人教版高中数学选修4-1：1.3同步测试：相似三角形的判定

第一课时相似三角形的判定1．相似比：________________________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形____________________叫做相似比(或相似系数)．2．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的________________与另一个三角形的____________对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的________________与另一个三角形的____________对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边__________，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5．如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于()A．12B．8C．3D．26．在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中，能判定△APC与△ACB相似的条件是()A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③,课堂随笔：预习导学1．对应角相等，对应边成比例对应边的比值2．两个角两个角3．两边两边4．对应成比例5．A 6.D►一层练习1．下列命题正确的是()A．有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似B ．有两边成比例的两个等腰三角形相似C ．有三边分别对应平行的两个三角形相似D ．有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似 1．C2．下列判断不正确的是( )A ．两直角边分别是3.5，2和2.8，1.6的两个直角三角形相似B ．斜边和一直角边分别是25，4和5，2的两个直角三角形相似C ．两边长分别是7，4和14，8的两个直角三角形相似D ．两个等腰直角三角形相似 2.C3．如图所示，AD ∥EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中与△BOC 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3.C4．如图所示，△ABC 的三边长是2、6、7，△DEF 的三边长是4、12、14，且△ABC 与△DEF 相似，则∠A ＝∠______，∠B ＝∠______，∠C ＝∠______.AB（ ）＝（ ）EF ＝AC（ ）＝______．4．解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.AB DE＝BCEF＝ACDF＝12.答案：D E F DE BC DF 1 2点评：先找对应边(根据比例)，然后根据对应边找对应角．5．如图所示，DE∥BC，则△ADE∽△______，∠A＝∠______、∠ADE＝∠______，∠AED＝∠C.设AD＝5，DB＝3，则△ADE与△ABC的相似比是______．5．ABC A B 5 8►二层练习6．如图所示，在▱ABCD中，直线EH与CB、CD的延长线分别交于点H、E，EH与AD、AB分别交于点F、G，则图中相似三角形的对数是()A．3对B．4对C．5对D．6对6.D7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()7.A8．如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且AMAN＝BMCN.下列结论正确的是()A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 8．解析：CM＝CN，即∠AMC＝∠MNC.即∠AMB＝∠ANC.又AMAN＝BMCN，即△AMB∽△ANC.答案：B9．如图所示，AB＝8，AD＝3，AC＝6，当AE＝______时，△ADE∽△ACB.9．410．如上图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于点F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形：______________________．10．解析：∠C ＝∠C .∠AEC ＝∠FDC ＝90°⇒△ACE ∽△FCD ，同理，⎩⎪⎨⎪⎧△ABD ∽△FBE ，△ACE ∽△ABD ，则△ACE ∽△FCD ∽△FBE ∽△ABD . 答案：△FCD 、△FBE 、△ABD11．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，则BF ＝________．11．解析：在Rt △ABE 中，∠1＝30°， ∴AE ＝AB cos 30°＝833.在▱ABCD 中，∵AB ∥DC ，∴∠1＝∠2， 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠D ， ∴∠BF A ＝∠D ， ∴△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE， ∴BF ＝AD ·AB AE ＝3×4833＝332.答案：332►三层练习12．如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝______．12. 613．如图，在△ABC (AB ＞AC )的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP CP ＝BDCE.13．分析：如右图，要证BP CP ＝BDCE，可过点C 作CM ∥AB ，证明△CPM ∽△BPD ，此时只需证明CM ＝CE 即可．证明：过点C 作CM ∥AB ，交DP 于点M . ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED .又AD ∥CM ，∠ADE ＝∠CME ，∠AED ＝∠CEM ， ∴∠CEM ＝∠CME ，∴CE ＝CM . ∵CM ∥BD ，∴△CPM ∽△BPD ， ∴BP CP ＝BD CM ，即BP CP ＝BD CE.点评：作出辅助线，证明CM ＝CE 是解题的关键．利用相似三角形的性质可得等积式或比例式，是解决这类问题的基本方法．解此类题一般可分为三步：①把等积式化为比例式，从而确定相关的两三角形相似；②确定两个相关的三角形，方法是：把比例式横看或竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形；③设法找到证明这两个三角形相似的条件．14．如图所示，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ABC 与△CDB 相似？14．解析：∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴当AC BC ＝BC BD 时，△ABC ∽△CDB ，即a b ＝bBD .∴当BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB .以下考虑另外一种情况： ∵∠ABC ＝∠BDC ＝90°， ∴当AC BC ＝ABBD 时，△ABC ∽△BDC ，即ab ＝a 2－b 2BD. ∴当BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC ∽△BDC .综上所述：当BD ＝b 2a 或b a 2－b2a时，△ABC 与△BDC 相似．判定两个三角形相似的方法：1．定义法．即对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形．2．平行法．即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．定理法．(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．。

《相似三角形的判定与性质》典型例题讲解例1．如图15-17，A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA⊥AD，垂足为A ，AB=BC=CD=AE ． 求证：ΔBCE∽ΔBED ．分析：ΔBCE 与ΔBED 有一个公共角，因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公共角的两边成比例．证明：设AB=a ，在Rt ΔABE 中，AB=AE=a ， ∴BE=22AE AB +=2a ． 在ΔBCE 和ΔBED 中， ∵2a a2BC BE ==，BD BE == ∴BEBDBC BE =． 又∵∠CBE=∠EBD， ∴ΔBCE∽ΔBED ．评析：三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；若无角对应相等，就证明三边对应成比例．例2．如图15-18，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31AD AF AB EB ==． 求证：∠AEF=∠FBD．分析：∠AEF 是Rt ΔAEF 的一个锐角，因此要证明∠AEF=∠FBD，可以通过证明三角形相似得到． 证明：过点F 作FM⊥BD 于点M ．设正方形的边长为a ，则BD=2a ．∵31AD AF AB EB ==， ∴EB=AF=31a ，AE=DF=32a ．在Rt ΔDMF 中，EM=DM=22DF=32a ，∴BM=2a －32a=322a ． 在Rt ΔAEF 和Rt ΔMBF 中，∵21a32a31AE AF ==，21a 232a 32BM FM==， ┐ AC E图15-17ABCD MFE 图15-18∠A=∠BMF=90°， ∴ΔAEF∽ΔMBF ． ∴∠AEF=∠FBD．评析：本题的难点是构造含∠AEF 和∠FBD 的相似三角形．在含正方形的有关证明中，常借助正方形的性质采用计算法证明．例3．如图15-19，AD 、BE 是ΔABC 的两条高，DF⊥AB，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ．求证：DF2=GF·HF．分析：由于DF ，GF ，HF 三条线段在同一条直线上，因此想直 接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换． 证明：在ΔAFH 与ΔGFB 中，∵∠H＋∠BAC=90°，∠GBF＋∠BAC=90°， ∴∠H=∠GBF． ∵∠AFH=∠GFD=90°， ∴ΔAFH∽ΔGFB ． ∴GFAFBF HF ，∴AF·BF=GF·HF． ∵在Rt ΔABD 中，FD⊥AB， ∴DF 2=AF·BF． ∴DF 2=GF·HF．评析：本题涉及两个基本图形：含斜边上高的直角三角形，含两条高的锐角三角形．含两条高的锐角三角形是相似形中的基本图形，图中有多对相似三角形，在解题时要充分利用图形提供的有效信息，选择有用的条件和结论．另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的应用，在解题中使用十分频繁．┐ ABDCE FGH 图15-19。

高中数学学习材料唐玲出品1-3相似三角形的判定及性质一、选择题1．如图所示，给出下列条件： ①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ； ③AC CD ＝AB BC； ④AC 2＝AD ·AB .其中能够单独判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 题号判断 原因分析①√∵∠B ＝∠ACD ，又∠A ＝∠A ，∴由判定定理1，知△ABC ∽△ACD② √∵∠ADC ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，∴由判定定理1，知△ABC ∽△ACD③ ×∵AC CD ＝AB BC ，∴AC AB ＝CDBC，由判定定理2知，不能单独判断△ABC ∽△ACD④ √∵AC 2＝AD ·AB ，∴AC AB ＝ADAC，又∠A ＝∠A ，由判定定理2，知△ABC ∽△ACD答案 C2．如图所示，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ACB 相似的有( )．①∠AED ＝∠B ②AD AC ＝AE AB③DE BC ＝AE AB④DE ∥BCA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C. 答案 C3．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )．A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2 D.2∶ 3解析 ∵∠B 为公共角，∴Rt △BCD ∽Rt △BAC ， 同理Rt △ACD ∽Rt △ABC ， ∴Rt △ACD ∽Rt △CBD .∴AC BC ＝AD CD，又∵AD ＝3，CD ＝2，∴AC BC ＝32，即AC ∶BC ＝3∶2. 答案 A4．如图所示，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM CN，下列结论中正确的是( )．A ．△ABM ∽△ACBB ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA解析 由CM ＝CN 知∠CMN ＝∠CNM ，∴∠AMB ＝∠ANC ， 又AM AN ＝BM CN，故△ABM ∽△ACN . 答案 B 二、填空题5．如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ， 又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC＝13. 故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 36．如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为__________． 解析 ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比． ∴△A 1OB 1的外接圆直径为2. 答案 27．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AODO等于________． 解析 在Rt △DAO 及Rt △DEA 中，∠ADO 为公共角，∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，∴DO AO ＝ADAE ，即AO DO ＝AEAD. ∵E 为AB 的中点，∴AE AD ＝12AB AD ＝12，∴AO DO ＝12. 答案 128．如图所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为________．解析 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由相似三角形的预备定理，得△FEG ∽△CBG ，∴FG GC ＝EF BC ＝12，又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6.答案 6 三、解答题9．如图，在△ABC 中，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB的中点F ，连接FD 交AC 于点E . (1)求AE AC的值；(2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．解 (1)如图所示，过点F 作FM ∥AC ，交BC 于点M . ∵F 为AB 的中点，∴M 为BC 的中点，∴FM ＝12AC ，由FM ∥AC ，得∠CED ＝∠MFD ，∠ECD ＝∠FMD . ∴△FMD ∽△ECD .∴DC DM ＝EC FM ＝23. ∴EC ＝23FM ＝23×12AC ＝13AC ，∴AE AC＝AC －13AC AC＝23. (2)∵AB ＝a ，∴FB ＝12AB ＝12a .又FB ＝EC ，∴EC ＝12a .∵EC ＝13AC ，∴AC ＝3EC ＝32a .10．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点， ∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∠1＝∠A .∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ， ∵∠FDC ＝∠FBD . 又∵∠F 是公共角．∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC， ∴FD 2＝FB ·FC .11．(拓展深化)如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α.且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．解 (1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ， △EMF ∽EAM .以下证明：△AMF ∽△BGM . ∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ， ∴△AMF ∽△BGM . (2)当α＝45°时， 可得AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点， ∴AM ＝BM ＝2 2. 又∵△AMF ∽△BGM ， ∴AF AM ＝BM BG. ∴BG ＝AM ·BM AF ＝22×223＝83. 又AC ＝BC ＝42×sin 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝43.∵CF ＝4－3＝1，∴FG ＝CF 2＋CG 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.。

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK .其中，②～⑥中与三角形①相似的是( )图1­3­12A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥【解析】　由相似三角形判定定理知选B. 【答案】　B2．如图1­3­13，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AMAN ＝，下列结论中正确的是( ) BMCN图1­3­13A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA【解析】　∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM . ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ，∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ，∴∠AMB ＝∠ANC .又＝， AM AN BM CN∴△ANC ∽△AM B.【答案】　B3．如图1­3­14，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则等于( ) AODO【导学号：07370013】图1­3­14A. B. 25513C. D. 2312【解析】　∵AF ⊥DE ，∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ， ∴＝＝. AO DO AE DA 12【答案】　D4．如图1­3­15，在等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，点D 在AC 上，使得＝，则有( ) AD AC 13图1­3­15A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD【解析】　因为∠A ＝∠C ，＝＝2，所以△AED ∽△CBD . BC AE CDAD【答案】　B5.如图1­3­16所示，已知点E ，F 分别是△ABC 中AC ，AB 边的中点，BE ，CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为( )图1­3­16A ．4B ．4.5C ．5D ．6【解析】　∵E ，F 分别是△ABC 中AC ，AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由相似三角形的预备定理，得△FEG ∽△CBG ，∴＝＝. FG GC EF BC 12又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】　D 二、填空题6．如图1­3­17，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________，CE ＝________.图1­3­17【解析】　在Rt △ACE 和Rt △ADB 中，∠A 为公共角，∴△ACE ∽△ADB ，∴＝， AB AE AD AC∴AE ＝＝＝＝8，则DE ＝AE －AD ＝5，AB ·AC AD AB (AB ＋BC )AD4×(4＋2)3在Rt △ACE 中，CE ＝＝＝2. AE 2－AC 282－(4＋2)27【答案】　5　77．如图1­3­18，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.图1­3­18【解析】　由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC 及∠ACD ＝90°可以推得： Rt △ABE ∽Rt △ADC ，故＝AE AC ABAD ∴AE ＝＝2.6×412【答案】　28.如图1­3­19，在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝________. 【导学号：07370014】图1­3­19【解析】　∵DE ∶EC ＝1∶2， ∴DC ∶EC ＝3∶2，∴AB ∶EC ＝3∶2. ∵AB ∥EC ， ∴△ABF ∽△CEF ， ∴＝＝，∴＝. BF EF AB EC 32BF BE 35【答案】　3∶5 三、解答题9．如图1­3­20，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于点F .求证：PB 2＝PE ·PF .图1­3­20【证明】　连接PC .∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB.∵AD 是中线，∴AD 垂直平分BC ， ∴PB ＝PC ， ∴∠PBD ＝∠PCD ， ∴∠ABP ＝∠ACP .又∵CF ∥AB ，∴∠ABP ＝∠F ＝∠ACP ， 而∠CPE ＝∠FPC . ∴△PCE ∽△PFC ，∴＝，∴PC 2＝PE ·PF ， PE PC PCPF 即PB 2＝PE ·PF .10.如图1­3­21，某市经济开发区建有B ，C ，D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB ＝CD ＝900米，AD ＝BC ＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN ，B ，C 两厂之间的公路与自来水主管道交于E 处，EC ＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．图1­3­21(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？ 【解】　(1)如图，过B ，C ，D 分别作AN 的垂线段BH ，CF ，DG 交AN 于H ，F ，G ，BH ，CF ，DG 即为所求的造价最低的管道路线．(2)在Rt △ABE 中，AB ＝900米， BE ＝1 700－500＝1 200米，∴AE ＝＝1 500(米)， 1 2002＋9002由△ABE ∽△CFE ，得到＝，CF AB CEAE 即＝， CF 9005001 500可得CF ＝300(米)．由△BHE ∽△CFE ， 得＝， BH CF BE CE即＝，可得BH ＝720(米)． BH 3001 200500由△ABE ∽△DGA ，得＝， AB DG AEAD即＝， 900DG 1 5001 700可得DG ＝1020(米)．所以，B ，C ，D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．[能力提升]1.如图1­3­22所示，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( )图1­3­22A.＝ B.＝ AC AB ADBCAD CD AC BC C ．AC 2＝CD ·CBD ．CD 2＝AC ·AB【解析】　∠C ＝∠C ，只有＝，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD AC CD CBAC∽△BCA .【答案】　C2．如图1­3­23所示，∠AOD ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD ，则下列结论正确的是( )图1­3­23A ．△DAB ∽△OCA B ．△OAB ∽△ODAC ．△BAC ∽△BDAD ．△OAC ∽△ABD【解析】　设OA ＝OB ＝BC ＝CD ＝a ， 则AB ＝a ，BD ＝2a ， 2∴＝，＝＝， ABBD 22BC AB a 2a 22∴＝，且∠ABC ＝∠DBA ， AB BD BCAB∴△BAC ∽△BDA . 【答案】　C3．如图1­3­24所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝B.当BD ＝__________时，△ABC ∽△CDB.图1­3­24【解析】　由＝即可得到． AC BC BCBD【答案】　b 2a4．如图1­3­25所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE )．图1­3­25(1)△AEF 与△ECF 是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；(2)设＝k ，是否存在这样的k 值 ，使得△AEF 与△BFC 相似，若存在，ABBC证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，说明理由．【解】　(1)相似．在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥EC ，A ，E ，D 共线，∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.又∵∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE ， ∴△AEF ∽△DCE ，∴＝， EF EC AF DE∴AE ＝DE ，∴＝.EF EC AFAE又∵∠A ＝∠FEC ＝90°，∴△AEF ∽△ECF .(2)存在．由于∠AEF ＝90°－∠AFE <180°－∠CFE －∠AFE ＝∠BFC ， ∴只能是△AEF ∽△BCF ，∠AEF ＝∠BCF . 由(1)知∠AEF ＝∠DCE ＝∠ECF ＝∠FCB ＝30°. ∴＝＝＝，即k ＝. AB BC CD BC CD2DE 3232反过来，在k ＝时，＝，∠DCE ＝30°，32DE CD 13∠AEF ＝∠DCE ＝30°，∠ECF ＝∠AEF ＝30°， ∠BCF ＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF . ∴△AEF ∽△BCF .。

相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．3．难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，A C CA C B BC B A AB ''=''=''每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k1CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．三、例题的意图本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．四、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．思考判断相似三角形的条件．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．五、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD 与DC 的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据AB AD BC DE =求出DE 的长． 解：略（310DE =）． 六、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长． （CD= 10）七、课后练习1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，写出对应边的比例式．3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长． 教学反思。

描述：高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理
一、学习任务
理解直角三角形射影定理．
二、知识清单
相似三角形的判定及有关性质
三、知识讲解
1.相似三角形的判定及有关性质
相似三角形
如果在两个三角形中，对应角、对应成比例，则这两个三角形叫做相似三角形（similar
triangle）．设相似三角形对应边的比值为，则叫做相似比（或相似系数）．
相似三角形的判定定理
判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．
判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．　
判定定理3 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的性质
性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
平行截割定理
平行截割定理 三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
射影定理
射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．
如图，在中，，，则有，
，．
k k Rt△ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB B =BD ⋅AB C 2A =AD ⋅AB C 2C =AD
⋅BD D 2
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1。

3相似三角形的判定及性质同步检测一、选择题1. 已知△ABC∽△A'B'C',下列选项中的式子，不一定成立的是（ ）A 。

∠B=∠B’B 。

∠A=∠C’ C.AB BC A'B'B'C'= D.AB AC A'B'A'C'=答案：B 解析:解答：很明显选项A,C,D 均成立.因为∠A 和∠C'不是对应角,所以∠A=∠C’不一定成立。

分析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质定理分析即可.2。

如图，在△ABC 中,FD ∥GE ∥BC,则与△AFD 相似的三角形有（ ）A.1个 B 。

2个 C.3个 D.4个答案：B解析：解答：∵ FD ∥GE ∥BC ，∴△AFD∽△AGE∽△ABC， 故与△AFD 相似的三角形有2个。

分析:本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可.3。

如图，在△ABC中,DE∥BC，点F是BC上一点，AF交DE于点G,则与△ADG相似的是（）A.△AEG B。

△ABFC。

△AFC D.△ABC答案：B解析：解答：在△ABF中,DG∥BF，则△ADG∽△ABF。

分析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可.4. 下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D。

等边三角形都相似答案：D解析：解答:因为等边三角形的每个角都是60°，所以任意两个等边三角形都是有“两角对应相等”的三角形.故等边三角形都相似。

故选D。

分析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可5。

如图，∠ABC=∠CDB=90°,AC=a，BC=b,要使△ABC∽△CDB,那么BD与a，b应满足( ）A.BD=2ba B。

一、选择题1．如图所示，给出下列条件： ①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC ；④AC 2＝AD ·AB .其中能够单独判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析答案 C2．如图所示，梯形ABCD 的对角线交于点O ，则下列四个结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽△ACB ；③S △DOC ∶S △AOD ＝CD ∶AB ；④S △AOD ＝S △BOC .其中正确的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵DC ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，①正确．由①知，DC AB ＝OC OA .利用三角形的面积公式可知S △DOC ∶S △AOD ＝OC ∶OA ＝CD ∶AB ，③正确．∵S △ADC ＝S △BCD ，∴S △ADC －S △COD ＝S △BCD －S △COD ，∴S △AOD ＝S △BOC ，④正确．故①③④都正确．答案 C3．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )．A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2 D.2∶ 3解析 ∵∠B 为公共角，∴Rt △BCD ∽Rt △BAC ，同理Rt △ACD ∽Rt △ABC ，∴Rt △ACD ∽Rt △CBD .∴AC BC ＝AD CD ，又∵AD ＝3，CD ＝2，∴AC BC ＝32，即AC ∶BC ＝3∶2.答案 A4．如图所示，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM CN ，下列结论中正确的是( )．A ．△ABM ∽△ACBB ．△ANC ∽△AMBC ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA解析 由CM ＝CN 知∠CMN ＝∠CNM ，∴∠AMB ＝∠ANC ，又AM AN ＝BM CN ，∴AM BM ＝AN NC ，故△ABM ∽△ACN .答案 B二、填空题5．如图所示，已知∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13. 故△ADE 与△ABC 的相似比为 3.∶3答案 3.∶36．如图，设AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为__________．解析 ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.答案 27．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO 等于________．解析 在Rt △DAO 及Rt △DEA 中，∠ADO 为公共角，∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，∴DO AO ＝AD AE ，即AO DO ＝AE AD .∵E 为AB 的中点，∴AE AD ＝12AB AD ＝12，∴AO DO＝12.答案 128．如图所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为________．解析 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由相似三角形的预备定理，得△FEG ∽△CBG ，∴FG GC ＝EF BC ＝12，又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6.答案 6三、解答题9．如图，在△ABC 中，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E .(1)求AE AC 的值；(2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．解 (1)如图所示，过点F 作FM ∥AC ，交BC 于点M .∵F 为AB 的中点，∴M 为BC 的中点，∴FM ＝12AC ，由FM ∥AC ，得∠CED ＝∠MFD ，∠ECD ＝∠FMD .∴△FMD ∽△ECD .∴DC DM ＝EC FM ＝23.∴EC ＝23FM ＝23×12AC ＝13AC ，∴AE AC ＝AC －13AC AC ＝23.(2)∵AB ＝a ，∴FB ＝12AB ＝12a .又FB ＝EC ，∴EC ＝12a .∵EC ＝13AC ，∴AC ＝3EC ＝32a .10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又∵∠1＝∠2，∠1＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∵∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角．∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.11．(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC 于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．解(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2 2.又∵△AMF ∽△BGM ，∴AF AM ＝BM BG .∴BG ＝AM ·BM AF ＝22×223＝83. 又AC ＝BC ＝42×sin 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝43.∵CF ＝4－3＝1，∴FG ＝CF 2＋CG 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.。