《数学分析》第一章集合与函数

第一章集合与函数

一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点

数学是分析处理问题的系统方法论学科。对事物分析，量化是第一步；数是表示量的符号.随着科学的发展，数的内涵与表示得到不断地发展；同时随着数的内涵与表示的发展，分析解决问题的方法也得到了质的发展.数从自然数----整数----有理数---实数—复数的发展过程，也反映了社会的进步与解决问题能力的提升.因此，对数以及一些数组成的集合进行

研究是数学的基础.

本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质，实数对组成的二维空间R 2

的一些集合的性质；同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的定义，并且讨论与函数相关的其他一些定义.

本章的难点主要有以下两个方面：

● 函数的概念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判定与函数反函数的求法. ● 实数集上的确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应

用；熟练运用这些定理证明闭区间上连续函数的性质.

三、本章的基本知识要点

（一）实数及其性质

1.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.

2.实数集R 具有阿基米德性，即对任何R b a ∈、,若b>a>0，则存在正整数n ，使得na>b .

（二）实数集R 的性质

1.a,b 是实数，实数集合上的),(}|{b a b x a x ∆<<、),[}|{b a b x a x ∆<≤、

],(}|{b a b x a x ∆≤<、],[}|{b a b x a x ∆≤≤称为有限区间；而),(}|{a a x x -∞∆<、],(}|{a a x x -∞∆≤、),(}|{+∞∆>a a x x 、),[}|{+∞∆≥a a x x 、}|{+∞<<-∞x x

),(+∞-∞∆称为无限区间，有限区间与无限区间统称为区间.

2. a

是实数、

0>δ，);(}|||{δδa U a x x ∆<-称为a 的δ邻域,

);(}||0|{δδa U a x x o ∆<-<称为a 的空心δ邻域；)(),[a U a a +∆+δ称为a 的δ右邻域，

)(],(a U a a -∆-δ称为a 的左δ邻域；)(),(0a U a a +∆+δ称为a 的右空心邻域，

)(),(0a U a a -∆-δ称为a 的左空心邻域.

3. M 是正数,)(}|||{∞∆>U M x x ，称为∞邻域，)(}|{+∞∆>U M x x 称为∞+邻域，

)(}|{-∞∆-

4. 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1)对一切,S x ∈有η≤x ,即η是上界；（2）

对任何ηα<，存在S x ∈0，使得α>0x ，即η又是S 的最小上界；则称数η为S 的上确界，记作 S sup =η.

5. 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：(1)对一切,S x ∈有ξ≥x ,即ξ是下界；（2）对任何ξβ>，存在S x ∈0，使得β<0x ，即ξ又是S 的最大下界；则称数ξ为S 的下确界，记作 S inf =ξ.

6. 确界原理：设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.

7.区间套定理：若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在存在惟一的实数

,3,2,1,,,3,2,1],,[=≤≤=∈n b a n b a n n n n ξξ即.

8.区间套定理的推论：若),2,1](,[ =∈n b a n n ξ是区间套]},{[n n b a 所确定的，则对任给的,0>ε存在N>0,使得n>N 时有 );(],[εξU b a n n ⊂.

9. (维尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理): 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 10. (海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b] .

（三）二维平面R 2的性质

1.全平面上的点所组成的点集2

},|),{(R x x y x ∆+∞<<-∞+∞<<-∞；坐标平面上的满足条件P 的点的集合E={(x,y)|(x,y)满足条件P}，称为平面点集.

2.平面上的点),(00y x A ，平面点集})()(|),{(2

2020δ<-+-y y x x y x 称为点A 的δ邻域，记为)(A U ；平面点集})()(0|),{(2

2020δ<-+-

记为：)(0

A U .

3.对于平面点集E ，若存在点A 的某邻域U(A)E A U ⊂)(,则称点A 是E 的内点；若点A 的任何空心邻域)(0

A U 内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点；若E 的每一个点都是内点，则称E 为开集；若E 的所有聚点都属于E ，则称E 是闭集；若E 中的任意两点都可以用一条完全含于E 的有限折线相连接，则称E 具有连通性；连通的开集叫开域；开域连同其边界叫闭域.

4.(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：（1） ,2,1,1=⊃+n D D n n ，（2）d n =d(D n )

0lim ,=∞

→n n d ,则存在惟一的点 ,2,1,0=∈n D P n .

5.(聚点定理) 设2R E ⊂为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚点.

6.(有限覆盖定理) 设2R D ⊂为一有界闭域，}{α∆为一开域族，它覆盖了D （即

α

α∆⊂D ），则在}{α∆中必存在有限个开域,,,,21n ∆∆∆ 它们同样覆盖D （即

n

i i D 1

=∆⊂）.

（四）集合间的关系：映射、函数

数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科，它通过量化的数来表示事物，通过数

的变化来反映事物的变化．在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同，实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射，当一个映射满足一定的条件时，就是函数．因此，函数是数学最重要的一个概念，同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础． 1.给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数y ∈M 与之对应，则称f 是定在数集D 上的函数，记作：M D f →:，通常记为)(x f y =． 注：只要讲清了对应法则，而且满足对于第一个集合上的每一个元素，在第二个集合都有惟一的元素和它对应，则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数.

例如： ⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=010,00,1sgn x x x x 是一个函数，称为符号函数

2.设有两个函数 E x x g u D u u f y ∈=∈=),(;),(，令E D x g x E ⋂∈=})(|{*

，若

φ≠*E ，则对每一个*

E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f

对应唯一的一个值y ．这就确定了一个定义在*

E 上的函数，称为函数f 与g 的复合函数．记作：))((x g f y =.

注:两个函数能否复合的充分必要条件就是φ≠*

E

3.以形式D x x f y ∈=),(表示函数的，称为显函数；而以方程的形式表示0),(=y x f 表示一个函数的，称为隐函数.例如]1,1[,022

3

-∈=-x x y 就是一个隐函数.

4.设函数D x x f y ∈=),(；满足：对于值域)(D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(.则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数，称这个函数为f 的反