02 Chapter1 集合与映射(10-11)

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函数的性质
函数f(x)在I上有上界 函数f(x)在I上无上界 函数f(x)在I上有下界 函数f(x)在I上无下界 I 函数f(x)在I上有界 函数f(x)在I上无界
定义
∃ M∈R, ∀x∈I, 都有f (x)≤M ∀ M∈R, ∃ x0∈I, 都有f (x0)>M ∃ m∈R, ∀x∈I, 都有f (x)≥m ∀ m∈R, ∃ x0∈I, 都有f (x0)<m , I, ( ) ∃ M∈R, ∀x∈I, 都有|f (x)|≤M ∀ M∈R, ∃ x0∈I, 都有|f (x0)|>M
二、 数学分析中的几个重要不等式 1. 三角不等式 对任意实数a和b, 都有
| a | − | b | ≤| a + b |≤| a | + | b |
2. 伯努利(Bernoulli)不等式 +, 则成立 (1+ h)n ≥1+ nh 设h> -1, n∈N 其中等号仅在h=0时成立。
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若 f (x1) ≥ f (x2 ), 称 f (x)为 I 上的单调减函数 。
单调增与单调减函数统称为单调函数，I 称为单调 区间。 例如 函数y=[x]与y=sgn(x)在R上都是 单调增加函数，但不是严格的。
y
x1 x2 x
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如果点(x0,y0)在奇函数y=f(x)的图像上，即y0=f(x0) 则 ,即(-x0,-y0)也在奇函数y=f(x) 的图像上。于是奇函数的图像关于原点对称。 同理，可知偶函数的图像关于y轴对称。 了解了奇偶性，我们只需在D∩[0,+∞)上讨论函数的 性质，再由对称性推出它在D∩(-∞,0]上的性质。 例5 判断函数 的奇偶性。
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y = m f (x), g(x)} ax{
y
f (x)
y = min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g(x)
g(x)
o
x
o
x
1 y = m f (x), g(x)} = { f (x) + g(x)+ | f (x) − g(x) |} ax{ 2 1 y = m f (x), g(x)} = { f (x) + g(x)− | f (x) − g(x) |} in{ 2
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(3) 奇偶性
∀x∈D, 且有 − x∈D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
说明: 说明 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
−x o
xx
f (x) 为奇函数 必有 f (0) = 0. 奇函数时, 奇函数
例如: y=x3，y=sinx ; y=cosx，y=|x|
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2. 函数的几种特性 设函数 y = f (x) , x ∈D , 且有区间 I ⊂ D . (1) 有界性 ∀ x∈ I , 若存在两个常数m和M, 使函数f(x)满足 m ≤ f (x) ≤ M, 则称 f (x) 在 I 上有界。 其中: 其中 m是它的(一个)下界，M是它的(一个)上界。 有界函数的另一种定义：∃M > 0, 使 ∀ x∈ I , 有 f (x) ≤ M, 则称f (x)为 I 上的有界函数。 注意： ①当一个函数有界时，它的上下界不是唯一的； ②若函数f (x)有界，即意味着f 即有上界，又有下界; ③说某函数是否有界，一定要指明其所在的区间。
y
π −2π −
o π 2π x
周期为 注: ①周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
周期为 π
1,
0,
x 为有理数 x 为无理数
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②两个周期函数的和或积不一定是周期函数 例如: f (x) = sin x 与 g(x) = sin ex , x ∈R 是周期函数 但 F(x) = f (x)+ g (x) 却不是周期函数。 可用反证法证明.
所以,sin(ke/2)=0,因而ke必是2π的整数倍,设ke=2mπ, m∈N，在(*)式中再令x=(π-ke)/2e，再得 Cos (π/2e)sin(k/2)=0 所以sin(k/2)=0，因而k必是2π的整数倍，设k=2nπ, n∈N，故e=2mπ/ 2nπ=m/n,这与e是无理数矛盾！
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逆命题定义的主要差别在于：把存在∃与任意∀互换。 逆命题定义的主要差别在于：把存在∃与任意∀互换。 把∀x换成 ∃ x0，|f(x)|<M(>m)换成|f(x0)|>M(<m).
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(2) 单调性
∀x1 , x2 ∈I , x1 < x2 时,
若 f (x1) ≤ f (x2 ), 称 f (x)为 I 上的单调增函数 ;
φ 设A,B是两个互不相交的实数集合， (x)与ϕ(x) 是
分别定义在集合A,B上的函数，则 φ(x) x ∈ A f (x) = ϕ(x) x ∈B 是定义在集合A∪B的函数。
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几个特殊函数举例 (1) 符号函数
1 y
1 当x > 0 1 当x > 0 y = sgn x = 0 当x = 0 = sgn x = 0 当x = 0 − 1 当x < 0 − 1 当x < 0
x = Rcos t, t ∈[0,π ] 例如： 例如：上半圆的方程 y = Rsin t,
摆线方程 x = t − sin t,
t ∈[0, +∞) y =1− cos t,
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如函数f (x)=1/x在[1,+∞)上是有界函数，而在(0,1)上 却是无界函数，因此不能简单说f (x)是有界函数。 ④函数有界的几何意义是:f (x)在区间I上图像位于两 直线 y=M与y=-M为边界的带形区域之间。 无界函数的定义 设f (x)为定义在 I 上的函数，若对任意大的正数M>0， 都存在x0∈I，使得|f (x0)|>M。 比较函数f (x)在I上有界和无界的定义，不难发现两个 互为逆命题的定义，有如下的对偶写法。
第一章
第一章 集合与映射
§1 集 合 §2 映 射 §3 函 数
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复习： 复习：
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 反函数与复合函数 4. 初等函数的结构 定义域 对应规律
在函数的解析表示法中，函数的分段表示、隐式 表示和参数表示在数学分析中是最常用的。 函数的分段表示
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3. 平均值不等式 设 a1, a2 ,L, an 是n个正数，则有
a1 + a2 +L+ an n 1 1 1 ≥ a1a2 Lan ≥ n ( + +L+ ) a1 a2 an n
等号当且仅当 a1, a2 ,L, an 全部相等时成立。 (Cauchy) 4. 柯西(Cauchy)不等式
x1, x2 ,L, xn , y1, y2 ,L, yn 是两组实数，则有
∑x y
k =1 k
n
k
≤ (∑x ) (∑y )
k =1 k =1
n
1 2 2 k
n
1 2 2 k
且等号成立的充要条件是存在不全为0得实数λ与μ 使得
λxk + µ yk = 0, (k =1,2,L, n)
作业： 作业： 练习：利用均值不等式证明Bernoulli不等式 练习：利用均值不等式证明 练习：利用均值不等式证明：
假设F(x)是以k (k>0)为周期的周期函数,则∀x∈R，有
sin(x + k) + sin(ex + ke) = sin x + sin ex,
sin(x + k) − sin x = −[sin(ex + ke) − sin ex],
即 cos(x + k / 2)sin(k / 2) = −cos(ex + ke / 2)sin(ke / 2), 令x=(π-k )/2 , 得 0=cos(πe/2)sin(ke/2) (*)
1n 1 n+1 (1+ ) < (1+ ) n =1,2,L n n+ n +1
P24 11、12 、
函数的隐式表示 是指通过方程F(x,y)=0来确定变量y是x之间的函数关系 的方式。
x + y =1??? =1???
2 2
Kepler : y = x + ε sin y
函数的参数表示 在表示变量x与y的函数关系时，我们常常需要引 入第三个变量（例如参数t），通过建立t与x、t与 y之间的函数关系，间接地确定x与y之间的函数关 系，即 x = φ(t), t ∈[a, b] y = ϕ(t),
o -1
x
x = sgn x x x = sgn x ⋅⋅ x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 表示不超过 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y = D( x) = 0 当x是无理数时