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线性回归分析的数学模型摘要在实际问题中常常遇到简单的变量之间的关系，我们会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间互相联系、互相制约．这些问题中最简单的是线性回归．线性回归分析是对客观事物数量关系的分析，是一种重要的统计分析方法，被广泛的应用于社会经济现象变量之间的影响因素和关联的研究．由于客观事物的联系错综复杂经济现象的变化往往用一个变量无法描述，故本篇论文在深入分析一元线性回归及数学模型的情况下，又详细地介绍了多元线性回归方程的参数估计和其显著性检验等．全面揭示了这种复杂的依存关系，准确测定现象之间的数量变动．以提高预测和控制的准确度．本文中详细的阐述了线性回归的定义及其线性模型的简单分析并应用了最小二乘法原理．具体介绍了线性回归分析方程参数估计办法和其显著性检验．并充分利用回归方程进行点预测和区间预测．但复杂的计算给分析方法推广带来了困难，需要相应的操作软件来计算回归分析求解操作过程中的数据．以提高预测和控制的准确度．从而为工农业生产及研究起到强有力的推动作用．关键词：线性回归；最小二乘法；数学模型目录第一章前言 (1)第二章线性模型 (2)第一节一元线性模型 (2)第二节多元线性模型 (4)第三章参数估计 (5)第一节一元线性回归方程中的未知参数的估计 (5)第二节多元线性回归模型的参数估计 (8)第四章显著性检验 (13)第一节一元线性回归方程的显著性检验 (13)第二节多元线性回归方程的显著性检验 (20)第五章利用回归方程进行点预测和区间预测 (21)第六章总结 (26)致谢 (27)参考文献…………………………………………………………………………第一章前言回归分析是对客观事物数量依存关系的分析．是数理统计中的一个常用的方法．是处理多个变量之间相互关系的一种数学方法．在现实世界中，我们常与各种变量打交道，在解决实际问题过程中，我们常常会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间互相联系、互相制约．常见的关系有两种：一类为“确定的关系”即变量间有确定性关系，其关系可用函数表达式表示．例如：路程s,时间t,与速度v之间有关系式：s=vt 在圆体给与半径r之间有关系式v= 另外还有一些变量．他们之间也有一定的关系，然而这种关系并不完全确定，不能用函数的形式来表达，在这种关系中至少有一个变量是随机的．例如：人的身高与体重有一定的关系，一般来讲身高高的人体重相对大一些．但是它们之间不能用一个确定的表达式表示出来．这次变量（或至少其中有一个是随机变量）之间的关系．我们称之为相关关系．又如环境因素与农作物的产量也有相关关系，因为在相同环境条件下农作物的产量也有区别，这也就是说农作物的产量是一个随机变量．回归分析就是研究相关关系的一种数学方法，是寻找不完全确定的变量间的数学关系式并进行统计推断的一种方法．它能帮助我们从一个变量取得的值去估计另一个变量的值．在这种关系中最简单的是线性回归．线性回归分析是对客观事物数量关系的分析，是一种重要的统计分析方法，被广泛的应用于社会经济现象变量之间的影响因素和关联的研究．由于客观事物的联系错综复杂经济现象的变化往往用一个变量无法描述，故本篇论文在深入分析一元线性回归及数学模型的情况下，又详细地介绍了多元线性回归方程的参数估计和其显著性检验等．全面揭示了这种复杂的依存关系，准确测定现象之间的数量变动．以提高预测和控制的准确度．第二章线性模型第一节一元线性模型在工农业生产及科研中最常遇到的配直线问题，就是回归分析的统计推断方法来求经验公式（线性回归）的问题．如：例1 今有某种大豆脂肪含量x（%）与蛋白质含量y（%）的测定结果如下表所示：试求它们之间的关系（检验公式）．x16．517．518．519．520．521．522．5y43．542．642．640．640．338．737．2首先将这组数据在直角坐标系上描成点，如下图：一般的，按此方法描点所得的图成为散点图．从图上可以看出：这些数据描出的点分布在一条直线附近．于是推出他们大致可以表示为线性关系这里再y上加“ ^ ”是为了区别于他的实际值y，因为y与x一般不具有确定的函数关系，这样，在散点图的启发下，我们选定了回归方程是线性的．然后根据统计推断方法来估计出未知数和从而确定所求的经验公式．一般的，设随机变量y与x之间的相关关系可以用线性模型, ～N(0, ) （1）来表示．这里x是试验或观察中可以控制或精确观测的变量．即非随机变量,y是可观测的随机变量是不可观测的随机变量（它表示模型误差，是除去x对Y的先行影响之外的且不能测出的其它各个随机因素对Y的影响的总和）通过实验观测可得到关于变量x和Y的一组数据（，），（，），……（，）因为对于任意一个（i=1,2,……n），在的观测值在取定前不能精确预言它一定能取什么值，故把看作是随机变量Y的观测值．而相互独立的随机变量，，…… 为Y的样本．我们知道，样本与样本观测值之间的区别是：前者是随机变量，后者为取定的数值，但为了叙述方便，今后把样本观察值也成为样本．在符号上均用，，…… 来表示．具体表示的意义也可由上下文分析清楚，设观测值与样本之间满足关系式：= （i=1,2,……,n）（2）其中～（i=1,2,……,n）且相互独立．如果两个变量间的关系用上述线性模型描述，则它们之间存在线性相关关系由（1）有：E(Y)=我们希望根据观测的数据，求出, 的估计量，这样就可以利用方程（3）去估计随机变量Y的数学期望E(Y)．也就是说，将，代入方程（1）并略去误差，就得到了随机变量Y和变量x的线性关系式（3）．方程（3）通常称为Y对x的线性回归方程或回归方程，其图形称为回归直线．［１］对于（1）和（2）所确定的线性模型，所考虑的统计推断主要问题是：未知参数和的估计：检验x和Y之间的关系是否可确信是线性关系，即对假设（1）进行检验，对Y进行预测等．第二节多元线性模型一般来讲，影响结果Y的因素往往不止一个．设有，…… 共p个元素．这时要用图来确定它们的关系是困难的．常可根据经验做出假设．其中最简单的是假设它们之间有线性关系： (4)式中，…… 都是可精确测量或可控制的一般变量，Y是可观测的随机变量，，，……，都是未知参数，是服从分布的不可观测的随机误差．我们对（4）获得了n组相互独立的观测值（样本）．（；，，…… ）（i=1,2,……,n）（5）于是由（4）式可知具有数据结构式：i=1,2,……,n（6）其中各个（i=1,2,……,n）相互独立，且均服从．这就是p元线性回归模型．对于（4）所确定的模型．统计推断的主要问题是：根据样本去估计未知参数，，……，、，从而建立Y与，…… 间的数量关系式和对比得到的数量关系式的可信度进行统计检验;检验各变量，…… 分别对指标是否有显著影响．[2]第二章参数的估计第一节一元线性回归方程参数的估计有多种确定回归方程也就是确定未知参数, 的估计量，，的方法其中最常用的是“最小二乘法”．我们将采用“最小二乘法原理”来求出，也就是求，使误差（i=1,2,……,n）的平方和Q= = （7）为最小的，值作为参数, 的估计量．由（7）知Q是, 的二元函数．即Q=Q( , )．按二元函数求极值的方法可得联立方程组：（8）这个方程组称为正规方程组即：（9）解此方程组．由（9）的第一式得因此的估计量为：（10）其中，将（10）式代入（9）中的第二式可解得的估计量为（11）这样：利用（10）和（11）确定的, 使平方和Q达到最小，从而求出回归方程这里，分别表示由（10）和（11）确定的, 的值并称为经验截距；为经验回归系数，简称为回归系数，而是的无偏估计量．由（10）可得回归方程的另一种形式：（12）由此可知，回归直线通过点（，），即通过由馆测值的平均值组成的点，并且回归方程由回归系数完全确定．一般的，把由回归方程确定的x的对应值称为回归值．根据观测数据，利用（10）和（11）来求回归直线时，常把（11）中的分子和分母分别记为和，且按下面的公式计算：所以（10）和（11）两式可记作：（13）（14）又有公式: = = （15）然而，对总体中的未知参数进行估计，其主要目的还是建立一元线性回归方程．虽然有一个正规方程组存在实际上并不研究它．以下是建立一元线性回归方程的具体步骤：（1）计算，，，，；（2）计算，，（在回归方程作显著性检验时用）；（3）计算和写出一元线性回归方程．[3]序号116．543．5272．251892．25717．75217．542．6306．25745．503 18．5 42．6 342．25 1814．76 788．104 19．5 40．6 380．25 1648．36 791．705 20．5 40．3 420．25 1624．09 826．156 21．5 38．7 462．25832．05722．537．2 506．25 1383．84 837．00823．536．0 552．25 1296．00 846．00924．534．0 600．25 1156．00 833．00 184．5 355．5 3842．25 14127．75从而可求得=20．5，=39．5，=60，=-70．5，-1．175，= - =63．588所求回归方程为63．588-1．175x例2 设两个变量x与Y由某种相关关系，测得它的一组数据如下表所示，试求其回归方程．x49．250．049．349．049．049．549．849．950．250．2Y16．717．016．816．616．716．816．817．017．017．1解：根据计算得=49．61，=16．85，=24613．51，=8359．94=0．3293，= - =0．5129所以回归方程为0．5129+0．3293x．第二节多元线性回归模型的参数估计设，…… ，Y有一组观测值(样本);（，…… ，）（i=1，2，……n）．我们希望由估计，，……，所决定出的回归方程能使一切与之间的偏差达到最小．根据最小二乘法的原理即：要求=所以只要求偏离平方和达到最小的为书写方便以下把“ ”书写成“ ”根据微积分中值原理和最小二乘法估计是下列方程组的解（j=1,2,…，n）（16）经整理即得关于的一个线性方程组 (17)此方程组（17）称为正规方程组．借此方程组就可求得参数的回归值为了求解方便我们将（17）是写成矩阵的形式，令1 …X= 1 …，Y= ，B=…………………1 …记（17）式的系数矩阵为A，常数项矩阵为B，则A恰为，B恰为即：1 1 … 1 1 …= … 1 ………………………… 1 …n …= … =A……………1 1 (1)= … = =B…………………因此用矩阵的形式可表式为 = 在回归分析中通常存在这时最小二乘估计可表式为：= （18）当我们求出了的最小二乘估计后，就可以建立多元回归方程．[5]例3 某地区所产原棉的纤维能力Y与纤维的公制支数，纤维的成熟度有关，现实测得28组数据（见下表）试建立Y关于，的二元线性回归方程．ii154151．584．031562081．703．81257001．384．011657981．594．00356741．574．005551 1．61 4．19 4 5698 1．55 4．09 18 6059 1．57 3．81 5 6165 1．52 3．73 19 6060 1．53 3．96 6 5929 1．60 4．096059 1．55 3．93 7 7505 1．14 2．95 21 6370 1．45 3．72 8 5920 1．50 3．90 22 6102 1．49 3．84 9 7646 1．18 2．896245 1．50 3．88 10 6556 1．27 3．48 24 6644 1．45 3．38 11 6475 1．50 3．60 25 6191 1．58 3．76 12 5907 1．50 3．7763521．503．791356971．543．942759991．593．791466181．23．662858151．74．09 解：先求出方程组的系数矩阵及常数向量，再求=172388 =6156．7143=41．84 =1．4943=106．09 =3．7889=1068433202 =7089539．72=63．0632 =0．5423=256087．04 =-1509．8857=649111．28 =-4054．5386=159．4481 =0．9193=404．5287求，的正规方程组为7089539．72 -1509．8857 =-4054．5386-1509．8857 +0．5423 =0．9193解得=-0．0005181 ，=0．2527 ，= =6．6011所以Y的关于，的二元线性回归方程为=6．6011-0．0005181 +0．2527第四章显著性检验第一节一元线性回归方程的显著性检验由上面的讨论知，对于任何的两个变量x和Y的一组观测数据（）（i=1,2,……,n）按公式（10）和（11）都可以确定一个回归方程然而事前并不知道Y和x之间是否存在线性关系，如果两个变量Y和x之间并不存在显著的线性相关关系，那么这样确定的回归方程显然是毫无实际意义的．因此，我们首先要判断Y和x是否线性相关，也就是要来检验线性假设是否可信，显然，如果Y和x之间无线性关系，则线性模型的一次项系数=0；否则0．所以检验两个变量之间是否存在线性相关关系，归根到底是要检验假设根据现行假设对数据所提的要求可知，观察值，，…… 之间的差异，是有两个方面的原因引起的：（1）自变量x的值不相同;（2）其它因素的影响，检验是否成立的问题，也就是检验这两方面的影响哪一个是主要的问题．因此，就必须把他们引起的差异从Y的总的差异中分解出来．也就是说，为了选择适当的检验统计量，先导出离差平方和的分解因式．[6]一、离差平方和的分解公式观察值（i=1,2,……,n），与其平均值的离差平方和，称为总的离差平方和，记作因为=其中：=2=2=2=2所以=由于中的，为（10）和（11）所确定．即它们满足正规方程组（9）的解．因此定义项=于是得到了总离差平方和的分解公式：其中（19）是回归直线上横坐标为的点的纵坐标，并且的平均值为，是这n个数的偏差平方和，它描述了的离散程度，还说明它是来源于的分散性，并且是通过x对于Y的线性影响而反映出来的，所以，称为回归平方和而=它正是前面讨论的的最小值，在假设（1）式的条件下它是由不可观察的随机变量引起的，也就是说，它是由其它未控制的因素及试验误差引起的，它的大小反映了其它因素以及试验误差对实验结果得影响．我们称为剩余平方和或残差平方和．[7]二、、的性质及其分布由以上分析可知，要解决判断Y和x之间是否存在线性相关关系的问题，需要通过比较回归平方和和剩余平方和来实现．为了更清楚地说明这一点，并寻求出检验统计量，考察估计量，的性质及其分布．（一）的分布由（14）式可知=在相互独立且服从同一分布的假定下由（2）知，，…… 是P个相互独立的随机变量，且（i=1,2,……，n）所以他们的平均值的数学期望为：因为是的线性函数，且有：这说明是的无偏估计量且的方差为所以即:同样可证，对于任意给定的其对应的回归值（它是的点估计）适合( ，（二）方差的估计及分布因为===由、及可得=又由于及E(L)，E(U)得=E(L)+E(U) =（n-2）从而,说明了= = 是的无偏估计量，由此可见，不论假设成立与否，是的一个无偏估计量，而仅当假设成立时，才是的一个无偏估计量，否则它的期望值大于．说明比值（20）在假设成立时有偏大倾向，也就是说，如果F取得值相当大，则没有理由认为x和Y之间有线性相关关系，也就是下面我们将采用F作为检验统计量的原因．另外，由于，是的最小二乘估计，由（8）式可知=0 ，=0这表明中的n个变量，…… 之间有两个独立的线性约束条件，故的自由度为n-2因此[8]三、F检验由以上讨论可知，当成立时；且二者相互独立，由此可得因此可用这个统计量F作为检验假设的检验统计量．对给定的显著性水平，查自由度为（1，n-2）的F分布的临值表，得临界值，如果由实际观察值计算所得的F> 则否定假设，即认为x,Y之间线性相关关系显著．否则不能否定，而认为线性相关关系不显著．这种采用F检验法来对回归方程来进行显著性检验的方法称为方差分析．在F检验中，，的计算公式如下== （21）其中=例4 对例1进行线性关系显著性检验．解：n=9=-1．175×(-70．5)=82．84= =85．50-81．84=2．66具体检验在如下的方差分析表上进行方差来源平方和自由度平均平方和F值回归82．84182．84218．00剩余2．6670．3885．488查下表对=0．01 ，今说明线性关系极显著，即回归方程是有意义的．[9]例5 某种物质在不同的温度下可以吸附另一种物质，如果温度x（单位：℃）与吸附重量Y （单位：mg）的观测值如下表所示：温度1．51．82．43．03．53．94．44．85．0重量4．85．77．08．312．413．113．615．3试求其回归方程并作显著性检验．解：根据上述观测值得到n=9=30．3 =91．11=115．11 =345．09 =1036．65=13．100 =38．387 =114．516=3．367 =10．122 = =2．9303=0．2569所求线性回归方程为=0．2569+2．9303x因为=114．516 =112．485 所以= =2．031由n-2=7 =12．2=387．69 F>12．2所以回归方程极显著第二节多元线性回归方程的相关性检验由于的无偏估计量为将总的离差平方和进行分解可得到+ 其中，这里叫做残差平方和，其自由度为n，叫做回归平方和，自由度为n-p-1．检验假设是否成立在成立时因此可利用F检验法检验线性相关关系的显著性如果F〉，则可认为与，…… 之间的线性相关关系显著；如果则可以认为与，…… 之间的线性相关关系特别显著．否则可认为与，…… 之间不存在线性相关关系，所建立的线性回归方程是不显著的．例6 对例1 的回归方程进行显著性检验．解：经过计算得=23510 ，= =4734．6=248284〉（2，10）=7．56所以所求二元线性回归方程线性极其显著．[10]第五章利用回归方程进行点预测和区间预测若线性回归方程作显著性检验的结果是拒绝，也就是拒绝回归系数=0的假设，便可以利用回归方程进行点预测和区间预测．这是人们关注线性回归的主要原因之一．（1）当x= 时用预测的观测值称为点预测，根据得的观测值的点预测是无偏的（2）当x= 时用适合不等式的统计量G 和H所确定的随机区间预测的取值范围称为区间预测，而称为的预测区间若与样本的各相互独立，则根据服从正态分布 , ，Z与Q 相互独立可以导出因此的预测区间为与一元线性回归一样，当给定时，可求出相应的的点估计．亦可求出区间估计，还可以给出相应的的预测区间．[11]影响预测精度的主要因素有：（1），但是不可改变的．一般的，越小精度越高．（2）n，n越大精度越高．因此，要尽量扩大样本容量．（3）自变量取值不要太集中；预测点离越近精度越高．例7 一些夏季害虫的盛发期与春季温度有关，现有1956-1964年间3月下旬至4月中旬平均温度的累计数x和一代三螟蛾盛发期Y（以5月10日为0）的观测值如下：温度35．534．131．740．336．840．231．739．244．2盛发期12．169273139-1试求线性回归方程并进行F检验；若=40 ，求的0．95预测区间解：根据上述观测值得到的n=9=333．7 =70=12517．49 =2436．4 =794=144．6356 =-159．0444 =149．5556=37．077 =7．7778= =-1．0996 =4835493所以所求的线性回归方程为=48.5-1.1x当=40时=4．56 ，=8．36 ，所以的0．95预测区间为（-3．80，12．92）检验说明当3月下旬至4月下旬平均温度的累计数为40时，应该预测一代螟蛾盛发期为5月6日——5月23日之间，并且预测100次将有95次是正确的．例8 下表列出在不同挂重x下，弹簧长度y的测量值，设测量值y对给定的x服从正态分布．挂物的重量（牛）50100150200250300弹簧的长度（厘米）7．258．128．959．9010．911．8(1) 求线形回归法方程；(2) 检验假设；(3) 若回归效果显著，求b的置信度为95％的置信区间;(4) 求在x=160（牛）时，y的置信度为0．95的预测区间．解：(1) =175, =227500,=9．4867 =554．6594n=6, =10762=27500-6× =43750=10762-6×175×9．4867=800．965=554．6594-6× =14．6745=0．01831=9．4867-0．01831×175=6．2825所以=6．2825+0．01831x（2）=0．01831×800．965=14．6657=14．6745-14．6657=0．008831=0．05，=7．71=6642．9392>7．71所以，拒绝，认为重量x与弹簧长度y有显著的线性关系．（3）=0．04697，2．7764b的置信度为0．95的置信区间为（0．01769，0．01893）（4）×160=9．2121=0．1412所以，y的置信度为0．95的预测区间为（9．0709，9．3533）例9 假设儿子的身高y与父亲的身高x适合一元线性回归模型，观察了10对父子的身高（英寸）得数据如下：X60626465666768707274y63．665．56665．666．967．167．463．370．170（1）建立y与x的回归方程．（2）对线性回归方程作假设检验（=0．05）．（3）当=69时，求的信置度为0．95的预测区间．解：（1）设回归方程为：y= ．按所给数据计算，得=668，=66．8，=44794=665．1，=66．51，=44283．93=44492．4 =171．6=48．129=63．72所以=0．3713，=41．7072线性回归方程为：=41．7072+0．3713x．（2）需检验假设b=0检验统计量因为=23．6592 ，=24．4698，于是F=23．6592（10-2）/24．4698=7．735而=5．32<7．735=F，故认为回归是显著的．拒绝原假设（3）的置信度为1- 的预测区间为当=69时，=41．7072+0．3713×69=67．3269，从而4．2837．……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………所以预测区间的一个观测值为（63．0432，71．6106）第六章结论本篇论文从基础的一元线性回归入手深入的分析了多元线性回归方程的参数性质及其显著性检验，并对一元线性回归方程进行点预测和区间预测,并给出实例进行解析．但复杂的计算给分析方法推广带来了困难，需要相应的软件来简化回归分析求解的操作过程。
线性回归模型的研究毕业论文1 引言回归分析最早是由19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）发展的。
1855年，他发表了一篇文章名为“遗传的身高向平均数方向的回归”，分析父母与其孩子之间身高的关系，发现父母的身高越高或的其孩子也越高，反之则越矮。
他把儿子跟父母身高这种现象拟合成一种线性关系。
但是他还发现了个有趣的现象，高个子的人生出来的儿子往往比他父亲矮一点更趋向于平均身高，矮个子的人生出来的儿子通常比他父亲高一点也趋向于平均身高。
高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。
于是“线形回归”的术语被沿用下来了。
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
按照参数估计方法可以分为主成分回归、偏最小二乘回归、和岭回归。
一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。
模型的各个参数可以根据实测数据解。
接着评价回归模型能否够很好的拟合实际数据；如果不能够很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。
回归分析是重要的统计推断方法。
在实际应用中，医学、农业、生物、林业、金融、管理、经济、社会等诸多方面随着科学的发展都需要运用到这个方法。
从而推动了回归分析的快速发展。
2 回归分析的概述2.1 回归分析的定义回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
2.2 回归分析的主要容（1）从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即建立数学模型并估计其中的未知参数。
估计参数的常用方法是最小二乘法。
线性回归模型的建模与分析方法线性回归模型是一种常用的统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在本文中，我们将探讨线性回归模型的建模与分析方法，以及如何使用这些方法来解决实际问题。
一、线性回归模型的基本原理线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来预测。
其基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
二、线性回归模型的建模步骤1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的相关数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等预处理步骤，以确保数据的可靠性。
3. 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适合的线性回归模型，如简单线性回归模型、多元线性回归模型等。
4. 模型拟合：使用最小二乘法等方法，拟合回归模型，得到回归系数的估计值。
5. 模型评估：通过统计指标如R方值、调整R方值、残差分析等，评估模型的拟合优度和预测能力。
6. 模型应用：利用已建立的模型进行预测、推断或决策，为实际问题提供解决方案。
三、线性回归模型的分析方法1. 回归系数的显著性检验：通过假设检验，判断回归系数是否显著不为零，进一步判断自变量对因变量的影响是否显著。
2. 多重共线性检验：通过计算自变量之间的相关系数矩阵，判断是否存在多重共线性问题。
若存在多重共线性，需要进行相应处理，如剔除相关性较高的自变量。
3. 残差分析：通过观察残差的分布情况，判断模型是否符合线性回归的基本假设，如误差项的独立性、正态性和方差齐性等。
4. 模型诊断：通过观察残差图、QQ图、杠杆值等，判断是否存在异常值、离群点或高杠杆观测点，并采取相应措施进行修正。
5. 模型优化：根据模型评估结果，对模型进行优化，如引入交互项、非线性变换等，以提高模型的拟合效果和预测准确性。
数据建模与分析线性回归小论文线性回归是一种常见的数据建模和分析方法，在多个领域中都有广泛的应用。
本文将通过探讨线性回归的基本概念、模型建立、评价指标和应用案例等方面，分析线性回归在数据建模与分析中的重要性和价值。
首先，线性回归是一种用于建立因变量和自变量之间线性关系的统计模型。
其基本假设是，在给定自变量的情况下，因变量是自变量的线性函数加上随机误差项的组合。
线性回归的目标是寻找最佳拟合直线，以最小化实际观测值与预测值之间的差异。
在进行线性回归建模时，首先需要选择合适的自变量，这可以通过领域知识、相关性分析和特征选择等方法来进行。
然后，根据选定的自变量，建立线性回归模型，这可以通过最小二乘法估计回归系数。
为了评价线性回归模型的性能，可以使用多个指标。
其中，最常见的指标是均方误差（Mean Squared Error, MSE）和决定系数（R-squared）。
均方误差反映了模型的预测误差大小，而决定系数则表示模型解释数据方差的能力。
此外，还可以使用假设检验和置信区间等方法来评价回归系数的显著性和可靠性。
线性回归在数据建模与分析中具有广泛的应用。
例如，在市场营销中，可以使用线性回归分析来预测产品销量与广告投入的关系，从而确定最佳的广告策略。
在经济学中，线性回归可以用于分析GDP与劳动力市场、物价等经济变量之间的关系。
在医学研究中，线性回归可以用于探索生物标志物与疾病之间的相关性。
总之，线性回归是一种常见且有价值的数据建模与分析方法。
通过选择合适的自变量、建立合理的模型和评价模型的性能，线性回归可以帮助我们探索变量之间的关系，预测未来趋势，并为决策提供依据。
然而，需要注意的是，线性回归的使用必须满足一些假设条件，如线性关系、正态分布等，对于非线性关系或异常数据，需要采用其他方法进行建模和分析。
初中数学什么是回归分析如何进行回归分析在统计学中，回归分析（Regression Analysis）是一种用来研究变量之间关系的方法。
在初中数学中，了解回归分析的概念有助于理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
本文将介绍回归分析的概念，并详细说明如何进行回归分析。
回归分析的特点如下：1. 变量关系：回归分析用于研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
自变量是用来解释因变量的变化的变量，因变量是需要预测或解释的变量。
2. 回归方程：回归分析的结果是一个回归方程，用于描述自变量与因变量之间的关系。
回归方程可以用来预测因变量的取值，或解释因变量的变化。
进行回归分析可以使用以下步骤：1. 收集数据。
收集需要进行回归分析的数据，包括自变量和因变量的取值。
确保数据的准确性和完整性。
2. 选择回归模型。
根据变量之间的关系和研究目的，选择适当的回归模型。
常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、对数回归等。
线性回归是最常用的回归模型，用于研究自变量与因变量之间的线性关系。
3. 建立回归方程。
根据选择的回归模型，建立回归方程。
对于线性回归，回归方程可以表示为：Y = a + bX，其中Y表示因变量，X表示自变量，a表示截距，b表示斜率。
4. 估计参数。
使用统计方法估计回归方程中的参数。
常用的估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
通过估计参数，可以得到回归方程中的截距和斜率的取值。
5. 检验回归方程。
使用适当的统计检验方法，检验回归方程的显著性。
常用的检验方法包括t检验、F检验等。
检验回归方程的显著性可以判断自变量与因变量之间的关系是否具有统计学意义。
6. 解释回归方程。
根据回归方程中的参数估计值，解释自变量对因变量的影响。
斜率表示自变量每变化一个单位，因变量的平均变化量；截距表示当自变量取值为0时，因变量的取值。
7. 进行预测。
使用建立的回归方程，可以进行因变量的预测。
通过给定自变量的取值，可以计算出相应的因变量的预测值。
线性回归方法线性回归是一种用于建立自变量和因变量之间关系的统计学方法。
在实际应用中，线性回归通常用于预测和发现变量之间的关联。
它是一种简单而有效的预测模型，被广泛应用于经济学、金融学、生物学、工程学等领域。
首先，我们来了解一下线性回归的基本原理。
线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量可以通过自变量的线性组合来表示。
数学上，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归的目标是找到最佳的参数估计，使得模型的预测值与实际观测值之间的误差最小化。
在实际应用中，我们通常使用最小二乘法来估计线性回归模型的参数。
最小二乘法的核心思想是最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，从而得到最优的参数估计。
通过最小二乘法，我们可以得到模型的参数估计值，进而进行预测和推断分析。
除了最小二乘法，线性回归还有一些常见的扩展方法，例如岭回归、Lasso回归和弹性网络回归等。
这些方法在处理多重共线性、过拟合和模型选择等问题上具有一定的优势，可以提高模型的预测能力和解释能力。
在实际应用中，我们需要注意线性回归模型的假设条件和局限性。
线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
在应用时，我们需要对模型的假设条件进行检验，以确保模型的有效性和可靠性。
此外，线性回归模型也存在一些局限性，例如对异常值和离群点敏感，对非线性关系的拟合能力较弱等。
在实际应用中，我们需要结合具体问题和数据特点，选择合适的模型和方法。
总的来说，线性回归是一种简单而有效的统计方法，被广泛应用于各个领域。
通过对线性回归方法的理解和应用，我们可以更好地理解变量之间的关系，进行预测和推断分析，为决策提供科学依据。
同时，我们也需要注意线性回归模型的假设条件和局限性，以确保模型的有效性和可靠性。
线性回归分析范文线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的线性关系。
它可以揭示自变量和因变量之间的数量关系，通过建立一个最佳拟合的线性模型来预测因变量的值。
线性回归广泛应用于经济、金融、社会科学和自然科学等领域。
线性回归模型的基本形式如下：Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、…、Xn是自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数，ε是随机误差项。
线性回归的前提假设包括：1.线性关系假设：自变量和因变量之间是线性关系；2.同方差性假设：随机误差项ε在所有自变量取值下具有相同的方差；3.独立性假设：随机误差项ε之间是独立的；4.正态性假设：随机误差项ε服从正态分布。
线性回归的核心任务是通过最小化残差平方和来求解最佳的回归系数。
残差是预测值与实际观测值之间的差异。
最小二乘法是线性回归中常用的方法，它的目标是使残差平方和最小化，通过求解偏导数来得到最佳回归系数的估计。
线性回归模型的拟合程度可以通过判定系数R²来评估，其取值范围在0到1之间。
R²的值越接近1，说明模型越能解释因变量的变异性；反之，R²的值越接近0，说明模型的解释能力越弱。
线性回归模型的应用包括：1.预测与预测：根据自变量的取值，可以使用线性回归模型来预测因变量的值。
例如，在经济学中，可以根据经济指标，如GDP和失业率，来预测未来的经济增长率。
2.因果推断：线性回归模型可以用于研究自变量对因变量的影响程度。
通过估计回归系数，可以分析自变量的影响方向和强度。
例如，在医学研究中，可以通过线性回归分析来确定吸烟对呼吸道疾病的影响。
3.变量选择：线性回归可以用于识别对因变量影响最大的自变量。
通过分析回归系数的显著性，可以确定哪些自变量对因变量具有重要的解释能力。
这对于解释和理解研究问题非常有价值。
然而，线性回归也存在一些限制：1.假设限制：线性回归模型对回归系数的假设比较严格，要求线性关系、同方差性和独立性。
线性回归分析的数学模型在实际问题中常常遇到简单的变量之间的关系，我们会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间互相联系、互相制约．这些问题中最简单的是线性回归．线性回归分析是对客观事物数量关系的分析，是一种重要的统计分析方法，被广泛的应用于社会经济现象变量之间的影响因素和关联的研究．由于客观事物的联系错综复杂经济现象的变化往往用一个变量无法描述，故本篇论文在深入分析一元线性回归及数学模型的情况下，又详细地介绍了多元线性回归方程的参数估计和其显著性检验等．全面揭示了这种复杂的依存关系，准确测定现象之间的数量变动．以提高预测和控制的准确度．本文中详细的阐述了线性回归的定义及其线性模型的简单分析并应用了最小二乘法原理．具体介绍了线性回归分析方程参数估计办法和其显著性检验．并充分利用回归方程进行点预测和区间预测．但复杂的计算给分析方法推广带来了困难，需要相应的操作软件来计算回归分析求解操作过程中的数据．以提高预测和控制的准确度．从而为工农业生产及研究起到强有力的推动作用．关键词：线性回归；最小二乘法；数学模型目录第一章前言 (1)第二章线性模型 (2)第一节一元线性模型 (2)第二节多元线性模型 (4)第三章参数估计 (5)第一节一元线性回归方程中的未知参数的估计 (5)第二节多元线性回归模型的参数估计 (8)第四章显著性检验 (13)第一节一元线性回归方程的显著性检验 (13)第二节多元线性回归方程的显著性检验 (20)第五章利用回归方程进行点预测和区间预测 (21)第六章总结 (26)致谢 (27)参考文献…………………………………………………………………………第一章前言回归分析是对客观事物数量依存关系的分析．是数理统计中的一个常用的方法．是处理多个变量之间相互关系的一种数学方法．在现实世界中，我们常与各种变量打交道，在解决实际问题过程中，我们常常会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间互相联系、互相制约．常见的关系有两种：一类为“确定的关系”即变量间有确定性关系，其关系可用函数表达式表示．例如：路程s,时间t,与速度v之间有关系式：s=vt 在圆体给与半径r之间有关系式v= 另外还有一些变量．他们之间也有一定的关系，然而这种关系并不完全确定，不能用函数的形式来表达，在这种关系中至少有一个变量是随机的．例如：人的身高与体重有一定的关系，一般来讲身高高的人体重相对大一些．但是它们之间不能用一个确定的表达式表示出来．这次变量（或至少其中有一个是随机变量）之间的关系．我们称之为相关关系．又如环境因素与农作物的产量也有相关关系，因为在相同环境条件下农作物的产量也有区别，这也就是说农作物的产量是一个随机变量．回归分析就是研究相关关系的一种数学方法，是寻找不完全确定的变量间的数学关系式并进行统计推断的一种方法．它能帮助我们从一个变量取得的值去估计另一个变量的值．在这种关系中最简单的是线性回归．线性回归分析是对客观事物数量关系的分析，是一种重要的统计分析方法，被广泛的应用于社会经济现象变量之间的影响因素和关联的研究．由于客观事物的联系错综复杂经济现象的变化往往用一个变量无法描述，故本篇论文在深入分析一元线性回归及数学模型的情况下，又详细地介绍了多元线性回归方程的参数估计和其显著性检验等．全面揭示了这种复杂的依存关系，准确测定现象之间的数量变动．以提高预测和控制的准确度．第二章线性模型第一节一元线性模型在工农业生产及科研中最常遇到的配直线问题，就是回归分析的统计推断方法来求经验公式（线性回归）的问题．如：例1 今有某种大豆脂肪含量x（%）与蛋白质含量y（%）的测定结果如下表所示：试求它们之间的关系（检验公式）．x16．517．518．519．520．521．522．5y43．542．642．640．640．338．737．2首先将这组数据在直角坐标系上描成点，如下图：一般的，按此方法描点所得的图成为散点图．从图上可以看出：这些数据描出的点分布在一条直线附近．于是推出他们大致可以表示为线性关系这里再y上加“ ^ ”是为了区别于他的实际值y，因为y与x一般不具有确定的函数关系，这样，在散点图的启发下，我们选定了回归方程是线性的．然后根据统计推断方法来估计出未知数和从而确定所求的经验公式．一般的，设随机变量y与x之间的相关关系可以用线性模型, ～N(0, ) （1）来表示．这里x是试验或观察中可以控制或精确观测的变量．即非随机变量,y是可观测的随机变量是不可观测的随机变量（它表示模型误差，是除去x对Y的先行影响之外的且不能测出的其它各个随机因素对Y的影响的总和）通过实验观测可得到关于变量x和Y的一组数据（，），（，），……（，）因为对于任意一个（i=1,2,……n），在的观测值在取定前不能精确预言它一定能取什么值，故把看作是随机变量Y的观测值．而相互独立的随机变量，，……为Y的样本．我们知道，样本与样本观测值之间的区别是：前者是随机变量，后者为取定的数值，但为了叙述方便，今后把样本观察值也成为样本．在符号上均用，，……来表示．具体表示的意义也可由上下文分析清楚，设观测值与样本之间满足关系式：= （i=1,2,……,n）（2）其中～（i=1,2,……,n）且相互独立．如果两个变量间的关系用上述线性模型描述，则它们之间存在线性相关关系由（1）有： E(Y)=我们希望根据观测的数据，求出, 的估计量，这样就可以利用方程（3）去估计随机变量Y的数学期望E(Y)．也就是说，将，代入方程（1）并略去误差，就得到了随机变量Y和变量x的线性关系式（3）．方程（3）通常称为Y对x的线性回归方程或回归方程，其图形称为回归直线．［１］对于（1）和（2）所确定的线性模型，所考虑的统计推断主要问题是：未知参数和的估计：检验x和Y之间的关系是否可确信是线性关系，即对假设（1）进行检验，对Y进行预测等．第二节多元线性模型一般来讲，影响结果Y的因素往往不止一个．设有，……共p个元素．这时要用图来确定它们的关系是困难的．常可根据经验做出假设．其中最简单的是假设它们之间有线性关系：……（4）式中，……都是可精确测量或可控制的一般变量，Y是可观测的随机变量，，，……，都是未知参数，是服从分布的不可观测的随机误差．我们对（4）获得了n组相互独立的观测值（样本）．（；，，……）（i=1,2,……,n）（5）于是由（4）式可知具有数据结构式：i=1,2,……,n（6）其中各个（i=1,2,……,n）相互独立，且均服从．这就是p元线性回归模型．对于（4）所确定的模型．统计推断的主要问题是：根据样本去估计未知参数，，……，、，从而建立Y与，……间的数量关系式和对比得到的数量关系式的可信度进行统计检验;检验各变量，……分别对指标是否有显著影响．[2]第二章参数的估计第一节一元线性回归方程参数的估计有多种确定回归方程也就是确定未知参数, 的估计量，，的方法其中最常用的是“最小二乘法”．我们将采用“最小二乘法原理”来求出，也就是求，使误差（i=1,2,……,n）的平方和Q= = （7）为最小的，值作为参数, 的估计量．由（7）知Q是, 的二元函数．即Q=Q( , )．按二元函数求极值的方法可得联立方程组：（8）这个方程组称为正规方程组即：（9）解此方程组．由（9）的第一式得因此的估计量为：（10）其中，将（10）式代入（9）中的第二式可解得的估计量为（11）这样：利用（10）和（11）确定的, 使平方和Q达到最小，从而求出回归方程这里，分别表示由（10）和（11）确定的, 的值并称为经验截距；为经验回归系数，简称为回归系数，而是的无偏估计量．由（10）可得回归方程的另一种形式：（12）由此可知，回归直线通过点（，），即通过由馆测值的平均值组成的点，并且回归方程由回归系数完全确定．一般的，把由回归方程确定的x的对应值称为回归值．根据观测数据，利用（10）和（11）来求回归直线时，常把（11）中的分子和分母分别记为和，且按下面的公式计算：所以（10）和（11）两式可记作：（13）（14）又有公式: = = （15）然而，对总体中的未知参数进行估计，其主要目的还是建立一元线性回归方程．虽然有一个正规方程组存在实际上并不研究它．以下是建立一元线性回归方程的具体步骤：（1）计算，，，，；（2）计算，，（在回归方程作显著性检验时用）；（3）计算和写出一元线性回归方程．[3]序号116．543．5272．251892．25717．75217．542．6306．251814．76745．50318．542．6342．251814．76788．10419．540．6380．251648．36791．70520．540．3420．251624．09826．15621．538．7462．251497．69832．05737．2506．251383．84837．00823．536．0552．251296．00846．00924．534．0600．251156．00833．00184．5355．53842．2514127．757217．25从而可求得=20．5，=39．5，=60，=-70．5，-1．175，= - =63．588所求回归方程为63．588-1．175x例2 设两个变量x与Y由某种相关关系，测得它的一组数据如下表所示，试求其回归方程．x49．250．049．349．049．049．549．849．950．250．2Y16．717．016．816．616．716．817．017．017．1解：根据计算得=49．61，=16．85，=24613．51，=8359．94=0．3293，= - =0．5129所以回归方程为0．5129+0．3293x．第二节多元线性回归模型的参数估计设，……，Y有一组观测值(样本);（，……，）（i=1，2，……n）．我们希望由估计，，……，所决定出的回归方程能使一切与之间的偏差达到最小．根据最小二乘法的原理即：要求=所以只要求偏离平方和达到最小的为书写方便以下把“”书写成“”根据微积分中值原理和最小二乘法估计是下列方程组的解（j=1,2,…，n）（16）经整理即得关于的一个线性方程组………………………（17）此方程组（17）称为正规方程组．借此方程组就可求得参数的回归值为了求解方便我们将（17）是写成矩阵的形式，令1 …X= 1 …，Y= ， B= …………………1 …记（17）式的系数矩阵为A，常数项矩阵为B，则A恰为，B恰为即：1 1 … 1 1…= … 1 ………………………… 1 …n …= …=A……………1 1 (1)= …= =B …………………因此用矩阵的形式可表式为= 在回归分析中通常存在这时最小二乘估计可表式为：= （18）当我们求出了的最小二乘估计后，就可以建立多元回归方程．[5]例 3 某地区所产原棉的纤维能力Y与纤维的公制支数，纤维的成熟度有关，现实测得28组数据（见下表）试建立Y关于，的二元线性回归方程．ii154151．584．031562081．703．81257001．384．011657981．594．00356741．574．001755511．614．19456981．5518 6059 1．57 3．81 5 6165 1．52 3．73 19 6060 1．53 3．96 6 5929 1．60 4．09 20 6059 1．55 3．93 7 7505 1．14 2．95 21 6370 1．45 3．72 8 5920 1．50 3．90 22 6102 1．49 3．84 9 7646 1．18 2．89 23 6245 1．501065561．273．482466441．453．381164751．503．602561911．583．761259071．503．772663521．503．791356971．543．942759991．593．791466181．23．662858151．74．09解：先求出方程组的系数矩阵及常数向量，再求=172388 =6156．7143 =41．84 =1．4943=106．09 =3．7889=1068433202 =7089539．72=63．0632 =0．5423=256087．04 =-1509．8857=649111．28 =-4054．5386=159．4481 =0．9193=404．5287求，的正规方程组为7089539．72 -1509．8857 =-4054．5386-1509．8857 +0．5423 =0．9193解得=-0．0005181 ，=0．2527 ，= =6．6011所以Y的关于，的二元线性回归方程为=6．6011-0．0005181 +0．2527第四章显著性检验第一节一元线性回归方程的显著性检验由上面的讨论知，对于任何的两个变量x和Y的一组观测数据（）（i=1,2,……,n）按公式（10）和（11）都可以确定一个回归方程然而事前并不知道Y和x之间是否存在线性关系，如果两个变量Y和x之间并不存在显著的线性相关关系，那么这样确定的回归方程显然是毫无实际意义的．因此，我们首先要判断Y 和x是否线性相关，也就是要来检验线性假设是否可信，显然，如果Y和x之间无线性关系，则线性模型的一次项系数=0；否则0．所以检验两个变量之间是否存在线性相关关系，归根到底是要检验假设根据现行假设对数据所提的要求可知，观察值，，……之间的差异，是有两个方面的原因引起的：（1）自变量x的值不相同;（2）其它因素的影响，检验是否成立的问题，也就是检验这两方面的影响哪一个是主要的问题．因此，就必须把他们引起的差异从Y的总的差异中分解出来．也就是说，为了选择适当的检验统计量，先导出离差平方和的分解因式．[6]一、离差平方和的分解公式观察值（i=1,2,……,n），与其平均值的离差平方和，称为总的离差平方和，记作因为=其中：=2=2=2=2所以=由于中的，为（10）和（11）所确定．即它们满足正规方程组（9）的解．因此定义项=于是得到了总离差平方和的分解公式：其中（19）是回归直线上横坐标为的点的纵坐标，并且的平均值为，是这n个数的偏差平方和，它描述了的离散程度，还说明它是来源于的分散性，并且是通过x对于Y的线性影响而反映出来的，所以，称为回归平方和而=它正是前面讨论的的最小值，在假设（1）式的条件下它是由不可观察的随机变量引起的，也就是说，它是由其它未控制的因素及试验误差引起的，它的大小反映了其它因素以及试验误差对实验结果得影响．我们称为剩余平方和或残差平方和．[7]二、、的性质及其分布由以上分析可知，要解决判断Y和x之间是否存在线性相关关系的问题，需要通过比较回归平方和和剩余平方和来实现．为了更清楚地说明这一点，并寻求出检验统计量，考察估计量，的性质及其分布．（一）的分布由（14）式可知=在相互独立且服从同一分布的假定下由（2）知，，……是P个相互独立的随机变量，且（i=1,2,……，n）所以他们的平均值的数学期望为：因为是的线性函数，且有：这说明是的无偏估计量且的方差为所以即:同样可证，对于任意给定的其对应的回归值（它是的点估计）适合( ，（二）方差的估计及分布因为===由、及可得=又由于及E(L)，E(U)得=E(L)+E(U)=（n-2）从而,说明了= = 是的无偏估计量，由此可见，不论假设成立与否，是的一个无偏估计量，而仅当假设成立时，才是的一个无偏估计量，否则它的期望值大于．说明比值（20）在假设成立时有偏大倾向，也就是说，如果F取得值相当大，则没有理由认为x和Y之间有线性相关关系，也就是下面我们将采用F作为检验统计量的原因．另外，由于，是的最小二乘估计，由（8）式可知=0 ，=0这表明中的n个变量，……之间有两个独立的线性约束条件，故的自由度为n-2因此[8]三、F检验由以上讨论可知，当成立时；且二者相互独立，由此可得因此可用这个统计量F作为检验假设的检验统计量．对给定的显著性水平，查自由度为（1，n-2）的F分布的临值表，得临界值，如果由实际观察值计算所得的F> 则否定假设，即认为x,Y之间线性相关关系显著．否则不能否定，而认为线性相关关系不显著．这种采用F检验法来对回归方程来进行显著性检验的方法称为方差分析．在F检验中，，的计算公式如下==（21）其中=例4 对例1进行线性关系显著性检验．解：n=9=-1．175×(-70．5)=82．84= =85．50-81．84=2．66具体检验在如下的方差分析表上进行方差来源平方和自由度平均平方和F值回归82．84182．84218．00剩余2．6670．38总和85．488查下表对=0．01 ，今说明线性关系极显著，即回归方程是有意义的．[9]例5 某种物质在不同的温度下可以吸附另一种物质，如果温度x（单位：℃）与吸附重量Y （单位：mg）的观测值如下表所示：温度1．51．82．43．03．53．94．44．85．0重量4．85．77．08．310．912．413．113．615．3试求其回归方程并作显著性检验．解：根据上述观测值得到 n=9=30．3 =91．11=115．11 =345．09 =1036．65=13．100 =38．387 =114．516=3．367 =10．122 = =2．9303=0．2569所求线性回归方程为=0．2569+2．9303x因为=114．516 =112．485 所以= =2．031由n-2=7 =12．2=387．69 F>12．2所以回归方程极显著第二节多元线性回归方程的相关性检验由于的无偏估计量为将总的离差平方和进行分解可得到+ 其中，这里叫做残差平方和，其自由度为n，叫做回归平方和，自由度为n-p-1．检验假设是否成立在成立时因此可利用F检验法检验线性相关关系的显著性如果F〉，则可认为与，……之间的线性相关关系显著；如果则可以认为与，……之间的线性相关关系特别显著．否则可认为与，……之间不存在线性相关关系，所建立的线性回归方程是不显著的．例6 对例1 的回归方程进行显著性检验．解：经过计算得=23510 ，= =4734．6=248284〉（2，10）=7．56所以所求二元线性回归方程线性极其显著．[10]第五章利用回归方程进行点预测和区间预测若线性回归方程作显著性检验的结果是拒绝，也就是拒绝回归系数=0的假设，便可以利用回归方程进行点预测和区间预测．这是人们关注线性回归的主要原因之一．（1）当x= 时用预测的观测值称为点预测，根据得的观测值的点预测是无偏的（2）当x= 时用适合不等式的统计量G 和H所确定的随机区间预测的取值范围称为区间预测，而称为的预测区间若与样本的各相互独立，则根据服从正态分布, ，Z与Q 相互独立可以导出因此的预测区间为与一元线性回归一样，当给定时，可求出相应的的点估计．亦可求出区间估计，还可以给出相应的的预测区间．[11]影响预测精度的主要因素有：（1），但是不可改变的．一般的，越小精度越高．（2）n，n越大精度越高．因此，要尽量扩大样本容量．（3）自变量取值不要太集中；预测点离越近精度越高．例7 一些夏季害虫的盛发期与春季温度有关，现有1956-1964年间3月下旬至4月中旬平均温度的累计数x和一代三螟蛾盛发期Y（以5月10日为0）的观测值如下：温度35．534．131．740．336．840．231．739．244．2盛发期12．169273139-1试求线性回归方程并进行F检验；若=40 ，求的0．95预测区间解：根据上述观测值得到的 n=9=333．7 =70=12517．49 =2436．4 =794=144．6356 =-159．0444 =149．5556=37．077 =7．7778= =-1．0996 =4835493所以所求的线性回归方程为=48.5-1.1x当=40时=4．56 ，=8．36 ，所以的0．95预测区间为（-3．80，12．92）检验说明当3月下旬至4月下旬平均温度的累计数为40时，应该预测一代螟蛾盛发期为5月6日——5月23日之间，并且预测100次将有95次是正确的．例8 下表列出在不同挂重x下，弹簧长度y的测量值，设测量值y对给定的x服从正态分布．挂物的重量（牛）50100150200250300弹簧的长度（厘米）7．258．128．959．9010．911．8(1) 求线形回归法方程；(2) 检验假设；(3) 若回归效果显著，求b的置信度为95％的置信区间;(4) 求在x=160（牛）时，y的置信度为0．95的预测区间．解：(1) =175, =227500,=9．4867 =554．6594n=6, =10762=27500-6×=43750=10762-6×175×9．4867=800．965=554．6594-6×=14．6745=0．01831=9．4867-0．01831×175=6．2825所以=6．2825+0．01831x（2）=0．01831×800．965=14．6657=14．6745-14．6657=0．008831=0．05，=7．71=6642．9392>7．71所以，拒绝，认为重量x与弹簧长度y有显著的线性关系．（3）=0．04697，2．7764b的置信度为0．95的置信区间为（0．01769，0．01893）（4）×160=9．2121=0．1412所以，y的置信度为0．95的预测区间为（9．0709，9．3533）例9 假设儿子的身高y与父亲的身高x适合一元线性回归模型，观察了10对父子的身高（英寸）得数据如下：X60626465666768707274y63．665．56665．666．967．167．463．370．170（1）建立y与x的回归方程．（2）对线性回归方程作假设检验（=0．05）．（3）当=69时，求的信置度为0．95的预测区间．解：（1）设回归方程为：y= ．按所给数据计算，得=668，=66．8，=44794=665．1，=66．51，=44283．93=44492．4 =171．6=48．129=63．72所以=0．3713，=41．7072线性回归方程为：=41．7072+0．3713x．（2）需检验假设b=0检验统计量因为=23．6592 ，=24．4698，于是F=23．6592（10-2）/24．4698=7．735而=5．32<7．735=F，故认为回归是显著的．拒绝原假设（3）的置信度为1- 的预测区间为当=69时，=41．7072+0．3713×69=67．3269，从而4．2837．所以预测区间的一个观测值为（63．0432，71．6106）第六章结论本篇论文从基础的一元线性回归入手深入的分析了多元线性回归方程的参数性质及其显著性检验，并对一元线性回归方程进行点预测和区间预测,并给出实例进行解析．但复杂的计算给分析方法推广带来了困难，需要相应的软件来简化回归分析求解的操作过程．。
