式的解集为：R ……………2分14. 解：（1）由已知条件，得2,A = ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分又∵当1x =-时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴= ……2分∴ 曲线段FBC 的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分 （2）由22sin()163y x ππ=+=得 6(1)4()kx k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴-…2分OG = ……………………1分C1y 2EQ P xD G F (- 4,0)∴ 景观路GO……………1分(3)如图，1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=……………………………………1分作x PP ⊥1轴于1P 点，在1OPPRt ∆中， θθsin 2sin 1==OP PP ……………1分 在OMP ∆中，)60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分 ∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(00-=-⋅=-⋅=OP OM ……………1分 θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分 θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ 332)62sin(334-+=πθ )3,0(πθ∈ …………………2分 当262ππθ=+时，即6πθ=时：平行四边形面积最大值为332 …………………1分15.解（1）由题意得 1(2,0)F - 2c = …………………2分又223114a a +=-， 得，428120a a -+=，解得26a =或22a =（舍去）， …………………2分 则22b =， …………1分故椭圆方程为22162x y +=． …………………1分（2）直线l 的方程为(2)y k x =-． …………………1分联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=． …………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． …………………1分 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+== …2分（3）设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+， …………………1分02231ky k =-+． …………………1分 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =，所以2023(1)(31)PkMP x xk+=-=+．…………………2分当△ABP为正三角形时，ABMP23=，22223(1)1)(31)231k kk k++=++，…………………1分解得1k=±．…………………1分即直线l的方程为20x y--=，或20x y+-=．…………………1分16. 解：（1）1,4,7．………………6分（2）由13nna m-=≤，得*31log()n m m N≤+∈∴当*12,m m N≤≤∈时，121b b==…………………………1分当*38,m m N≤≤∈时，3482b b b==⋅⋅⋅==…………………1分当*926,m m N≤≤∈时，910263b b b==⋅⋅⋅==…………………1分当*∈≤≤Nmm,8027时，4802827==⋅⋅⋅==bbb……………1分当*∈≤≤Nmm,10081时，51008281==⋅⋅⋅==bbb……………1分∴384205544183622110021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++bbb…………1分（3）∵1111a S c==+=∴0c=…………………1分当2n≥时，132n n na S S n-=-=-∴*32()na n n N=-∈…………………2分由32na n m=-≤得：*2()3mn m N+≤∈因为使得na m≤成立的n的最大值为mb，所以*123456323131,2,,()t t tb b b b b b b b b t t N--======⋅⋅⋅===∈……1分当*32()m t t N=-∈时：21(1)313(1)(1)(2)226mt t tT t t m m+--=⋅⋅-+==++…………………1分当*31()m t t N=-∈时：21(1)313(1)2(1)(2)226mt t tT t t m m+-+=⋅⋅-+==++…………………1分当*3()m t t N=∈时：213()13(3)226mt t tT t m m++=⋅⋅==+…………………1分所以**(1)(2)(3231,)6(3)(3,)6mm mm t m t t NTm mm t t N++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩或……………1分。

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分、）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分、1、（4分）设全集U=R、若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=、2、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、3、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=、4、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=、5、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=、6、（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为、7、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为、8、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）、9、已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2、若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为、10、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为、11、（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）、12、（4分）赌博有陷阱、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）、若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）、13、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为、14、在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4、过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=、二、选择题（本大题共有4题，满分15分、）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分、15、（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件16、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、17、记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数、当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A、方程①有实根，且②有实根B、方程①有实根，且②无实根C、方程①无实根，且②有实根D、方程①无实根，且②无实根18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小、20、（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米、现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时、乙到达B地后原地等待、设t=t1时乙到达C地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米、当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由、21、（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值、22、（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）、23、（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期、已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R、设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π、（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分、）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分、1、（4分）设全集U=R、若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= {1，4} 、题目分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可、试题解答解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}、点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键、本题考查了推理判断的能力、2、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、题目分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出、试题解答解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=、∴z=、故答案为：、点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题、3、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16、题目分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可、试题解答解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16、点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键、4、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4、题目分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值、试题解答解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4、点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题、5、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2、题目分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论、试题解答解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2、故答案为：2、点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、6、（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为、题目分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案、试题解答解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：、点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键、7、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2、题目分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可、试题解答解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2、经过验证：x=1不满足条件，舍去、∴x=2、故答案为：2、点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题、8、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）、题目分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案、试题解答解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120、点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算、9、已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2、若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为、题目分析：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程、试题解答解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即、故答案为：、点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、10、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4、题目分析：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值、试题解答解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4、故答案为：4、点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题、11、（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）、题目分析：先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求、试题解答解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x2项的系数、再由，令r=2，可得，x2项的系数为、故答案为：45、点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题、12、（4分）赌博有陷阱、某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）、若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）、题目分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论、试题解答解：赌金的分布列为ξ112345P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元、故答案为：0.2点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键、13、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8、题目分析：由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值、试题解答解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8、故答案为：8、点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题、14、在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4、过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣、题目分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案、试题解答解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴、又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=、由，得、则、∴•==、故答案为：、点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题、二、选择题（本大题共有4题，满分15分、）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分、15、（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件题目分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可、试题解答解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键、16、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、题目分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可、试题解答解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D、点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键、17、记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数、当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A、方程①有实根，且②有实根B、方程①有实根，且②无实根C、方程①无实根，且②有实根D、方程①无实根，且②无实根题目分析：根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论、试题解答解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B、点评：本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2题目分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出、试题解答解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1、∴=﹣1、故选：A、点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小、题目分析：利用长方体的几何关系建立直角坐标系、利用向量方法求空间角、试题解答解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC、由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面、以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin、点评：本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型、20、（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米、现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时、乙到达B地后原地等待、设t=t1时乙到达C地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米、当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由、题目分析：（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论、试题解答解：（1）由题意可得t1==h，t1=5×=千米，设此时甲运动到点P，则AP=v甲∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米、点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题、21、（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值、题目分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案、方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值、试题解答解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=、方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=、点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题、22、（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）、题目分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围、﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，试题解答（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴、∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴、②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件、③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值、当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件、点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题、23、（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期、已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R、设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π、（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）、题目分析：（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf （x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解、证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x ∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f （x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可、试题解答解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）点评：考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论。

闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数i21i2+-a （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 2．若)(x f 为R 上的奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则=+)2()0(f f ． 3．设定点)1,0(A ，若动点P 在函数)0(2>+=x xx y 图像上，则PA 的最小值为 ． 4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个．5．设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim ．6．在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ． 7．设函数)sin(215)(x x f π=，若存在)1,1(0-∈x 同时满足以下条件：①对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立；②22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是 ．8．若不等式21x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的取值范围为 ． 9．关于曲线1:34=-y x C ，给出下列四个结论： ①曲线C 是双曲线； ②关于y 轴对称；③关于坐标原点中心对称； ④与x 轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“2≠a ”是“关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+1)1(32y a x y ax 有唯一解”的 【 】A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 【 】A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．12．对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，**∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 【 】A ．①②；B ．①③；C ．①②③；D ．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题． 证明 因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ． 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中0a >）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ， 该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的 最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆C 过点()且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 方程；（2）斜率为k 的直线l 过右焦点2F ，且与椭圆交于B A ,两点，求弦AB 的长； （3）P 为直线3x =上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP 为等边三角形，求直 线l 的方程． 16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设数列{}n a 满足：①11=a ；②所有项*∈N n a ；③⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=+1211n n a a a a ． 设集合{}*∈≤=N ,|m m a n A n m ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说，m b 是 数列{}n a 中满足不等式m a n ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列{}n a 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列{}n a ； （2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100之和； （3）若数列{}n a 的前n 项和23122n S n n c =-+（其中c 常数），试求数列{}n a 的伴随 数列{}n b 前m 项和m T ．C y 2EQ P xDBGF (- 4,0)理科答案一．填空题：4.1； 2.2-； 3.2； 7.4； π4.5； 4.6； ),2()2,.(7+∞--∞ ； 8.(,5]-∞；9.②④ 二．选择题：10.11.12.A C D三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+ ……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x xa -⋅>，即：(2)x a a > ………………………3分 ①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………2分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………2分③当21a =时，即12a =时，不等式的解集为：R ……………2分14. 解：（1）由已知条件，得2,A = ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分又∵当1x =-时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴= ……2分∴ 曲线段FBC 的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分 （2）由22sin()163y x ππ=+=得 6(1)4()kx k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴-…2分OG = ……………………1分∴ 景观路GO……………1分C1y 2EQ P xD G F (- 4,0)(3)如图，1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=……………………………………1分作x PP ⊥1轴于1P 点，在1OPPRt ∆中， θθsin 2sin 1==OP PP ……………1分 在OMP ∆中，)60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分 ∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(00-=-⋅=-⋅=OP OM ……………1分 θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分 θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ 332)62sin(334-+=πθ )3,0(πθ∈ …………………2分 当262ππθ=+时，即6πθ=时：平行四边形面积最大值为332 …………………1分15.解（1）由题意得 1(2,0)F - 2c = …………………2分又223114a a +=-， 得，428120a a -+=，解得26a =或22a =（舍去）， …………………2分 则22b =， …………1分故椭圆方程为22162x y +=． …………………1分（2）直线l 的方程为(2)y k x =-． …………………1分联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=． …………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． …………………1分 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=221)31k k +=+． …2分（3）设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+， …………………1分02231ky k =-+． …………………1分 直线MP 的斜率为1k-，又 3P x =，所以2023(1)(31)P k MP x x k +=-=+． …………………2分当△ABP 为正三角形时，AB MP 23=，22223(1)1)(31)231k k k k ++=++， …………………1分 解得1k =±． …………………1分 即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=． …………………1分16. 解：（1）1,4,7． ………………6分 （2）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈∴ 当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == …………………………1分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== …………………1分 当*926,m m N ≤≤∈时，910263b b b ==⋅⋅⋅== …………………1分 当*∈≤≤N m m ,8027时，4802827==⋅⋅⋅==b b b ……………1分 当*∈≤≤N m m ,10081时，51008281==⋅⋅⋅==b b b ……………1分 ∴384205544183622110021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b …………1分 （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = …………………1分当2n ≥时，132n n n a S S n -=-=-∴ *32()n a n n N =-∈ …………………2分由32n a n m =-≤得：*2()3m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以 *123456323131,2,,()t t tb b b b b b b b bt t N --======⋅⋅⋅===∈ ……1分 当*32()m t t N =-∈时：21(1)313(1)(1)(2)226m t t t T t t m m +--=⋅⋅-+==++ …………………1分当*31()m t t N =-∈时：21(1)313(1)2(1)(2)226m t t t T t t m m +-+=⋅⋅-+==++ …………………1分当*3()m t t N =∈时：213()13(3)226m t t t T t m m ++=⋅⋅==+ …………………1分所以 **(1)(2)(3231,)6(3)(3,)6m m m m t m t t N T m m m t t N ++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩或 ……………1分。