初二数学的折叠问题经典题及答案,中考四边形翻折问题归纳专题训练带答案解析

综合运用：1、如图，矩形纸片ABCD，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD 上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．解析2、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG ＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为。

【解答】解：连接BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴EH=AB，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1+∠EBH=90°，∠EBH+∠4=90°，∴∠1=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．则与∠BEG相等的角有3个．故答案为：3．3、如图，正方形ABCD中，AB=1，M，N分别是AD，BC边的中点，沿BQ将△BCQ 折叠，若点C恰好落在MN上的点P处，则PQ的长为（）A．B．C．D．4、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE 沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE 的长为________．5、小明尝试着将矩形ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B 点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为。

本题主要考查图形变换的应用。

如图所示，连接，根据折叠的性质可得，，，所以为等腰直角三角形。

几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，∠EDC=∠EDC =45°，△CHD≌△DFC ，C F= HD=5，【C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，由已知AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，HC=2x，∴在Rt△HDC中HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AHBH=2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FMBM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD=28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BCABB.sin α=CD ABC.cos α=AD BDD.cos α=CD BC【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC和CD所对的圆周角相等，∴AC=CD，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CDAB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形 D.sin ∠DAP =45【答案】C【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP=252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE=x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD=AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC ∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x 2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。

专题04 折叠问题重点分析在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。

难点解读考点：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．真题演练1.如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．【答案】①. ②.【解析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折叠得，，设DF=x，则AF=8-x，又Rt中，，即解得，，即DF=∴过作，过D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案为：6；．【点拨】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．2.如图，在中．，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是___________．【答案】【解析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴，当点落在AC上时，如图，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ADB==90°，∵，∴，当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ABD=∠DBC=45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB=∠HBD=45°，∴BH=DH，∵，∴HD=2AH=BH，∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，∴，，∴，∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．3.如图，长方形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD=17，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为______．【答案】或【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．【详解】如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B.D′、E三点共线，又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如图2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC，∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．综上所知，DE=2或32．故答案为2或32．【点拨】本题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2 cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN 沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【答案】或2【解析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD ∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）²+（）² =（x+2）²，解得：x=，即BN=；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；故答案为或2．【点拨】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP=__________________________．【答案】或．【解析】分两种情况探讨：①点B落在矩形对角线BD上，②点B落在矩形对角线AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果．【详解】①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴∠ABC=90°，AC=BD，∴AC=BD==5．根据折叠的性质得：PC⊥BB′，∴∠PBD=∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴，即，解得：BP=．②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．根据折叠的性质得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，∴∠AB′A=90°，∴△APB′∽△ACB，∴，即，解得：BP=．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键．6.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_____．【答案】或10【解析】【详解】试题分析：根据题意，可分为E点在DC上和E在DC的延长线上，两种情况求解即可：如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=2，设FE=x，则FE=x，QE=4-x，在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．（2）如图②，当，所以FQ=点E在DG的延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=8，设DE=x，则FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，综上所述，DE=或10.7.如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________．【答案】或【解析】存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论．【详解】解：①当=DC时，如图1，连接ED，∵点是的中点，，，四边形是矩形，∴AD=BC=，∠A=90°，∴DE=，∵将沿所在直线翻折，得到，∴A´E=AE=2，A´D=DC=AB=4，∴DE=A´E+A´D=6，∴点E，A´，D三点共线，∵∠A=90°，∴∠FA´E=∠FA´D=90°，设AF=x，则A´F=x，FD=-x，在Rt△FA´D中，，解得x=，∴FD=3；②当=时，如图2，∵=，∴点A´在线段CD的垂直平分线上，∴点A´在线段AB的垂直平分线上，∵点是的中点，∴EA´是AB的垂直平分线，∴∠AEA´=90°，∵将沿所在直线翻折，得到，∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´，∴四边形AEA´F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=．故答案为或．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___【答案】3或【解析】△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE．当∠AB′F为直角时，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，构造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.【详解】解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：根据题意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵在Rt△BDF中，∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=，则BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②当D B′⊥A B′时，△AB′F为直角三角形，如下图：连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N.根据题意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（H L）∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=设AE=x,则BE= B′E=4-x∵在Rt△AEN中，∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=综上，AE的长为3或.【点拨】本题是一道综合题，涉及到直角三角形全等的判定，30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识.9.如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为.的平分线交于，且.若点落在矩形的边上，则的值为______.【答案】或【解析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD 边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【详解】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC−BE＝a−a＝a．∵∠B′AD＝∠EB′C＝90°−∠AB′D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB′∽△B′CE，∴，即，解得a1＝，a2＝−（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键。

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,E 是CD 的中点,将△BCE 沿BE 翻折,得到△BFE ,连接DF ,则DF 的长度是（ ）A.55 B. 255 C. 355 D. 4552.如图,▱ABCD 中,点E 在边BC 上,以AE 为折痕,将△ABE 向上翻折,点B 正好落在CD 上的点F 处,若△FCE 的周长为7,△FDA 的周长为21,则FD 的长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，在▱ABCD 中，AB =5，AD =6，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为（ ）A. 3B. 12C. 15D. 44.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上一点,将矩形沿BE 翻折后,点A 的对应点为A ',延长EA '交BC 于点F ,若∠ABE =35∘,则∠BFE 的大小为( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘5.如图所示，在矩形ABCD中，AC=13，AD=5，O是AC的中点，E为AB上任意一点，连接EO，将△AOE沿OE翻折至△A′OE，A的对应点为A′，连接A′C，当A′E⊥AB时，求A′C的长为（ ）A. 4B. 32C. 732D. 7226.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边B′处，若AE=3，DE=9，∠AEF=120°，则矩形ABCD的面积是（ ）A. 36B. 363C. 48D. 483二、填空题7.如图,E为▱ABCD的边AD上一点,将△ABE沿BE翻折,得到△FBE,点F在BD上,且EF=DF.若∠C=54∘,则∠ABE= °.8.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______ .9.如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF 的长为______．10.如图，四边形ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG＝________cm．11.如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ΔABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为7，ΔFCB的周长为23，则FC的长为．12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45 ∘，AD=2，E，H分别为边AB，CD上一点．将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，C为FG的中点，则EF的长度为__________．三、解答题13.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，连接DM．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△FDC≌△FEA（2）若AB=4，BC=6，求图中阴影部分的面积．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）若设AP＝x，试求CF的长（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．16.已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD´M，点D对应点为D´，AD´所在直线与边BC交于点P.（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；（2）如图2，当t为何值时，点D´恰好落在边BC上；（3）如图3，当t=3时，求CP的长.17.已知矩形ABCD，把△BCD沿BD翻折，得△BDG，BG，AD所在的直线交于点E，过点D作DF∥BE交BC所在直线于点F．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB=8，AD=4，求四边形BEDF的面积．18.如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=12，P为AD上一点，将▵ABP沿BP翻折至▵EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP=DG；（2）求线段AP的长．参考答案1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.49.58.4a+2b9.710.43−611.8.12.2-213.证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD 是菱形．14.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠E =∠B ，AB =AE ，∴AE =CD ，∠E =∠D ，在△AEF 与△CDF 中，∠E =∠D∠AFE =∠CFD AE =CD ，∴△AEF ≌△CDF （AAS ）；（2）∵AB =4，BC =6，∴CE =AD =6，AE =CD =AB =4，∵△AEF ≌△CDF ，∴AF =CF ，EF =DF ，∴DF 2+CD 2=CF 2，即DF 2+42=（6-DF ）2，∴DF =53，∴阴影部分的面积=S △ACD -S △CDF =12×4×6-12×4×53=263．15.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，由翻折的性质可知：∠E =∠A =90°，∴∠E =∠D ，在△ODP 和△OEF 中，∠D =∠EOD =OE ∠DOP =∠EOF，∴△ODP ≌△OEF （ASA ）．∴OP =OF ．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，∵△ODP ≌△OEF （ASA ），∴OP =OF ，OD =OE ．∴DF =EP ．∵AP =PE =DF =x ，∴CF =8-x ．（3）∵AD =BC =6，PA =PE =DF =x ，∴PD =EF =6-x ，CF =8-x ，BF =BE -EF =8-（6-x ）=2+x ，在Rt △FCB 根据勾股定理得：BC 2+CF 2=BF 2，即62+（8-x ）2=（x +2）2，解得：x =4.8，∴AP =4.8．16.证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ，∵折叠∴∠DAC =∠D 'AC∴∠ACB =∠D 'AC∴AP =PC（2）∵折叠∴AD =AD '=10cm ，DM =D 'M ，在Rt △ABD '中，BD '=AD′2−AB 2=8cm ，∴CD '=BC -BD '=10-8=2cm ，在Rt △D 'MC 中，D 'C 2+CM 2=D 'M 2，∴4+CM 2=（6-CM ）2，∴CM =83cm∴t =831=83（3）如图，连接MP ，∵t=3，∴CM=3cm，∴DM=CD-CM=3cm，∵折叠∴AD=AD'=10cm，DM=D'M∴D'M=CM，且MP=MP∴Rt△CMP≌Rt△D'MP（HL）∴CP=D'P在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∴36+（10-CP）2=（10+CP）2，cm.∴CP=91017.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC，根据题意可知△BCD≌△BDG，∴∠DBG=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，∵AD∥BC，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵DE=BE，∴四边形BEDF为菱形；（2）设菱形BEDF的边长为x，则AE=DE-AD=x-4，在Rt△AEB中，BE2=AE2+AB2，即x2=（x-4）2+82，解得x=10，∴菱形BEDF的面积=DE•AB=10×8=80．18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，∴AP=DG；（2）解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=16，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=12-x，DG=x，∴CG=16-x，BG=16-（12-x）=4+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即122+（16-x）2=（x+4）2，解得：x=9.6，∴AP=9.6，第11页，共11页。

中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）A．4B．3C．4D．82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20Ｂ．22Ｃ．24Ｄ．304.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD 上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A 落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（）A．60°B．67.5°C．72°D．75°5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2 B．36cm2C．38cm2 D．40cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿E F折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠B EG°．8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△P EQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC 上？为什么？11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C 重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ. 求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；(3)如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？17.（临安市）如图，△OAB 是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x 的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线B D折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.648.50°三、9. 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠OPE＋∠APB= 90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时，y 有最大值．由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c ，则∴y=．由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．10. 证明：（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE～△QAB.（2）∵△PBE～△QAB ，∴∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能叠在直线EC上.由（2）得，∠AE B＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合.11. 解：(1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连结AC，交EF于点K，则AK＝CK．∵AB∥CD，∴BH＝CD，BD＝CH．∵AD＝BC，∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB，∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．（2）解：由（1）得BH∥CD，EF∥BD，∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7，CD＝3，∴AH＝10．∵AE＝CE，AE＝EH，∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB，∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD，∠AEF＝∠ABD，∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：(1)由折纸过程知0＜5x＜26，,0＜x ＜.（2）图④为轴对称图形，∴A M ＝.即点M与点A的距离是（13－x）cm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝A D′，∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC，∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形．14. 解：（1）△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB，∴AN = BN.由折叠知AB = BN ，∴AN = AB = BN，∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =9 0°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP.在Rt△BNP中，BN = BA =a，∠PBN =30°，∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.（3）∵∠M′BC =60°，∴∠ABM′=90°－60°= 30°.在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(，2). 代入y=kx中，得k== .设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD 内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′，∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中，A′H =A′B =1 ，BH=，∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解：(1)如图.等腰三角形DAC.16.（1）证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB，∴△PBE∽△QAB.（2）∵△PBE∽△QAB，∴. ∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能折叠在直线EC上.由（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE 重合.17. 解：（1）由已知可得∠A'OE=60o , A'E= AE.由A′E//x轴,得△OA'E是直角三角形.设A′的坐标为（0，b），则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是（0，1）与（，1）.（2）因为A'、E在抛物线上，所以所以函数关系式为y =.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（，0）.（3）不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10（1），重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴，即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0＜x≤3）.②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图10（2），重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x, A'H＝A'F－FH＝x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.（2）当0＜x≤3时，y的最大值；当3＜x＜6时，由,可知当x=4时，y的最大值y2=9.∵y1＜y2，∴当x=4时，y有最大值y最大＝9．19. 证明：（1）能正确说明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）,∴BF=DF.（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BD A）,∴AE∥BD.。

特殊四边形相关的折叠问题 一、选择题1. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）A. 53B. 35C. 43D.343．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A.3B. 4C. 5D.6二、填空题4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________．5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为_______.三、解答题7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O.求证：OA=OE8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形（2）若BE 平分∠ABC ，求证：222BE AE AB +=9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。

图形的对称-翻折变换（折叠问题）一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．122．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：213．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：85．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．68．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2411．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+515．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．1918．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．220．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．623．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1226．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1227．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.529．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）A．B．C．2 D．1图形的对称-翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2C．2D．12【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6﹣x，∴CE=6﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===2，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD=BD，EA=EB，∴BD=AB=5，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣x=8﹣=，∴S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，∴ED==，∴S△BDE=BD•DE=×5×=，∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．故选B．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE 的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠3，④正确；∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，③正确．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．【解答】解：∵∠AED′=40°，∴∠DED′=180°﹣40°=140°，又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，∴∠DEF=70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB=70°．故选：A．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．【解答】解：∵矩形ABCD，∴BC∥AD，∴∠1=∠CFE=60°，∵EF为折痕，∴∠2=∠1=60°，AE=EC，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，∴EC=2×DE=2×1=2，∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．故选：A．【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF的长是．故选C．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，∴BM=2BF，∵∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，易得△CEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：x=．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故选：B．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，∴OA′=A′B﹣OB=2，∵∠A′OC=∠AOB=90°，∴△A′OC∽△AOB，∴，即，解得：OC=，∴点C的坐标为：（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．故选C．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，∴DE=DO，AO=AE=10，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴EB===6，∴EC=4，设DO=DE=x，在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（8﹣a）2+42=a2，∴a=5，∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，∴解得，∴直线DE为：y=+5．故选A．【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，∴∠B=∠BFD，∴BD=DF，∴AD=BD，同理：AE=EC，∴DE=BC，即BC=2DE=4．故选B．【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B 正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，∴AE=CD，AD=CE，∵点B、A、E在同一条直线上，∴AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；∵BC=CE，∴△BCE是等腰三角形，∵四边形ACDE是矩形，∴AF=EF=CF=DF，∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，∴BC=8，∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴DE∥AB，∴DE=AB=3，AE=AC=5，∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，故选C．【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG 即可；【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，解得x=4∴BG=4．故选B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，∴AE=EC，AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=6cm，∴AC=AE+EC=6+6=12，∵△ABC的周长为36cm，∴AB+BC=36﹣12=24cm，∴△ABD的周长是24cm．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC=，∴FD=FE，∵DC=AB=8，AF=，∴FD=FE=8﹣=，∴AD=BC=EC==6，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．【解答】解：由勾股定理得：==10，由题意得：△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；∠AED=∠C=90°，∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；由勾股定理得：（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B．【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴AB==，由折叠的性质可得：AE=AB=，∴CE=AE﹣AC=．故选A．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，故选B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：。

01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF AF ＝FH EF，即EF 2＝FH ·AF ， 又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ； (3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ， 解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴ECDF＝DEAF，即EC25＝810，∴EC＝855，∴BE＝BC－EC＝1255.02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8.(1)求证：AF＝EF；(2)求证：BF平分∠ABD.证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵△BED是△BCD对折得到的，∴ED＝CD，∠E＝∠C，∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分)又∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS)，∴AF＝EF；(4分)(2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8，∴sin∠CBD＝DCBD＝12，∴∠CBD＝30°，(5分)∴∠EBD＝∠CBD＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga r中考数学折叠专项训练试题附参考答案一．选择题（共9小题）1．（2013•贵港）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，∠EBC 的平分线交CD 于点F ，将△DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论：①DF=CF ；②BF ⊥EN ；③△BEN 是等边三角形；④S △BEF =3S △DEF ．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）　A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF ；易求得∠BFE=∠BFN ，则可得BF ⊥EN ；易证得△BEN 是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE ，即可得EB=3EM ，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF ，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM ⊥BE ，CF ⊥BC ，∵BF 平分∠EBC ，∴CF=MF ，∴DF=CF ；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF ，∠BFC=90°﹣∠CBF ，∴∠BFM=∠BFC ，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN ，∴∠BFE=∠BFN ，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF ⊥EN ，故②正确；∵在△DEF 和△CNF 中，，e an dAl l b ei n ga re ∴△DEF ≌△CNF （ASA ），∴EF=FN ，∴BE=BN ，但无法求得△BEN 各角的度数，∴△BEN 不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC ，BM ⊥FM ，BC ⊥CF ，∴BM=BC=AD=2DE=2EM ，∴BE=3EM ，∴S △BEF =3S △EMF =3S △DEF ；故④正确．故选B ．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．　2．如图，将矩形ABCD 的一个角翻折，使得点D 恰好落在BC 边上的点G 处，折痕为EF ，若EB 为∠AEG 的平分线，EF 和BC 的延长线交于点H ．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH ；③BE=EF ；④△BEG 和△HEG 的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（ ）　A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE ≠CH ；③无法证明BE=EF ；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG 和△HEG 的面积相等；e an dAl l t h i ne i rb ei n g⑤过E 点作EK ⊥BC ，垂足为K ．在RT △EKG 中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF ，∵EB 为∠AEG 的平分线，∴∠AEB=∠GEB ，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF ∽△HCF ，DF ＞CF ，故DE ≠CH ，故错误；③只可证△EDF ∽△BAE ，无法证明BE=EF ，故错误；④可证△GEB ，△GEH 是等腰三角形，则G 是BH 边的中线，∴△BEG 和△HEG 的面积相等，故正确；⑤过E 点作EK ⊥BC ，垂足为K ．设BK=x ，AB=y ，则有y 2+（2y ﹣2x ）2=（2y ﹣x ）2，解得x 1=y （不合题意舍去），x 2=y ．则，故正确．故正确的有3个．故选B ．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．　3．（2012•遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ ）　A ．3B ．2C ．2D ．2考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，易证得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN ，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得BC 的长．解答：解：过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME 是矩形，t h i ng si nt he i ∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM ，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG ≌△BNM （AAS ），∴NG=NM ，∴CM=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=ED=BM=CM ，∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF ，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG ﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B ．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．　4．如图，两个正方形ABCD 和AEFG 共顶点A ，连BE ，DG ，CF ，AE ，BG ，K ，M 分别为DG 和CF 的中点，KA 的延长线交BE 于H ，MN ⊥BE 于N ．则下列结论：①BG=DE 且BG ⊥DE ；②△ADG 和△ABE 的面积相等；③BN=EN ，④四边形AKMN 为平行四边形．其中正确的是（ ）　A ．③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．解答：解：由两个正方形的性质易证△AED ≌△AGB ，∴BG=DE ，∠ADE=∠ABG ，∴可得BG 与DE 相交的角为90°，∴BG ⊥DE ．①正确；如图，延长AK ，使AK=KQ ，连接DQ 、QG ，∴四边形ADQG 是平行四边形；作CW ⊥BE 于点W ，FJ ⊥BE 于点J ，∴四边形CWJF 是直角梯形；∵AB=DA ，AE=DQ ，∠BAE=∠ADQ ，∴△ABE ≌△DAQ ，∴∠ABE=∠DAQ ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH 是直角三角形．易证：△CWB ≌△BHA ，△EJF ≌△AHE ；∴WB=AH ，AH=EJ ，∴WB=EJ ，又WN=NJ ，∴WN ﹣WB=NJ ﹣EJ ，∴BN=NE ，③正确；∵MN 是梯形WGFC 的中位线，WB=BE=BH+HE ，∴MN=（CW+FJ ）=WC=（BH+HE ）=BE ；易证：△ABE ≌△DAQ （SAS ），∴AK=AQ=BE ，∴MN ∥AK 且MN=AK ；四边形AKMN 为平行四边形，④正确．S △ABE =S △ADQ =S △ADG =S ▱ADQG ，②正确．所以，①②③④都正确；故选D ．e an dAl l th i ng si nt he i rgo od fo rs o 点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．　5．（2012•资阳）如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，NC=，则四边形MABN 的面积是（ ）　A ．B ．C ．D ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先连接CD ，交MN 于E ，由将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D 处，即可得MN ⊥CD ，且CE=DE ，又由MN ∥AB ，易得△CMN ∽△CAB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN 的面积．解答：解：连接CD ，交MN 于E ，∵将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，∴MN ⊥CD ，且CE=DE ，∴CD=2CE ，∵MN ∥AB ，∴CD ⊥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴，e an dAl l t h i ng sa re go o∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S △CMN =CM •CN=×6×2=6，∴S △CAB =4S △CMN =4×6=24，∴S 四边形MABN =S △CAB ﹣S △CMN =24﹣6=18．故选C ．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．　6．如图，D 是△ABC 的AC 边上一点，AB=AC ，BD=BC ，将△BCD 沿BD 折叠，顶点C 恰好落在AB 边的C ′处，则∠A ′的大小是（ ）　A ．40°B ．36°C ．32°D ．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D ，根据AB=AC ，BD=BC ，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC ，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D ，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D ，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A 的大小．解答：解：连接C'D ，∵AB=AC ，BD=BC ，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC ，∵△BCD 沿BD 折叠，顶点C 恰好落在AB 边的C ′处，∴∠BCD=∠BC'D ，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D ，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，e an dAl l t h i ng si nga re go od fo r∴∠A=180°﹣∠ABC ﹣∠ACB=36°．故选B ．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D ，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．　7．（2012•舟山）如图，已知△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得△AB ′D ，则△ABC 与△AB ′D 重叠部分的面积为（ ）　A ．B ．C ．3﹣D ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点D 作DE ⊥AB ′于点E ，过点C 作CF ⊥AB ，由△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC 的长，又由折叠的性质，易得∠CDB ′=90°，∠B ′=30°，B ′C=AB ′﹣AC=2﹣2，继而求得CD 与B ′D 的长，然后求得高DE 的长，继而求得答案．解答：解：过点D 作DE ⊥AB ′于点E ，过点C 作CF ⊥AB ，∵△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC ，∴AF=AB=，∴AC===2，e an dAl t h he i rb ei n ga re go o由折叠的性质得：AB ′=AB=2，∠B ′=∠B=30°，∵∠B ′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB ′=90°，∵B ′C=AB ′﹣AC=2﹣2，∴CD=B ′C=﹣1，B ′D=B ′C •cos ∠B ′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，∴S 阴影=AC •DE=×2×=．故选A ．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．　8．（2013•定海区模拟）如图，已知△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折，使AB 与AC 重合，得△AED ，则BD 的长度为（ ）　A ．B ．C ．D ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF ⊥AB 于点F ，利用三线合一定理即可求得BF 的长，然后证明△CDE 是直角三角形，BD=x ，则CD=DE=2﹣x ，利用三角函数即可得到关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：作CF ⊥AB 于点F ．∵∠CAB=∠B ∴AC=BC ，∴BF=AB=，e an dAl l t h i nei n ga re 在直角△BCF 中，BC==2，在△CDE 中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD ，∴∠CDE=90°，设BD=x ，则CD=DE=2﹣x ，在直角△CDE 中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故选B ．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．　9．（2013•绥化）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=，BC=1，D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么△ABE 的面积是（ ）　A ．1B ．C ．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE ，由于AD ⊥ED 得BC ∥DE ，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt △BCF 中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt △DEF 中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S △ABE =S △ABD +S △BED +S △ADE =2S △ABD +S △ADE 计算即可．nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 11解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°，∵△ADB 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E 处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE ，∵AD ⊥ED ，∴BC ∥DE ，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt △BCF 中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt △DEF 中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S △ABE =S △ABD +S △BED +S △ADE=2S △ABD +S △ADE=2×BC •AD+AD •ED =2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A ．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。

【2019年中考数学几何变形题归类辅导】专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（3）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．下载后可编辑可打印（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ， ∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ， 在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2， ∴62+（8-x ）2=x 2， ∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74． 故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可． ∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2， ∴x=32，∴DT =√32+(32)2=32√5，∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ， ∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6， ∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32． 【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ； （3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（4）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴，∴，即∴PC=1． 4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ；（2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '，①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得AP AC =AD AB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB 两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，∴∠ADP '＝∠ADP ，∵AE ∥PD ，∴∠EAD ＝∠ADP ，∴∠EAD ＝∠ADP '，∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD ∽△ACB ，∴AP AC =AD AB ，∵旋转，∴AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，∴∠P 'AC ＝∠D 'AB ，AP′AC =AD′AB ，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM＝176，∴点D'到直线BC的距离为176若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ，∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）-综合题专训及答案翻折变换（折叠问题）综合题专训1、(2016连云港.中考真卷) 我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．问题思考：（1）如图1，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由；（2）如图2，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B．小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；问题拓展：（3）如图3，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程；（4）如图4，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM．设光线出发时与射线PM的夹角为θ（0°＜θ＜180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM、ON足够长）2、(2017磴口.中考模拟) 如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C 落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．3、(2017吉林.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE 沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．（1）求证：FG=BG；（2）若AB=6，BC=4，求DG的长．4、(2019吴兴.中考模拟) 定义：长宽比为：为正整数的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：过点G作CD∥AB，使点D、点C分别落在边AF，BE上.则四边形ABCD 为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，，连接求的值；连结AC，CM，当△AMC为等腰三角形时，将△CBM沿着CM翻折，点B的对称点为B’,连结AB’求的值.5、(2018龙湾.中考模拟) 如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB 沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：AC=CD；（2）已知tanE= ，AC=2，求⊙O的半径．6、(2016江西.中考真卷) 解方程组与证明（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．7、(2016郓城.中考模拟) 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．8、(2018荆州.中考真卷) 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．（1）求证：△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．9、(2018柳州.中考模拟) 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．（1）求∠2、∠3的度数；（2）求长方形纸片ABCD的面积S．10、(2019仁寿.中考模拟) （本小题满分9分）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP 沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC 于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若，求的值．11、(2016贵阳.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．12、(2011遵义.中考真卷) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．13、(2020拱墅.中考模拟) 如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H 点．（1）求证：△ABE∽△DEG．（2）若AB=3，BC=5①点E在移动的过程中，求DG的最大值②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．14、(2020.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B 恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2） P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m.①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；②是否存在点P，使S△A′MN = S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由.15、(2020湖州.中考真卷) 已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B 沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E.（1）特例感知：如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异：如图2，若∠C＝90°，m＝，AD＝7，过点D作DH⊥AC 于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究：如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.翻折变换（折叠问题）综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形专题二 特殊四边形中的折叠问题【专题说明】特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.【类型】一、菱形中的折叠问题【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB ＝5，BD ＝8，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．6C ．3 D.32【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 的中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.若∠A ＝60°，则∠DEC 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【精典例题】3、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB′E ，AB′与CD 边交于点F ，则B′F 的长度为( )A ．1 B. 2 C ．2－ 2 D ．22－2【精典例题】4、菱形ABCD 的边长是4，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别在边AD ，AB 上，且MN ⊥AC ，垂足为P ，把△AMN 沿MN 折叠得到△A′MN ，若△A′DC 恰为等腰三角形，则AP 的长为_________________【类型】二、正方形中的折叠问题【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( )A．4 B．2 3 C．2 2 D．2【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________【精典例题】7、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.【类型】三、矩形中的折叠问题【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC的面积为( )A．14 B．12 C．10 D．8【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．2【精典例题】11、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝_____.【精典例题】12、如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于____．【精典例题】14、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．【精典例题】15、在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C 翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【精典例题】16、如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，将它沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.(1)如图②，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE；(2)如图③，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.【精典例题】17、如图，矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．(1)求证：四边形BEFG是平行四边形；(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．【精典例题】18、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.【精典例题】19、如图①，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，如图②，沿EF 折叠，使点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时点B 恰好落在DE 上的点H 处．(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形专题二 特殊四边形中的折叠问题【专题说明】特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.【类型】一、菱形中的折叠问题【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB ＝5，BD ＝8，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．6C ．3 D.321. C【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 的中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.若∠A ＝60°，则∠DEC 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2. D在直线翻折得△AB′E ，AB′与CD 边交于点F ，则B′F 的长度为( )A ．1 B. 2 C ．2－ 2 D ．22－23. C足为P ，把△AMN 沿MN 折叠得到△A′MN ，若△A′DC 恰为等腰三角形，则AP 的长为_________________4【类型】二、正方形中的折叠问题【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( )A．4 B．2 3 C．2 2 D．2【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________6. 16或45AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm8. C【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC 的面积为( )A．14 B．12 C．10 D．8【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．210. A知△DGH＝30°，连接BG，则△AGB＝_____.11. 75°沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，△GFP＝62°，那么△EHF的度数等于____．13. 56°的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；△把纸片展开并铺平；△把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．14. 解：设AD＝x，则AB＝x＋2.翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.(1)如图△，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE；(2)如图△，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.【精典例题】17、如图，矩形A1111111沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．(1)求证：四边形BEFG是平行四边形；(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE△BD.18. 证明：(1)由折叠的性质可知，△FBD ＝△CBD ，△AD△BC ，△△FDB ＝△CBD ，△△FBD ＝△FDB ，△BF 【精典例题】19、如图△，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，如图△，沿EF 折叠，使点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时点B 恰好落在DE 上的点H 处．(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．19. 解：(1)由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH.△四边形ABCD 是矩形，△AD ＝BC.△EG ＝CH(2)△△ADE ＝45°，△FGE ＝△A ＝90°，AF ＝2，△DG ＝2，DF ＝2.△AD ＝2＋ 2.如图，由折叠知，△1＝△2，△3＝△4，△△2＋△4＝90°，△1＋△3＝90°.△△1＋△AFE ＝90°，△△3＝△AFE.又△△A ＝△B ＝90°，由(1)知，AE ＝BC ，△△EFA△△CEB.△AF ＝BE.△AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋22【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3△1，求MN DN的值．。

中考专题33 中考专题几何折叠翻折类问题1.轴对称(折痕)的性质：(1)成轴对称的两个图形全等。

(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

(3)对应点到对称轴的距离相等。

(4)对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小；(2)求线段长度；(3)求面积；(4)其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

【经典例题1】(2020年•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°【标准答案】A【答案剖析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.（德州市）如图.四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠.使点B恰好落在CD边的中点E处.折痕为AF．若CD＝6.则AF等于（）A．4B．3C．4D．82.（江西省）如图.将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠.使点C落在C′处.BC′交AD于E.若∠DBC＝22.5°.则在不添加任何辅助线的情况下.图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3.（乐山市）如图.把矩形纸条ABCD沿EF.GH同时折叠.B.C两点恰好落在AD边的P点处.若∠FPH＝90°.PF＝8.PH＝6.则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20 Ｂ．22Ｃ．24 Ｄ．304.（绵阳市）当身边没有量角器时.怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图.已知矩形ABCD.我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕.折叠纸片.使点B落在AD上.折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后.再一次折叠纸片.以E所在直线为折痕.使点A落在BC 上.折痕EF交AD于F．则∠AFE =（）A．60° B．67.5° C．72° D．7 5°5. （绍兴市）学习了平行线后.小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法.她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）.从图中可知.小敏画平行线的依据有（）①两直线平行.同位角相等；②两直线平行.内错角相等；③同位角相等.两直线平行； ④内错角相等.两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6.（贵阳市）如图6-1所示.将长为20cm.宽为2cm 的长方形白纸条.折成图6-2所示的图形并在其一面着色.则着色部分的面积为（ ）A ．34cm2B ．36cm2C ．38cm2D ．40cm2二、填空题7.（成都市）如图.把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后.点C.D 分别落在C′.D′的位置上.EC′交AD 于点G ．已知∠EFG ＝58°.那么∠BEG °．8. （苏州市）如图.将纸片△ABC 沿DE 折叠.点A 落在点A′处.已知∠1+∠2=100°.则∠A 的大小等于____________度．三、解答题9.（荆门市）如图1.在平面直角坐标系中.有一张矩形纸片OABC.已知O(0.0).A(4.0).C(0.3).点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折.得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E.将△POE 沿PE 翻折.得到△PFE.并使直线PD 、PF 重合．设P(x.0).E(0.y).求y 关于x 的函数关系式.并求y 的最大值；如图2.若翻折后点D 落在BC 边上.求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下.在该抛物线上是否存在点Q.使△PEQ 是以PE为直角边的直角三角形？若不存在.说明理由；若存在.求出点Q的坐标．10. （济宁市）如图.先把一矩形ABCD纸片对折.设折痕为MN.再把B点叠在折痕线上.得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上.得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明.如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片.点A是否能叠在直线EC上？为什么？11.（威海市）如图.四边形ABCD为一梯形纸片.AB∥CD.AD＝BC．翻折纸片ABCD.使点A与点C重合.折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7.CD＝3.求线段EF的长．12. （烟台市）生活中.有人喜欢把传送的便条折成形状.折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm.宽为xcm.分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P).试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状.而且为了美观.希望纸条两端超出点P的长度相等.即最终图形是轴对称图形.试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠.使点C与A重合.点D落到D′处.折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF.判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中.有一个数学活动.其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD.使AD与BC重合.得到折痕EF.把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片.使点A落在EF上.并使折痕经过点B.得到折痕BM.同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2.若延长MN交BC于P.△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中.若AB=a.BC=b.a、b满足什么关系.才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2.BC=4.并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx.当∠M′BC=60°时.求k的值.此时.将△ABM′沿B M′折叠.点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图①.△ABC中.∠ACB=90°.将△ABC沿着一条直线折叠后.使点A与点C重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E.连结CD．（画图工具不限.不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图.先把一矩形ABCD纸片对折.设折痕为MN.再把B点叠在折痕线上.得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上.得折痕PQ. 求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明.如补相似请说明理由；(3)如果直线EB折叠纸片.点A是否能叠在直线EC上？为什么？17.（临安市）如图.△OAB 是边长为的等边三角形.其中O是坐标原点.顶点B在y轴正方向上.将△OAB 折叠.使点A落在边OB上.记为A′.折痕为EF.（1）当A′E//x轴时.求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴.且抛物线经过点A′和E时.求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动.但不与点O、B重合时.能否使△A′EF成为直角三角形？若能.请求出此时点A′的坐标；若不能.请你说明理由.18.（南宁市）如图.在锐角△ABC中.BC=9.AH⊥BC于点H.且AH=6.点D为AB边上的任意一点.过点D作DE∥BC.交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6）.以DE为折线将△ADE翻折.所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y （点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时.y与x 的函数关系式；（2）当x取何值时.y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图.将矩形纸片ABCD沿对角线BD 折叠.点C落在点E处.BE交AD于点F.连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.64 8.50°三、9. 解：(1)由已知PB平分∠APD.PE平分∠OPF.且PD、PF重合.则∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°.∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时.y 有最大值．由已知.△PAB、△POE均为等腰直角三角形.可得P(1.0).E(0.1).B(4.3)．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c.则∴y=．由(2)知∠EPB=90°.即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1.与y轴交于点(0.－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0.1).∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5.6)．故该抛物线上存在两点Q(4.3)、(5.6)满足条件．10. 证明：（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°.∠PBE＋∠PEB＝90°.∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°.∴△PBE～△QAB. （2）∵△PBE～△QAB.∴∵B Q＝P B.∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°.∴△PBE～△BAE.（3）点A能叠在直线EC上.由（2）得.∠AEB ＝∠CEB.∴EC和折痕AE重合.11. 解：(1）证明：过C点作CH∥BD.交AB的延长线于点H；连结AC.交EF于点K.则AK＝CK．∵AB∥CD.∴BH＝CD.BD＝CH．∵AD＝BC.∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB.∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．（2）解：由（1）得BH∥CD.EF∥BD.∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7.CD＝3. ∴AH＝10．∵AE＝CE.AE＝EH.∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB.∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD.∠AEF＝∠ABD.∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：(1)由折纸过程知0＜5x＜26.,0＜x＜.（2）图④为轴对称图形.∴A M＝.即点M与点A的距离是（13－x）cm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′.CD＝A D′.∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.AB＝CD.∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′.AB＝AD′.∠D′AE＝∠BAD.即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC.∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC. ∴AF＝EC．又∵AF∥EC.∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE.∴四边形AECF是菱形．14. 解：（1）△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB.∴AN = BN.由折叠知 AB = BN .∴AN = AB = BN. ∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°.∠BNM =∠A =90°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP.则B C ≥BP.在Rt△BNP中. BN = BA =a.∠PBN =30°. ∴BP =.∴b≥.∴a≤b .∴当a≤b时.在矩形上能剪出这样的等边△BMP.（3）∵∠M′BC =60°. ∴∠ABM′=90°－60°=30°.在Rt△ABM′中.tan ∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(.2). 代入y=kx中 .得k== .设△ABM′沿BM′折叠后.点A落在矩形ABCD内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′. ∴∠A′BM′=∠AB M′=30°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中.A′H =A′B =1.BH= .∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解：(1)如图.等腰三角形DAC.16.（1）证明：∵∠PBE ＋∠ABQ ＝180°-90°＝90°.∠PBE ＋∠PEB ＝90°.∴∠ABQ ＝∠PEB.又∵∠BPE ＝∠AQB.∴△PBE ∽△QAB.（2）∵△PBE ∽△QAB.∴.∵BQ ＝PB.∴.又∵∠ABE ＝∠BPE ＝90°.∴△PBE ～△BAE.（3）点A 能折叠在直线EC 上.由（2）得.∠AEB ＝∠CEB.∴EC 和折痕AE 重合.17. 解：（1）由已知可得∠A'OE=60o , A'E=A E.由A′E//x 轴,得△OA'E 是直角三角形.设A′的坐标为（0.b ）.则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E 的坐标分别是（0.1）与（.1）.（2）因为A'、E 在抛物线上.所以所以 函数关系式为y=.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是（-.0）与（.0）.（3）不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线.O与A重合.与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：（1）①当0＜x≤3时.由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10（1）.重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B.∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴.即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0＜x≤3）.②当3＜x＜6时.由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外.如图10（2）.重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x,A'H＝A'F－FH＝x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.（2）当0＜x≤3时.y的最大值；当3＜x＜6时.由,可知当x=4时.y的最大值y2=9.∵y1＜y2.∴当x=4时.y有最大值y最大＝9．19. 证明：（1）能正确说明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）,∴BF=DF.（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BDA）,∴AE∥BD.。

2022年中考数学专题复习：折叠题1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有以下四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是〔〕A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF〔ASA〕，∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．应选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，假设EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．以下结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤假设，那么．以上命题，正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，那么G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，那么有y2+〔2y﹣2x〕2=〔2y﹣x〕2，解得x1=y〔不合题意舍去〕，x2=y．那么，故正确．故正确的有3个．应选B．点评：此题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答此题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为〔〕A．3B．2C．2D．2解答：解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM〔AAS〕，∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．应选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．那么以下结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG 和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的选项是〔〕A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=〔CW+FJ〕=WC=〔BH+HE〕=BE；易证：△ABE≌△DAQ〔SAS〕，∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；应选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是〔〕A．B．C．D．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．应选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，那么∠A′的大小是〔〕A．40°B．36°C．32°D．30°解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．应选B．点评：此题考查了折叠的性质，解答此题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意此题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB 与AC重合，得△AB′D，那么△ABC与△AB′D重叠局部的面积为〔〕A．B．C．3﹣D．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=〔2﹣2〕×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC•DE=×2×=．应选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，那么BD的长度为〔〕A．B．C．D．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，那么CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．应选B．点评：此题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是〔〕A．1 B．C．D．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC•AD+AD•ED=2××1×〔﹣1〕+×〔﹣1〕〔﹣1〕=1．应选A．点评：此题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E ＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD 折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE 翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C 交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD ＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝ 2 ．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为 6 ．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96 ．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

折叠问题(一)正方形内的十字架结构结论1：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，则GH=EF【例1】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F 在AD边，求折痕FG的长；【变式2】如图,将边长为的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN.(1)求线段CN的长;(2)求以线段MN为边长的正方形的面积;(3)求线段AM的长度.（二）折痕垂直于对称点的连线结论：折痕上的点到对应点距离相等【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形折叠使得点D 与BC 上的点E 重合，折痕分别交AB 、CD 于点G 、F ，若BE=1，求AG 的长．【变式1】如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B'处,点A 对应点为A',且,则AM 的长是______________．【变式2】（2016年山东威海中考题）如图,在矩形ABCD 中,4AB = ,6BC = ,点E 为BC 的中点,将ABE ∆沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF ,则CF 的长为( )A.95 B.125 C.165 D.185(三) 折叠中动点轨迹与最值【例3】(2015四川自贡)如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，6AD = ，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将EBF ∆沿EF 所在直线折叠得到'EB F ∆，连接'B D ，则'B D 的最小值是（ ）。

A. 2B. 6C. 2-D.4【变式】（2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆ 沿MN 所在直线翻折得到'A MN ∆，连接'A C ，则'A C 长度的最小值是_____ 。