常考压轴08 折叠问题-2020年中考数学特训营(解析版)

【2020年中考数学填选重点题型突破】专题九：折叠压轴问题【备考指南】折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题.考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果.折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加顺畅，简洁！【典例引领】例1：（2020·淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝5cm．【答案】5【解析】连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN=12AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10（cm），∴MN=12AC＝5（cm），故答案为5．变式训练1：（2020•呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（）A．6+10B．6+5C．3+10D．3+5【答案】D【解析】∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，∴∠A′PE＝∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2＝8：2，∴A′P：D′H＝2：1，∵A′P＝x，∴D′H＝x，∵S△D′PH＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，∴x＝（负根舍弃），∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，∴PE＝，PH＝，∴AD＝＝，即矩形ABCD的长为，故选：D．变式训练2：（2020·威海）如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2．分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝acm（AE＞BE），连接EF，FG，GH，HE．分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形A1B1C1D1．若四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，则a＝4．【答案】4【分析】根据正方形的面积可得正方形的边长为5，根据正方形的面积和折叠的性质和面积的和差关系可得8个三角形的面积，进而得到1个三角形的面积，再根据三角形面积公式即可求解．【解析】：∵四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2，∴正方形纸片的边长为5cm，∵AE＝BF＝CG＝DH＝acm，∴BE＝（5﹣a）cm，∴AH＝（5﹣a）cm，∵四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，∴三角形AEH的面积为（25﹣9）÷8＝2（cm2），12a （5﹣a ）＝2，解得a 1＝1（舍去），a 2＝4． 故答案为：4．例2：（2020·盐城）如图，已知点()5,2,54()(),81A B C ，，，直线l x ⊥轴，垂足为点0(),M m ，其中52m <，若A B C '''与ABC 关于直线l 对称，且A B C '''有两个顶点在函数(0)ky k x=≠的图像上，则k 的值为: ．【答案】－6或－4，解析：本题考查了轴对称图形、反比例函数、分类讨论的思想、待定系数法等知识， 先用含有m 的代数式表示各对称点的坐标，当各对称点在第一象限时， 由图像可知不存，所以各对称点在第二象限内， 当反比例函数图像经过B'和C' 时求出一解， 当反比例函数图像经过A'和C' 时求出一解， 所以，本题答案－6或－4．变式训练：（2020·镇江）如图1， AB =5 ，射线 AM//BN ，点 C 在射线 BN 上，将 △ABC 沿 AC 所在直线翻折，点 B 的对应点 D 落在射线 BN 上，点 P 、Q 分别在射线 AM 、BN 上， PQ//AB ． 设 AP =x,QD =y ．若 y 关于 x 的函数图像（如图2）经过点 E(9,2) ，则 cosB 的值等于( )A．25B．12C．35D．710【答案】D【解析】本题考查的是几何综合题，由图2可知当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，∵AM∥BN，PQ∥AB，所以四边形APQB为平行四边形，又点B与点D关于AC对称，所以BC＝CD，所以求求得BC＝3．5，由于AB＝5，∠ACB＝90°，∴cosB＝BCAB＝710．例3：如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，则折痕EF的长．【答案】【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O′，连接O′O、O′D、OE，O′O与EF交于点M，根据相交圆的性质就可以得出O′O与EF互相垂直平分，由勾股定理就可以求出OO′和EM的值，从而得出结论．【解答】解：设折叠后的圆弧所对圆心为O′，连接O′O、O′D、OE，O′O与EF交于点M，∴O′O与EF互相垂直平分．∴OM＝OO′，EF＝2EM．∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE＝2．∵AD：DB＝3：1，∴DB＝AB＝1，∴OD＝1∴O′O＝＝＝，∴OM＝∴EM＝＝＝∴EF＝2EM＝，即折痕EF的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键．变式训练1：如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC 切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（）A．B．C．2+D．1+【答案】D【分析】作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．首先证明CH是⊙O的直径，△ACH，△BDH 都是等腰直角三角形，再证明∠ACD＝∠CHB＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH＝90°，∴∠ABD＝∠ABH＝45°，∴∠AHC＝∠ABC＝45°，∴∠ACH＝∠AHC＝45°，∴AC＝AH，∵OC＝OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC＝DH，∴∠DCH＝∠DHC，∵BD＝BH，∴∠BDH＝∠BHD＝45°，∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，∴∠DCH＝22.5°，∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，故选：D．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH是直径，△ACH，△BDH都是等腰直角三角形．【强化训练】1.（2020青海）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①①的方式沿虚线依次对折后，再沿图①中的虚线裁剪，最后将图①中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）【答案】A 【解析】 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论． 故选A ．【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．2.（2020·泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 的坐标分别为A （0，3），B （—1，1），C （3，1）．△A'B'C'是△ABC 关于x 轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M ，则点M 的坐标为___________．【答案】（—2，1）【解析】本题考查了图形的变换与点的坐标， 直接按照条件要求画出图形变换后的图形位置， 并确定其坐标为（—2，1）， 因此本题答案为（—2，1）．3.（2020湖南邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：（第14题）（1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处，（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1DPM ∠的大小是（ ）A. 135°B. 120°C. 112.5°D. 115°【答案】C 【解析】 【分析】由折叠前后对应角相等且190∠=PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠=，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠=MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM 中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：①折叠，且190∠=PMA ， ①145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠=， ①折叠，①1122.52∠=∠=∠=∠=MDP ADP PDM ADM ， ①在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--=DPM ， 故选：C ．【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．4.（2020山东枣庄）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3，点E 在边BC 上，将①ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若①EAC=①ECA ，则AC 的长是（ ）A.B. 6C. 4D. 5【答案】B 【解析】①将①ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处， ①AF=AB ，①AFE=①B=90°， ①EF①AC ， ①①EAC=①ECA ， ①AE=CE ， ①AF=CF ， ①AC=2AB=6， 故选B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质等，得到EF 垂直平分AC 是解题的关键．5.（2020湖北武汉）.如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．【答案】211144t t -+ 【解析】 【分析】首先根据题意可以设DE =EM =x ，在三角形AEM 中用勾股定理进一步可以用t 表示出x ，再可以设CF =y ，连接MF ，所以BF =2−y ，在三角形MFN 与三角形MFB 中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t 表示出y ，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.【详解】设DE =EM =x ，①222(2)x x t =-+，①x =244t + ， 设CF =y ，连接FM ，①BF =2−y ，又①FN = y ，NM =1，①22221(2)(1)y y t +=-+-，①y =2244t t -+， ①四边形CDEF 的面积为：1()2x y CD +=221424()244t t t +-++∙1， 故答案为：211144t t -+. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.6.（2020山东青岛）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）A. B. C. D.【解析】【分析】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案．【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠=矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒,CFO AEO ∴∠=∠,AFO AEO ∴∠=∠5,AE AF CF ∴===3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴==由对折得：12OA OC AC === 故选C ．【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．7.（2020湖北咸宁）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =E 是BC 的中点，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ECF ∠的值为（ ）A. 23B.C.D.【解析】【分析】根据折叠的性质得到①AEB=①AEF ，再根据点E 是BC 中点可得EF=EC ，可得①EFC=①ECF ，从而推出①ECF=①AEB ，求出cos AEB ∠即可得到结果.【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF ，①AEB=①AEF ，①点E 是BC 中点，BC =①①EFC=①ECF ，3=，①①BEF=①AEB+①AEF=①EFC+①ECF ，①①ECF=①AEB ，①cos ECF ∠=cos AEB ∠=BE AE = 故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到①ECF=①AEB.8.（2020贵州黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，已知BC ＝2，则线段EG 的长度为 ．【答案】【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出①2＝①4，再利用平行线的性质得出①1＝①2＝①3，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：①1＝①2，AN ＝MN ，①MGA ＝90°，则NG ＝AM ，故AN ＝NG ，①①2＝①4，①EF①AB，①①4＝①3，①①1＝①2＝①3＝①4＝×90°＝30°，①四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，①AE＝AD＝BC＝1，①AG＝2，①EG＝＝，故答案为：．9.（2020山东滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC ＝5，EN＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．解：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故选：B．10.（2020浙江杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把①BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝2，BE＝﹣1．【答案】2，﹣1【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，①ADC＝①B＝①DAE＝90°，根据折叠的性质得到CF＝BC，①CFE ＝①B＝90°，EF＝BE，根据全等三角形的性质得到DF＝AE＝2；根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：①四边形ABCD是矩形，①AD＝BC，①ADC＝①B＝①DAE＝90°，①把①BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，①CF＝BC，①CFE＝①B＝90°，EF＝BE，①CF＝AD，①CFD＝90°，①①ADE +①CDF ＝①CDF +①DCF ＝90°，①①ADF ＝①DCF ，①①ADE ①①FCD （ASA ），①DF ＝AE ＝2；①①AFE ＝①CFD ＝90°，①①AFE ＝①DAE ＝90°，①①AEF ＝①DEA ，①①AEF ①①DEA ，①， ①＝，①EF ＝﹣1（负值舍去），①BE ＝EF ＝﹣1，故答案为：2，﹣1．11.（2020山东潍坊）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AC EG AE ，将ABG 和ECG 分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．【答案】725【解析】【分析】 根据折叠的性质结合勾股定理求得GE 5=，BC=AD=8，证得Rt①EGF ~Rt①EAG ，求得253EA =，再利用勾股定理得到DE 的长，即可求解．【详解】矩形ABCD 中，GC=4，CE =3，①C=90︒，5=，根据折叠的性质：BG=GF ，GF=GC=4，CE=EF=3，①AGB=①AGF ，①EGC=①EGF ，①GFE =①C=90︒， ①BG=GF=GC=4，①BC=AD=8，①①AGB+①AGF+①EGC+①EGF=180︒，①①AGE=90︒，①Rt①EGF ~Rt①EAG ， ①EG EF EA EG =，即535EA =， ①253EA =，73==， ①773sin DAE 25253DE AE ∠===， 故答案为：725． 【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．12.（2020浙江衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断出①ADE ＝45°，进而判断出AE ＝AD ，利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：由折叠补全图形如图所示，①四边形ABCD是矩形，①①ADA'＝①B＝①C＝①A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：①DAE＝①A＝90°，①ADE＝①ADC＝45°，①①AED＝①ADE＝45°，①AE＝AD＝1，在Rt①ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，故选：A．13.（2020贵州铜仁）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将①A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将①B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝．【答案】【分析】依据①A1DB1①①A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根据折叠的性质，即可得到A1C＝BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．【解答】解：由折叠可得，A1D＝AD＝4，①A＝①EA1D＝90°，①BA1E＝①B1A1E，BA1＝B1A1，①B＝①A1B1E ＝90°，①①EA1B1+①DA1B1＝90°＝①BA1E+①CA1D，①①DA1B1＝①CA1D，又①①C＝①A1B1D，A1D＝A1D，①①A1DB1①①A1DC（AAS），①A1C＝A1B1，①BA1＝A1C＝BC＝2，①Rt①A 1CD 中，CD ＝＝，①AB ＝， 故答案为：． 14.（2020四川内江）如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF ．已知34AB BC ==，，则EF 的长为（ ）A. 3B. 5C.D. 【答案】C【解析】【分析】 由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得①ABE①①MBE ，设AE 的长度为x ，在Rt①EMD 中，由勾股定理求出DE 的长度，同理在Rt①DNF 中求出DF 的长度，在Rt①DEF 中利用勾股定理即可求出EF 的长度．【详解】解：①四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=4，，设AE 的长度为x ，由折叠可得：①ABE①①MBE ，①EM=AE=x ，DE=4-x ，BM=AB=3，DM=5-3=2，在Rt①EMD 中，EM 2+DM 2=DE 2，①x 2+22=（4-x ）2，解得：x=32，ED=4-32=52， 设CF 的长度为y ，由折叠可得：①CBF①①NBF ，①NF=CF=y ，DF=3-y ，BN=BC=4，DN=5-4=1，在Rt①DNF 中，DN 2+NF 2=DF 2，①y 2+12=（3-y ）2，解得：x=43，DF=3-43=53，在Rt①DEF 中，6==， 故答案为：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE 和DF 的长度是解题的关键．15.（2020·无锡）如图，在四边形ABCD 中（AB ＞CD ），∠ABC =∠BCD =90°AB =3，BC ＝3，把Rt △ABC 沿着AC 翻折得到Rt △AEC ，若tan ∠AED ＝32，则线段DE 的长度为（ ） A ．63 B ．73 C ．32 D ．275【答案】 B【解析】∵∠B =90°，BC =3，AB =3，∴tan ∠BAC =30°，AC =23，∵∠DCB =90°，∴CD ∥AB ，∴∠DCA =30°，延长CD 交AE 于F ，∴AF =CF =2，EF =1，∠EFD =60°，过点D 作DG ⊥EF ，设DG =3x ，则GE =2x ，ED =7x ，∴FG =1—2x ， ∴在Rt △FGD 中，3FG =GD ，即3(1—2x )=3x ，解得x =13，∴ED ＝73．16.（2020·广东）如题9图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，①EFD ＝60°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】本题考查了正方形的性质、两直线平行内错角相等、折叠问题、特殊角的三角函数值， 首先由正方形的性质得AB①CD 和①A ＝90°，再由两直线平行，内错角相等得到①EFD ＝①BEF ＝60°，由于四边形EBCF 沿EF 折叠得到四边形EB’C’F,所以①BEF ＝①B’EF ＝60°和BE ＝B’E,所以①AEB’＝180°－①B’EF －①BEF ＝60°， 所以cos AE AB BE AEBB E BE ，即：13cos 602BE BE ，求得BE ＝2，因此本题选D ．17.（2020浙江台州）把一张宽为1cm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD （单位：cm ）为（ ）A ．7+3B ．7+4C ．8+3D ．8+4【答案】D【分析】如图，过点M 作MH ①A ′R 于H ，过点N 作NJ ①A ′W于J．想办法求出AR ，RM ，MN ，NW ，WD即可解决问题．【解答】解：如图，过点M作MH①A′R于H，过点N作NJ①A′W于J．由题意①EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝2，①四边形EMHK是矩形，①EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，①①RMH是等腰直角三角形，①RH＝MH＝1，RM＝，同法可证NW＝，由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，①AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4++2++4＝8+4，故选：D．18.（2020·安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处，请完成以下探究：（1）∠PAQ的大小为°；（2）当四边形APCDQR的值为.【答案】【解析】(1)由题意可知∠B＝∠AQP，∠AQD＝∠AQR，∠PQC＝∠PQR，∴∠B＝∠AQP＝12(∠DQR＋∠CQR)＝90°.由题意可知∠D＝∠ARQ，∠C＝∠PRQ，∴∠C＋∠D＝∠ARQ＋∠PRQ＝180°，∴AD∥BC，∴∠BAD＝90°.由题意可知∠BAP＝∠PAQ＝∠DAQ，∴∠PAQ＝13∠BAD＝30°.(2)由折叠的性质可知QR＝12 CD.∵四边形APCD是平行四边形，∴QR ＝12AP.又∵∠PAB ＝30°， ∴cos ∠BAP ＝AB AP， ∴2AB QR，则AB QR19（2020黑龙江龙东）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．或5【解析】【分析】 分两种情况：点B '落在AD 上和CD 上，首先求出a 的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可．【详解】分两种情况：（1）当点B '落在AD 上时，如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒， ∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=︒， AB BE ∴=，315a ∴=， ∴3=15BE a = 在Rt △ABE 中，AB=1，BE=1，∴= 的（2）当点B '落在CD 上，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '∴∠=∠=︒，1AB AB '==，35EB EB a '==，DB '∴=，3255EC BC BE a a a =-=-=， 在ADB '和B CE '中，9090B AD EB C AB D D C ∠=∠=︒-∠''⎧⎨∠=∠=︒'⎩ ~ADB B CE ''∴，DB AB CE B E '''∴=，即12355a a =，解得，3a =±（负值舍去）∴35BE a = 在Rt △ABE 中，AB=1，∴5=.【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．20.（2020贵州遵义）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将①ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是．【答案】【分析】在Rt①A'BM中，解直角三角形求出①BA′M＝30°，再证明①ABE＝30°即可解决问题．【解答】解：①将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，①AB＝2BM，①A′MB＝90°，MN①BC．①将①ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．①A′B＝AB＝2BM．在Rt①A′MB中，①①A′MB＝90°，①sin①MA′B＝，①①MA′B＝30°，①MN①BC，①①CBA′＝①MA′B＝30°，①①ABC＝90°，①①ABA′＝60°，①①ABE＝①EBA′＝30°，①BE＝．故答案为：．21（2020·重庆B卷）如图，在△ABC中，AC=ABC=45°，∠BAC=15°，将△ABC沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠ADE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）A B．3C．D．4【答案】C【解析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，如图，延长BC交AE于点F.根据轴对称的图形可知∠DCA=∠ABC=15°.∵∠DAE=∠DAC=15°，∴∠CAE=2×15°=30°，∠BAE=3×15°=45°.在Rt△ACF中，AC=，∠CAE=30°，∴CF AF.在Rt△ABF中，∠BAF=15°，∴BF=AF.∵∠ECF是△ABC的外角，∴∠ECF=∠ABC+∠BAC=45°+15°=60°.在Rt△ECF中，CF，∠ECF=60°，∴EF.在Rt△EBF中，根据勾股定理，得BE因此本题选C．22.如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是6．【答案】6【分析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE ＝∠CAH＝45°，推出∠BOC＝90°，推出BC＝2，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，根据CH2+BH2＝BC2，构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故答案为6．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．属于中考填空题中的压轴题．。

专题复习(五) 图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题(·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(32，32)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式．【解答】 连接OC ，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB，C(32，32)，∴AO ＝AC ，OD ＝32，DC ＝32，BO ＝BC ，则tan ∠COD ＝CD OD ＝33，故∠COD＝30°，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD＝60°. 则sin60°＝CD AC ，则AC ＝DCsin60°＝1，故A(1，0)，sin30°＝CD CO ＝32CO ＝12.则CO ＝3，故BO ＝3，B 点坐标为(0，3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3，把A(1，0)代入解析式可得k ＝－ 3. ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．1．(·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.34B.45C.56D.672．(·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．3．(·宜宾)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．4．(·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．类型2 四边形及其他图形中的折叠问题(·南充)如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ ＝∠AMP ＝∠DQC ，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD ；(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得：BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1，根据△AMP∽△BPQ 得：AMBP＝AP BQ ，即BQ ＝x 2，根据△AMP∽△CQD 得：AP CD ＝AM CQ ，即CQ ＝2，从而得出AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1，根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值，从而求出AB 的值．【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ ＝∠BPQ，∴∠APM ＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM ＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ ＝∠AMP，∴△AMP ∽△BPQ ， 同理：△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP ＝x ，∴由折叠关系，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由△AMP∽△BPQ 得，AM BP ＝AP BQ ，即1x ＝xBQ ，得BQ ＝x 2.由△AMP∽△CQD 得，AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1CQ ，得CQ ＝2.∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2.∴MD ＝AD －1＝x 2＋1.∵在Rt△FDM 中，sin ∠DMF ＝35，∴2x x 2＋1＝35.解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)． 即AB ＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．1．(·南充)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．12 3D ．16 32．(·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（ ）A．13 B.152C.272D．123．(·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种4．(·成都)如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．5．(·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．6．(·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．7．(·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：△DEC≌△EDA；(2)求DF的值；(3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．参考答案类型1 三角形中的折叠问题1．B 提示：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C 恰好与边AB 上的点D 重合，折痕为EF ，∴∠EDF ＝∠C＝60°，CE ＝DE ，CF ＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED ＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴AE BD ＝AD BF ＝DEFD .设等边△ABC 边长为6个单位，CE ＝x ，CF ＝y ，AE ＝6－x ，BC ＝6－y ，∴6－x 4＝26－y ＝x y ，解得x ＝145，y ＝72.∴x ∶y ＝4∶5，故选择B.2.65°3.1.54.(10，3)类型2 四边形及其他图形中的折叠问题1．D 2.A3.B 提示：由题意，易知y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x 轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y ＝x ＋b 过(－1，0)时，b ＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y ＝x ＋b 过(3，0)时，b ＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3<b<1时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线y ＝x ＋b 过(1，－4)时，b ＝－5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B.4.35. 6 提示：作AH⊥BC 于H.∵分别以AE ，BE 为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处，∴DE ＝EF ，CE ＝EF ，AF ＝AD ＝2，BF ＝CB ＝3.∴DC＝2EF ，AB ＝5.∵AD∥BC，∠C ＝90°， ∴四边形ADCH 为矩形，∴AH ＝DC ＝2EF ，HB ＝BC －CH ＝BC －AD ＝1.在Rt△ABH 中，AH ＝AB 2－BH 2＝26，∴EF ＝ 6. 6.2≤x≤87.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD ＝CE ，DC ＝EA ，∠ACD ＝∠CAE. 在△CED 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝AD ，DE ＝ED ，DC ＝EA ，∴△DEC ≌△EDA.(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF ＝CF.设DF ＝x ，则AF ＝CF ＝4－x ，在Rt△ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，即32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝78，即DF ＝78.(3)由矩形PQMN 的性质得PQ∥CA， ∴PE CE ＝PQCA. 又∵CE＝3，AC ＝AB 2＋BC 2＝5.设PE ＝x(0＜x ＜3)，则x 3＝PQ 5，即PQ ＝53x.过E 作EG⊥AC 于G ，则PN∥EG，∴CP CE ＝PN EG. 又∵在Rt△AEC 中，EG ·AC ＝AE·CE，解得EG ＝125.∴3－x 3＝PN 125，即PN ＝45(3－x)．设矩形PQMN 的面积为S ，则S ＝PQ·PN＝－43x 2＋4x ＝－43(x －32)2＋3(0＜x ＜3)．∴当x ＝32，即PE ＝32时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为3.。

专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

专题08 折叠问题平面直角坐标系中的折叠问题,蕴含了丰富的数形结合思想和转化思想.解决这类问题的关键,是利用对称性将问题转化到直角三角形中,然后用勾股定理或相似三角形的知识求解.平面直角坐标系中的折叠问题是正在悄然兴起的一个中考热点,因为在平面直角坐标系中,几何图形的位置和大小都可以用"数"来表示,折叠问题又涉及全等变换和轴对称问题.而对于折叠问题，学生并不陌生，但在直角坐标系中，必然涉及直线的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，数形结合思想更加显现，因而更加受到中考出题者的青睐。

本专题主要从折叠入手，经过学生的强化训练受到更多的启发。

一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0），点P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B ’处，则B ’点的坐标为（ ）．A ．（2，） B ．（，） C ．（2，） D ．（，）2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点，∠CPB=60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点'B 处，则'B 点的坐标为（ ）A ．(2，2)B ．(32，3)C ．(2，4-D ．(32，4-) 3．在平面直角坐标系中，将点P （-2，0）沿直线y x =折叠得到点Q，则点Q 的坐标为( )A ．（2（0（B ．（0（2（C ．（-2（-2（D ．（0（-2（4．如图，把长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置，AD 与y 轴交于点E ，若()1,2B ，则OE 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23 D ．45二、填空题5．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10，8），则点E 的坐标为 .6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，已知AD=3，当点F 为线段OC 的三等分点时，点E 的坐标为_____．7．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 各顶点的坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(0,3)C ．将长方形OABC 沿CE 折叠，使B 点落在x 轴上B '处，则点E 的坐标为__________．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若8OA =，4CF =，则点E 的坐标是__________．10．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（2，4），则点D 的横坐标是___________．11．如图平面直角坐标系中，（（B（8（0）．将（OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处，若OE=3211，则CE（DE 的值是 （12．把一张两边长分别为2、1的矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴正半轴上，将纸片OABC 沿对角线OB 折叠，使点A 落在A '的位置上，则点A '的坐标为_______． 13．如图，将矩形纸片ABCD 放入以BC 所在直线为x 轴，BC 边上一点O 为坐标原点的直角坐标系中，连结OD ，将纸片ABCD 沿OD 折叠，使得点C 落在AB 边上点C'处，若AB 5=，BC 3=，则点C 的坐标为______．14．如图，有一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA ＝6，OC ＝10，如图，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点处，则点E 的坐标为_______。

【十大常考压轴题特训】特训08——折叠问题题量﹕25题；分值﹕共计100分；推荐时间﹕60分钟问题1．(2019 甘肃省兰州市)如图，ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = )ABC DEFMOA ．12BC ．1-D 1【分析】根据正方形的性质得到AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ，求得BD ＝2AB ＝2，得到OD ＝BO ＝OC ＝1，根据折叠的性质得到DE ＝DC ＝2，DF ⊥ CE ，求得OE ＝ 2 －1，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解析】四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝∠COD ＝∠BOC ＝90°，OD ＝OC ， ∴BD ＝2AB ＝2， ∴OD ＝BO ＝OC ＝1，∵将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处， ∴DE ＝DC ＝2，DF ⊥ CE ，∴OE ＝ 2 －1，∠EDF ＋∠FED ＝∠ECO ＋∠OEC ＝90°， ∴∠ODM ＝∠ECO ，在△OEC 与△OMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOC ＝∠DOC ＝90 °OD ＝OC ∠OCE ＝∠ODM ，∴△OEC ≌ △OMD ， ∴OM ＝OE ＝ 2 －1，故选：D ．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．问题2．(2019 广西桂林市)将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则ADAB的值为( ) ABCDEFG OA ．65BC ．32D【分析】由折叠可得，E ，G 分别为AD ，CD 的中点，设CD ＝2a ，AD ＝2b ，根据Rt △BCG 中，CG 2＋BC 2＝BG 2，可得即a 2＋(2b )2＝(3a )2，进而得出ADAB 的值． 【解析】由折叠可得，AE ＝OE ＝DE ，CE ＝OG ＝DG ， ∴，G 分别为AD ，CD 的中点，设CD ＝2a ，AD ＝2b ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝2b ， ∵∠C ＝90°，∴Rt △BCG 中，CG 2＋BC 2＝BG 2， 即a 2＋(2b )2＝(3a )2， ∴b 2＝2a 2， 即b ＝2a ， ∴ba ＝2， ∴ADAB 的值为 2 ， 故选：B ．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．问题3．(2019 贵州省铜仁地区)如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 为AB 的中点，将ADE ∆沿DE 翻折得到FDE ∆，延长EF 交BC 于G ，FH BC ⊥，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①//BF ED ；②DFG DCG ∆≅∆；③FHB EAD ∆∆∽；④4tan 3GEB ∠=；⑤ 2.6BFG S ∆=；其中正确的个数是( ) ABCDEFG HA ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可． 【解析】∵正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点∴AD ＝DC ＝BC ＝AB ＝6，AE ＝BE ＝3，∠A ＝∠C ＝∠ABC ＝90° ∵△ADE 沿DE 翻折得到△FDE∴∠AED ＝∠FED ，AD ＝FD ＝6，AE ＝EF ＝3，∠A ＝∠DFE ＝90° ∴BE ＝EF ＝3，∠DFG ＝∠C ＝90° ∴∠EBF ＝∠EFB∵∠AED ＋∠FED ＝∠EBF ＋∠EFB ∴∠DEF ＝∠EFB ∴BF //ED 故结论①正确；∵AD ＝DF ＝DC ＝6，∠DFG ＝∠C ＝90°，DG ＝DG ∴△ DFG ≌ △DCG∴结论②正确；FH ⊥ BC ，∠ABC ＝90° ∴AB //FH ，∠FHB ＝∠A ＝90° ∵∠EBF ＝∠BFH ＝∠AED ∴△FHB ∽ △EAD∴结论③正确；∵△ DFG ≌ △DCG ∴FG ＝CG设FG ＝CG ＝x ，则BG ＝6－x ，EG ＝3＋x在Rt △BEG 中，由勾股定理得：32＋(6－x )2＝(3＋x )2 解得：x ＝2 ∴BG ＝4∴tan ∠GEB ＝BG BE ＝43 故结论④正确；∵△FHB ∽ △EAD ，且AE AD ＝12 ∴BH ＝2FH设FH ＝a ，则HG ＝4－2a在Rt △FHG 中，由勾股定理得：a 2＋(4－2a )2＝22 解得：a ＝2（舍去）或a ＝65 ∴S △BFG ＝12×4×65＝2.4 故结论⑤错误； 故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．问题4．(2019 湖北省荆州市)如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在⌒AB 上的点D 处，且⌒BD ：⌒AD ＝1：3（⌒BD 表示⌒BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．【解析】连接OD交OC于M．由折叠的知识可得：OM＝12OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，∵且⌒BD：⌒AD＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl180＝2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．【点评】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想．问题5．(2019山东省泰安市)如图，将⊙O沿弦AB折叠，⌒AB恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则⌒AB的长为（）A．12πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝12OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝12OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴⌒AB的长＝120π×3180＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．问题6．(2019重庆市)如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB 交于点E，连结AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．332B．3217C．7 D．13【分析】分析连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，证△ADC′为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C′M＝ 3 DM＝3，BM＝2，在Rt△BMC′中，利用勾股定理求出BC′的长，在△BDC′中利用面积法求出DH的长．【解析】如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，∴DC＝DC′＝2，BC＝BC′，CM＝C′M，∴AD＝AC′＝DC′＝2，∴△ADC′为等边三角形，∴∠ADC′＝∠AC′D＝∠C′AC＝60°，∵DC＝DC′，∴∠DCC ′＝∠DC ′C ＝12×60°＝30°， 在Rt △C ′DM 中，∠DC ′C ＝30°，DC ′＝2， ∴DM ＝1，C ′M ＝3DM ＝3， ∴BM ＝BD ﹣DM ＝3﹣1＝2， 在Rt △BMC ′中，BC ′＝BM 2＋C 'M 2＝22＋(3)2＝7， ∵S △BDC ′＝12BC ′•DH ＝12BD •CM ， ∴7DH ＝3×3， ∴DH ＝3217， 故选：B ．【点评】点评本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．问题7．(2019 辽宁省大连市)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，若4AB =，8BC =．则D F '的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】连接AC 交EF 于点O ，由矩形的性质得出AD ＝BC ＝8，∠B ＝90°，由勾股定理得出AC ＝AB 2＋BC 2＝45，由折叠的性质得出EF ⊥ AC ，AO ＝CO ＝12 AC ＝25，证出Rt △FOA ∽ Rt △ADC ，则AO AF ＝ADAC ，求出AF ＝5，即可得出结果． 【解析】连接AC 交EF 于点O ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝8，∠B ＝∠ D ＝90°， AC ＝AB 2＋BC 2＝45，∵折叠矩形使C 与A 重合时，EF ⊥ AC ，AO ＝CO ＝12 AC ＝25， ∴ ∠ AOF ＝∠ D ＝90°，∠ OAF ＝∠ DAC ， ∴则Rt △FOA ∽ Rt △ADC ， ∴AO AF ＝ ADAC ，即：25AF ＝845， 解得：AF ＝5，∴D ′F ＝DF ＝AD －AF ＝8－5＝3， 故选：C ．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键．问题8．(2019 四川省攀枝花市)如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AC ，现在有如下4个结论： ①45EAC ∠=︒；②FG FC =；③//FC AG ；④14GFC S ∆=． 其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．④错误．证明FG﹕EG＝3﹕5，求出△ECG的面积即可．【解析】如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝2,∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AD＝AG,AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF，∴DG＝FG,∠GAF＝∠GAD,，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12(∠BAF＋∠DAF)＝45 °，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2，∴(2＋x)2＝82＋(12－x)2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE＋EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF,GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CG//AG，故③正确，∵S△ECG＝12×6×8＝24，FG:FE＝6:4＝3:2，∴FG:EG＝3:5，∴S△GFC＝35×24＝725，故④错误，故选：B．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．问题9．(2019甘肃省天水市)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt △ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF 中根据勾股定理得到x2＋12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝AF2－AB2＝4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1， 设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x 在Rt △ECF 中，∵CE 2＋FC 2＝EF 2， ∴x 2＋12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43，∴EF ＝3﹣x ＝53， ∴sin ∠EFC ＝CE EF ＝45． 故答案为：45．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．问题10．(2019 广东省深圳市)如图，在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF = ．ABCDEFXY【分析】作FM ⊥ AB 于点M ．根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出EX ＝EB ＝AX ＝1，∠EXC ＝∠B ＝90°，AM ＝DF ＝YF ＝1，由勾股定理得到AE ＝AX 2＋EX 2＝2．那么正方形的边长AB ＝FM ＝2＋1，EM ＝2－1，然后利用勾股定理即可求出EF ． 【解析】如图，作FM ⊥ AB 于点M ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴ ∠BAC ＝∠CAD ＝45 °．∵将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X ， ∴ EX ＝EB ＝AX ＝1，∠EXC ＝∠B ＝90°， ∴ AE ＝AX 2＋EX 2＝2．∵将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上的点Y，∴ AM＝DF＝YF＝1，∴正方形的边长AB＝FM＝2＋1，EM＝2－1，∴ EF＝EM2＋FM2＝(2－1)2＋(2＋1)2＝6．故答案为6．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质以及勾股定理．求出EM与EM是解题的关键．问题11．(2019贵州省遵义市)如图，平行四边形纸片ABCD的边AB，BC的长分别是10cm和7.5cm，将其四个角向内对折后，点B与点C重合于点C'，点A与点D重合于点A'．四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则EF=cm．【分析】先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形EHFG是矩形，再证明△FCH≌△EAG，可得CF ＝AE＝FC'，可知EF＝AB，即可得结论．【解析】如图中，由翻折可知：∠CHF＝∠FHC’，∠BHE＝∠EHC'，∴ ∠FHE＝∠FHC’＋∠EHC’＝12(∠CHC’＋∠BHC’)＝90°，同法可证：∠HFG＝∠GEH＝90°，∴四边形EHFG是矩形．∴FH＝EG，FH//EG，∴∠HFC’＝∠FEG，∵∠CFH＝∠HFC’，∠AEG＝∠GEA’，∴∠CFH＝∠AEG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A，BC＝AD，由翻折得：CH＝C'H＝BH＝12BC，AG＝A'G＝DG＝12AD，∴CH＝AG，∴△HCF≌ △GAE，∴CF＝AE，∴EF＝FC'＋EC'＝AE＋BE＝AB＝10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．问题12．(2019吉林省长春市)如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．【解析】由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC ＝∠A ＝45°， ∴GC ＝FC ＝2，由勾股定理得，GF ＝FC 2＋GC 2＝22， 则△GCF 的周长＝GC ＋FC ＋GF ＝4＋22， 故答案为：4＋22．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题13．(2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan ∠HAP ＝ ．【分析】连接PB ，交CH 于E ，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH 垂直平分BP ，∠APB ＝90°，即可得到AP ∥HE ，进而得出∠BAP ＝∠BHE ，依据Rt △BCH 中，tan ∠BHC ＝BC BH ＝43，即可得出tan ∠HAP ＝43．【解析】如图，连接PB ，交CH 于E ， 由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH ＝PH ， 又∵H 为AB 的中点， ∴AH ＝BH ， ∴AH ＝PH ＝BH ，∴∠HAP ＝∠HP A ，∠HBP ＝∠HPB ，又∵∠HAP ＋∠HP A ＋∠HBP ＋∠HPB ＝180°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APB ＝∠HEB ＝90°， ∴AP ∥HE ， ∴∠BAP ＝∠BHE ，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝BCBH＝43，∴tan∠HAP＝4 3，故答案为：4 3．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．问题14．(2019山东省青岛市)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25﹣4）2＋x2，在Rt △FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2＋22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．【解析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝25．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝25﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25﹣4）2＋x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2＋22，所以（25﹣4）2＋x2＝（4﹣x）2＋22，解得x＝25﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣25．故答案为6﹣25．【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．问题15．(2019 山东省泰安市)如图，矩形ABCD 中，AB ＝36，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．【分析】连接EC ，利用矩形的性质，求出EG ，DE 的长度，证明EC 平分∠DCF ，再证∠FEC ＝90°，最后证△FEC ∽△EDC ，利用相似的性质即可求出EF 的长度． 【解析】如图，连接EC ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，BC ＝AD ＝12，DC ＝AB ＝3 6 ， ∵E 为AD 中点， ∴AE ＝DE ＝12AD ＝6 由翻折知，△AEF ≌△GEF ，∴AE ＝GE ＝6，∠AEF ＝∠GEF ，∠EGF ＝∠EAF ＝90°＝∠D ， ∴GE ＝DE ， ∴EC 平分∠DCG ， ∴∠DCE ＝∠GCE ，∵∠GEC ＝90°﹣∠GCE ，∠DEC ＝90°﹣∠DCE ， ∴∠GEC ＝∠DEC ，∴∠FEC ＝∠FEG ＋∠GEC ＝12×180°＝90°， ∴∠FEC ＝∠D ＝90°， 又∵∠DCE ＝∠GCE ， ∴△FEC ∽△EDC ， ∴FE DE ＝EC DC ，∵EC＝DE2＋DC2＝62＋(36)2＝310，∴FE6＝31036，∴FE＝215，故答案为：215．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．问题16．(2019山东省潍坊市)如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A′DE＝∠A′DC＝30°，∠C＝∠A′B′D＝90°，推出△DB′A′≌△DCA′，CD＝B′D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A′ED，△A′BE≌△A′B′E，∠A′B′E＝∠B＝∠A′B′D＝90°，∴∠AED＝∠A′ED，∠A′EB＝∠A′EB′，BE＝B′E，∴∠AED＝∠A′ED＝∠A′EB＝13×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A′DE＝90°﹣∠A′EB＝30°，∴∠ADE＝∠A′DE＝∠A′DC＝30°，又∵∠C＝∠A′B′D＝90°，DA′＝DA′，∴△DB′A′≌△DCA′（AAS），∴DC＝DB′，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝23＝233，设AB＝DC＝x，则BE＝B′E＝x﹣23 3∵AE2＋AD2＝DE2，∴（233）2＋22＝（x＋x﹣233）2，解得，x1＝－33（负值舍去），x2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A′ED＝∠A′EB＝60°．问题17．(2019上海市)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将ABE∆沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么EDF∠的正切值是．【分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝ABAE＝2．【解析】如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝12∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE＝12AD＝12AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF＋∠EFD，∴∠EDF＝12∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝ABAE＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题18．(2019天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G 点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠F AH＋∠AFH＝90°，又∵∠F AH＋∠BAH＝90°，∴∠AFH＝∠BAH，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE＝5，在Rt△ADF中，BF＝AB2＋AF2＝122＋52＝13，S△ABF＝12AB•AF＝12BF•AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝60 13，∴AG＝2AH＝120 13，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣12013＝4913，故答案为：49 13．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．问题19．(2019浙江省杭州市)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C 落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出D'HP A'＝PD'EA'，推出ax＝x4a，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴D'HP A'＝PD'EA'，∴ax＝x4a，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍弃），∴P A′＝PD′＝2a，∵12•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝22＋42＝25，PH＝12＋22＝5，∴AD＝4＋25＋5＋1＝5＋35，∴矩形ABCD的面积＝2（5＋35）．故答案为2（5＋35）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．问题20．(2019 河南省)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝35α．连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 ．【分析】分两种情况：①点B ′落在AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得AB ＝BE ，即可求出a 的值；②点B ′落在CD 边上，证明△ADB ′∽△B ′CE ，根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值． 【解析】分两种情况：①当点B ′落在AD 边上时，如图1． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在AD 边上， ∴∠BAE ＝∠B ′AE ＝12∠BAD ＝45°， ∴AB ＝BE ， ∴35a ＝1， ∴a ＝53；②当点B ′落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ＝a ． ∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在CD 边上， ∴∠B ＝∠AB ′E ＝90°，AB ＝AB ′＝1，EB ＝EB ′＝35a ， ∴DB ′＝B 'A 2－AD 2＝1－a 2，EC ＝BC ﹣BE ＝a ﹣35a ＝25a ．在△ADB ′与△B ′CE 中，⎩⎨⎧∠B 'AD ＝∠EB 'C ＝90°－∠AB 'I ∠D ＝∠C，∴△ADB′∽△B′CE，∴DB'CE＝AB'B'E，即1－a225a＝135a，解得a1＝53，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为53或53．故答案为53或53．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．问题21．(2019江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【分析】（1）根据AD＝C′B，ED＝EB，即可得到AE＝C′E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC′＝∠EC′A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC′∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C′BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题22．(2019江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FG C．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，即可得到∠ECB＝∠FCG；（2）依据平行四边形的性质，即可得出∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，即可得到∠B ＝∠G，BC＝CG，进而得出∠EBC≌△FG C．【解析】（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴ ∠ B＝∠ G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴ △EBC≌ △FG C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．问题23．(2019山东省滨州市)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG ∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．【解析】（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22＋（6﹣x）2＝x2，解得，x＝10 3，∴CE＝10 3，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝103×2＝203．【点评】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．问题24．(2019山东省烟台市)如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC 上的E点．O为AC上一点，⊙O经过点A，P．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．B【分析】（1）切线的判定重点是证明垂直；（2）判定黄金分割点其实就是证明CF2＝BF•BC成立．【解析】（1）证明：如图，连接OP，则OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A．B由折叠知∠BAP＝∠OAP，∴∠OP A＝∠BAP．∴AB∥OP．又∵AB⊥BC，∴OP⊥B C．∴BC是⊙O的切线．（2）点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：在矩形ABCD中，∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝4，∴AC＝AB2＋BC2＝22＋42＝25．又∵AE＝AB＝2，∴CE＝CF＝25－2．∴BF＝BC－CF＝6－25．∵CF2＝（25－2）2＝24－85，BF•BC＝4（6－25）＝24－85，∴CF2＝BF•B C．∴点F是线段BC的黄金分割点．【点评】本题重点考查了矩形、圆的切线的判定定理、轴对称的性质、黄金分割点的概念，很巧妙地将图形的折叠问题融入其中，是一道非常好的题目．问题25．(2019山东省临沂市)如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE 是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．【分析】过点H作HN⊥BM于N，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG≌△AFG，可推出AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；证明△ABG≌△GNH，推出HN＝CN，得到∠DCH＝∠NCH，推出CH 是∠DCN的平分线；再证∠HGN＝∠EGH，可知GH是∠EGM的平分线．【解析】过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠F AE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠F AG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠F AE，∠BAG＝∠F AG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF＋∠EAF＝12×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB＋∠BAG＝90°，∠AGB＋∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝12×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB＋∠HGN＝90°，∠AGF＋∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法．。

专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。

此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例1. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .图例1-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.图例1-2 图例1-3由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'PA的角平分线，与AD的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形.所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ， 又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4， 又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2， 解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1， 在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ， 在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中， 有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12， 解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ， 作PG ⊥AB ，垂足为点G ， 设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ， 在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2， 解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°， 在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ； 问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ， 在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ， 又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2， 即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28， 解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°， 由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点， 在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4， 由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2， 由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ， 同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ， 又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ； 【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ， 易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ， 同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

2020 年初三数学中考冲刺专题复习训练圆的折叠专题则图中阴影部分的面积是（）A．43πB．43π- 3 C．2 3 +3πD．2 3 -32π2. 如图，AB是⊙ O的弦，AC是⊙ O的直径，将AB 沿着AB弦翻折，恰好经过圆心O．若⊙ O的半径为6，则图中阴影部分的面积等于（）A．6πB．9 3C．9πD．6 33. 如图，将⊙ O 的劣弧AB 沿AB 翻折，若BC=5 ，则BD= ．4. 如图，AB 是⊙ O的直径，且AB=4 ，BD；翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈31，4 2 ≈1.41，3 ≈1.73，那么由线段AB、AC 和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B．3.6C．3.8 D．4.25. ）如图，在扇形AOB 中，∠ AOB=90°，半径OA=6 ，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点 D 处，折痕交OA 于点C，则整个阴影部分的面积为（A．9π-9 B．9π-6 3C．9π-18 D ．9π-12 31. 如图①是半径为 2 的半圆，点 C 是AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点 C 与圆心O 重合，6. 如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm ，点P 在半径AO 上运动，点Q 在弧AB 上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP 的最大距离为．7. 如图，⊙ O 的半径为5，弦AB 的长为8，将沿直线AB 折叠，折叠后如右图，则⊙ O到所作的圆的切线OC 的长为（）A ．22B ．5C．3 D ．118. 如图，将半径为长为（）12 的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D，则折痕AB9.10. A ．4 2C．6A ．8cmC．2 7 cm已知如图：⊙ O圆心O，再把弧B．8 3 cmD． 4 7 cm如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4 ，C 是⊙ O上一点，将弧好经过点O，π≈31，4 2 ≈1.41，3 ≈1.73，那么由线段AB、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A ．3.2 B． 3.6C． 3.8 D．4.214. 如图， △ABC 内接于⊙ O ，BC= 2 2 ，∠BAC=45°，将劣弧 AB 和 AC 分别沿直线 AB 、AC 折叠后交于点M ，点 S 、T 是弦 AB 、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（A ．2 2B ．4C ． 4 2D ．815. 如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 ? ACB 上，将弧沿 ? BC 折叠后刚好经过AB 的中点 D ，若⊙ O 的半径为 5 ，AB=4 ，则 BC 的长是11. 如图，将弧 BC 沿弦 BC 折叠交直径 AB 于点 D ，若 AD=6 ，DB=7 ，则 BC 的长是（ B ． 7 3 C ． 134 D ． 130 ） 12. 如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ，连接 AC ，CD ．则 下列结论中错误的是（ ） ︵ ︵ ︵ A ．AC=CD B ．AC+BD=BC C ．OD ⊥AB D ．CD 平分∠ ACB13. 如图，点 O 是半径为 3 的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧 过圆心 O ，则阴影部分的面积为（ ） 43 A ．2π B ．3π C ． π D ． 35 AB 和弧 BC 都经）16. 如图，AB 是半径为 2 的⊙O 的弦，将AB沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O，点 C 是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC交⊙ O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ ACB=120 °，②△ ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是．（请将正确答案的序号填在横线上）17. 如图，将AB沿着弦AB 翻折， C 为翻折后的弧上任意一点，延长于 D ，连接BC．（1）求证：BC=BD ；2）若AC=1 ，CD=4，AB=120°，求弦AB 的长和圆的半径．18. 如图，已知⊙ O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M，将CD 沿CD 翻折后，点A与圆心O 重合，延长OA 至P，使AP=OA ，连接PC （1）求CD 的长；（2）求证：PC是⊙O 的切线；3）点G为ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交BC 于点F（F与B、AC 交圆19. 如图1和图2，AB是⊙ O的直径，AB=10 ，C是⊙ O上的一点，将BC 沿弦BC翻折，交AB于点D．1）若点 D 与圆心O 重合，直接写出∠ B 的度数；2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ ACB ，①求证：△BDE 是等腰三角形；②求△ BDE 的面积；3）将图 1 中的BD 沿直径AB 翻折，得到图2，若点 F 恰好是翻折后的BD 的中点，直接写出∠ B 的21. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点 A ，过点A作AB ⊥ x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax2+bx+c 经过P、B 、M 三点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（3）如图2，将弧AEB 沿弦AB 对折后得到弧AE′B，试判断直线AF 与弧AE′B的位置关系，并说明20. 如图，CD 是⊙ O 的直径，（1）求⊙ O 的半径；AB 是⊙ O的弦，AB ⊥CD ，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．2）点 E 为圆上一点，ECD=1°5 ，将CE 沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．度数．则图中阴影部分的面积是（）1【分析】 连接 OC 交 MN 于点 P ，连接 OM、ON ，根据折叠的性质得到 OP=2OM ，得到∠ POM=60 °，根 据勾股定理求出 MN ，结合图形计算即可．理由．圆的折叠专题22. 如图①是半径为 2 的半圆，点 C 是 AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点 C 与圆心 O 重合，解答】 解：连接 OC 交 MN 于点 P ，连接 OM 、ON ，由题意知， OC ⊥MN ，且 OP=PC=1 ， 在 Rt △MOP 中， ∵ OM=2 ，OP=1， ∴cos ∠ POM=OPOM= 12，AC= OM 2 OP 2 = 3， ∴∠ POM=6°0 ， MN=2MP=2 3 ， ∴∠ AOB=2 ∠ AOC=12°0 ，则图中阴影部分的面积 =S 半圆 -2S 弓形 MCN = 1×π×2-22 ×(120 π×2- 1×2 3 ×1)=2 3 -2π，2 360 2 3故选： D ．点评】 本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、 三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．23. 如图， AB 是⊙ O 的弦， AC 是⊙ O 的直径，将 AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心 O ．若⊙ O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ）C ． 9π分析】 由题意△ OBC 是等边三角形，弓形 OnB 的面积 =弓形 BmC 的面积，根据 S 阴=S △OBC 计算即可． 解答】 解：如图，连接 OB ，BC ．由题意△ OBC 是等边三角形，弓形 ∴S 阴=S △OBC= 3 ×62=9 3，4故选： B ．点评】 本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型．24. 如图，将⊙ O 的劣弧 AB 沿 AB 翻折， D 为优弧ADB 上一点，连接 AD ，交AB 于点 C ，连接 BC 、BD ； 若 BC=5 ，则 BD= ．OnB 的面积 =弓形 BmC 的面积，【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到∠ADB= ∠BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠ ADB 所对的弧是劣弧AB ，∠CAB 所对的弧是劣弧BC ，∠ CBA 所对的弧是劣弧AC ，∴∠ ADB= ∠CAB+ ∠CBA ，由三角形的外角的性质可知，∠ BCD= ∠ CAB+ ∠CBA，∴∠ ADB= ∠BCD ，∴ BD=BC=5 ，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．25. 如图，AB是⊙O的直径，且AB=4 ，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈31，4 2 ≈1.41，3 ≈1.73，那么由线段AB、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A． 3.2 B． 3.6 C．3.8 D．4.2【分析】作MN 关于直线AN 的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM 、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN 关于直线AN 的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM 、AM′，可得M、A 、M′三点共线，MA=M′A ，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB' ，∵ 四边形AMNB' 是圆内接四边形，∴∠ M'AB'= ∠ M'NM ，∵∠M'=∠M'，∴△M'AB' ∽△M'NM ，∴M′A＝M′ B′∴M′N＝M′M∴M′A?M′M=M′B′?M′，N即M′A?2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵ M′A2=M′N2-AN 2，∴20=100-AN 2，∴ AN=4 5 ．故选： B ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．26. ）如图，在扇形AOB 中，∠ AOB=90°，半径OA=6 ，将扇形AOB 沿过点 B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点 D 处，折痕交OA 于点C，则整个阴影部分的面积为（）A ．9π-9 B．9π-6 3 C．9π-18 D．9π-12 3分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO ，BD=BO ，∠ DBC= ∠ OBC ，则可得△ OBD 是等边三角形，继而求得OC 的长，即可求得△ OBC 与△BCD 的面积，又在扇形OAB 中，∠AOB=90 °，半径OA=6 ，即可求得扇形OAB 的面积，继而求得阴影部分面积．解答】解：连接OD．根据折叠的性质，CD=CO ，是等边三角形，∴∠ DBO=6°0 ，1 ∴∠ CBO=2∠DBO=3°0 ，∵∠ AOB=9°0 ，∴ OC=OB?tan∠ CBO=×6 3 =2 3 ，3BD=BO ，∠DBC= ∠OBC，∴OB=OD=BD ，即△OBDS△BDC=S△OBC=12×OB×OC=12×6×2 3=6 3S扇形AOB=360?π×2=69π，∴整个阴影部分的面积为：S 扇形AOB -S△ BDC -S△OBC =9π-6 3 -6 3 =9π-12 3 ．故选： D ．【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．28. 如图，⊙ O 的半径为5，弦AB 的长为8，将沿直线AB 折叠，折叠后如右图，则⊙ O 到所作的圆的切线OC 的长为（）A．22 B． 5 C．3 D ．1127. 如图，是一个圆心角为90 °的扇形，AO=2cm ，将它以上的部分向下翻折，使翻折后点P 在半径AO 上运动，点Q 在弧AB 上运动，沿PQO，则OP 的最大距离为．分析】作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，于是得到OP=12Rcos∠ POE推出△OO′Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R ，当cos∠POE 最小时，∠ POE 最大，当∠ QOB=°0时，∠POE=3°0 于是得到结论．解答】解：作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，1OP=cos∠2 POE，∵△ OO′Q为等边三角形，∴OQ=′O Q=O′O =R ，∠POE+∠QOB=3°0 ，当cos∠POE 最小时，∠POE 最大，当∠ QOB=°0 时，∠POE=3°0 ，∴OP= 1 =2 3．cos30 °故答案为：233分析】 延长 CO 交 AB 于 E 点，连接 OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出 AB 的长 解答】 解：延长 CO 交 AB 于 E 点，连接 OB ，∵CE ⊥AB ， ∴E 为 AB 的中点， ∵OC=6 ，CD=2OD ， ∴CD=4 ，OD=2 ， OB=6 ，1 1 1∴DE=2（2OC-CD ）=2（6×2-4）=2×8=4，【分析】 根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． AB 所在的圆和⊙ O 全等，且两个圆的圆心相距为 6，又解答】 解：根据题意画出图形如下所示：BD=4 ， OB=5 ，点 O ′为翻转过后的弧 AB 所在圆的圆心， 则有 O ′D=OD= 52 42 =3．又 O ′C =5， O ′ O=，6 ∴ OC= O ′O 2 O ′C 2 = 62 52 = 11 ．故选： D ．点评】 本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧 AB 所在圆的圆心是解题关键．29. 如图，将半径为 12 的⊙O 沿 AB 折叠，弧 AB 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D ，则折痕 AB 长为（ ）C ．6D ．6 22∴ OE=DE-OD=4-2=2 ，在Rt△OEB 中，∵ OE2+BE2=OB 2，∴ BE= OB2OE2= 62424 2 ∴ AB=2BE=8 2 ．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．30. 已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB 折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD 经过AB 的中点E，则折线CD 的长为（）【分析】连接OE 并延长交CD 于点F，交C′ D于′点F′，交弧AmB 于点G，根据翻折的性质得出OF′ =，6 再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F，交C′于D′点F′，交弧AmB 于点G ，∵ OC′=8cm，∴ OF′=6cm，∴C′F′=CF=8262=2 7 cm， F∴ CD=2CD=4 7 cm．故选：D．点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．31. 如图，AB是⊙O的直径，且AB=4 ，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈ 314，2 ≈1.41，3 ≈1.73，那么由线段AB、AC 和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B． 3.6 C． 3.8 D ．4.2A．8cm B．8 3 cm C．2 7 cm D． 4 7 cm【分析】连接 CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧 CD 所对的圆周角是∠ CBD ，再根据 AC 弧所得的圆周角也1是∠ CBA ，然后求出 AC=CD ，过点 C 作CE ⊥ AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得 AE=ED= 12 AD ，分析】 作OE ⊥AC 交⊙O 于F ，交 AC 于E ，根据折叠的性质得到 1 OE=12OF，求出∠ ACB 的度数即可解决问题．解答】 解：作 OE ⊥AC 交⊙ O 于F ，交 AC 于E ．连接 OB ，BC ．1由折叠的性质可知， EF=OE= 12OF ， ∴OE=12OA ，1在 Rt △AOE 中， OE= 2OA ， ∴∠ CAB=30° ， ∵ AB 是直径，∴∠ ACB=90° ， ∠BOC=2 ∠BAC=60° ， ∵ AB=4 ，∴BC= 12AB=2 ， AC= 3 BC=2 3 ，∴线段 AB 、AC 和弧 BC 所围成的曲边三角形的面积为π 2 3S=12?AC?BC+S 扇形OBC -S △OBC =12×2 3×2+60360?2- 43 ×22= 3 +23π≈ 3，.8故选：C ．点评】 本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．32. 如图，将弧 BC 沿弦 BC 折叠交直径 AB 于点 D ，若 AD=6 ，DB=7 ，则 BC 的长是（ ）A ． 91B ． 7 3C ． 134D ． 130AE CE CE = BE即 CE 2=AE?BE=3× 10=30，在Rt △ BCE 中， BC= BE 2 CE 2 = 102 30= 130 ， 故选： D ．【点评】 本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅 助线并求出AC=CD 是解题的关键．33. 如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ，连接 AC ，CD ．则列结论中错误的是（ ）A ． AC=CDB ． AC+BD=BC C ． OD ⊥ ABD ．CD 平分∠ ACB分析】 A 、作辅助线，构建折叠的性质可得 AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长 OD 交⊙O 于E ，连接 CE ，根据垂径定理可作判断． 解答】解：A 、过D 作DD'⊥BC ，交⊙O 于D'，连接 CD' 、BD' ， 由折叠得： CD=CD' ，∠ ABC= ∠ CBD' ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ ACB=90 °，然后求出△ ACE 和△ CBE 相似，根据相似三角形对应边 成比例求出 CE 2，再求出 BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．解答】 解：如图，连接 CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧 CD 所对的圆周角是 ∠CBD ， ∵弧AC 所对的圆 周角是∠ CBA ，∠CBA= ∠CBD ，∴AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等） ，11过点 C 作 CE ⊥AB 于 E ， 则 AE=ED= 2AD=2×6=3，∴BE=BD+DE=7+3=10 ， ∵ AB 是直径， ∴∠ ACB=90° ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠ ACB= ∠AEC=90° ，∴∠ A+ ∠ ACE= ∠ACE+ ∠BCE=90° ， ∴∠A= ∠BCE ，∴△ACE ∽△ CBE ，∴ AC+BD=BC，故②正确；C、∵D 为AB 的中点，∴OD⊥AB ，故③正确；D、延长OD 交⊙O于E，连接CE，∵ OD⊥AB ，∴∠ACE=∠BCE，∴CD 不平分∠ACB，故④错误；故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．34. 如图，点O 是半径为 3 的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧过圆心O，则阴影部分的面积为（）4A．2πB．3πC．π3【分析】作OD⊥AB 于点D，连接AO ，BO，CO，求出∠ OAD=30 °，得到∠ AOB=2 ∠AOD=120 °，进而求得∠ AOC=120 °，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC 得出阴影部分的面积是⊙ O面积的13，即可得出答案．【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示1 ∵OD=2AO∴∠ OAD=30°，∴∠ AOB=2∠ AOD=120°，同理∠ BOC=120°，∴∠ AOC=120°，11∴阴影部分的面积=S扇形BOC= ×⊙O面积= ×π× 32=3π，故选：B．点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120 °．︵︵35. 如图，△ABC 内接于⊙ O，BC= 2 2，∠ BAC=45°，将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC 折叠后交于点M，点S、T 是弦AB、AC 上的动点，则△MST 的周长的最小值为（）A．2 2 B．4 C．4 2 D．8AB 和弧BC 都经D．周上，连接M′M″，交AB 于S，交AC 于T，则△ MST 的周长最小，连接AM ′，AM ″，OB，OC，根据圆周角定理得到M′M″是⊙ O 的直径，即可得到结论．解答】解：作点M 关于AB 的对称点M′，关于AC 的对称点M″，∵将劣弧AB 和AC 分别沿直线AB、AC 折叠后交于点M，∴点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB 于S，交AC 于T ，则△ MST的周长最小，连接AM′，AM″ ，OB，OC，则∠M′AM″=2∠BAC ，∵∠ BAC=45° ，∴∠M′AM″=∠ BOC=9°0 ，∵BC=2 2 ，∴ OB=2，∴M′M″=2OB=4，∴△ MST 的周长的最小值为4，故选：B．点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．36. 如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧? ACB 上，将弧沿? BC 折叠后刚好经过AB 的中点D，若⊙ O 的半径为5，AB=4 ，则BC 的长是．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊥AB 于E，OF⊥CE 于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB ，则AD=BD= 21AB=2 ，于是根据勾股定理可计算出OD=1 ，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆分析】作点M 关于AB 的对称点M ′，关于AC 的对称点M，根据折叠的性质得到点M′，M″在圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC= CD，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1 ，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1 ，然后计算出CF后得到CE=BE=3 ，于是得到BC=3 2 ．解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB 于E，OF⊥CE于F，如图，∵ D 为AB 的中点，∴OD⊥AB，1∴AD=BD=2AB=2 ，在Rt△OBD 中，OD= OB2BD2= ( 5)222=1，∵将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D．∴AC和CD所在的圆为等圆，︵︵∴AC= CD，∴ AC=DC ，∴ AE=DE=1 ，易得四边形ODEF 为正方形，∴ OF=EF=1 ，在Rt△OCF中，CF= CO2OF2= ( 5)212=2，∴ CE=CF+EF=2+1=3 ，而BE=BD+DE=2+1=3 ，∴ BC=3 2 ．故答案为 3 2 ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．37. 如图，AB 是半径为 2 的⊙ O 的弦，将AB沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O，点 C 是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC交⊙ O于点D，点E是CD的中点，连接AC ，AD ，EO．则下列结论：①∠ ACB=120 ②△ACD 是等边三角形，③ EO 的最小值为1，其中正确的是．（请将正确答案的序号填在横线上）分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住 E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．解答】解：如图1，连接OA 和OB，作OF⊥AB ．由题知：AB沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O1∴ OF=OA= 2OB∴∠ AOF=∠ BOF=60°∴∠ AOB=12°0∴∠ ACB=12°0 （同弧所对圆周角相等）1∠ D= 21∠ AOB=6°0 （同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ ACD=18°0 -∠ ACB=60°∴△ ACD 是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，①② 正确下面研究问题EO 的最小值是否是1如图2，连接AE 和EF∵△ ACD 是等边三角形， E 是CD 中点∴AE⊥BD （三线合一）又∵ OF⊥AB∴F是AB 中点即，EF 是△ABE 斜边中线∴AF=EF=BF 即，E点在以AB 为直径的圆上运动．所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE 长度最小此时，AE=EF ，AE ⊥EF∵⊙ O 的半径是2，即OA=2 ，OF=1∴AF= 3（勾股定理）∴ OE=EF-OF=AF-OF= 3 -1所以，③ 不正确综上所述：①② 正确，③不正确．故答案为①②．点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，所90°的圆周角对的弦是直径．也考查了垂径定理．38. 如图，将AB沿着弦AB 翻折， C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D，连接BC ．（1）求证：BC=BD ；（2）若AC=1 ，CD=4 ，AB=120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点 C 关于AB 的对称点 C ′，连接 AC ′，BC ′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问 题；（2）连接 OA ，OB ，作OM ⊥AB 于M ，AH ⊥BC 交BC 的延长线于 H ．解直角三角形求出 AB ，OA 即 可；【解答】（ 1）证明：作点 C 关于 AB 的对称点 C ′，连接 AC ′，BC ′． 由翻折不变性可知： BC=BC ′ ，∠ CAB= ∠ BAC ′， ∴ BD=BC ′， ∴ BD=BC ′ ， ∴ BC=BD ．2）解：连接 OA ，OB ，作 OM ⊥AB 于 M ，AH ⊥BC 交 BC 的延长线于 H ．∵ AB=120 °，1∴∠ D= 2×120 °=60 °，∴∠ AOB= ∠ACB=2 ∠ D=120°， ∵ BC=BD ，∴△ BCD 是等边三角形，∴ BC=DC=4 ，在 Rt △ ACH 中， ∵∠ H=90°，∠ACH=6°0 ，AC=1 ， ∴CH=21，AH=∵ OM ⊥ AB ， ∴ AM=BM=21，在 Rt △ AOM 中，2∵∠ OAM=3°0 ， ∠ AMO=9°0 ， ∴ OA=AMcos3°0 = 7【点评】 本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性 质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．∴ AB= AH 2BH2= ( 23)292(92)2= 21，39. 如图，已知⊙ O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M，将CD 沿CD 翻折后，点 A与圆心O 重合，延长OA 至P，使AP=OA ，连接PC（1）求CD 的长；（2）求证：PC是⊙O 的切线；3）点G为ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交BC 于点F（F与B、分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠ PCO=9°0 ，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA 、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG= ∠AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△ AGE 和△FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得A G G E = A F G G，从而得到GE?GF=AG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．解答】（1）解：如图，连接OC，∵CD 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，11 ∴OM= 2OA= 2×2=1，CD⊥OA，∵ OC=2 ，∴CD=2CM=2 OC2OM2=2 2212=2 3；2）证明：∵PA=OA=2 ，AM=OM=1 ，CM= 12CD= 3 ，∠CMP= ∠OMC=90° ，∴PC= MC2PM2= （ 3）232=2 3，∵OC=2 ，PO=2+2=4 ，∴PC2+OC2=（2 3 ）2+22=16=PO2，∴∠ PCO=9°0 ，∴PC是⊙O 的切线；3）解：GE?GF 是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵ 点G 为ADB 的中点∴∠ GOE=9°0 ，∵∠ HFG=9°0 ，且∠OGE= ∠FGH∴△ OGE∽△ FGH∴OG GE∴GF = GH∴ GE?GF=OG?GH×=42=8 ．点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．40. 如图1和图2，AB 是⊙ O的直径，AB=10 ，C是⊙ O上的一点，将BC 沿弦BC 翻折，交AB 于点D．（1）若点 D 与圆心O 重合，直接写出∠ B 的度数；（2）设CD 交⊙O于点E，若CE平分∠ ACB，①求证：△BDE 是等腰三角形；②求△ BDE 的面积；（3）将图 1 中的BD 沿直径AB 翻折，得到图2，若点 F 恰好是翻折后的BD 的中点，直接写出∠ B 的分析】（1）如图所示：将⊙ O 沿BC 翻折得到⊙ O′，则⊙ O 与⊙ O′为等圆，然后证明AC =CD =BD ，则可得到AC 的弧度，从而可求得∠ B的度数；（2）①将⊙ O沿BC翻折得到⊙ O′，则⊙ O与⊙ O′为等圆，在⊙ O′上取点E′，连接CE′，BE′．由等弧所对的圆周角相等可得到∠ CEB= ∠ E′，依据圆内接四边形的性质可得到E′∠= BDE ，故此可证明∠ CEB= ∠BDE；②连接OE．先证明∠ BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据度数．1△DBE 的面积=2BD?OE 求解即可；3）将⊙ O 沿BC 翻折得到⊙ O′，将⊙ O′沿BD 翻折得到⊙ O″，则⊙ O、⊙ O′、⊙ O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC =CD =DF=FB，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得∠ B 的度数．解答】解：（1）如图所示：将⊙O沿BC 翻折得到⊙O′，则⊙O 与⊙O′为等圆．∵AC与CD所对的角均为∠CBA，⊙O 与⊙ O′为等圆，∴AC =CD ．又∵ CD=BC ，︵︵∴ CD =BD．又∵CDB =CO′B，︵1︵∴AC =3ACB ，1∴∠ADC= 3×180 °=60°．∴∠B=30°．2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由翻折的性质可知：CFB=CDB，∴∠ CEB= ∠E′．∵ 四边形CDBE′是圆内接四边形，∴∠ E′=∠BDE ．∴∠ CEB= ∠ BDE ．∴ BE=BD ．∴△ BDE 为等腰三角形．②如图2所示：连接OE．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB=90° ．∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ BCE=45° ．∴∠ BOE=9°0 ．在Rt△OBE 中，BE= OE2OB2=5 2 ．∴ BD=5 2 ．∴△DBE 的面积=12BD?OE=12×5 225 2 ×5= ．23）将⊙ O 沿BC 翻折得到 ⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″， 则⊙O 、⊙O ′、⊙ O ″为等圆．∵⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧 AC 与劣弧 CD 所对的角均为 ∠ABC ，∴ AC =CD ．同理： DF =CD ．又∵F 是劣弧 BD 的中点，∴ DF =BF ．∴ AC =CD =DF=FB ．∴ 弧 AC 的度数 =180°÷4=45°．1∴∠ B= 2×45 °=22.5 °．点评】 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．41. 如图，CD 是⊙ O 的直径， AB 是⊙ O 的弦， AB ⊥CD ，垂足为 G ，OG ：OC=3：5，AB=8． （1）求⊙ O 的半径；ECD=1°5 ，将 CE 沿弦 CE 翻折，交 CD 于点 F ，求图中阴影部分的面积．分析】（ 1）根据 AB ⊥ CD ，垂足为 G ， OG ： OC=3： 5， AB=8 ，可以求得⊙ O 的半径； （2）要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形 的面积即可解答本题．解答】 解：（1）连接 AO ，如右图 1 所示，2）点 E 为圆上一点，∵CD 为⊙ O的直径，AB⊥CD，AB=8，∴ AG= 21AB=4 ，∵OG：OC=3：5，AB ⊥ CD，垂足为G，∴设⊙O 的半径为5k，则OG=3k ，∴（3k）2+42=（5k）2，解得，k=1 或k=-1 （舍去），∴5k=5，即⊙O 的半径是5；【点评】 本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用数形结合的思想解答问题．42. 如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 M 的坐标是（ 3，0），半径为 2的⊙M 交x 轴于 E 、 F 两点，过点P （-1，0）作⊙M 的切线，切点为点 A ，过点A 作AB ⊥ x 轴于点 C ，交⊙M 于点B ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过 P 、B 、 M 三点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点 Q 是抛物线上一动点，且位于 P 、B 两点之间，设四边形 APQB 的面积为 S ，点 Q 的横坐标 为 x ，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求 S 的最大值和此时点 Q 的坐标；（ 3）如图 2，将弧 AEB 沿弦 AB 对折后得到弧 AE ′B ，试判断直线 AF 与弧 AE ′B 的位置关系，并说明解答】2）如图 2 所示，将阴影部分沿 CE 翻折，点 F 的对应点为 M ， ∵∠ ECD=1°5 ，由对称性可知， ∠DCM=3°0 ，S 阴影=S 弓形 CBM ， 连接 OM ，则 ∠ MOD=6°0 ， ∴∠ MOC=12°0 ， 过点 M 作 MN ⊥CD 于点 N ， ∴ MN=MO?sin6°0 =5× 3＝ 5 3 2 ＝ 2 120×π×2 51 5 3 25π ∴ S 阴影 =S 扇形 OMC -S △ OMC = - ×5× = 阴影 扇形 △ 360 2 2 3 53 4 即图中阴影部分的面积是： 25π 3 53 4【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆心角定理、切线的性质与判定、特殊三角形的判定和性质等知识点．。

2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ， 又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4， 又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2， 解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1， 在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ， 在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中， 有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12， 解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ， 作PG ⊥AB ，垂足为点G ， 设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ， 在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2， 解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°， 在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ； 问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ， 在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ， 又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2， 即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28， 解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°， 由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点， 在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4， 由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2， 由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ， 同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ， 又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ； 【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ， 易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ， 同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

中考数学折叠专项训练试题（含答案）中考数学折叠专项训练试题附参考答案一．选择题（共9小题）1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE 上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；③无法证明BE=EF；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E 点作EK ⊥BC ，垂足为K ．设BK=x ，AB=y ，则有y 2+（2y ﹣2x ）2=（2y ﹣x ）2，解得x 1=y （不合题意舍去），x 2=y ．则，故正确．故正确的有3个．故选B ．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．（2012?遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（）A ．3B ．2C ．2D ．2考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，易证得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN ，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得BC 的长．解答：解：过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME 是矩形，∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM ，∵∠ENG=∠BNM ，∴△ENG ≌△BNM （AAS ），∴NG=NM ，∴CM=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=ED=BM=CM ，∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S?ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；故选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．（2012?资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D 处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM?CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C 恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（）A．40°B．36°C．32°D．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．（2012?舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C?cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC?DE=×2×=．故选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．（2013?定海区模拟）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC 边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF⊥AB于点F，利用三线合一定理即可求得BF的长，然后证明△CDE是直角三角形，BD=x，则CD=DE=2﹣x，利用三角函数即可得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，则CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故选B．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．（2013?绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB 沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC?AD+AD?ED=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

2020中考数学必刷— 圆中折叠问题【知识与方法】折叠问题是中考的热点题型，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性质、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，培养学生识图能力，灵活运用数学知识是解决此类问题的关键。

圆中的折叠问题又具备了一个特殊的背景——圆，我们必须综合利用的圆的各种性质和直线型中的相关定理加以解决。

【例】如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC沿直线AD对折,恰好与AB重合，点C落到C’,求AD的长。

【解析】设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD 的长．【解答】设圆的圆心是O，连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．则∠OFA=∠OED=90O根据题意知，∠CAD=∠BAD，∴CD BD=，∴点D是BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，又OA=OD∴△AOF≌△OED(AAS)，∴OE=AF=3cm，4==(cm)，)cm==故选A．【针对练习】1．将半径为3的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．BC．D．32【解答】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，所以∠B=30°，所以∠AOB=180°﹣∠A ﹣∠B=120°,所以AB 的长为12032180ππ⨯=，设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ= ，所以r=1．所以圆锥的高=223122-=．故选：A ．【点评】：本题考查折叠的性质、直角三角形的性质、弧长计算、圆锥的侧面展开图．2、如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ） A ．32B ．23C ．235D ．265【解法一】连AC 、DC 、OD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，过O 作OF ⊥CE 于F ， ∵BC 沿BC 折叠，∴∠CDB=∠H ，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA ，∴CA=CD ，∵CE ⊥AD ，∴AE=ED=1，∵5OA =，AD=2，∴OD=1，∵OD ⊥AB ，∴OFED 为正方形，∴OF=1，5OC =，∴CF=2，CE=3，∴32CB =.解法一图 解法二图 【解法二】 作D 关于BC 的对称点E ，连AC 、CE ， ∵AB=4，AE=2AO=2∴BE=2，由对称性知，∠ABC=∠CBE=45°，∴AC=CE ，延长BA 至F ，使FA=BE ，连FC ，易证△FCA ≌△BCE ，∴∠FCB=90°，∴)22BC FB AB BE ==+=. 3、如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB 将半圆折叠，直径AB 和BC 交于点D ，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于_____________．OHFEDCBAOFEDCBA【解析】 连CD ，AC ，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，得到∠A=60°，即△ACD 为等边三角形，于是有弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，阴影部分的面积=扇形DAC 的面积，阴影部分的周长=半圆弧长加直径，然后根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可．【解答】连CD ， AC ，如图， ∵AB 为直径，∠ABC=30°， ∴∠ACB=90°，∠A=60°， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DCB=30°，∴弓形BD 的面积=弓形CD 的面积，∴阴影部分的面积=扇形DAC 的面积=260333602ππ⋅= ； 阴影部分的周长=12•2π•3+6=3π+6．故答案为32π，3π+6．4．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 6π-._【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM =S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，∴cos∠AOC==，AC==∴∠AOC=60°，AB=2AC=，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM =S扇形OAB﹣S△AOB=﹣××=﹣，S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=π×12﹣2（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．5、如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）。

热点专题6图形折叠问题考向1矩形的折叠1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①①CMP是直角三角形；①点C、E、G不在同一条直线上；①PC＝MP；①BP＝AB；①点F是①CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】①沿着CM折叠，点D的对应点为E，①①DMC＝①EMC，①再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，①①AMP＝①EMP，①①AMD＝180°，①①PME+①CME＝180°＝90°，①①CMP是直角三角形；故①正确；①沿着CM折叠，点D的对应点为E，①①D＝①MEC＝90°，①再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，①①MEG＝①A＝90°，①①GEC＝180°，①点C、E、G在同一条直线上，故①错误；①AD＝2AB，①设AB＝x，则AD＝2x，①将矩形ABCD对折，得到折痕MN；①DM＝AD＝x，①CM＝＝x，①①PMC＝90°，MN①PC，①CM2＝CN•CP，①CP＝＝x，①PN＝CP﹣CN＝x，①PM＝＝x，①＝＝，①PC＝MP，故①错误；①PC＝x，①PB＝2x﹣x＝x，①＝，①PB＝AB，故①，①CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，①CE＝EG，①①CEM＝①G＝90°，①FE①PG，①CF＝PF，①①PMC＝90°，①CF＝PF＝MF，①点F是①CMP外接圆的圆心，故①正确；故选：B．2. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将①CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan①HAP＝．【解析】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又①H为AB的中点，①AH＝BH，①AH＝PH＝BH，①①HAP＝①HP A，①HBP＝①HPB，又①①HAP+①HP A+①HBP+①HPB＝180°，①①APB＝90°，①①APB＝①HEB＝90°，①AP①HE，①①BAP＝①BHE，又①Rt①BCH中，tan①BHC＝＝，①tan①HAP＝，故答案为：．3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若①ABC＝26°，则①ACD ＝°．【解析】延长DC，由题意可得：①ABC＝①BCE＝①BCA＝26°，则①ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128．4．(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（①）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图①；（①）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图①，两次折痕交于点O；（①）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图①．探究（1）证明：①OBC①①OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．【解析】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，①BCO＝①DCO＝①ADO＝①CDO＝45°①BC＝DE，①COD＝90°，OC＝OD，在①OBC①①OED中，，①①OBC①①OED（SAS）；（2）过点O作OH①CD于点H．由（1）①OBC①①OED，OE＝OB，①BC＝x，则AD＝DE＝x，①CE＝8﹣x，①OC＝OD，①COD＝90°①CH＝CD＝AB＝＝4，OH＝CD＝4，①EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4在Rt①OHE中，由勾股定理得OE2＝OH2+EH2，即OB2＝42+（x﹣4）2，①y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32．考向2平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′①BD，故答案为：AC′①BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，①CBD＝①C'BD，①AD①BC，①①ADB＝①CBD，①①EDB＝①EBD，①BE＝DE．2. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）ECB FCG∠=∠；（2）EBC FGC∆≅∆．【解析】证明：（1）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，A BCD由折叠可得，A ECG∠=∠，∴∠=∠，BCD ECG∴∠-∠=∠-∠，BCD ECF ECG ECF∴∠=∠；ECB FCG（2）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，AD BCD B=，由折叠可得，D G=，∠=∠，AD CG=，B G∴∠=∠，BC CG又ECB FCG∠=∠Q，∴∆≅∆．EBC FGC ASA()考向3正方形的折叠1．(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求①AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将①APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG①MN，FH①MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：①四边形ABCD是正方形，①①ABE＝①BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB①CD，过点B作BF①MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：①四边形MBFN为平行四边形，①NF＝MB，①BF①AE，①①BGE＝90°，①①CBF+①AEB＝90°，①①BAE+①AEB＝90°，①①CBF＝①BAE，在①ABE和①BCF中，，①①ABE①①BCF（ASA），①BE＝CF，①DN+NF+CF＝BE+EC，①DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI①AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：①四边形ABCD是正方形，①四边形ABIH为矩形，①HI①AD，HI①BC，HI＝AB＝AD，①BD是正方形ABCD的对角线，①①BDA＝45°，①①DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，①MN是AE的垂直平分线，①AQ＝QE，在Rt①AHQ和Rt①QIE中，，①Rt①AHQ①Rt①QIE（HL），①①AQH＝①QEI，①①AQH+①EQI＝90°，①①AQE＝90°，①①AQE是等腰直角三角形，①①EAQ＝①AEQ＝45°，即①AEF＝45°；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则①APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，①AO＝OD，①AOD＝90°，①①ODA＝①ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG①CD于点G，过点P′作P′H①CD交CD延长线于点H，连接PC，①点P在BD上，①AP＝PC，在①APB和①CPB中，，①①APB①①CPB（SSS），①①BAP＝①BCP，①①BCD＝①MP A＝90°，①①PCN＝①AMP，①AB①CD，①①AMP＝①PNC，①①PCN＝①PNC，①PC＝PN，①AP＝PN，①①PNA＝45°，①①PNP′＝90°，①①P′NH+PNG＝90°，①①P′NH+①NP′H＝90°，①PNG+①NPG＝90°，①①NPG＝①P′NH，①PNG＝①NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在①PGN和①NHP'中，，①①PGN①①NHP'（ASA），①PG＝NH，GN＝P'H，①BD是正方形ABCD的对角线，①①PDG＝45°，易得PG＝GD，①GN＝DH，①DH＝P'H，①①P'DH＝45°，故①P'DA＝45°，①点P'在线段DO'上运动；过点S作SK①DO'，垂足为K，①点S为AD的中点，①DS＝2，则P'S的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EG＝AG＝，PH＝FH，①AE＝5，在Rt①ABE中，BE＝＝3，①CE＝BC﹣BE＝1，①①B＝①ECQ＝90°，①AEB＝①QEC，①①ABE①①QCE，①＝＝3，①QE＝AE＝，①AQ＝AE+QE＝，①AG①MN，①①AGM＝90°＝①B，①①MAG＝①EAB，①①AGM①①ABE，①＝，即＝，解得：AM＝，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，①B'＝①B＝90°，①C'＝①BCD＝90°，①B'M＝＝，AC'＝1，①①BAD＝90°，①①B'AM＝①C'F A，①①AFC'①①MAB'，①＝＝，解得：AF＝，①DF＝4﹣＝，①AG①MN，FH①MN，①AG①FH，①AQ①FP，①①DFP①①DAQ，①＝，即＝，解得：FP＝，①FH＝FP＝．考向4三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边①ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把①ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1①AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，①ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求①ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，①①ABC是等边三角形，①①A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，①PB＝4，①PB′＝PB＝P A＝4，①①A＝60°，①①APB′是等边三角形，①AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．①PE①AC，①①BPE＝①A＝60°，①BEP＝①C＝60°，①①PEB是等边三角形，①PB＝5，①①B，B′关于PE对称，①BB′①PE，BB′＝2OB①OB＝PB•sin60°＝，①BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．①B，B′关于直线l对称，①BB′①直线l，①直线l①AC，①AC①BB′，①S①ACB′＝S①ACB＝•82＝16．（4）如图4中，当B′P①AC时，①ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt①APE中，①P A＝2，①P AE＝60°，①PE＝P A•sin60°＝，①B′E＝6+，①S①ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．。

专题04 动点折叠类问题中有关计算题型一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养.下面我们从几个例题中展开论述，逐层拨开它的神秘面纱.二、精品例题解析题型一：图形折叠中的计算例1.（2019·青岛）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为cm ．例2. 如图，矩形ABCD中，AB=36BC=12，E为AD的中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落在CF上的点G处，则折痕EF的长是例3.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝62MP；④BP＝22AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个例4.（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD=2，将∠A向内折叠，点A落在BC上，记为A’，折痕为DE. 若将∠B沿EA’向内折叠，点B恰好落在DE上，记为B’，则AB=例5.（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为例6.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD例7.（2019·金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线减去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FMGF 的值是（ ）A. 522B. 21-C. 12D. 22例8.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC ’与AB 交于点A ’，连结AC'，若AD =AC ’=2，BD =3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．233B ．7213C ．7D ．13例9.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1. 连接DE ，将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为（） A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+题型二：图形折叠中证明、计算题例10.（2019·滨州） 如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG.（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG 的面积.二、精品例题解析题型一：图形折叠中的计算例1.（2019·青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中， E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE 上的点 G 处，折痕为 AF ．若 AD ＝4 cm ，则 CF 的长为 cm ．【答案】625-【分析】要求CF 的长，观察图形，发现CF 在Rt △CEF 中，想到用勾股定理求解，然而EF 的长度是未知的，求解难度较大；再观察图形，发现CF=BC －BF ，只要求出BF 长度即可，而BF=GF ，进而想到利用面积法来求解，设CF=x ，BF=GF=4－x ，列方程求解x 即可.【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC=4，∠C=∠D=90°，设CF=x ，由折叠知：BF=GF=4－x ，∵E 是CD 中点，∴DE=2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE=5ADE ABF AEF CEF ABCD S S S S S =+++△△△△正方形 即：()()111116424425422222x x x =⨯⨯+⨯⨯-+⨯-+⨯⨯ 解得：x=65-，故答案为：65-. 例2. 如图，矩形ABCD 中，AB=36BC=12，E 为AD 的中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF折叠后，点A 恰好落在CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是【分析】EF 在Rt △AEF 中，求出AF 的长即可利用勾股定理求解折痕EF 的长度；连接CE ，可证△CEG ≌△CED ，得EF ⊥CE ，设AF=x ，利用CF 2=BF 2+BC 2，CF 2=EF 2+CE 2，列出方程求解AF 的长. 【答案】215.【解析】解：∵E 是AD 的中点，∴AE=ED ，由折叠知：AE=EG ，∴EG=DE,连接CE ，在Rt △CDE 和Rt △CDG 中，CE=CE ，EG=AE=DE∴Rt △CDE ≌Rt △CDG∴∠GEC=∠DEC ，∴∠FEC=90°，设AF=x ，则BF=36x ，BC=AD=12，在Rt △EFC 和Rt △BFC 中，由勾股定理得：222222AE AF DE CD BF BC +++=+即：(()22222266363612x x +++=-+，解得：x=26， ∴()22626215+=故：答案为215.例3.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝6MP；④BP＝2AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B.【解析】解：由折叠性质知：∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝12×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；由折叠知：∠D＝∠MEC＝90°，∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，即点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2，设AB＝x，则AD＝2，由折叠知：DM＝12AD2x，由勾股定理得：CM3x，∵∠PMC ＝90°，MN ⊥PC ，∴△CMN ∽△CPM ，∴CM 2＝CN •CP ，∴CP 22x =，∴PN ＝CP ﹣CN ＝2x ，由勾股定理得：PM x ，∴PC PM=即PC MP ，故③错误；PB x ，AB PB=∴PB ＝2AB ，故④正确， 由折叠知：CD ＝CE ，EG ＝AB ，AB ＝CD ，∴CE ＝EG ，∵∠CEM ＝∠G ＝90°，∴FE ∥PG ，∴CF ＝PF ，∵∠PMC ＝90°，∴CF ＝PF ＝MF ，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确；故答案为：B ．例4.（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD=2，将∠A 向内折叠，点A 落在BC 上，记为A ’，折痕为DE. 若将∠B 沿EA ’向内折叠，点B 恰好落在DE 上，记为B ’，则AB=【答案】232 33+.【解析】解：由折叠知：∠AED=∠DEA’=∠BEA’，而∠AED+∠DEA’+∠BEA’=180°，∴∠AED=∠DEA’=∠BEA’=60°，∴∠EDA=∠EDA’=∠CDA’=30°,∵AD=2，∴A’E=AE=323 33AD=，∴BE=32'33A E=,即AB=AE+BE=2323+.例5.（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为【答案】49 13.【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠DAB=90°，AD=AB ，由折叠性质知：AE ⊥BF ，∴∠DAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°，即∠DAE=∠ABF ，∴△ADE ≌△BAF ，∴AF=DE=5，由勾股定理得：AE=BF=13，∴AG=2×51213⨯=12013， ∴GE=AE －AG=4913. 故答案为：4913. 例6.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD【答案】D.【解析】解：由折叠知：四边形BADH 为菱形，∴EH=BE+BH在Rt △ABE 中，由勾股定理得：225BE AE +=∴5，5，在Rt △AEH 中，由勾股定理，得：AH 2=()2222512=1025EH AE +=+++， 故A 正确；CD=AD －AC=5－1，BC=2，∴51CD BC -=，故B 正确； BC 2=4，CD ×EH=（5－1）×（5+1）=4， 故C 正确；∵∠AHD=∠AHE ，∴515sin sin +≠=∠=∠AH AE AHE AHD 故D 错误，即答案为D.例7.（2019·金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线减去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FMGF 的值是（ ）A. 52-B. 21C. 12D. 22【答案】A.【解析】解：设正方形ABCD 的边长为a ，连接HF ，GE 交于点O ，则GE ⊥HF ，∠GFH=45°，∴2, 由题意知：正方形EFGH 、与其它四个五边形的面积均相等，∴正方形EFGE 面积为：25a ， 即GF=55a ， ∴FO=2251022GF a a =⨯= FM=OM －FO=102a a - ∴105221025a a FM GF a --==， 故答案为A.例8.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC ’与AB 交于点A ’，连结AC'，若AD =AC ’=2，BD =3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．233 B ．7213 C ．7 D ．13【答案】B.【解析】解：如图，连接CC ’，交BD 于M ，过D 作DH ⊥BC ’于H ，∵AD=AC ’=2，AD=CD=2，由翻折知：CD=DC ’=2，∠DBC=∠BDC ’，∴△ADC ’为等边三角形，DH 即为所求，∴∠ACC ’=∠DC ’C=30°，∴DM=1，C ’M= 3 ∵BD=3， ∴BM=BD －DM=2，在Rt △BMC ’中，由勾股定理得：BC ’= 22'7C M BM +=,∵'11''22BC D S BD MC BC DF =⋅=⋅△ ∴DH=3217， 故答案为：B.例9.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1. 连接DE ，将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为（） A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+【答案】B.【解析】解：∵∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ，∴∠GBD+∠C ＝90°，∵∠EAD+∠C ＝90°，∴∠GBD ＝∠EAD ，∵∠ADB ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADB ﹣∠ADG ＝∠EDG ﹣∠ADG ，即∠BDG ＝∠ADE ，∴△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝1，DG ＝DE ，∵∠EDG ＝90°，∴△EDG 为等腰直角三角形，∴∠AED ＝∠AEB+∠DEG ＝90°+45°＝135°，∵△AED 沿直线AE 翻折得△AEF ，∴△AED ≌△AEF ，∴∠AED ＝∠AEF ＝135°，ED ＝EF ，∴∠DEF ＝360°﹣∠AED ﹣∠AEF ＝90°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴EF ＝DE ＝DG ，在Rt △AEB 中，由勾股定理得：BE ＝，∴GE ＝BE ﹣BG ＝﹣1，在Rt △DGE 中，DG ＝DE=2GE ＝2﹣2，∴EF ＝DE ＝2﹣2， 在Rt △DEF 中，DF ＝DE ＝﹣1，∴四边形DFEG 的周长为：GD+EF+GE+DF ＝2（2）+2（1）＝+2，题型二：图形折叠中证明、计算题例10.（2019·滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积.【分析】（1）由翻折性质并借助全等三角形的性质和菱形的判定方法证明结论成立；（2）由勾股定理，可以求得AF的长，并求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．【答案】见解析.【解析】（1）证明：由题意可得：△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，专题04 动点折叠类问题中有关计算题型∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，在Rt△FDE中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝10 3，即CE＝10 3，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝103×2＝203．。

2020年成都市中考压轴题折叠问题专题复习（含解析）1、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是斜边AC 上的一点，且AE=AB，沿△DEC 的一个内角平分线折叠，使点C 落在DE 所在直线上，求折痕的长度？【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB= =6，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD 与△AED 中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M 作MP⊥DE 于P，∵EM 平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′M 是△ECM 沿EM 折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′=，∴，解得：x=，∴EM= PM= ；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM= ，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．2、如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 为BC 上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上时，则点B′到BC 的距离？【解答】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD 于M．∵点 B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3 或x=4，则点B′到BC 的距离为 2 或1．3、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，AE=4，点F 是边BC 上一点，将△ABF沿AF 折叠，使点B 落在BE 上的点B′处，射线DC 与射线AF 相交于点M，若点N 是射线AF 上一动点，则当△DMN 是等腰三角形时，求AN 的长？【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM= ==10，①当MN=MD 时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2 或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM 时，易知点N 是AM 中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2 或5 或18 时，△DMN 是等腰三角形．4、如图，在四边形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD 的长？【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，5、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度？【解答】解：根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC 时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF，所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA 时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′F，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF 的长度是或4．6、如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F 是边BC 上不与点B，C重合的一个动点，直线l 垂直平分BF，垂足为D，当△AFC 是等腰三角形时，求BD 的长？【解答】解：∵等腰Rt△ABC 中，AB=AC=2，∴BC=2 ，分两种情况：①当AF=CF 时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF= BC= ，∵直线l 垂直平分BF，∴BD= BF= ；②当CF=CA=2 时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l 垂直平分BF，∴BD= BF= ﹣1；故答案为：或﹣17、如图矩形ABCD 中，AD=5，AB=7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上时，求DE 的长？【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M，CD 于点N，作D′P⊥BC 交BC 于点P∵点 D 的对应点D′落在∠ABC 的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3 或4，即MD′=3 或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3 时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4 时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．8、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E 是边AB 上的一点，点F 是边CD 上一点，将平行四边形ABCD 沿EF 折叠，得到四边形EFGC，点A 的对应点为点C，点D 的对应点为点G，则△CEF 的面积？【解答】解：如图1，作CK⊥AB 于K，过 E 点作EP⊥BC 于P．∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2 ，∵C 到AB 的距离和 E 到CD 的距离都是平行线AB、CD 间的距离，∴点E 到CD 的距离是2 ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE 和△GCF 中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×= m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP 中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC= ，∴S= ××2 = ，△CEF9、如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别是BC，DC 上的一个动点，以EF 为对称轴折叠△CEF，使点C 的对称点G 落在AD 上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围？【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D 与F 重合时，CF 最大=3，如图1 所示：当B 与E 重合时，CF 最小，如图2 所示：在Rt△ABG 中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG= =4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG 中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x= ，∴≤CF≤3．10、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，以AB 为边在第二象限作正方形ABCD，点D 在双曲线上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移a 个单位长度后，点C 恰好也落在此双曲线上，则a 的值？【解答】解：过点CE⊥y 轴于点E，交双曲线于点G，过点D 作DF⊥x 轴于点F，在y=2x+4 中，令x=0，解得：y=4，即B 的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A 的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO 中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB 和△FDA 中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D 的坐标是（﹣6，2），C 的坐标是（﹣4，6）．将点D 代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C 的纵坐标是6，把y=6 代入y=﹣得：x=﹣2．即G 的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．11、如图，直径为10 的⊙A 经过点C（0，5）和点0（0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值。

2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）2020中考数学⼏何培优之图形折叠与拼接问题（含答案）【例1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的⾯积为＿＿＿＿＿.例1题图例2题图【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）【例3】如图，将边长为12cm 的正⽅形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.【例4】将⼀矩形纸⽚OABC 放在平⾯直⾓坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中⼀点到达终点时，另⼀点也停⽌运动．设点P 的运动时间A（1）⽤含t 的代数式表⽰OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平⾏？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．【例5】⽤10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正⽅形，可以拼接⼀个长⽅形.（1）求这个长⽅形的长和宽；（2）请画出拼接图.【例6】将正⽅形纸⽚ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意⼀点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长⽤含CM 的长x 的代数式表⽰；若⽆关，请说明理由．图1能⼒训练1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是⽤12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的⽐是_____.4、如图，EF为正⽅形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG＝_______度.5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使80，则∠EGC的度数点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝0为________.第4题图第5题图第6题图6、将⼀张长为70cm的长⽅形纸⽚ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸⽚的宽AB是______cm.7、如图，在矩形纸⽚ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸⽚使AB 边与对⾓线AC 重合，点B 落在F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( )A .B 、2C 、3D 、4第7题图第8题图第9题图9、如图，有⼀块菱形的草地，要在其上⾯修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成⾯积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的⽅案. 10、如图，折叠矩形纸⽚ABCD ，先折出折痕(对⾓线)BD ，再折叠使AD 边与对⾓线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABCD 的⼀边AD ，使点D 落在BC 边上的点F处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1，⼀张矩形纸⽚ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对⾓线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点(1) 求证：AG＝G(2) 如图2，再折叠⼀次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.B级1、如图，⼀张宽为3，长为4的矩形纸⽚ABCD，先沿对⾓线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠⼀次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸⽚折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的⾯积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸⽚OABC放⼊平⾯直⾓坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸⽚OABC沿AC 折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸⽚ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有⼀点E，ED＝2cm，AD上有⼀点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD 交BC于F，将纸⽚折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三⾓形纸⽚ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平⾏于BC，折叠三⾓形纸⽚ABC，使直⾓顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最⼤值与最⼩值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝8，将纸⽚折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另⼀端F在AB边上时，如图．求△EFG的⾯积；（2）当折痕的另⼀端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三⾓形纸⽚ABC的⾯积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐⾓，M是AB 边上的⼀动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）⽤x表⽰△AMN的⾯积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平⾯内），设点A落在平⾯BCNM 内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的⾯积为y．①⽤含x的代数式表⽰y，并写出x的取值范围．10、如图：⼀正⽅形纸⽚，根据要求进⾏多次分割，把它分割成若⼲个直⾓三⾓形．具体操作过程如下：第⼀次分割：将正⽅形纸⽚分成4个全等的直⾓三⾓形；第⼆次分割：将上次得到的直⾓三⾓形中的⼀个再分成4个全等的直⾓三⾓形；以后按第⼆次分割的⽅法重复进⾏．（1）请你设计出两种符合题意的分割⽅案（分割3次）；（2）设正⽅形的边长为a，请你通过对其中⼀种⽅案的操作和观察，将第⼆、第三次分割后所得的最⼩的直⾓三⾓形的⾯积S 填⼊下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最⼩直⾓三⾓形⾯积S 与分割次数n 有什么关系？⽤数学表达式表⽰出来．11、如图1，将边长为4cm 的正⽅形纸⽚ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长＝_________cm ；②求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发⽣变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸⽚折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸⽚还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围），当y 取最⼤值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.参考答案例1 10例2 A 提⽰：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从⽽PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，⼜PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512．例3 7 提⽰：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5 例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平⾏，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，⽽0≤t ≤37，∴t ＝914．②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)．⼜Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，⽽0≤t ≤37，∴t 不存在．例5 （1）10个正⽅形的⾯积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．因为所拼成的长⽅形⾯积是3055．长⽅形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提⽰：（1）证明：设正⽅形边长为a ，DE 为x ，则DM =（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△周长△周长==△CMG的周长△周长，在△DEM中，由勾股定理得（2）2=2+（2）2，化简得4ay=x（4a-x）即. ∴△CMG的周长=44（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提⽰：长⽅形纸⽚折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。

2020年中考数学热点专练八动态几何问题（江苏版）（解析版）专题导读动态几何问题，是近年来的热点问题.它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题.动态几何问题也就是关于图形运动的一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换：平移、旋转、轴对称及动点问题.当然考查图形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点一一研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况.这几乎成了压轴题基本上共同的特点.中考要求中考要求课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能力.学会在运动变化中寻求不变的图形性质.学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况.专题集训考向1图形的运动与最值1.（2019江苏省连云港市）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以点C为圆心作。

与直线相切，点P是QC±一个动点，连接AP交于点T,则业的最大值是AT2.（2019江苏省无锡市）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4逐，D为边AB上一动点（3点除外），以CD为一边作正方形CDEF,连接8E,则ABDE面积的最大值为.3.（2019江苏省宿迁市）如图，ZMAN^60°,若△ABC的顶点3在射线AM上，且A3=2,点。

在射线AN上运动，当AABC是锐角三角形时，BC的取值范围是.4.（2019江苏省宿迁市）如图，正方形ABCQ的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.5.(2019江苏省扬州市)如图，己知等边△ABC的边长为8,点F是边上的一个动点(与点A、B不重合).直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B'.(1)如图1,当PB=4时，若点可恰好在AC边上，则菌，的长度为；(2)如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,则33,的长度为；(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,AACB'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；(4)当PB=6时，在直线1变化过程中，求可面积的最大值.6.(2019江苏省苏州市)已知矩形ABCD AB=5cm,点F为对角线AC上的一点，且AP =26cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为I(s),A4PM的面积为S(enF),S与f的函数关系如图②所示:(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为cm-,(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点£＞出发，在矩形边上沿着D t C t B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M、N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点N相遇后立即停止运动，记此时AARW与AZJRV的面积为5]（＜?麻）,$2（伽2）.①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S] .S?是否存在最大值.若存在，求出S|・S2的最大值并确定运动速度时间x的值;若不存在，请说明理由.(B®)7.（2019江苏省扬州市）如图，四边形A3CD是矩形，A3=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC,ZG=90°.点M在线段AB上，且AM=a,点P沿折线AQ-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ//AQ.设PQ与AB之间的距离为x.（1）若a=12.①如图1,当点F在线段AD上时，若四边形AMQF的面积为48,则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2,若点P在线段ZJG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.考向2动点与函数的结合问题1.(2019江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y^x+bx+c过点C(0,-3),与抛物线£2：-lx2-旦t+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点22P、Q分别是抛物线3、3上的动点.(1)求抛物线3对应的函数表达式；(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点F的坐标；(3)设点R为抛物线3上另一个动点，且CA平分ZPCR.若OQ//PR,求出点。

专题：漫谈折叠问题（二）一、折叠问题小技巧A 要注意折叠前后线段、角的变化，全等图形的构造；B 通常要设求知数；C 利用勾股定理构造方程。

二、折叠问题常见考察点（一）求角的度数1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】A．150°B．210°C．105°D．75°【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。

2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【】A．70° B．40° C．30° D．20°3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是__________．【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。

4. 如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=__________度．5.如图,在△ABC中，D,、E分别是边AB、AC的中点, ∠B=50°o.现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为__________°.【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。

（二）求线段长度1.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】A．32 B．52 C．94 D．3【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。

2020中考数学压轴专题三大几何变换之折叠问题（含答案）1. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折．得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为()A. 6B. 12C. 18D. 24第1题图C2. 如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为()A. 53 B.52 C. 4 D. 5第2题图C3. 如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝23，则∠A＝()A. 120°B. 100°C. 60°D. 30°第3题图A【解析】如解图，连接AC，则两条对角线交于点O，∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF垂直平分AO，∵AO⊥BD，AO⊥EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝12BD，∴BD＝43，∴BO＝DO＝12BD＝23，∵AB＝4，∴cos∠ABO＝BOAB＝234＝32，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴∠A＝120°，故选A.第3题解图4. 如图的实线部分是由Rt △ABC 经过两次折叠得到的，首先将Rt △ABC 沿BD 折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，再沿ED 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，若图中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝5 cm ，则折痕DE 的长为________．第4题图103【解析】∵∠A ＝30°，∠C ＝90°，∴∠ABC ＝180°－∠C －∠A ＝60°，根据折叠的性质可得，∠DBC ′＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，在Rt △BCD 中，cos ∠DBC ＝BCBD ，∴BD ＝BC cos ∠DBC ＝5cos30°＝1033，∵∠CDB ＝180°－∠C －∠DBC ＝180°－90°－30°＝60°，∴∠BDA ′＝∠CDB ＝60°，∴∠ADA ′＝180°－∠CDB －∠BDA ′＝180°－60°－60°＝60°，∵DE 是折痕，根据折叠的性质可得，∠EDA ′＝12∠ADA ′＝12×60°＝30°，∴∠BDE ＝∠BDA ′＋∠EDA ′＝60°＋30°＝90°，在Rt △BED 中，DE ＝BD ·tan30°＝1033×33＝103.5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB ＝6，则BC 的长为________．第5题图23 【解析】∵四边形AECF 是菱形，AB ＝6，假设BE ＝x ，则AE ＝6－x ，∴CE ＝6－x ，∵四边形AECF 是菱形，∴∠FCO ＝∠ECO ，∵∠ECO ＝∠ECB ，∴∠ECO ＝∠ECB ＝∠FCO ＝30°，2BE ＝CE ，∴CE ＝2x ，∴2x ＝6－x ，解得：x ＝2，∴CE ＝4，利用勾股定理得出：BC 2＋BE 2＝EC 2，BC ＝EC 2－BE 2＝42－22＝2 3.6. 用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分，其中点M 为AD 的中点．用这两部分纸片可以拼成图②所示的Rt △BCE .若Rt △BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB ＝a ，BC ＝b ，且a 、b 满足关系式a ＋b ＝m －1，ab ＝m ＋1，则点D 到CM 的距离为________．第6题图2 【解析】∵Rt △BCE 是等腰直角三角形，M 为AD 的中点，∴b ＝2a .∵a ＋b ＝m －1，∴a ＋2a ＝m －1，∴a ＝m －13，b ＝2（m －1）3，∵ab ＝m ＋1，∴m －13·2（m －1）3＝m ＋1，整理得2m 2－13m －7＝0，解得m ＝－12(舍去)或m ＝7，∴a ＝2，b ＝4，AM ＝MD ＝2，在Rt △MCD 中 ，CM ＝22＋22＝22，∴点D 到CM 的距离为2×222＝ 2.7. 将一个矩形纸片ABCD 放置到平面直角坐标系中，点A 、B 恰好落在x 轴的正、负半轴上，若将该纸片沿AF 折叠，点B 恰好落在y 轴上的点E 处，设OA ＝1.(1)如图①，若OB ＝1，则点F 的坐标为________； (2)如图②，若OB ＝2，求点F 的坐标； (3)若OB ＝n ，请直接写出点F 的坐标．第7题图解：（1）(1，233)【解法提示】由折叠的性质可知AE ＝AB ＝2, ∠EAF ＝∠BAF ，∵OA ＝1，AE ＝2，∠AOE ＝90°，∴∠AEO ＝30°，∴∠EAO ＝60°，∴∠F AB ＝30°，∴BF ＝AB ·tan ∠F AB ＝233，则点F的坐标为(1，233)．（2）如解图，作FM ⊥y 轴于点M ，∴∠AEF ＝∠ABF ＝90°，FM ⊥y 轴，∴∠AEO ＋∠FEM ＝90°，∠FEM ＋∠EFM ＝90°， ∴∠AEO ＝∠EFM ，∵sin ∠AEO ＝AO AE ＝13，第7题解图∴sin ∠EFM ＝13.设EM ＝x ，则EF ＝3x ，由勾股定理得MF ＝22x ，OE ＝22， ∵OB ＝2， ∴22x ＝2， 解得x ＝22， ∴OM ＝OE －EM ＝322，∴点F 的坐标为(2，322)；（3）(n ，n 2＋nn 2＋2n)． 【解法提示】如解图，作FM ⊥y 轴于点M ， 同理∠AEO ＝∠EFM ，∵sin ∠AEO ＝AO AE ＝1n ＋1，∴sin ∠EFM ＝1n ＋1，设EM ＝x ，则EF ＝(n ＋1)x ，由勾股定理得MF ＝n 2＋2n x ，OE ＝n 2＋2n ， ∵OB ＝n ， ∴n 2＋2n x ＝n .解得x ＝nn 2＋2n ，∴OM ＝OE －EM ＝n 2＋2n －nn 2＋2n ＝n 2＋n n 2＋2n， ∴点F 的坐标为(n ，n 2＋nn 2＋2n)．8. 如图，将一个正方形纸片AOCD 放置在平面直角坐标系中，点A (0，4)，点O (0，0)，点D 在第一象限，点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合)，将正方形纸片折叠，使点O 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接OP ，OH .设P点的横坐标为m.(1)若∠APO＝60°，求∠OPG的大小；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；(3)设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．第8题图解：（1）∵折叠正方形纸片，使点O落在点P处，点C落在点G处，∴∠POC＝∠OPG，∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC，∴∠APO＝∠POC，∴∠APO＝∠OPG，∵∠APO＝60°，∴∠OPG＝60°；（2）△PDH的周长不发生变化，理由：如解图①，过点O作OQ⊥PG，垂足为点Q，则∠DAO＝∠PQO＝90°.第8题解图①由(3)知∠APO＝∠OPG，又∵OP＝OP，∴△AOP≌△QOP，∴AP＝QP，AO＝QO，∵AO＝OC，∴OC＝OQ，∵∠OCD＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH＝QH，∴△PDH 的周长l ＝PD ＋DH ＋PH ＝PD ＋DH ＋PQ ＋QH ＝PD ＋PQ ＋DH ＋QH ＝PD ＋AP ＋DH ＋CH ＝AD ＋CD ＝8，∴△PDH 的周长l 不发生变化，周长l 为定值8； （3）当S 取得最小值时，点P 的坐标为(2，4)．【解法提示】如解图②，过点F 作FM ⊥OA 于点M ，设EF 与OP 交于点N ，第8题解图②由折叠的性质知△EON 与△EPN 关于直线EF 对称， ∴△EON ≌△EPN ，∴ON ＝PN ，EP ＝EO ，EN ⊥PO ，∵∠OAP ＝∠ENO ，∠AOP ＝∠NOE ， ∴△POA ∽△EON ， ∴PO EO ＝P A EN ＝OAON①， 设P A ＝x ， ∵点A (0，4)， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝16＋x 2，∴ON ＝12OP ＝1216＋x 2，将OP ，ON 代入①式得，OE ＝PE ＝ 18(16＋x 2)， ∵∠EFM ＋∠OEN ＝90°， ∠AOP ＋∠OEN ＝90°， ∴∠EFM ＝∠AOP ， 在△EFM 和△POA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠AOP FM ＝OA ∠OAP ＝∠EMF， ∴△EFM ≌△POA (ASA)， ∴EM ＝P A ＝x ，∴FG ＝CF ＝OM ＝OE －EM ＝ 18(16＋x 2)－x ＝18x 2－x ＋2，∴S＝S梯形EFGP＝S梯形OCFE＝12(FC＋OE)·OC＝12[18x2－x＋2＋18(16＋x2)]×4＝12(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S最小，即AP＝2，∴点P的坐标是(2，4)．。