2017年辽宁省辽南协作体高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊈N且N⊈M2．（5分）若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+πC．4+πD．4+π+π4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x34 5 6y 2.5t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．2606．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．1349．（5分）已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B．C．D．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．（5分）设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则=．15．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=0.6826，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=0.9544，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=0.9974．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•锦州一模）集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊈N且N⊈M【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．（5分）（2017•锦州一模）若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．【解答】解：由i•z=（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．（5分）（2017•锦州一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+πC．4+πD．4+π+π【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+×π×2×=4+π，故选：C．4．（5分）（2017•锦州一模）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x34 5 6y 2.5t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【解答】解：=（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5．（5分）（2017•锦州一模）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．6．（5分）（2016•四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A7．（5分）（2017•锦州一模）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，否；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i＞2017，否；i=4，A=1﹣=，…；i=2017=3×672+1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2018=3×672+2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A=﹣1．故选：C．8．（5分）（2017•锦州一模）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．（5分）（2017•锦州一模）已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣=sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]﹣=sin2x ﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x﹣+2=sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=α对称，∴2α=kπ+，求得α=+，k∈z，故可取α=，∴g（α+）+g（）=sin（+）++sin+=4，故选：A．10．（5分）（2017•锦州一模）设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B．C．D．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b ﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D11．（5分）（2017•锦州一模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y=x，渐近线为l2方程y=﹣x，则设P点坐标（x，x），则直线PF1的斜率k==，直线PF2的斜率k==，由l2⊥PF1，则×（﹣）=﹣1，=1，①l2∥PF2，则=﹣，解得：x=，②由①②整理得：=3，由双曲线的离心率e===2，∴双曲线的离心率2，故选A．12．（5分）（2017•锦州一模）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m ﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）=0，令g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017•锦州一模）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）=﹣12．故答案为：﹣12．14．（5分）（2017•锦州一模）设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则=7．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y=﹣0，5，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|3﹣（﹣0.5）|=7，故答案为：715．（5分）（2017•锦州一模）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，此棱锥的体积为V==，故答案为：．16．（5分）（2017•锦州一模）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，∴S100=2（30+31+…+349）==350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•锦州一模）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=，即B=∴A+C=，即那么：，故得．18．（12分）（2017•锦州一模）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=0.6826，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=0.9544，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=0.9974．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10．（2）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴P（ξ≥180）=（1﹣0.9974）=0.0013，∵0.0013×100 000=130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴E（ξ）=0×+1×+2×=．19．（12分）（2017•锦州一模）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面PAB的法向量为，则，，得，，取x=1，得y=﹣1，z=1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．（12分）（2017•锦州一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．（12分）（2017•锦州一模）已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【解答】证明：（1）当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣2，f′（x）=e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）=0；（2）f′（x）=me mx﹣，f″（x）=＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）=m（），由（1）得，存在唯一实数mx0=t∈（），使得f（x0）=0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t=﹣lnt，∴f（x0）=．设h（t）=，当t∈（）时，h′（t）=＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）=h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•锦州一模）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2=0，由ρ＞0解得ρ=2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ=6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|=|ρB﹣ρA|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•锦州一模）已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．参与本试卷答题和审题的老师有：炫晨；sxs123；豫汝王世崇；maths；742048；caoqz；whgcn；铭灏2016；陈高数；沂蒙松；左杰；zhczcb；qiss；zlzhan；lcb001（排名不分先后）菁优网2017年7月5日。

第1页，总12页辽宁省辽南协作校2017年高考理数一模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题2＜4}，则（ ） A.P ⊆Q B.Q ⊆P C.P ⊆∁R Q D.Q ⊆∁R P2.复数 2−mi1+2i =A +Bi ， (m ， A ， B ∈R) ，且A+B=0，则m 的值是（ ） A.√2 B.23 C.﹣ 23D.23.设样本数据x 1 ， x 2 ， …，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i =x i +a （a 为非零常数，i=1，2，…，10），则y 1 ， y 2 ， …，y 10的均值和方差分别为（ ） A.1+a ，4 B.1+a ，4+a C.1，4 D.1，4+a4.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ． 若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10等于（ ） A.18 B.24 C.60 D.905.圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x+y ﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A.18 B.6√2 C.5√2 D.4√2答案第2页，总12页…………外…………○………………○…………线…………○※※请※※※※题※※…………内…………○………………○…………线…………○6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8π3 B.3π C.10π3 D.6π7.已知椭圆的左焦点为F 1 ， 有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.13 B.√5−12C.35D.23第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.等比数列{a n }的公比q ＞0．已知a 2=1，a n+2+a n+1=6a n ， 则{a n }的前4项和S 4= ．9.如图所示，输出的x 的值为 ．第3页，总12页………○…………装…………○…………订…学校:___________姓名：___________班级：___________考号………○…………装…………○…………订…三、解答题（题型注释）10.已知函数f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx+a ，且当x∈[0， π2 ]时，f （x ）的最小值为2． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）先将函数y=f （x ） 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 12，再将所得的图象向右平移 π12 个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求方程g （x ）=4在区间[0， π2 ]上所有根之和．11.某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为 12 ，高一胜高三的概率为 23 ，高二胜高三的概率为P ，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜． （Ⅰ）若高三获得冠军概率为 13 ，求P ．（Ⅱ）记高三的得分为X ，求X 的分布列和期望． 12.如图所示，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB⊥侧面BB 1C 1C ，AB=BC=1，BB 1=2，∠BCC 1=60°．（Ⅰ）求证：C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）E 是棱CC 1所在直线上的一点，若二面角A ﹣B 1E ﹣B 的正弦值为 12 ，求CE 的长． 13.已知抛物线C ：y=2x 2 ， 直线l ：y=kx+2交C 于A 、B 两点，M 是AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于N 点．（Ⅰ）证明：抛物线C 在N 点处的切线与AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．14.已知函数f （x ）=x 2+ 2x +alnx ．（Ⅰ）若f （x ）在区间[2，3]上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设f （x ）的导函数f′（x ）的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点A （x 1 ， y 1）、B （x 2 ， y 2）所在直线的斜率为k ，求证：当a≤4时，|k|＞1． 15.已知曲线C 1的参数方程是 {x =2cosφy =3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，答案第4页，总12页B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2， π3 ）．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．第5页，总12页…线……线…参数答案1.B【解析】1.解：P={x|x ＜4}，Q={x|x 2＜4}={x|﹣2＜x ＜2}，如图所示，可知Q ⊆P ，所以答案是：B ．【考点精析】利用子集与真子集对题目进行判断即可得到答案，需要熟知任何一个集合是它本身的子集；n 个元素的子集有2n 个,n 个元素的真子集有2n －1个,n 个元素的非空真子集有2n －2个． 2.C【解析】2.解：因为 2−mi1+2i =A +Bi ，所以2﹣mi=（A+Bi ）（1+2i ）， 可得A ﹣2B=2，2A+B=﹣m 解得 5（A+B ）=﹣3m ﹣2=0 所以 m= −23所以答案是：C ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数相等的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 3.A【解析】3.解：方法1：∵y i =x i +a ， ∴E（y i ）=E （x i ）+E （a ）=1+a ， 方差D （y i ）=D （x i ）+E （a ）=4． 方法2：由题意知y i =x i +a ，则 y ¯= 110 （x 1+x 2+…+x 10+10×a）= 110 （x 1+x 2+…+x 10）= x ¯+a=1+a ，方差s 2= 110 [（x 1+a ﹣（ x ¯+a ）2+（x 2+a ﹣（ x ¯+a ）2+…+（x 10+a ﹣（ x ¯+a ）2]= 110 [（x 1﹣ x ¯）2+（x 2﹣ x ¯）2+…+（x 10﹣ x ¯）2]=s 2=4．所以答案是：A ．【考点精析】通过灵活运用平均数、中位数、众数和极差、方差与标准差，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据；标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题． 4.C答案第6页，总12页…订…………○…………线…………○※※内※※答※※题※※…订…………○…………线…………○【解析】4.解：∵a 4是a 3与a 7的等比中项， ∴a 42=a 3a 7 ，即（a 1+3d ）2=（a 1+2d ）（a 1+6d ）， 整理得2a 1+3d=0，①又∵ ， 整理得2a 1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a 1=﹣3， ∴，故选：C ．【考点精析】掌握等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n 项和公式是解答本题的根本，需要知道通项公式：或；前n 项和公式：．5.C【解析】5.解：∵圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0， ∴（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=18， ∴圆半径r=3 √2 ．圆心（2，2）到直线的距离d=2 √2 ，圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x+y ﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：5 √2 ，0， 故圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x+y ﹣8=0的最大距离与最小距离的差是5 √2 . 所以答案是：C【考点精析】利用直线与圆的三种位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点． 6.B【解析】6.解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图第7页，总12页…………线…………○……………线…………○…所求几何体的体积为： 12×π×12×6 =3π．所以答案是：B ．【考点精析】本题主要考查了由三视图求面积、体积的相关知识点，需要掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积才能正确解答此题． 7.C【解析】7.解：假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：（1）球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2（a ﹣c ）；（2 ）球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2（a+c ）；（3）球从F 1沿x 轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A ，反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ，经F 1反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a ．综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F 1时，小球经过的最大路程是4a 最小路程是2（a ﹣c ）．∴由题意可得4a=10（a ﹣c ），即6a=10c ，得 c a =35 ． ∴椭圆的离心率为 35 ． 所以答案是：C ． 8.152【解析】8.解：∵{a n }是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n 可化为 a 1q n+1+a 1q n =6a 1q n ﹣1 ， ∴q 2+q ﹣6=0． ∵q＞0，∴q=2． a 2=a 1q=1，∴a 1= 12 ． ∴S 4=a (1−q 4)11−q=12(1−24)1−2= 152 ．所以答案是 152答案第8页，总12页…………外…………○…………○※…………内…………○…………○【考点精析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的相关知识点，需要掌握前项和公式：才能正确解答此题．9.17【解析】9.解：模拟程序的运行，可得 a=51，b=221 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=221﹣51=170， 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=170﹣51=119， 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=119﹣51=68， 不满足条件a=b ，满足b ＞a ，b=68﹣51=17， 不满足条件a=b ，满足a ＞b ，a=51﹣17=34， 不满足条件a=b ，满足a ＞b ，a=34﹣17=17， 满足条件a=b ，x=17，输出x 的值为17． 所以答案是：17．【考点精析】认真审题，首先需要了解程序框图(程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明)．10.解：（Ⅰ）f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx+a=cos2x+ √3 sin2x+a+1所以f （x ）=2sin （2x+ π6 ）+a+1，因为x∈[0， π2 ]，所以2x+ π6 ∈[ π6 ， 7π6 ]． f （x ）min =﹣1+a+1=2，所以a=2．…（Ⅱ）依题意得g （x ）=2sin （4x ﹣ π6 ）+3，由g （x ）=4得sin （4x ﹣ π6 ）= 12 4x ﹣ π6 =2kπ+ π6 或4x ﹣ π6 =2kπ+ 5π6 所以x= kπ2+π12或kπ2+π4，所以x =π12或π4所以，所有根的和为 π3 ．…【解析】10.（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简后，再根据三角函数的值域及f （x ）的最小值求得a 的值；（Ⅱ）根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换特点得到函数y=g （x ）的具体方程，再根据三角函数的求值得到方程g （x ）=4在区间[0， π 2 ]上所有根，最后求和即可.【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，需要了解图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数第9页，总12页………○…………○…的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能得出正确答案．11.解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场． 高三胜两场的概率为 13×(1−p) ，三个队各胜一场的概率为 13×p ×12+23×(1−p)×12 ， ∴ 13(1−p)+13p ×12+23(1−p)×12=13 ． 解得： p =23 ；（Ⅱ）高三的得分X 的所有可能取值有0、1、2， P （X=0）= 2p3 ，P （X=1）= 2−p 3 ，P （X=2）= 1−p3． 故X 的期望E （X ）= 0×2p 3+1×2−p 3+2×1−p 3=4−3p 3．【解析】11.解本题一方面需要识记离散型随机变量的概率，期望与方差的计算方法，另一个重要方面在于分析各种事件及概率出现的情况.【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列． 12.解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊆平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BC 1， 在△CBC 1中，BC=1，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=60°，由余弦定理得：BC 12=BC 2+CC 12﹣2BC•CC 1•cos∠BCC 1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3， 所以B 1C= √3 ，故BC 2+BC 12=CC 12，所以BC⊥BC 1， 又BC∩AB=B，∴C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．答案第10页，总12页……线…………○……线…………○则，则B （0，0，0），A （0，1，0），C （1，0，0），C1（0，0， √3），B1（﹣1，0， √3 ）CC 1→=(−1，0，√3) ， AB 1→=(−1，−1，√3) ，令 CE →=λC (0≤λ≤1)→ ，∴ AE →=AC →+CE →=(1−λ，−1，√3λ) ， CE →=(−λ，0，√3λ) ，设平面AB 1E 的一个法向量为 n →=(x ，y ，z) ．{n →⋅AE →=(1−λ)X −Y +√3λ=0n →⋅AB 1→=−x −y +√3z =0，令z= √3，则x= 3−3λ2−λ ，y= 32−λ ，∴ n →=(3−3λ2−λ，32−λ，√3) ，．∵AB⊥平面BB 1C 1C ， BA →是平面的一个法向量，|cos ＜ n →，BA →＞|= √32 ，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或 32 ． ∴CE=CC 1=2或CE= 32 CC 1=3．【解析】12.（Ⅰ）证直线垂直于平面，通过证明平面内有两条相交的直线与所给直线垂直；（Ⅱ）利用向量求二面角的平面角思路比较简单清晰，但是计算时需要认真并有良好的运算习惯.【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)互相转化的数学思想．13.（Ⅰ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=kx+2代入y=2x 2得2x 2﹣kx ﹣2=0 所以x 1+x 2= k 2 ，x N =x M = k4 ，所以N （ k 4 ， k 28 ）．因为（2x 2）'=4x ，所以抛物线在N 点处的切线斜率为k ，故该切线与AB 平行； （Ⅱ）假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点，则|MN|= 12 |AB|第11页，总12页由（Ⅰ）知y M = 12(y 1+y 2)=12(kx 1+kx 2+4)=k 24+2 ，又因为MN 垂直于x 轴，所以|MN|=y M ﹣y N = k 2+168 ，而|AB|=|x 1﹣x 2|• √1+k 2=12√1+k 2⋅√16+k 2，所以 12√1+k 2⋅√16+k 2=k 2+164，解得k=±2所以，存在实数k=±2使以AB 为直径的圆M 经过N 点．【解析】13.（Ⅰ）根据根与系数的关系及中点坐标公式求得点M 的横坐标，进而求得点N 的坐标，再利用导数求得抛物线上的点N 处切线的斜率，与直线AB 的斜率相等则其切线与直线AB 平行；（Ⅱ）先假设存在实数k ，再根据题意得到关系式|MN|= 12 |AB|，再将其化为方程，方程无根则不存在实数k ，求得方程的根则存在实数k ，并可求得实数k 的值. 14.解：（Ⅰ）由 f(x)=x 2+2x +alnx ，得 f′(x)=2x −2x+ax． 因为f （x ）在区间[2，3]上单调递增， 所以 f′(x)=2x −2x2+ax≥0在[2，3]上恒成立， 即 a ≥2x−2x 2 在[2，3]上恒成立，设 g(x)=2x−2x 2 ，则 g′(x)=−2x −4x <0 ，所以g （x ）在[2，3]上单调递减，故g （x ）max =g （2）=﹣7， 所以a≥﹣7；（Ⅱ）对于任意两个不相等的正数x 1、x 2有x 1x 2+2(x 1+x 2)x 1x 2＞ x 1x 2+√x x = x 1x 2+x x +x x ≥3√x 1x 2×2√x 1x 2×2√x 1x 23= 3√43>4.5>a ， ∴ ||>1 ， 而 f′(x)=2x −2x2+ax， ∴ || = || = ||⋅|| ＞ || ，答案第12页，总12页……外…………○………订…………○…………线※※※线※※内※※答※※题※※……内…………○………订…………○…………线故： || ＞ || ，即 || ＞1， ∴当a≤4时， ||>1 ．【解析】14.（Ⅰ）将函数f （x ）在区间[2，3]上单调递增，转化为导数函数f'（x ）≥0在区间[2，3]上恒成立，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）先利用基本不等式求得解题过程中的的关键不等式的取值范围，最后利用斜率公式列出不等式，从而证明当a≤4时，|k|＞1.【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和基本不等式的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）；变形公式： 才能正确解答此题．15.（1）解：点A ，B ，C ，D 的极坐标为 (2，π3)，(2，5π6)，(2，4π3)，(2，11π6)点A ，B ，C ，D 的直角坐标为 (1，√3)，(−√3，1)，(−1，−√3)，(√3，−1)（2）设P （x 0，y 0），则 {x 0=2cosφy 0=3sinφ(φ 为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 2+4y 2+16=32+20sin 2φ ∵sin 2φ∈[0，1] ∴t∈[32，52]【解析】15.（1）先根据题意确定点A ，B ，C ，D 的极坐标，再转化为对应的直角坐标；（2）先利用参数方程设出点P 的坐标，再利用三角函数求得t 的取值范围. 【考点精析】利用椭圆的参数方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆的参数方程可表示为．。

17．解：（1）∵(3,1)OP=，(3cos ,1sin )QP x x =-， ∴π()31sin 42sin()f x x x x =+-=-+，（2）∵()=4f A ，∴3A =， 又∵3BC =，∴2222π2cos3a b c bc =+-，∴29()b c bc =+-． 2()4b c bc +≤，∴23()94b c +≤， ∴b c +=，当且仅当=b c 取等号，18．（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1，2，3，1242361(1)5C C P X C ===；2142363(2)5C C P X C ===；3242361(3)5C C P X C ===．所以X 的分布列为()326E X =⨯=或()2555E X =++=． 19．解：（1）证明：∵PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ⊂底面，∴PA AB ⊥， 又∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，PA AD A =，PA PAD ⊂平面，AD PAD ⊂平面， ∴AB PAD ⊥平面，又PD PAD ⊂平面，∴AB PD ⊥，AD AP =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，AE AB A =，AE ABE ⊂平面，AB ABE ⊂平面，∴PD ABE ⊥平面．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PC =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ-设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⎪⎨⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- 设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⎪⎨⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- |cos ,|||||||||6m n m n m n <>===，解得12λ=． 20．解：（1）∵椭圆Q 的长轴长为a =设00(,)P x y ，∵直线P A 与OM 的斜率之积恒为12-00122y =-， ∴22001x y +=，∴1b =，（2）设直线l 方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)N x y ， ∴21224()12k x x k +=-+，21222212k x x k-=+． ∴2012212()212k x x x k =+=-+，002(1)12k y k x k =+=+ ∴CD 的垂直平分线方程为001()y y x x k -=--， 令0y =，得00211242G x x ky k =+=-++ ∵1[,0)4G x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤． 421164(2|||k CD x x -=-=2112[+]22(21)2k =≥+，21．解：（1）()e (2)e 24x x f x x ax a '=+-++∵函数()f x 在区间(0)+∞，上单调递增， ∴()f x '在(0)+∞，上恒成立． ∴e (2)e 240x xx ax a +-++≥，∴(1)e 24xx a x -≥+， 令(1)e ()24x x g x x -=+，222[(1)e e ](24)2(1)e e (222)()0(24)(24)x x x x x x x x x g x x x --+-----'==<++， ∴1()(0)4g x g <=，∴14a ≥． （2）[()]e 20x f x x a ''=+>∴=()y f x '在(0)+∞，上单调递增 又(0)=410f a '-<，(1)=60f a '>∴存在(,1)t ∈0使()=0f t '∴(0,)x t ∈时，()0f x '<，(0,)x t ∈时，()0f x '>当=x t 时，2min ()=()=(2)e +(2)t f x f t t a t -+且有()=e (1)+2(2)0tf t t a t '-+=，∴e (1)=2(2)t t a t -+．由（1）知e (1)=()=2(2)t t a g t t -+在(0,)t ∈+∞上单调递减， 1(0)=4g ，(1)=0g ，且104a <<，∴(0,1)t ∈． ∴22min e (1)(2)()=()=(2)e +(2)e 2(2)2t tt t t t f x f t t t t --+--+=+， 2e ()=(1)02tf t t t '---<， ∴(1)()(0)f f t f <<，e ()1f t -<<-，∴()f x 的最小值的取值范围是(e,1)--．22．解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=．（2）π)4P ，直角坐标为(2,2)， (2cos ,sin α)Q α，1(1cos ,1sin )2M αα++，l ：230x y +-=．∵|||||()()|222x a x x a x a ++-≥+--=+且||02x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +， ∴12b a +=，22a b +=． 法二：∵2b a -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， 显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()22bb f a =+， ∴12b a +=，22a b +=． （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立， 21212112219()(2)(14)(14)2222a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++≥++= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92．。

2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（）A．{a|3＜a≤4} B．{a|3＜a＜4} C．{a|3≤a≤4} D．∅2．复数=A+Bi（A，B∈R），则A+B的值是（）A．B．0 C．﹣ D．﹣43．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．6．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好10 40 50不爱好20 30 50总计30 70 100P（K2≥k）0.10 0.05 0.025k 2.706 3.841 50.24由K2=算得K2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”7．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n﹣2+18．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2016）的值是（）A．2018 B．2017 C．2016 D．20159．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为P，以坐标原点O为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B，∠FPB=θ，则sinθ的值为（）A．B．C．﹣1 D．﹣110．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．1611．已知双曲线C为：﹣=1（a＞0，b＞0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，k PA、k PB分别为直线PA、PB的斜率，且k PA•k PB=3，过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1和﹣=1D．﹣=1或﹣=112．直角三角形ABC，三内角成等差数列，最短边的边长为m（m＞0），P是△ABC内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}，其前n项和为S n，且S n=n2+6n+1（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为．14．已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是．15．如图所示三棱锥A﹣BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为．16．已知函数f（x）=，g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表如下：x πx1πx2x3ωx+φ0 π2πAsin（ωx+φ）0 2 0 ﹣2 0（1）求函数f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，且函数y=f（x）•g（x）在区间（0，m）上是单调函数，求m的最大值．18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．21．已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=lnx．（1）若a=1，求函数y=f（x）﹣3g（x）的极值；（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A、B两点，求|AB|的值；（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，求实数a的取值范围．2017年辽宁省辽南协作体高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（）A．{a|3＜a≤4} B．{a|3＜a＜4} C．{a|3≤a≤4} D．∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，知，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，A⊇B，∴，解得3≤a≤4，故选C．2．复数=A+Bi（A，B∈R），则A+B的值是（）A．B．0 C．﹣ D．﹣4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：A+Bi====1﹣i，∴A=1，B=﹣1，∴A+B=0，故选：B．3．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】奇偶函数图象的对称性；充要条件．【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=﹣f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f （x）|的图象关于y轴对称”所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件故选B4．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．5．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．【解答】解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选A．6．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好10 40 50不爱好20 30 50总计30 70 100P （K 2≥k ） 0.10 0.05 0.025 k 2.7063.841 50.24 由K 2=算得K 2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（ ）A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【考点】独立性检验的应用．【分析】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论． 【解答】解：∵K 2=≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”． 故选：A ．7．已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．2n ﹣3B ．2n ﹣2C ．2n ﹣1D ．2n ﹣2+1 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】先根据S n ，a n ，成等差数列，得到2a n =S n +，继而得到2a n ﹣1=S n ﹣1+，两式相减，整理得：a n =2a n ﹣1（n ≥2），继而得到数列{a n }是为首项，2为公比的等比数列，问题得以解决．【解答】解：由题意知2a n =S n +，2a n ﹣1=S n ﹣1+，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），整理得：a n =2a n ﹣1（n ≥2） 当n=1是，2a 1=S 1+，即a 1=∴数列{a n }是为首项，2为公比的等比数列，∴a n =•2n ﹣1=2n ﹣2，当n=1时，成立， 故选：B8．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016，（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2016）的值是（）A．2018 B．2017 C．2016 D．2015【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1．再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a2016 =1，求得a1+a2+…+a2016 =0，从而求得要求式子的值．【解答】解：在（1﹣2x）2016=a0+a2x+a2x2+…+a2016x2016 （x∈R）中，令x=0，可得a0=1．再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a2016 =1，∴a1+a2+…+a2016 =0，∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2016）=2016a0+（a1+a2+…+a2016 ）=2016，故选：C．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为P，以坐标原点O为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B，∠FPB=θ，则sinθ的值为（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出圆O的方程，联立方程组解出B的横坐标，根据圆的性质和抛物线的性质得出sinθ=．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∴P（﹣1，0），∴圆O的方程为x2+y2=1．联立方程组，消元得x2+4x﹣1=0，解得x=﹣2或x=﹣﹣2（舍）．∵B在抛物线y2=4x上，∴|BF|=﹣2+1=．∵PF是圆O的直径，∴PB⊥BF，∴sinθ==．故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而求解其体积．【解答】解：由三视图，得该几何体为三棱锥，有，∴x2+y2=128，∵xy≤，当且仅当x=y=8时，等号成立，此时，V=××2×6×8=16，故选：D．11．已知双曲线C为：﹣=1（a＞0，b＞0），其左右顶点分别为A、B，曲线上一点P，k PA、k PB分别为直线PA、PB的斜率，且k PA•k PB=3，过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1和﹣=1D．﹣=1或﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），代入双曲线的方程，由A（﹣a，0），B（a，0），k PA•k PB=3，运用直线的斜率公式化简可得b=a，讨论M，N均在左支和分别在两支，由最小值为=4，和2a=4，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，即有=，由A（﹣a，0），B（a，0），k PA•k PB=3，可得•===3，即为b=a，由过左焦点的直线l与双曲线交于两点M，N，|MN|的最小值为4，可得当M，N都在左支上，即有MN垂直于x轴时取得最小值，且为=4，解得a=，b=，可得双曲线的方程为﹣=1；当M，N分别在两支上，即有MN的最小值为2a=4，即a=2，b=2，可得双曲线的方程为﹣=1．综上可得，双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．故选：D．12．直角三角形ABC，三内角成等差数列，最短边的边长为m（m＞0），P是△ABC内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=时，m的值为（）A．1 B．C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由条件和等差中项的性质求出各个内角，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、∠ACB=60°，可以得到∠ACP=∠PBC，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB、PC的长，即可得出结论．【解答】解：∵直角三角形ABC，三内角成等差数列，设B=90°∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，由AB=m得，BC=m，AC=2m，延长BP到B′，在BB'上取点E，使PE=PC，EB′=AP，∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，∴△PCE是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC，∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP≌△B′CE，∴∠PCA=∠B′CE，AC=B′C=2m，∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP，∴∠ACB′=∠PCE=60°，∵∠ACB=30°，∴∠BCB′=90°，∵PE=PC，AP=B′E，AC=2AB=2m，BC=m，∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′===m，∵PA+PB+PC=，∴=m，得m=，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}，其前n项和为S n，且S n=n2+6n+1（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|的值为41．【考点】数列的求和．【分析】由S n=n2+6n+1逐一求出数列的前四项得答案．【解答】解：由S n=n2+6n+1，得a1=S1=8，，，．∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=8+9+11+13=41．故答案为：41．14．已知函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），且满足1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，则f（3）的取值范围是（3，21）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据f（1），f（2）的范围得到：1＜a+b＜2，3＜4a+2b＜8，根据不等式的性质求出3a+b的范围，从而求出f（3）的范围即可．【解答】解：f（x）=ax2+bx（a，b∈R），∵1＜f（1）＜2，3＜f（2）＜8，∴1＜f（2）﹣f（1）＜7，令f（3）=mf（1）+nf（2），即9a+3b=m（a+b）+n（4a+2b），∴，解得：m=3，n=﹣3∴f（3）=3[f（2）﹣f（1）]，∴3＜f（3）＜21，故答案为：（3，21）．15．如图所示三棱锥A﹣BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为55π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：如图，∵三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，∴把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径，d==．∴它的外接球半径是．外接球的表面积是4π．故答案为：55π．16．已知函数f（x）=，g（x）=ax2﹣2a+2（a＞0），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是≤a≤．【考点】分段函数的应用．【分析】判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的值域，根据若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立得到，f（x）的值域和g（x）的值域交集不是空集即可得到结论．【解答】解：当＜x≤1时，f（x）=的导数f′（x）===＞0，则此时函数f （x ）为增函数，则f （）＜f （x ）≤f （1），即＜f （x ）≤1，当0≤x ≤时，f （x ）=﹣x+为减函数，则0≤f （x ）≤，即函数f （x ）的值域为[0，]∪（，1]函数g （x ）=ax 2﹣2a+2（a ＞0），在[0，1]上为增函数，则g （0）≤g （x ）≤g （1）， 即2﹣2a ≤g （x ）≤2﹣a ，即g （x ）的值域为[2﹣2a ，2﹣a ]若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立， 则[2﹣2a ，2﹣a ]∩（[0，]∪（，1]）≠∅， 若[2﹣2a ，2﹣a ]∩（[0，]∪（，1]）=∅，则2﹣a ＜0或或2﹣2a ＞1，即a ＞或a 无解或0＜a ＜， 即若[2﹣2a ，2﹣a ]∩（[0，]∪（，1]）≠∅，则≤a ≤，故答案为：≤a ≤．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某同学用“五点法”画函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表如下： x πx 1π x 2x 3ωx+φπ2π Asin （ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0（1）求函数f （x ）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，且函数y=f（x）•g（x）在区间（0，m）上是单调函数，求m的最大值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由πω+φ=0，πω+φ=π，可解得ω，φ，由Asin=2，可得A，即可得解函数f（x）的表达式．（2）由图象平移可求g（x），从而可求y=f（x）•g（x）=2sin（x﹣），由x∈（0，m），可求﹣π＜x﹣π＜m﹣π，由题意可得﹣π＜m﹣π≤﹣，即可解得m的最大值为．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由πω+φ=0，πω+φ=π，可得：ω=，φ=﹣，由Asin=2，可得：A=2，故函数f（x）的表达式为：f（x）=2sin（x﹣），…6分（2）由图象平移可知：g（x）=2cos（x﹣），所以y=f（x）•g（x）=2×2sin（x﹣）cos（x﹣）=2sin（x﹣），因为x∈（0，m），所以：﹣π＜x﹣π＜m﹣π，要使该函数在区间（0，m）上是单调函数，则﹣π＜m﹣π≤﹣，所以：0＜m≤，所以m的最大值为．…12分18．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第l组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查：（I）已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求接受篮球项目的考核学生的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（I）根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，即可求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；（Ⅱ）确定第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A，第三组人数为100×0.06×5=30，第四组人数为100×0.04×5=20，第五组人数为100×0.02×5=10，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，…第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：．…（Ⅱ）第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3．且，则随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；【分析】（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．（2）设E（），F（），由A，E，F三点共线，得到x1x2=﹣8，由已知条件利用导数性质求出P点坐标为（），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x2=﹣x1时取最小值，从而能求出直线EF方程为y=2．【解答】解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，则|ME|=，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴x2+（y﹣2）2=22+y2，整理，得x2=4y，∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y．（2）设E（），F（），由A，E，F三点共线，得，∴x1x2=﹣8，由x2=4y，得y=，∴，∴PE的方程为，即y=．同理PF的方程为y=，解得P点坐标为（），即（），∴|PE|==，∴|PE|•|PF|====≥=24，当且仅当x2=﹣x1时，上式取等号，此时EF的斜率为0，所求直线EF方程为y=2．21．已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=lnx．（1）若a=1，求函数y=f（x）﹣3g（x）的极值；（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【分析】（1）求出y=f（x）﹣3g（x）的解析式，求出导函数的根，判断导函数根左右的单调性，再根据极值的定义即可得；（2）令h（x）=f（x）﹣g（ax）=ax2﹣x﹣ln（ax），则问题等价于h（x）min≥0，h′（x）=，令p（x）=2ax2﹣x﹣1，△=1+8a＞0，设p（x）=0有两不等根x1，x2，不妨令x1＜0＜x2，利用导数可求得h（x）min=h（x2）≥0；由p（x2）=0可对h（x2）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h（x2）≤0，由此求得x2=1，进而求得a值．【解答】解：（1）当a=1时，y=f（x）﹣3g（x）=x2﹣x﹣3lnx，导数y′=2x﹣1﹣=，因为x＞0，所以当0＜x＜时，y′＜0，当x＞时，y′＞0，所以函数y=f（x）﹣3g（x）在x=处取得极小值f（）﹣3g（）=﹣﹣3ln=﹣3ln，函数y=f（x）﹣3g（x）没有极大值；（2）假设存在f（x）≥g（ax）成立．令h（x）=f（x）﹣g（ax）=ax2﹣x﹣ln（ax），即h（x）min≥0，所以h′（x）=2ax﹣1﹣=，令p（x）=2ax2﹣x﹣1，△=1+8a＞0，所以p（x）=0有两个不等根x1，x2，x1 x2=﹣，不妨令x1＜0＜x2，所以h（x）在（0，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以h（x2）=ax22﹣x2﹣ln（ax2）≥0成立，因为p（x2）=2ax22﹣x2﹣1=0，所以ax2=，所以h（x2）=﹣ln≥0，令k（x）=﹣ln=+ln2x﹣ln（1+x），k′（x）=﹣+﹣=﹣，所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以k（x2）≤k（1）=0，又h（x2）=﹣ln≥0，所以x2=1代入ax2=，得a=1，所以a∈{1}．故存在实数a的取值集合{1}，使得f（x）≥g（ax）成立．四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A、B两点，求|AB|的值；（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以将曲线C1的方程转化为普通方程，再将直线l：（t为参数），方程代入后，求出交点A、B对应的参数t1，t2，得到两个参数的和与积，再利用交点点A、B两点的坐标与参数t1，t2的关系，求出|AB|的值，也可以将直线l的方程化成普通方程后，利用弦长公式求出出|AB|的值，得到本题结论；（2）将曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，利用曲线的变换规律，求出到曲线C2的方程，再将直线l平移到与曲线C2的相切，利用根据的判断式为0，求出平移后的直线方程，利用两直线间距离公式，求出两平行线距离，得到曲线C2上的一个动点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C1：（θ为参数），∴消去参数θ，得到C1：x2+y2=4．∵直线l：（t为参数），∴（t+1）2+（）2=4，∴4t2+2t﹣3=0．∴（t2﹣t1）2=（t2+t1）2﹣4t1t2==．设l与C1相交于A、B两点，则A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|2==[（1+t2）﹣（1+t1）]2+[]2=4（t2﹣t1）2=13．∴|AB|=．（2）∵把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，∴由C1：x2+y2=4得C2：（4x）2+（）2=4，∴．∵直线l：（t为参数），∴y=x．将y=x+m代入，∴，令△=0，，∴m=．取m=﹣，得到直线：y=x，∵直线y=x与直线y=x的距离为：=，∴曲线C2上的一个动点P到直线l的距离的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于或或＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；（2）利用绝对值不等式可得f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x﹣3|=4，依题意，解不等式|a﹣2|≥4即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或＜0…解得﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x≤3或3＜x＜4，故原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜4}．…（2）∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x﹣3|=4．…又关于x的方程f（x）=|a﹣2|有解，∴|a﹣2|≥4，即a﹣2≥4或a﹣2≤﹣4，解得a≥6或a≤﹣2，…所以实数a的取值范围为a≥6或a≤﹣2．…。

2017年辽宁省大连市高考数学)理科(一模试卷．年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）2017一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则=（z=1+2i ）1．（5分）已知复数4i3B．5+4i﹣C．﹣3 D．A．52，＜0}2x﹣．（5分）已知集合 A，则∩B=（）A={x|x3﹣2A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}33”的（ |b|”是“a）＞b（3．5分）设a，b均为实数，则“a＞．必要不充分条件B．充分不必要条件 A C．充要条件 D．既不充分也不必要条件为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|54．（分）若点P）的最小值为（．DC A．2 B．．5．（5分）已知数列{a}满足a﹣a=2，a=﹣5，则|a|+|a|+…+|a|=（）62n+11nn1A．9 B．15 C．18 D．30）满足不等式y分）在平面内的动点（x，z=2x+y，则的最大6．（5）值是（A．6 B．4 C．2 D．07．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）第2页（共22页）．CD．A．4 B ．8．（5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）7D．C．6 A．4 B．59．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）．．B ． CAD．分）若方程．（5在上有两个不相等的实数解x，101） =（ x，则x+x212． CA．． BD．分）已知向量5，11．（），（m＞0，n＞，0） 2] ，则的取值范围是（若m+n∈[1，．． AC． BD．x2﹣m（m＞0），当x上的函数f（）=ex+mx+x=1时，R．12（5分）已知定义在21不等式f（x）+f（0）＞f（x）+f（1）恒成立，则实数x的取值范围是（）112∞）+1，．． C． D（ B0．A（﹣∞，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）第223页（共页）个人，每人一张，且甲乙分得5（5分）现将5张连号的电影票分给甲乙等13．．的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）x?sinx在点（0，f（0x）=e））处的切线方程是．14．（5分）函数f（15．（5分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200．之间，那么这个数的焦点F且与一条渐近线垂直的直（5分）过双曲线16．． A，B两点，若，则双曲线的离心率为线与两条渐近线相交于三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知点sinx），O为坐标原点，函数．分）．（1217，Q（cosx，的值；xx）的最小值及此时1（）求函数f（（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：），10080）[80，90）[90[60女性用分值区[50，60），70）[70，间户1020504080频数男性用[50，60）[60，分值区70）[70，80）[80，90）[90，100）间户3045607590频数（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．第4页（共22页），ABCD为正方形，PA⊥底面P﹣ABCD中，底面ABCD分）如图，在四棱锥19．（12中点．E为棱PDAD=AP，；ABEPD⊥平面（1）求证：中点，的值，使二面角P﹣FM为AB（2）若F，试确定λ．的余弦值为﹣B上异于顶：是长轴长为的椭圆Q20．（12分）已知点P的中点，且为线段PA为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M点的一个动点，O．与OM的斜率之积恒为直线PA的方程；）求椭圆Q（1的CDD两点，线段CF 且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于，（2）设过左焦点1横坐标的取值范围是点G垂直平分线与x轴交于点G，求|CD|的最小，值．2x．）＞0（x+2）（x2=f．21（12分）已知函数（x）（x﹣）e+a的取值范围；a+0，∞）的单调递增函数，求实数x1（）若f（）是（）最小值x）有最小值，并求函数xf（（时，求证：函数（2）当f 225第页（共页）的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方1．t为参数）程为（（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；1的极角为PC上点的参数方程为（α为参数），若曲线（2）C，曲线12距离的最大值．到直线l上的动点，求PQ的中点M为曲线QC2[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．；2a+b=2（1）求证：（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t 的最大值．第6页（共22页）年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）2017参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个.选项中，只有一项是符合题目要求的），则=（1．（5分）已知复数z=1+2i4i3﹣．﹣3 D．A．5 B．5+4iC2．，∴=|z|【解答】解：∵z=1+2i=．故选：A2） B=（，，则A∩2．（5分）已知集合A={x|x0}﹣2x﹣3＜3}＜{x|﹣1＜x3} A．{x|1＜x＜B．3}1＜x＜x．{x|﹣1＜＜0或＜＜C．{x|﹣1x＜0或0＜x3} D2，x＜3}﹣2x3＜0}={x|﹣1【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣，＞1}或={x|x＜0x．3}或01＜x＜∩∴AB={x|﹣1＜x＜．D故选：33）”的（”是“ab均为实数，则“a＞|b| ＞b ，（3．5分）设a．必要不充分条件 BA．充分不必要条件．既不充分也不必要条件DC．充要条件33”，是充分条件，＞ba【解答】解：由＞|b|”能推出“a，不是必要条件，2，反之，不成立，比如a=1b=﹣．故选：A页（共第722页）为抛物线上的动点，F为抛物线PC的焦点，则|PF|分）若点4．（5）的最小值为（． D． CA．2B．为抛物线解：点上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|P【解答】．的最小值为：．D故选：5．（5分）已知数列{a}满足a﹣a=2，a=﹣5，则|a|+|a|+…+|a|=（）61n+1n21n A．9 B．15 C．18 D．30【解答】解：∵a﹣a=2，a=﹣5，∴数列{a}是公差为2的等差数列．n1nn+1．7=2n﹣（5+2n﹣1）∴a=﹣n2．﹣==n6nS数列{a}的前n项和nn．，解得≥0令a=2n﹣7n．a时，|a|=﹣≤∴n3nn．|=a时，|an≥4nn22﹣6×3）=18．6﹣×6﹣2（3=6=S+aa﹣|=|+|a则|+|a…+|a﹣aa﹣+a+a﹣2S31234651626．故选：C）满足不等式yx，6的最大．（5分）在平面内的动点（，则z=2x+y）值是（A．6 B．4 C．2 D．0解：根据不等式，画出可行域，【解答】第8页（共22页）y=0，由，可得x=3．最大值为60）时，z过点2x+y=0，∴当直线z=2x+yA （3，平移直线．A故选：） 5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ 7．（． CD．4 A．B ．解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，【解答】，的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2底面边长为2．所以四棱锥的体积．故选D次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于n5分）将一枚硬币连续抛掷（8．），则n的最小值为（7D．．BA．4 ．5 C6﹣1解：由题意，【解答】，≥n，∴≥4 229第页（共页），4∴n的最小值为．故选A9．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）． CAD． B．．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是2用二分法求函数f（x）=x﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；模拟如下；）×＜101，）?f（）m==（﹣=时，f（b|=≥d；b=，|a﹣）×（﹣1）?f（）=m=（0）＞，=时，f1（﹣；d﹣b|=＜a=，|am=．程序运行终止，输出．B故选：分）若方程（510，在上有两个不相等的实数解x．1x，则x+x=（）221页（共10第22页）．D． B ． CA．2x+，]【解答】解：∵x∈[0∈[，∴，]，上有两个不相等的实数解x，x方程，在21，∴=，=则x+x21．故选：C分）已知向量5，11．（（m＞0，n＞0，），，则2]∈[1，若m+n的取值范围是（）．．CA．． BD解：根据题意，向量【解答】，，，）﹣3nm=（3m+n，，=则=，=，则令t=t而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：2，t≤＜=又由t，；故＜2≤．B故选：第11页（共22页）2x时，=1），当x+mx+x﹣m（m＞0（12．5分）已知定义在R上的函数f（x）=e21）x的取值范围是（ f（x）+f（1）恒成立，则实数）不等式f（x+f（0）＞121∞），+C ．D．（A．（﹣∞，0） B1．）恒成立，+f（10）＞f（x）x【解答】解：∵不等式f（）+f（21）恒成立，（0）＞f（1）﹣f∴不等式f（x）﹣f（x21，=1又∵x+x21）恒成立，1）﹣f （1﹣）﹣xf（1﹣x）＞f（1∴不等式f（11，﹣x）（x）﹣f（1=f设g（x）2x，0）=e（x）+mx﹣m（m＞f∵x1﹣x，1）（=eg∴（x）﹣e+m2x﹣x1x﹣上单调递增，g （x）=ex+e）在R+2m＞0，∴则g′（）恒成立，（1x∴不等式g（）＞g1，x ＞1∴1．D故选：分，将答案填在答题纸上）20二、填空题（每题5分，满分个人，每人一张，且甲乙分得分）现将5张连号的电影票分给甲乙等5（13．5．种不同的分法（用数字作答）的电影票连号，则共有 48人，有3种情况，其余解：甲乙分得的电影票连号，有【解答】4×=62=8种情况，页）22页（共12第种不同的分法．6=488×∴共有．48故答案为x． y=x （0）f．（5分）函数（x）=e）处的切线方程是?sinx在点（0，f14xx sinx+cosx）=e，（2（分）【解答】解：∵f（x）=e?sinx，f′（x），=0（0）0）=1，ff′（∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为，）﹣0y﹣0=1×（x即y=x（4分）．．y=x故答案为：15．（5分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200． 128 之间，那么这个数【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；；1第二个数能同时被3和7整除，但除以5余，即21；第三个数能同时被5和7013余，即7整除，但除以然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×．2=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128128故答案为：的焦点F且与一条渐近线垂直的直16．（5分）过双曲线．两点，若B，则双曲线的离心率为，线与两条渐近线相交于A页）22页（共13第，±的渐近线方程为y=【解答】x解：双曲线，c）（xy=x垂直的直线为y=﹣，设焦点F（c0），与﹣；（）由可得A，，﹣）（，由可得B（）=2再由0），，可得0﹣（﹣﹣2222，a=3（c化为a）=3b﹣22，即为3c=4a．e=则=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知点sinx（cosx，），O为坐标原点，（函数．12分）17．Q，的值；x（x）的最小值及此时（1）求函数f（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．）∵1【解答】解：，（，∴时，f（x）取得最小值2．∴当，Af2（）∵（）=4，∴，，∴BC=3又∵2，．bc）b+c9=∴（﹣第14页（共22页），∴取等号，b=c∴，当且仅当∴三角形周长最大值为．名200500名该手机使用者（．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对18名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：300女性，）100）80[80，90）[90，）女性用分值区[50，60[60，70）[70，间户1040502080频数），100，90）[90[80分值区[6060），70）[70，80）[50男性用，间户3045频数756090（不并比较女性用户和男性用户评分的方差大小）完成下列频率分布直方图，（1；计算具体值，给出结论即可）名名用户，在这20（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取2090名用户评分小于求3名用户，从评分不低于用户中，80分的用户中任意取3分的人数的分布列和期望．（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：【解答】解：2215第页（共页）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．人，分有6（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80人，364，从人人任取其中评分小于90分的人数为，，3，则记评分小于90分的人数为XX取值为1，2，，．的分布列为所以X123XP或．，ABCDPA⊥底面ABCD分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为正方形，．19（12中点．为棱PDEAD=AP，；ABE⊥平面1）求证：PD（中点，为AB2（）若FFM﹣Pλ，试确定的值，使二面角．﹣B的余弦值为 2216第页（共页），AB，∴PA⊥ABCD，AB?底面ABCD解：【解答】（I）证明：∵PA⊥底面，PADAD?平面，PA?平面PAD，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PDAE ⊥，E为PD中点，∴PAD，又PD?平面，∴AB⊥PD，AD=AP∴AB⊥平面PAD．⊥平面ABE平面ABE，∴PDAB=A，AE?平面ABE，AB?AE∩轴正方向，建立空间直角坐标，zx，II）以Ay为原点，以为（，﹣BDP，令|AB|=2系AF），，1，1，2，2，0）E（0C，（02），则A（00，0，B（，0，），P0，02），（（2λ，M0，），，，，1（，0﹣2λ）2λ，2的法向量，即，设平面PFM，，，设平面BFM的法向量，即解得， 2217第页（共页）．是长轴长为12分）已知点P：上异于顶20．（的椭圆Q的中点，且PA为椭圆的右顶点，点M为线段点的一个动点，O为坐标原点，A．OM的斜率之积恒为直线PA与的方程；1（）求椭圆Q的CDD两点，线段l 交椭圆于C，且不与坐标轴垂直的直线（2）设过左焦点F1横坐标的取值范围是点G求，|CD|的最小x轴交于点G，垂直平分线与值．的长轴长为Q1）∵椭圆，∴．【解答】解：（，，y）P设（x00的斜率之积恒为与OM，∴，∵直线PA，∴，∴b=1故椭圆的方程为．2222，代入）（k≠0x+1x+2k（2）设直线l方程为y=k1+2k有（（）x+4k），2=0﹣，），（xy中点）x），A（xy，B（，y，ABN设012102∴．∴的垂直平分线方程为∴CD， 2218第页（共页），得令y=0∴，∵，∴=．．，x2（x＞）0）2）e．+a（x+2f21．（12分）已知函数（x）=（x﹣（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数（2f（x）最小值的取值范围．xx+2ax+4a，2）=ee+（x﹣【解答】解：（1）f'（x）∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．xx，0，∴）e+2ax+4a≥∴e+（x﹣2，令，．，∴∴x+2a＞′=x?e0，）[f'（x）]（2∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，t时，）（f'且有t+2a）﹣t（?1x=t）（t+2当=e，=0．∴第19页（共22页）∞）上单调递减，+，∈（0由（1，）知在t，且∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方1．t为参数）程为（（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；1的极角为P曲线C，C上点的参数方程为（α为参数），若曲线（2）12距离的最大值．lM到直线为曲线QC上的动点，求PQ的中点22=4ρcosθ，ρ=4cosθ，即ρ1（）曲线C的极坐标方程为【解答】解：1．可得直角坐标方程：的参数方程为（tl为参数），直线．3=0可得普通方程：x+2y﹣消去参数t坐标为（2，2（2，）直），角，的距离M到l∴≤，第20页（共22页）．从而最大值为]：不等式选讲选修4-5[．的最小值为1）=|x+a|+|2x﹣b|，b＞0，函数f （x023．已知a＞；2a+b=2（1）求证：的最大值．恒成立，求实数t）若a+2b ≥tab（2，﹣﹣|+|x（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x|【解答】解：（1）法一：f，0﹣）||=a+且|x∵|x+a|+|xx﹣|≥|（x+a）﹣（≥﹣，x）的最小值为a+x=时取等号，即f（∴fx）≥（a+，当；，∴2a+b=2a+=1b|=﹣f（x），法二：∵﹣a=|x+a|+|2x＜，∴∞）上单调递增，，x）在+[f（xf）在（﹣∞，]上单调递减，（显然，（）=a+∴f（x）的最小值为f．=1，∴2a+b=2a+恒成立，∴a+2b≥t恒成立，tab（2）方法一：∵≥1+4+=++=））?（，）+（2a+b （=，取得最小值当时，a=b=；t的最大值为t∴≥，即实数恒成立，tab≥方法二：∵a+2b恒成立，≥∴t恒成立，t+≤=，≥+=+=页（共21第22页）；的最大值为≥t，即实数t∴恒成立，方法三：∵a+2b≥tab）恒成立，a （2﹣a∴a+2（2﹣）≥ta2恒成立，0a+42ta≥﹣（3+2t）∴2，≤﹣326）∴（3+2t0．的最大值为t≤，实数t≤∴ 2222第页（共页）。

高三（2017届）数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2） 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ）A. 1B. iC. -1D. - i{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0, |φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(3πx -6π Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π)Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ． f (x )=5sin(6πx +6π)6.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A.a b c >>B.a cb >>C.b ac >> D. b c a >>8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）x －5y O 5 2 5A ．433 B ．533 C ．23 D ．833x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．95 B. 75 C. 58 D. 6512、已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为/()f x ，满足/()f x <()f x ,且()(2)f x f x -=+，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A. ()2,-+∞B. (0，+∞)C.(1, +∞)D.(2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）. 13. (4y x 的展开式中33x y 的系数为 。

2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁R A）∩B=（）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}2．在等差数列{a n}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（）A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．143．若函数f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（）A．2 B．3 C．6 D．94．函数的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．56．设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，﹣3），且+=，则tan（α+β）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+129．设正数x，y满足﹣1＜x﹣y＜2，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（0，2） B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（2，+∞）10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．11．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．360012．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，那么，这三个命题中所有的真命题是（）A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．sin63°cos18°+cos63°cos108°=．14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=．15．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为．16．在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？20．已知数列{a n}的前n项和，且a1，a4是等比数列{b n}的前两项，记b n与b n之间包含的数列{a n}的项数为c n，如b1与b2之间包含{a n}中的+1项为a2，a3，则c1=2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n c n}的前n项和．21．已知函数f（x）=（kx+a）e x的极值点为﹣a﹣1，其中k，a∈R，且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l 的方程；（2）若∀a∈[1，2]，函数f（x）在（b﹣e a，2）上为增函数，求证：e2﹣3≤b ＜e a+2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A （6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁R A）∩B=（）A．{0}B．{2}C．{2，4}D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，由集合B={y|y=2x，x∈A}，结合A的元素可得集合B，分析可得（∁R A）∩B中的元素为属于B不属于A的元素，即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，则（∁R A）∩B={2}；故选：B．2．在等差数列{a n}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（）A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．14【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3+a6=11，a5+a8=39，则4d=28，解得d=7．故选：C．3．若函数f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】余弦函数的图象．【分析】由题意可得ω﹣=kπ，k∈Z，由此求得ω的值．【解答】解：∵f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，∴ω﹣=kπ，k∈Z，即ω=12k+3．∵1＜ω＜14，∴由此求得ω=3，故选：B．4．函数的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，利用函数的零点定理判断求解即可．【解答】解：函数是单调减函数，因为f（1）=1＞0，f（2）=1﹣＜0，∴f（1）f（2）＜0，可知函数的零点所在区间为：（1，2）．故选：B．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．6．设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，﹣3），且+=，则tan（α+β）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值．【解答】解：由题意可得+=（2tanα+4，tanβ﹣3 ）=，∴tanα=﹣2，tanβ=3，∴tan（α+β）===，故选：A．7．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得m=﹣1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．【解答】解：由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得当m=﹣1时，焦距2c取得最小值，双曲线的方程为=1，即有渐近线方程为y=±2x．故选：C．8．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．9．设正数x，y满足﹣1＜x﹣y＜2，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．（0，2） B．（﹣∞，2）C．（﹣2，2）D．（2，+∞）【考点】不等式的基本性质．【分析】由约束条件作出可行域，z=x﹣2y，化为直线方程的斜截式，求出z的范围得答案．【解答】解：由，得可行域如图：令z=x﹣2y，由图可知，当z=x﹣2y过A（2，0）时，z有最大值2，∴z＜2，故选B．10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A11．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．3600【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为=1200，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为=1200，总共不同的提问方式的种数为2400，故选B．12．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，那么，这三个命题中所有的真命题是（）A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】给出f（x）f（﹣x）的表达式，结合基本不等式，可判断p1，在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象，数形结合，可判断p2，p3【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，∴f（x）f（﹣x）=（2x﹣5）（2﹣x﹣5）=26﹣5（2x+2﹣x）≤26﹣10=16，故p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16，为真命题；在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：由图可得：p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，为真命题；故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．sin63°cos18°+cos63°cos108°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°+cos63°cos（90°+18°）=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°=sin（63°﹣18°）=sin45°=．故答案为：．14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=4．【考点】函数的值．【分析】先分别求出f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，由此能求出f（3）+f（4）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，∴f（3）+f（4）=2+log69+log64=2+log636=2+2=4．故答案为：4．15．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设该女五第一天织布x尺，则=5，解得x=，∴该女子前3天所织布的总尺数==．故答案为：．16．在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为或．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠AOB=，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐标，由，求得λ的值，可得向量在向量上的投影为ED=|﹣|的值．【解答】解：在Rt△AOB中，，∴∠AOB=，∵，，∴AB==5，∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，建立如图所示的坐标系，则A（，0）、B（0，2）、设D（m，n），则△OAD∽△BAO，∴=，∴AD=1，∴=，即（m﹣，n）=（﹣，2），求得m=，n=，∴D（，）．则=λ•=λ（，）=（λ，λ），=（﹣λ，﹣λ）．∵=λ•（﹣λ）﹣，∴λ=，或λ=，则向量在向量上的投影为ED=|﹣|=|（，）﹣（λ，λ）|=|（（1﹣λ），）（1﹣λ）|．当λ=时，ED=|（，）|=；当λ=时，ED=|（，）|=，故答案为：或．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义进行证明．【解答】解：（1）∵为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，∴a=0．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．证明：设1＜x1＜x2，则．∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．（1）求C的大小；（2）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，可求sinC=，结合C为锐角，可求C的值．（2）由余弦定理即可解得的值．【解答】解：（1）由已知，asinA=bsinBsinC，利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，由于：sinC=，C为锐角，解得：C=．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2﹣2a×=3a2﹣a2，故解得：．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2），依题意得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴万元．（2），依题意得，故．令，则，当，即x=128时，f （x ）max =282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．20．已知数列{a n }的前n 项和，且a 1，a 4是等比数列{b n }的前两项，记b n 与b n +1之间包含的数列{a n }的项数为c n ，如b 1与b 2之间包含{a n }中的项为a 2，a 3，则c 1=2．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a n c n }的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用a n =S n ﹣S n ﹣1，求出数列{a n }的通项公式，利用且a 1，a 4是等比数列{b n }的前两项，求出公比即可求解{b n }的通项公式． （2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】解：（1）由题意知，，两式作差得a n =2n ﹣1+a n ﹣a n ﹣1，即a n ﹣1=2n ﹣1（n ≥2）… 所以a n =2n +1，则a 1=3，a 4=9，…所以，所以…（2），因为数列{a n }是由连续的奇数组成的数列，而b n 和b n +1都是奇数，所以b n 与b n +1之间包含的奇数个数为，所以…．设{（2n +1）3n }的前n项和为T n，，①，②①﹣﹣﹣②，得，则，…所以数列{a n c n }的前n 项和为…21．已知函数f（x）=（kx+a）e x的极值点为﹣a﹣1，其中k，a∈R，且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l 的方程；（2）若∀a∈[1，2]，函数f（x）在（b﹣e a，2）上为增函数，求证：e2﹣3≤b ＜e a+2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出k的值，从而求出a的值，带入a的值，求出切线方程即可；（2）问题转化为x≥﹣a﹣1对x∈（b﹣e a，2）恒成立，根据﹣a﹣1≤b﹣e a，即b≥e a﹣a﹣1对a∈[1，2]恒成立，设g（a）=e a﹣a﹣1，a∈[1，2]，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）无极值，故k≠0．由f'（x）=（kx+a+k）e x=0，得，∴a+k=ak+k．∵a≠0，∴k=1．∵f'（0）=a+1=|2a﹣2|，∴a=3或．当a=3时，f（x）=（x+3）e x，f（0）=3，∴l的方程为y=4x+3．当时，，，∴l的方程为．（2）证明：由题可知f'（x）=（x+a+1）e x≥0对x∈（b﹣e a，2）恒成立，∵e x＞0，∴x+a+1≥0，即x≥﹣a﹣1对x∈（b﹣e a，2）恒成立，∴﹣a﹣1≤b﹣e a，即b≥e a﹣a﹣1对a∈[1，2]恒成立．设g（a）=e a﹣a﹣1，a∈[1，2]，则g'（a）=e a﹣1＞0，∴g（a）在[1，2]上递增，∴，∴b≥e2﹣3．又（b﹣e a＜2，∴e2﹣3≤b＜e a+2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A （6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围．【解答】解：（1）根据题意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，曲线C1的极坐标方程ρ（ρ﹣4sinθ）=12，可得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4；（2）直线l的普通方程为：y=ax，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得，|MN|=2≥2，可得圆心（3，1）到直线的距离为d=≤，即为4a2﹣3a≤0，解得实数a的取值范围为：[0，]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．。

2017年辽宁省葫芦岛市协作体高考考前模拟数学试卷(理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足z=1+i（i为虚数单位）,则复数z的共轭复数的虚部为（)A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．已知集合A=｛x∈R｜f（x）=log2（x﹣2）}，B={y∈R|y=log2（x﹣2)｝,则A∩B=( ）A．（0，2) B．(0，2] C．[2，+∞）D．（2,+∞）3．函数（ω＞0）的图象中,最小正周期为π，若将函数f(x）的图象向右平移个单位，得到函数g(x）,则g（x）的解析式为（）A．B．C．D．g（x）=sin2x4．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02，03，…,32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（）81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A．12 B．33 C．06 D．165．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N，则分数位于区间（已知若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0。

6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0。

9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ)=0。

9974．A．1140 B．1075 C．2280 D．21506．某程序框图如图所示,若输入的n=10，则输出结果为（）A．B． C．D．7．某几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．28πB．37πC．30πD．148π8．设命题p：实数x，y满足x2+y2＜4，命题q：实数x，y满足，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的NBA 篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换"的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫,则休斯顿火箭队的主教练一共有（）种出场阵容的选择．A．16 B．28 C．84 D．9610．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为( ）A．1 B．C．2 D．211．已知在椭圆方程+=1中，参数a，b都通过随机程序在区间（0,t）上随机选取,其中t＞0,则椭圆的离心率在(，1）之内的概率为（）A．B． C． D．12．已知函数，若正实数a，b,c互不相等，且f(a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（e,2e+e2) B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）。

2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{}(1)0A x x x =->,{}|1B x x =<,则A B =( )A.(0,1)B.RC.(,1)-∞D.(,1)(1,)-∞⋃+∞【参考答案】：C先求出集合A ,再求并集即可.【详细解答】{}{}(1)001A x x x x x =->=<<,故(,1)A B ⋃=-∞. 故选：C.本题考查并集的求法,属于基础题. 2.已知复数2020z i i =+.则||z =( ) 2B.1C.0D.2【参考答案】：A易得20201i =,所以1z i =+,进而根据模长公式计算即可.. 【详细解答】因为2101010102020()(1)1i i ==-=,所以1z i =+,所以|2|z =故选：A .本题考查复数的运算,考查计算能力,属于基础题.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.100,40B.100,20C.200,40D.200,20【参考答案】：D首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数,接下来结合已知求出样本容量,根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数,然后结合图乙进行解答即可.【详细解答】由图甲可知,学生总数为45003500200010000++=(人), 故抽取的样本容量为100002%200⨯=(人), 其中抽取的高中学生有20002004010000⨯=(人)；由图乙可知,高中生近视率为50%,∴抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=(人). 故选：D ..本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用,解答本题的关键是能从图中获取关键信息,接下来结合已知中的数据进行解答即可,属于常考题. 4.设l 是直线,α,β是两个不同的平面( ) A.若//l α,l β//,则//αβ B.若//l α,l β⊥,则αβ⊥ C.若αβ⊥,l α⊥,则l β⊥ D.若αβ⊥,//l α,则l β⊥【参考答案】：B根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详细解答】由l 是直线,α,β是两个不同的平面,可知： A 选项中,若//l α,l β//,则α,β可能平行也可能相交,错误；B 选项中,若//l α,l β⊥,由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥,正确；C 选项中,若αβ⊥,l α⊥,由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂,错误；D 选项中,若αβ⊥,//l α,则l ,β可能平行也可能相交,错误. 故选：B.本题考查了线面、面面间的位置关系的判断,考查了空间思维能力,属于基础题. 5.已知a b >,则条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【参考答案】：B根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详细解答】先判断充分性：若0c ≤,又a b >,当0c时,ac bc <不成立,故充分性不成立；再判断必要性：若ac bc <,又a b >,所以0c <,可得0c ≤,故必要性成立, 所以条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的必要不充分条件条件. 故选：B.本题主要充分条件和必要条件的判定,同时考查不等式的性质,属于基础题.6.如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”,执行该算法框图,若输入的a b 、分别为12、30,则输出的a =( )A.2B.4C.6D.18【参考答案】：C模拟程序运行,观察变量值的变化,判断循环条件可得结论.【详细解答】程序运行时变量值变化如下：12,30a b ==；满足a b ,不满足a b >,301218b =-=；满足a b ,不满足a b >,18126b =-=；满足a b ,满足a b >,1266a =-=；不满足ab ,输出6a =.故选：C.本题考查算法案例,解题时只要模拟程序运行,判断变量值变化,判断循环条件,得出结论. 7.某个家庭有三个孩子,已知其中一个孩子是女孩,则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A.34B.38C.47D.12【参考答案】：C利用列举法确定基本事件的总数,再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件,最后利用古典概型的概率计算公式,即可求解.【详细解答】由题意,某家庭有三个孩子,已知其中一个孩子是女孩,基本事件有：(男男女),(男女男),(女男男),(男女女),(女男女),(女女男),(女女女),共有7个,其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有： (男女女),(女男女),(女女男),(女女女),共有4个, 则至少有两个孩子是女孩的概率是47P =. 故选：C .本题主要考查了概率的求法,以及古典概型及概率的计算,其中解答中列用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了运算能力. 8.已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点,圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =,并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =,则圆心M 的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【参考答案】：C设圆心(,)M x y ,利用圆的弦长公式,得出222x r y =-,即可得到圆心M 的轨迹,得到答案.【详细解答】如图所示,设圆心(,)M x y ,则圆心M 到y 轴的距离为d x =, 由圆的弦长公式,可得222222EF r d r y =-=-,因为d EF =,即222x r y =-,整理得22244x y r +=,即222214x y r r+=,即圆心M 的轨迹为椭圆. 故选：C .本题主要考查了轨迹的判定与求解,其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系,合理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.9.已知周期为π的函数()3)cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<是奇函数,把()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象,则()g x 的一个单调增区间为( ) A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【参考答案】：B利用三角函数的恒等变换,化简得到函数()f x 的解析式,再结合三角函数的图象变换,求得()g x 的解析式,结合三角函数的性质,即可求解.【详细解答】由函数())cos()2sin()6f x x x wx πωϕωϕϕ=+-+=+-因为函数()f x 周期为π,且函数()f x 是奇函数, 可得22w ππ==,且06πϕ-=,解得6π=ϕ,即()2sin(2)f x x =, 把()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin(2)3g x x π=-的图象, 令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 令0k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B .本题主要考查了三角恒等变换,以及三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质的综合应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.10.已知数列{}n a 满足12,n n a a n n N +-=∈.则211ni i a a ==-∑( ) A.111n n-- B.1n n - C.(1)n n -D.12n【参考答案】：B首先利用累加法求出()11n a a n n -=-,再利用裂项相消法求和即可； 【详细解答】解：因为12,n n a a n n N +-=∈,所以2121a a -=⨯,3222a a -=⨯,4323a a -=⨯,……,()121n n a a n --=⨯- 所以()()()()()213212122211n n a a a a a a n n n --+-++-=⨯+⨯++⨯-=-所以()11n a a n n -=-所以()21111111223341ni i a a n n==++++-⨯⨯⨯-⨯∑11111111223341n n=-+-+-++-- 11n =-1n n-=故选：B本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和,属于中档题.11.在直角坐标系xOy 中,F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,,A B 分别为左、右顶点,过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ,Q 两点,连接PB 交y 轴于点E ,连接AE 交PQ 于点M ,若M 是线段PF 的中点,则椭圆C 的离心率为( ) A .2B.12C.13D.14【参考答案】：C由题意结合几何性质找到a ,c 的关系即可确定椭圆的离心率.【详细解答】如图,连接BQ ,则由椭圆的对称性易得∠PBF =∠QBF ,∠EAB =∠EBA ,所以∠EAB =∠QBF ,所以ME //BQ . 因为△PME ∽△PQB ,所以PE PM EB MQ =,因为△PBF ∽△EBO ,所以OF EP OBEB=,从而有PM OF MQOB=,又因为M 是线段PF 的中点,所以13OFPM c e a OB MQ ====. 本题选择C 选项.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：①求出a ,c ,代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2＝a 2－c 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).12.已知函数()f x 满足21()2()1ln ,()x f x xf x x f e e+=+='.当0x >时,下列说法：①1f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()f x 只有一个零点；③()f x 有两个零点；④()f x 有一个极大值.其中正确的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【参考答案】：D令2()()g x x f x =,求导后结合已知可得()g x x lnx c =+,得到2()x lnx cf x x +=,再由()1f e e=求得0c .可得()lnx f x x=,求出1()f e 的值判断①；再由导数求得极值判断④；由极大值大于0,且当0x +→时,()f x →-∞,当x →+∞时,()0f x →判断函数零点个数,可得②正确；③错误.【详细解答】解：令2()()g x x f x =, 则2()()2()1g x x f x xf x lnx '='+=+, ()g x x lnx c ∴=+, 2()x lnx cf x x +∴=,()21e cf e e e +==,0c ∴=. 2()x lnx lnxf x x x∴==, 则11()1lne f e ee==-,故①错误；21()lnxf x x -∴'=, 当(0,)x e ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数, 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,()f x 为减函数,()f x ∴的极大值为()10lne f e e e==>,故④正确； 而当0x +→时,()f x →-∞,当x →+∞时,()0f x →,()f x ∴只有一个零点,故②正确；③错误. ∴其中正确的是②④.故选：D.本题考查命题的真假判断与应用,考查利用导数研究函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()4log (23)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ,且点P 在函数()g x x α=的图象上,则α=______. 【参考答案】：2令对数的真数等于1,求得x 、y 的值,即为定点P 的坐标,再代入函数()g x 的解析式即可求出α的值.【详细解答】解：令231x -=得：2x =,此时()24f =,∴函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点(2,4),即(2,4)P ,又点P 在函数()g x x α=的图象上,24α∴=,2α∴=,故答案为：2.本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,属于基础题.14.已知数列{}n a 为等差数列,125,,?a a a 成公比不为1的等比数列,且94a =,则公差d =_____.【参考答案】：817由等比数列的定义和中项性质,可得公差d 不为0,结合等差数列的通项公式,解方程可得所求d .【详细解答】解：由数列{}n a 为等差数列,1a ,2a ,5a 成公比不为1的等比数列,可得2125a a a =,即2111(4)()a a d a d +=+,且0d ≠,化为12a d =,由94a =,可得184a d +=, 解方程可得1417a =,817d =, 故答案为：817. 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.15.已知平面向量a 与b 的夹角60︒,且||2,||1a b ==.若平面向量m 满足22m a m b ⋅=⋅=,则||m =______.【参考答案】考虑到平面向量a 与b 的夹角和模长都属于特殊值,不妨采用坐标的方式进行运算,设平面向量(,)m x y =,向量(1,0)b =,则(1,3)a =,然后将其代入等式中,并结合数量积的坐标运算法则,可建立关于x 和y 的方程组,解之可得向量m ,进而可求得其模长. 【详细解答】解：设平面向量(,)m x y =,向量(1,0)b =,则(1,3)a =, 22m a m b ==,∴22x x +==,解得1,x y =,∴2m x =.故答案为：3. 本题考查平面向量数量积运算,采用坐标的方式进行运算可达到事半功倍的效果,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,ABC 是边长为2的正三角形,E 为PA 中点,BE PB =,则球O 的体积为_______.【参考答案】由题意画出图形,证明三棱锥P ABC -为正三棱锥,且三条侧棱两两互相垂直,再由补形法求外接球球O 的体积.【详细解答】解：如图,由PA PB PC ==,ABC ∆是边长为2的正三角形,可知三棱锥P ABC -为正三棱锥,则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心,取AB 的中点F ,连接BO 并延长,交AC 于G ,则AC BG ⊥,又PO AC ⊥,PO BG O =,BG ⊂平面PBG ,PO ⊂平面PBG ,可得AC ⊥平面PBG ,则PB AC ⊥,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,//EF PB ∴,又5BE PB =,所以222PB PE BE +=即PB PA ⊥,ACPA A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,所以PB ⊥平面PAC ,∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直,把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球, 其直径,22226R PA PB PC =++=,所以62R =,则球O 的体积为33446633V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：6π.本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,属于中档题. 三、解答题17.已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,且cos cos 12B CA ++=. (1)求角A 的值. (2)若ABC 面积为33且7()b c b c +=>,求a 及sinB 的值.【参考答案】：(1)3π；(2)13a =,3913.(1)利用三角恒等变换与三角形的内角和公式,即可求得A 的值； (2)由三角形的面积公式和余弦、正弦定理,即可求得a 与sin B 的值. 【详细解答】解：(1)ABC ∆中,coscos 12B CA ++=,所以cos()1cos 22AA π-=-,所以2sin 2sin 22A A = 因为sin02A ≠,所以1sin 22A =因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3A π=(2)由ABC面积为11sin 22S bc A bc ===解得12bc =；又7()b c b c +=>, 所以4b =,3c =；由余弦定理得,22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以a =；由正弦定理得,sin sin a b A B=,解得4sin sin b AB a===.本题考查了三角函数求值运算问题,也考查了解三角形的应用问题,属于中档题.18.数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用,它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯,进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员,他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数,如下表：(1)根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数,完成茎叶图(茎表示十位,叶表示个位)；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； (2)求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；(3)主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平,同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.【参考答案】：(1见解析；(2)36,37x x ==甲乙,231.6s =甲,219.2s =乙；(3)见解析.(1)根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数,将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图,进而画出散点图.(2)利用平均数公式,方差公式即可求解.(3)由(2)可知,x x <甲乙,且22x x >乙甲,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲,且比较稳定,可知选择乙比较好.【详细解答】解：(1)茎叶图如图散点图如图：(2)2833363845365x ++++==甲,3931433933375x ++++==乙,222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s -+-+-+-+-++++====甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s -+-+-+-+-++++====乙(3)选乙比较好,理由如下：由(2)可知,x x <甲乙,且22s s >甲乙,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲,且比较稳定,所以选择乙比较好.本题考查了茎叶图,平均数,方差,考查了学生的计算能力和数形结合思想,属于基础题. 19.已知矩形,2ABCD AB BC =,E 为DC 中点,将BCD 至BD 折起,连结AC AE BE 、、.(1)当AE BC ⊥时,求证：AD AC ⊥；(2)当12AE BE ⋅=-时,求二面角C BD A --的余弦值. 【参考答案】：(1)证明见解析；(2)14.(1)由线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面ADC ,再由线面垂直的性质定理可知BC AD ⊥,进而由线面垂直的判定定理可证AD ⊥平面ABC ,最后由线面垂直的性质定理可证AD AC ⊥；(2)过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ,以点A 为原点,分别以AB AD Az 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设1AD =,E 的坐标为(,,)a b c ,由已知关系构建三元一次方程组求得,,a b c ,再分别计算平面BDC 和平面ABD 的法向量,最后由数量积公式求夹角的余弦值即可.【详细解答】(1)证明：由题意可知,,,BC CD AE BC AE CD E ⊥⊥⋂=,AE ⊂平面ADC ,DC ⊂平面ADC ,所以BC ⊥平面ADC ,又AD ⊂平面ADC ,所以BC AD ⊥, 因为AD AB ⊥,AB平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,AB BC B ⋂=所以AD ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC .所以AD AC ⊥.(2)过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ,以点A 为原点,分别以AB AD Az 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设1AD =,则(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0)A D B ,设点E 的坐标为(,,)a b c ,则C 的坐标为(2,21,2)a b c -,(,,),(2,,)AE B a b c E a b c ==-221(2)2a abc AE BE ⋅=-++=- ①又2222||(1)1D a c E b =+-+= ②,2222||(22)(21)(2)1a b c BC =-+-+= ③解由①②③构成的方程组可得3412a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即点E的坐标31,,424⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 进而313,,,(2,1,0)424DE BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDC 的一个法向量为(,,)n x y z =,可得00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以31304220x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩,令1x =,解得32,3y z ==,即31,2,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 易知,平面ABD 的一个法向量(0.0,1)m =,313cos ,411143n m n m n m===⨯++⋅, 由图可知,二面角C BD A --的大小为锐角,二面角C BD A --的余弦值为14.本题考查空间中线线垂直的证明,还考查了利用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题. 20.已知函数()ln xf x e x a =--.(1)若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点； (2)若函数()f x 存两个零点12,x x ,证明：121222x x x x e e e a >++-.【参考答案】：(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)当3a =时,函数()ln 3xf x e x =--,定义域为(0,)+∞,利用导数分析其单调性01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x +∞单调递增,进而分别计算并判断()0f x ,31f e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f e 与零的大小比较,最后由零点的存在性定理即可确定零点的个数；(2)由12,x x 是函数()f x 的两个零点,知1212ln ,ln x xe x a e x a =+=+,进而表示1212ln 2x x e e x x a +=+,再由分析法逐步反推不等式,最后令12(0,)x x t =∈+∞,构造函数()ln 2t f t e t =--,由(1)的单调性分析,表示最小值并由双勾函数证得ln 20t e t -->,即可得证.【详细解答】(1)由题可知,定义域(0,)+∞当3a =时,函数()ln 3xf x e x =--,则1()xf x e x'=-,21()0xf x e x +'=>'(()f x ''为()f x '的导函数)()f x '∴单调递增12120,(1)102f e f e ⎛⎫=-<=-> ''⎪⎝⎭, 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使0000011()0,x x f x e e x x '=-==. ()00,x x ∴∈时,()0,()f x f x '<单调递减；()0,x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增所以()0min 00001()ln 33xf x f x e x x x ==--=+- 由双勾函数性质可知,()0f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减,()0111230222f x f ⎛⎫<=+-=-< ⎪⎝⎭,33113311ln 30e e f e e e e ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭,且3112e <, ∴在()00,x 上有且只有一个零点又2()ln 34240e e f e e e e =--=->-=,且1e > 所以在()0,x +∞上有且只有一个零点 综上,函数()f x 有且仅有两个零点(2)由12,x x 是函数()f x 的两个零点,知1212ln ,ln x xe x a e x a =+=+121212ln ln 2ln 2x x e e x x a x x a ∴+=++=+要证121222x x x x e e e a >++-需证121212ln 222ln 2x x ex x a a x x >++-=+令12(0,)x x t =∈+∞ 需证ln 20t e t --> 令()ln 2tf t e t =--与(1)同理得0min 000011()ln 22220,,12tf t e t t t t ⎛⎫=--=+->-=∈ ⎪⎝⎭所以ln 20t e t --> 故121222x x x x e e a +>+-本题考查利用导数与零点的存在性定理研究函数的零点,还考查了利用分析法证明不等式,属于难题.21.已知点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点,点P 是抛物线1C 上的动点,点A 、B 在y 轴上,APB △的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=,且23MC OM =,其中O 为坐标原点.(1)求抛物线1C 的标准方程； (2)求APB △面积的最小值. 【参考答案】：(1)22y x =；(2)8.(1)由()22,0,1,0,32p M C MC OM ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求出1p =,可得抛物线1C 的标准方程； (2)设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ,写出直线,PA PB 的方程,根据圆2C 与直线,PA PB 相切,得到,b c 的关系,写出APB △的面积,结合基本不等式,即可得到最小值. 【详细解答】(1)点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点,,02p M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,又()221,0,3C MC OM =,13122p p p ∴+=⨯∴=，. ∴抛物线1C 的标准方程为22y x =.(2)设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ,则0bc <,直线PA 的方程为()0000y b x x y bx --+=,直线PB 的方程为()0000y c x x y cx --+=.APB 的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=,1==,整理得()()22000000220,220x b y b x x c y c x -+-=-+-=.,b c ∴是方程()2000220x x y x x -+-=的两根,00002,22y xb c bc x x ∴+=-=---. 000,0,2bc x x <>∴>,()()()22222000002000244844222y x x y x b c b c bc x x x ⎛⎫⎛⎫+-∴-=+-=---== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. ()()2220002042,2x y x b c x =∴-=-,00002222x x b c x x ∴-==--.所以APB △的面积2000122x S b c x x =-=-.令002,2,0t x x t t =-∴=+>,()224448t S t tt +∴==++≥=,当且仅当4,2t t t ==时,等号成立,此时04x =.所以APB △面积的最小值为8.本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题,考查基本不等式和学生的运算化简的能力,属于较难的题目.请考生在22—23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写(涂)清题号.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩(t 为参数),圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数). (1)求l 和C 的普通方程；(2)将l 向左平移(0)m m >后,得到直线l ',若圆C 上只有一个点到l '的距离为1,求m .【参考答案】：(1)3470x y --=,22(1)(2)1x y -++=；(2)2m =.(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果.【详细解答】(1)由题意可得||1a =, 故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数), 圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数), 消去参数t ,得l 的普通方程为3470x y --=,消去参数θ,得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=.(2)l '的方程为37()44y x m =+-,即34370x y m -+-=, 因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1,圆C 的半径为1,所以(1,2)C -到l '的距离为2, 即|3837|25m ++-=,解得2m =(1403m =-<舍去). 本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,函数的关系式的平移变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.选修4—5：不等式选讲23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠.(1)当1a =时,求不等式()f x x <的解集；(2)若()41f x a≥-恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】：(1)()3,5；(2)()[),01,-∞+∞.(1)把1a =代入,利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；(2)利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值,然后求解关于a 的不等式即可.【详细解答】(1)当1a =时,()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩,当1x ≤时,()f x x <,无解；当14x <<时,()f x x <可得34x <<；当4x ≥时,()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5.(2)()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-,4441a a a a-∴-≥-=. 当0a <或4a ≥时,不等式显然成立； 当04a <<时,11a ≤,则14a ≤<. 故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞.本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅D．M⊈N且N⊈M 2．（5分）若复数z满足i•z＝（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．4+πC．4+πD．4+π+π4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11＝20，则S13＝（）A．60B．130C．160D．2606．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．28．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．1349．（5分）已知f（x）＝sin x cos x﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y＝g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（α+）+g（）＝（）A．4B．3C．2D．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是（）A．6B．C．D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．（5分）设抛物线x2＝2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则＝．15．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积V＝．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f （n）＝q﹣p，例如f（12）＝4﹣3＝1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C，求的取值范围．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△P AB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ＝4，求m的取值范围．21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）＝e mx﹣lnx﹣2．（1）若m＝1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）＝0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅D．M⊈N且N⊈M 【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．（5分）若复数z满足i•z＝（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．【解答】解：由i•z＝（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．4+πC．4+πD．4+π+π【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S＝2××2×2+×π×2×＝4+π，故选：C．4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【解答】解：＝（3+4+5+6）＝＝4.5，则＝0.7×4.5+0.35＝3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵＝（2.5+t+4+4.5）＝3.5，得t＝3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11＝20，则S13＝（）A．60B．130C．160D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3＝a3，即a3＝0又∵a11＝20，∴d＝S13＝•（a1+a13）＝•（a3+a11）＝•20＝130故选：B．6．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A．7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i＝0，A＝2，i＝1，A＝1﹣＝，i＞2017，否；i＝2，A＝1﹣2＝﹣1，i＞2017，否；i＝3，A＝1﹣（﹣1）＝2，i＞2017，否；i＝4，A＝1﹣＝，…；i＝2017＝3×672+1，A＝1﹣＝，i＞2017，否；i＝2018＝3×672+2，A＝1﹣2＝﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A＝﹣1．故选：C．8．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．134【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为＝（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．（5分）已知f（x）＝sin x cos x﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y＝g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（α+）+g（）＝（）A．4B．3C．2D．【解答】解：∵f（x）＝sin x cos x﹣sin2x＝sin2x﹣＝sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin[2（x﹣）+]﹣＝sin2x ﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y＝g（x）＝sin2x﹣+2＝sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x ＝α对称，∴2α＝kπ+，求得α＝+，k∈z，故可取α＝，∴g（α+）+g（）＝sin（+）++sin+＝4，故选：A．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是（）A．6B．C．D．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b＝3，∴a+b﹣2＝1，∴＝（）（a+b﹣2）＝2+1++≥3+2，当且仅当a＝（b﹣2）时取等号，即b＝1+，a＝2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y＝x，渐近线为l2方程y＝﹣x，则设P点坐标（x，x），则直线PF1的斜率k＝＝，直线PF2的斜率k＝＝，由l2⊥PF1，则×（﹣）＝﹣1，＝1，①l2∥PF2，则＝﹣，解得：x＝，②由①②整理得：＝3，由双曲线的离心率e＝＝＝2，∴双曲线的离心率2，故选：A．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）＝﹣12．故答案为：﹣12．14．（5分）设抛物线x2＝2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则＝7．【解答】解：抛物线x2＝2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y＝﹣0，5，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|＝2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|＝|AM|+|BN|＝2|PR|＝2|3﹣（﹣0.5）|＝7，故答案为：715．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积V＝．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r ＝，所以点O到平面ABC的距离d＝，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d＝2，此棱锥的体积为V＝＝，故答案为：．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f （n）＝q﹣p，例如f（12）＝4﹣3＝1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）＝0；当n为奇数时，f（3n）＝﹣＝2×，∴S100＝2（30+31+…+349）＝＝350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C，求的取值范围．【解答】解：（1）由图象知A＝1，，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cos B＝b cos C，根据正弦定理，得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C∴2sin A cos B＝sin（B+C），∴2sin A cos B＝sin A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴cos B＝，即B＝∴A+C＝，即那么：，故得．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4＝168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4＝10．（2）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）＝0.9974，∴P（ξ≥180）＝（1﹣0.9974）＝0.0013，∵0.0013×100 000＝130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴E（ξ）＝0×+1×+2×＝．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△P AB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵△P AB和△PBD都是等边三角形，∴P A＝PB＝PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA＝OB＝OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD＝BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB＝2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面P AB的法向量为，则，，得，，取x＝1，得y＝﹣1，z＝1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s＝0，，取r＝1，则t＝1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ＝4，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y＝c时，|MN|＝|x1﹣x2|＝，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|＝c|MN|＝，又∵，解得b2＝1，a2＝4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m＝0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m＝0时，存在实数λ，使得+λ＝4，当m≠0时，由+λ＝4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ＝4，⇒λ＝3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，由已知得△＝4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2＝，x1x2＝．由得x1＝﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2＝0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4＝0显然m2＝1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）＝e mx﹣lnx﹣2．（1）若m＝1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）＝0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【解答】证明：（1）当m＝1时，f（x）＝e x﹣lnx﹣2，f′（x）＝e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）＝0；（2）f′（x）＝me mx﹣，f″（x）＝＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）＝m（），由（1）得，存在唯一实数mx0＝t∈（），使得f（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）＝e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t＝﹣lnt，∴f（x0）＝．设h（t）＝，当t∈（）时，h′（t）＝＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）＝h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝3，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2＝0，由ρ＞0解得ρ＝2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ＝6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|＝|ρB﹣ρA|＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）＝9，可得x＝﹣5或x＝4，如图所示，函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为＝28．。