开环的零点开环的极点

吉大2020-2022学期《自动控制原理》在线作业一
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一、单选题（共5题，20分）
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第四章 根轨迹法教学时数：10学时 教学目的与要求：1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。

2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。

熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。

3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。

4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。

能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。

5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。

教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。

教学难点：根轨迹基本法则及其应用。

闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。

根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。

这给系统的分析与设计带来了极大的方便。

§4－1 根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。

当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180︒根轨迹。

例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：()(0.51)K G s s s =+图4-1 二阶系统结构图开环传递函数有两个极点120,2p p ==-。

没有零点，开环增益为K 。

闭环传递函数为：2()2()()22C s K s R s s s K φ==++闭环特征方程为： 2()220D s s s K =++= 闭环特征根为：1211s s =-+=--从特征根的表达式中看出每个特征根都随K 的变化 而变化。

第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 369362++=s s G B 。

试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值？解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。

解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。

上升时间 t r峰值时间t m 过度过程时间t s 超调量δ％3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。

在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。

根据题目给出条件可知闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准形式2222nn n s s ωζωω++相比较可得12,12==n n ζωω，即n ω=1,ζ=0.5。

由此可知，系统为欠阻尼状态。

故，单位阶跃响应的性能指标为3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =0.5秒，试确定K 和τK,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,nω 由系统结构图可得闭环传递函数为 与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得由题目给定： %25%100%21=⨯=--ζζπδe即 25.021=--ζζπe两边取自然对数可得 依据给定的峰值时间： 5.012=-=ζωπn m t （秒）所以 85.615.02=-=ζπωn （弧度/秒）3-4 已知系统的结构图如图2所示，若)(12)(t t x ⨯= 时，试求：(1) 当τ=0时，系统的t r , t m , t s 的值。

(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。

求出可得 )/(07.750秒弧度==n ω 由于ss X 2)(=输出的拉氏变换为 则拉氏反变换为(2) 当τ≠0时，闭环传递函数由 %20%100%21=⨯=--ζζπδe两边取自然对数 61.12.0ln 12-==--ζζπ， 可得故 73.85.)107.746.0(2=-⨯=o τ3-5(1) 什么叫时间响应答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。

开环极点和开环零点
开环极点和开环零点是指在没有反馈控制的情况下，系统本身所具有的极点和零点。

开环极点（Open Loop Pole）是指在没有反馈控制的情况下，
系统传递函数的分母为0的点，也就是系统响应的衰减速度变为无穷大的点。

这样的点会影响系统的稳定性和频率响应。

开环零点（Open Loop Zero）是指在没有反馈控制的情况下，
系统传递函数的分子为0的点，也就是系统响应的增益变为无穷大的点。

这样的点对系统的性能有着重要的影响，它可以提高系统的带宽和响应速度。

在反馈控制系统中，我们需要考虑开环极点和开环零点的影响，并通过适当的控制策略来控制它们的位置和数量。

这样可以保证系统的稳定性和性能。

《自动控制原理》课程练习题第一章自动控制的基本概念一、概念：1、自动控制原理中，对线性控制系统进行分析的方法有哪些？时域分析法、根轨迹法、频率特性法。

2、举例说明什么是闭环系统？它具有什么特点？如直流电动机转速闭环控制系统。

特点是：通过反馈回路使系统构成闭环，并按偏差的性质产生控制作用，以求减小或消除偏差的控制系统。

3、举例说明什么是开环系统？它具有什么特点？只有前项通道，无反馈通道，输出信号对输入信号无影响。

不存在系统稳定性问题。

(例子任意)。

4、闭环控制系统的基本环节有？给定、比较、控制、对象、反馈；5、自控系统各环节的输出量分别为？给定量、反馈量、偏差、控制量输出量；6、闭环控制系统由哪几个基本单元组成？由4个基本单元组成：控制器（调节器）、执行器（调节阀）、变送器（测量单元）和被控对象（过程、装置）；7、画出自动控制系统基本组成方框结构图？第二章 自动控制系统的数学模型一、概念：1、常见的建立数学模型的方法有哪几种？各有什么特点？分析法（机理建模法）、实验法（系统辨识）和综合法。

机理分析法：机理明确，应用面广，但需要对象特性清晰实验测试法：不需要对象特性清晰，只要有输入输出数据即可，但适用面受限综合法：以上两种方法的结合通常是机理分析确定结构，实验测试法确定参数，发挥了各自的优点，克服了相应的缺点 2、传递函数的定义？传递函数指线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比； 3、利用分析法建立系统微分方程的步骤？ （1）确定系统输入、输出变量；（2）分析元件工作仲所遵循的物理或化学规律，得到相应的微分方程； （3）消去中间变量，得到输入输出间关系的微分方程； 4、给出梅逊公式，及其中各参数意义？梅逊增益公式为：∑=∆∆=nk k k p P 11其中，k p ：从输入到输出的第k 条前向通路总增益； n ：从输入到输出的总路数；k ∆：流图余因子式，流图特征式中除去与第k 条前向通道相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余式； ∑∑-+-=∆ cbaLL L 1：∑a L 单独回路增益之和；∑c b L L 所有互不接触的回路中，每次取其中两个回路的回路增益之和；二、计算题1、求下面各电路传递函数：2、化简以下传递函数：)1/()(2++=RCs LCs RCs sG )]11(1/[2)(+-=Cs R R R s G3、RC 无源网络电路图如下图所示，试列写该系统的微分方程，并求传递函数Uc(s)/Ui(s)。

增加零极点对系统的影响: 增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。

增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，极点离虚轴越近，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。

增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应和频率响应会造成很大影响。

以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函数。

零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。

在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。

在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。

从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。

在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。

因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。

对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（ n-m）×90º。

非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。

实验六 开环增益与零极点对系统性能的影响一．实验目的1．研究闭环、开环零极点对系统性能的影响； 2．研究开环增益对系统性能的影响。

二．实验内容1．搭建原始系统模拟电路，观测系统响应波形，记录超调量σ%、峰值时间tp 和调节时间ts ；2．分别给原始系统在闭环和开环两种情况下加入不同零极点，观测加入后的系统响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts ；3．改变开环增益K ，取值1，2，4，5，10，20等，观测系统在不同开环增益下的响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts 。

三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。

如果选用虚拟示波器，只要运行ACES 程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。

具体用法参见用户手册中的示波器部分。

1．原始二阶系统实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。

原始二阶系统模拟电路如图1-6-1所示，系统开环传递函数为：0.1(0.21)Ks s ，图1-6-1原始二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V ”；B ．将阶跃信号区的“0～5V ”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V ”端子产生阶跃信号。

（2） 搭建原始二阶系统模拟电路：A ．将A3的“OUT3”与A1的“IN11”、“IN13”同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，将A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-6-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5＝64K、R6=200K、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8、S13拨至开的位置；（3）连接虚拟示波器：将实验电路A2的“OUT2”与示波器通道CH1相连接。

4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。

（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。

（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。

（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。

4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。

4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。

（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。

（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。

4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。

4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。

一、填空题1、在水箱水温控制系统中，受控对象为 ，被控量为 。

水箱；水温2、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 ；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 。

开环控制系统；闭环控制系统；闭环控制系统3、稳定是对控制系统最基本的要求，若一个控制系统的响应曲线为衰减振荡，则该系统 。

判断一个闭环线性控制系统是否稳定，在时域分析中采用 ；在频域分析中采用 。

稳定；劳斯判据；奈奎斯特判据4、传递函数是指在 初始条件下、线性定常控制系统的与 之比。

零； 输出拉氏变换；输入拉氏变换5、对于自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面，即： 、 和 ，其中最基本的要求是 。

稳定性 快速性 准确性 稳定性6、若某单位负反馈控制系统的前向传递函数为()G s ，则该系统的开环传递函数为 。

()G s ；7、能表达控制系统各变量之间关系的数学表达式或表示方法，叫系统的数学模型，在古典控制理论中系统数学模型有 、 等。

微分方程 传递函数 （或结构图 信号流图）（任意两个均可）8、判断一个闭环线性控制系统是否稳定，可采用 、 、等方法。

劳思判据 根轨迹 奈奎斯特判据9、设系统的开环传递函数为12(1)(1)Ks T s T s ++，则其开环幅频特性为 ， 相频特性为 。

()A ω=01112()90()()tg T tg T ϕωωω--=---10、PID 控制器的输入－输出关系的时域表达式是 ，其相应的传递函数为 。

()()()()tp p p iK de t m t K e t e t dt K T dtτ=++⎰1()(1)C p i G s K s T s τ=++11、最小相位系统是指 。

S 右半平面不存在系统的开环极点及开环零点12、设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，则其开环幅频特性为 ，相频特性为 。

试题编号：重庆邮电大学2009学年2学期《自动控制原理》试卷（期中）（A 卷）（闭卷）一、简答题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1． 传递函数定义及其主要性质。

答：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。

（2分）主要性质：(每回答正确2个1分，全部正确2分)1）传递函数只适用于线性定常系统：由于传递函数是基于拉氏变换，将原来的线性常系数微分方程从时域变换到复域，故只适用于线性定常系统。

2）传递函数是在零初始条件下定义的。

如果系统为非零初始条件，非零初始值V(s)，则系统新的输入、输出关系为：Y(s)=G(s).U(s)+ V(s)3)传递函数只表示了系统的端口关系，不明显表示系统内部部件的信息。

因此对于同一个物理系统，如果描述的端口不同，其传递函数也可能不同；而不同的物理系统，其传递函数可能相同。

4)传递函数是复变量S 的有理真分式函数，分子多项式的次数n 低于或等于分母多项的次数m ，所有系数均为实数。

2． 线性控制系统的稳定性定义。

答：如果线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡点，则称系统渐进稳定，简称稳定（3分），反之，如果在初始扰动下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则不稳定。

（1分）3． 闭环系统的零、极点位置对于时间响应性能的超调量、调节时间的有何影响？ 答：（1）超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率21//ξξωσ-=d ，与其他闭环零、极点接近坐标原点的程度有关；（2分）（2）条件时间主要取决于靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值ξωσ=，如果实数极点距离虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。

（2分）4． 对于一个给定的开环增益为o k 最小相位系统，说明采用频率方法和根轨迹法判断稳定性的统一性。

答：频率法判断系统稳定性时，当o k 较小时，其副相曲线在)(ωj Go 平面不包围（-1，j0）这点，系统稳定，随着o k 的增加，副相曲线包围（-1，j0）这点，系统不稳定。

第五章 稳定性分析5—1 解：（1） 系统的特征方程为020)1(212=++⇒=++s s s s 。

因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S 平面的左半面，所以此系统稳定。

（2） 系统的特征方程为030)1(312=+-⇒=-+s s s s 。

因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。

（注：BIBO 稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S 平面的左半平面。

若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。

此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。

） 5—2 解： （1）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又Θ三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（5011020⨯>⨯），满足稳定的充分条件。

∴ 该控制系统稳定。

（2）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh故系统有两个特征根在S平面的右半部。

（3）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又Θ三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（30020⨯⨯），不满足<81稳定的充分条件。

∴该控制系统不稳定。

（4）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；稳定。

由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。

（5）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；不稳定。

由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程012048402324,43324=+⇒=+⇒=++=s s s s s s k利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。

结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。

第三章3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 369362++=s s G B 。

试求单位阶跃响应的t r , t m ,δ% , t s 的数值解：[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。

解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出n ω参数，而后把n ω代入性能指标公式中求出r t ，m t ，%δ，s t 和N 的数值。

)/(636秒弧度==n ω（弧度）秒（弧度72.041.411)/97.3166.0175.0292122=︒=-==-⋅==-==-ζζθζωωζωζtgn d n上升时间 t r 秒61.097.372.014.3=-=-=d r t ωθπ 峰值时间t m 秒79.097.314.3===d m t ωπ 过度过程时间t s %)2(89.0675.044秒=⨯==ns t ωζ%)5(70.0675.033秒=⨯==ns t ωζ超调量δ％%8.2%100%100%66.075.012=⨯=⨯=---πζπζδee3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为 )1(1)(+=s s s G K试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。

解：[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。

在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(ζ,n ω)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。

根据题目给出条件可知闭环传递函数为 11)()()(2++==s s s X s Y s G B 与二阶系统传递函数标准形式2222nn n s s ωζωω++相比较可得12,12==n n ζωω，即n ω=1,ζ=。

由此可知，系统为欠阻尼状态。

故，单位阶跃响应的性能指标为秒秒秒615.033%)5(815.044%)2(%4.16%100%63.31212=⨯===⨯===⨯==-⋅=--ns ns n m t t et ζωζωδζωπζπζ3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量%δ=25%，峰值时间m t =图1解：[题意分析]这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,τ与ζ,n ω的关系；%δ,m t 与ζ,n ω的关系；通过ζ,n ω把%δ,m t 与K,τ联系起来。