第5讲 锐角三角函数的综合应用

锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。

课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

锐角三角函数题型一：正切的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与邻边的比值．即tan aA b=，根据直角三角形三边关系易证，0tan A <，()090︒<∠<︒A ①角的正切值例1.1如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若1EB =，2EC =，则tan DCE ∠为（）A .12B .2C D 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90B ∠=︒，//AB CD ∴DCE BEC ∠=∠，∵1EB =，2EC =，∴BC ==，∴tan tan ∠=∠==BCDCE BEC BE；故答案选D ．变式1.11.如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使12DC BD =，连接AC ，若tanB=53，则tan CAD ∠的值（）A.3B.5C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，由5tan 3B =，即53AD AB =，设5AD x =，则3AB x =，然后可证明CDE BDA ∆∆∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得32CE x =，52DE x =，从而可求1tan 5EC CAD AE ∠==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，5tan 3B =，即53AD AB =，∴设5AD x =，则3AB x =，CDE BDA ∠=∠Q ，CED BAD ∠=∠，CDE BDA ∴∆∆∽，∴12CE DE CD AB AD BD ===，32CE x ∴=，52DE x =，152AE x ∴=，1tan 5EC CAD AE ∴∠==．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD ∠放在直角三角形中．②网格图中求正切值例1.2如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为________．【详解】解：如图，由格点知：AB ==，AC ∵12=⋅⋅ ABC S BC AE 1432=⨯⨯6=，12=⋅⋅ ABC S AB CD 12=⨯=，6=，∴CD =．∴AD ==．∴tan 2==CDA AD．故答案为：2.变式1.22.如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【详解】解：如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC += ，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠===．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．③利用图形的变换求正切值例1.3如图，矩形ABCD 中，5AB =，3BC =，E 为边AB 上一点，且3BE =，DAE△沿DE 翻折得到DFE △，连接BF ，tan ∠EFB 的值为________．【详解】解：过点F 作FO AO ⊥于点O ，作FH AB ⊥于点H ，过B 作BG FE ⊥于点G ，∵折叠∴90DAE DFE ∠=∠=︒∴180︒∠=-∠ADF AEF ∵180∠=︒-∠FEB AEF ∴ADF FEB∠=∠∵90∠=∠=︒EGB DOF ，3DF AD ==，3BE =∴DF BE=∴() ≌DOF EGB AAS ∴=GB OF532AE AB BE =-=-=∵13112222=⋅==⋅=⋅= FEB S BE FH FH FE GB AE GB GB ∴32GB FH =∵四边形OAHF 中，四个内角均为90︒，∴四边形OAHF 是矩形，∴=FH AO ∵=GB FO ∴32=FO AO3=∴22(3)9+-=FO AO ∴2413=AO 或0AO =（舍去）∴241531313==-=OD EG ∴3243621313==⨯=FO GB Rt FGB V 中，363613tan 1511213GB GFB GF ∠===-∴36tan 11∠=EFB 故答案为：3611．变式1.33.如图，在菱形纸片ABCD 中，3AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan EFG ∠的值为________．【答案】3【解析】【分析】连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，依据勾股定理可得Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，解方程（3-x ）2+2=x 2，即可得到EF=218，再根据Rt △EOF 中，=即可得出tan ∠EFG=EO FO =．【详解】解：如图，连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∴∠EBF=∠BEC=90°，Rt △BCE 中，CE=cos60°×3=1.5，∴Rt △ABE 中，由折叠可得，AE ⊥GF ，EO=12，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，∵Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，∴（3-x ）2+）2=x 2，解得x=218，即EF=218，∴Rt △EOF 中，=，∴tan ∠EFG=EO FO =【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．题型二：正弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与斜边的比值．即sin aA c=，根据直角三角形三边关系易证，0sin 1A <<，()090︒<∠<︒A ①角的正弦值例2.1在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，2sin 3A =，则边AC 的长是（）A B .3C .43D 【详解】解答：在Rt ABC △中，∵22sin 3===BC A AB AB ，∴3AB =，∴根据勾股定理，得AC =故选A ．变式2.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（）A.5B.14C.13D.4【答案】D 【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴AC ===∴4AC sinB AB ==，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．②网格图中求正弦值例2.2如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A .12B C .10D 【详解】解：如图所示，取格点D ，连接DC ，由网格可得出DC =，AC =，AD =，∵222+=∴222DC AD AC =+，则：90CDA ∠=︒，故sin5===DCA AC ．故选：B ．变式2.25.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB 的值为（）A.2B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】如图，连接AD ，CD ，根据勾股定理可以得到OD=AD ，则OC 是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】解：如图，连接AD ，CD ，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，∠OCD=90°．则=∴sin ∠AOB=2CD OD ==，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．③利用图形的变换求正弦值例2.3如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，连接BD ，将ABC 沿BD翻折，点C 落在边AB 的点C '处，连接CC '．若15AB =，4sin 5A =，则CC '长________．【详解】如图，设BD 与CC '的交点为点O ，∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15AB =，4sin 5A =，∴45BC AB =，即4155BC =，解得12BC =，∴9==AC ，由翻折的性质得：12'==BC BC ，C D CD '=，90'∠=∠=︒BC D ACB ，∴15123''=-=-=AC AB BC ，设AD x =，则9C D CD AC AD x '==-=-，在Rt AC D ' 中，222AC C D AD ''+=，即2223(9)x x +-=，解得5x =，∴5AD =，4CD =，在Rt BCD 中，BD ==又∵BC BC '=，C D CD '=，∴BD 是CC '的垂直平分线，∴BD CC '⊥，2'=CC OC ，∴Rt 1122=⋅=⋅ BCD S BC CD BD OC ，即1112422⨯⨯=⨯，解得5OC =，∴25'==CC OC ，故答案为：5．变式2.36.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ．（1）求证：BFD △是等腰三角形；（2）若4BC =，2CD =，求AFB ∠的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）45【解析】【分析】（1）根据矩形性质和平行线的性质得∠ADB =∠CBD ，结合折叠性质得出∠ADB =∠DBF ，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，利用勾股定理求解x 值，再根据正弦定义求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，由折叠性质得：∠DBF =∠CBD ，∴∠ADB =∠DBF ，∴BF=DF ，∴△BFD 是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC =4，AB=CD =2，∠A =90°，设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：22+（4﹣x ）2=x 2解得：x =52，∴sin ∠AFB =24552AB BF ==，即AFB ∠的正弦值为45．【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定义、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．题型三：余弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于邻边与斜边的比值．即cos b A c=，根据直角三角形三边关系易证，0cos 1A <<，()090︒<∠<︒A 角的余弦值例3.1如图，在Rt ABC 中，90C ∠︒＝，13AB =，5AC =，则cos A 的值是________．【详解】解：在Rt ABC 中，5cos 13AC A AB ==，故答案为：513．变式3.17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____．【答案】45【解析】【分析】根据勾股定理求出边BC 的长，利用余弦定理cos A=A A ∠∠的临边的斜边即可解得．【详解】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，所以所以cos A =AC AB =810=45.【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．②网格图中求余弦值例3.2如图，已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos A 的值为________．【详解】解：如图所示：连接BD ，可得：90CDB ∠=︒，BD =，AD =AB ，故cos5AD A AB ===．．变式3.28.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．【答案】5【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB 2＝32+42＝25、AC 2＝22+42＝20、BC 2＝12+22＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，则cos ∠BAC 5AC AB ==，．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．③利用图形的变换求余弦值例3.3如图，在菱形纸片ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos EFG ∠的值为________．【详解】过点A 作AP CD ⊥，交CD 延长线于P ，连接AE ，交FG 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD AB ==，∵将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，∴∠=∠AFG EFG ，FG AE ⊥，∵//CD AB ，AP CD ⊥，∴AP AB ⊥，∴90∠+∠=︒PAE EAF ，∵90∠+∠=︒EAF AFG ，∴∠=∠PAE AFG ，∴∠=∠EFG APE ，∵//CD AB ，60DAB ∠=︒，∴60PDA ∠=︒，∴sin 6022=⋅︒=⨯=AP AD ，1cos60212=⋅︒=⨯=PD AD ，∵E 为CD 中点，∴112DE AD ==，∴2=+=PE DE PD ，∴==AE ，∴cos cos7∠=∠===AP EFG PAE AE ．故答案为7变式3.39.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，B Ð是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接MD ，ME ．若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为___________．【答案】12【解析】【分析】延长DM 交CB 的延长线于点H ．首先证明△ADM ≌△BHM ，得出AD=HB=4，MD=MH ，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED ，设BE=x ，利用勾股定理构建方程求出x ，即BE ，结合AB 得出cosB 的值.【详解】解：延长DM 交CB 的延长线于点H ．如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=4，AD ∥CH ，∴∠ADM=∠H ，∵M 是AB 的中点，∴AM=BM ，在△ADM 和△BHM 中，AMD BMH ADM H AM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM ≌△BHM （AAS ），∴AD=HB=4，MD=MH ，∵∠EMD=90°，∴EM ⊥DH ，∴EH=ED ，设BE=x ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE 2=AB 2-BE 2=DE 2-AD 2，∴42-x 2=（4+x ）2-42，解得：x=2-，或x=2--（舍），∴BE=2，∴cosB=2142BE AB-==.故答案为：12-.【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题型四：同角三角函数关系（拓展）1.若90A B ∠+∠=︒，则sin cos A B =，sin cos B A =，tan tan 1A B ⋅=2.平方关系：22sin cos 1A B +=3.比值关系：sin tan cos =AA A例4若α是锐角，tan tan501⋅︒=α，则α的值为（）A .20︒B .30°C .40︒D .50︒【详解】解：∵tan tan501⋅︒=α∴5090+︒=︒α∴40α=︒．故选C ．变式410.比较大小：sin81︒________tan 47︒；cos30︒________tan 60︒．（填“>，<或=”）【答案】①.<②.<【解析】【分析】①把sin81︒、tan 47︒分别与1进行比较，即可得到答案；②分别求出cos30︒、tan 60︒的值，然后进行比较即可．【详解】解：∵sin811︒<，tan 47tan 451︒>︒=，∴sin81tan 47︒<︒；∵cos302=°，tan 60︒=又∵2<，∴0cos30tan 6︒<︒；故答案为：<；<；【点睛】本题考查了三角函数的比较大小，解题的关键是正确的掌握三角函数的值，然后进行比较．题型五：特殊角的三角函数值①特殊角的三角函数值的混合运算例5.1计算：sin 30cos 601sin 60cos 45tan 60sin452︒︒+︒-︒︒+︒．【详解】原式1122=+，===，=；变式5.111.计算：（1）28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒；（2）222tan 60cos 30sin 45tan 45︒+︒-︒︒．【答案】（1）7-；（2）134．【解析】【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【详解】解：（1）原式281422⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3814=⨯+-7=-；（2）原式222122⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31342=+-134=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．②由特殊角的三角函数值判断三角形的形状例5.2在ABC 中2(2cos |1tan |0-+-=A B ，则ABC 一定是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【详解】解：由2(2cos |1tan |0-+-=A B ，得2cos A =，1tan 0B -=．解得45A ∠=︒，45B ∠=︒，则ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．变式5.212.在ABC 中，若tanA=1，cosB=2，则下列判断最确切的是（）A.ABC 是等腰三角形B.ABC 是等腰直角三角形C.ABC 是直角三角形D.ABC 是一般锐角三角形【答案】B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B Ð的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B Ð是ABC 的内角，且tan 1A =，cos 2B =，45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴ 是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．③根据特殊角三角函数值求角的度数例5.3在ABC 1cos 02+-=C ，且B Ð，C ∠都是锐角，则A ∠的度数是（）A .15︒B .60︒C .75︒D .30°1cos 02+-=C ，∴sin 02-=B ；1cos 02-=C ．即sin 2B =；1cos 2C =．∴45B ∠=︒，60C ∠=°．∴180180456075∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒A B C ．故选：C ．变式5.313.已知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，22tan tan 21tan ααα=-α和β都表示角度），比如求tan105︒，可利用公式得()tan105tan 60452︒=︒+︒==-，又如求tan120︒，可利用公式得()()22tan120tan 2601︒=⨯︒==-，请你结合材料，若()tan 1203λ︒+=-（λ为锐角），则λ的度数是__________．【答案】30°【解析】【分析】设tan λx =，先根据公式可得到一个关于x 的分式方程，解方程可求出x 的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设tan λx=由题意得：()tan120tan tan 1201tan120tan λλλ︒+︒+=-︒⋅()tan120tan ,tan 1203λx λ︒==︒+=-3=-解得3x =经检验，3x =是分式方程的根即tan 3λ=λQ 为锐角30λ∴=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．④三角函数值的大小例5.4如图所示的网格是正方形网格，则AOB ∠________COD ∠．（填“>”，“=”或“<”）【详解】解：根据题意可知tan 2AOB ∠=，tan 2∠=COD ，∴AOB COD ∠=∠，故答案为=．变式5.4.114.如果α是锐角，则下列成立的是（）A.sin αcos α1+= B.sin αcos α1+> C.sin αcos α1+< D.sin αcos α1+≤【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a 、b 是直角边，c 是斜边，∴sin α+cos α=a c +bc =a b c +，∵a+b>c ，∴a b c+>1，∴sin αcos α1+>.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.变式5.4.215.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转()90αα︒<得到A BC ''△．请比较大小：sin ABA '∠______tan CBC '∠．【答案】＜【解析】【分析】由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠再利用锐角三角函数的定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='由A B '＜,AB 从而可得答案．【详解】解：由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠由三角函数定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='A B ' ＜,AB AA AB '∴＜,AA A B''sin ABA '∴∠＜tan .CBC '∠故答案为：＜．【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．题型五：解直角三角形①解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中除直角外一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.理论依据：①三边关系：勾股定理222+=a b c ②两锐角互余：90A B ∠+∠=︒③边角之间的关系：tan a A b =，sin a A c=，cos a A c =3.常见类型：①已知两条边，先利用边角关系求出两个角，再利用勾股定理求出另一条边②已知一边一角，先求出另一角，再利用边角关系求出其余的边长例5.1已知2sin 3α=，其中α为锐角，求cos α、tan α、cot α的値．【详解】∵2sin 3α=∴设α的对边2k =，直角三角形的斜边3=k ，由勾股定理求出α的邻边=，∴cos α33k ==，tan 5α===，cot 22k α==．变式5.116.（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cosA 12=．求∠C 的度数．（2）在直角三角形ABC 中，已知sinA 45=，求tanA 的值．【答案】（1）75°；（2）43．【解析】【分析】（1）由条件根据∠A 的余弦值求得∠A 的值，再根据三角形的内角和定理求∠C 即可；（2）根据角A 的正弦设BC=4x ，AB=5x ，得AC 的长，根据三角函数的定义可得结论．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，cosA 12=，∴∠A ＝60°∵∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠A ＝75°；（2）∵sinA 45BC AB ==，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x ，∴AC ＝3x ，∴tanA 4433BC x AC x ===．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的知识以及三角形的内角和定理，属基础题．②构造直角三角形例5.2在ABC 中，8AB =，6BC =，B Ð为锐角且1cos 2B =．（1）求ABC 的面积；（2）求tan C ．【详解】（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．∵1cos 2B =，∴60B ∠=︒，∴1cos 842=⋅=⨯=BH AB B ，sin 82=⋅=⨯=AH AB B ，∴11622=⋅⋅=⨯⨯= ABC S BC AH （2）在Rt ACH 中，∵90AHC ∠=︒，AH =742=-=-=CH BC BH ，∴tan 2===AH C CH．变式5.217.如图，在△ABC ，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1)BD ＝3，AD ＝(2)tan C ＝2.【解析】【详解】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴ꞏcos30AD AB =︒=．（2）CD AC AD =-==在Rt △BDC 中，tan2BD C CD ∠===．视频题型六：解直角三角形的实际应用①方位角问题从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角，称为该直线的方位角，方位角的取值范围是0360︒-︒．例6.1如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP =千米，则点AB 两点的距离为（）千米．A .4B .C .2D .6【详解】解：由题意可知，30︒∠= PAC ，60PBC ∠=︒，∵AP =，∴1sin 302PC AP =︒=⨯=cos 609AC AP =︒==，∴3tan 60PC BC ===︒，∴936AB AC BC =-=-=，故选：D ．变式6.118.如图，在一条笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向．有一艘小船从A 处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P 处，从B 处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB 的距离；（2）小船沿射线AP 的方向继续航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）(5AB =+海里；（2）52+海里．【解析】【分析】（1）过点P 作PD AB ⊥于点D ,利用余弦定义解出AP 、AD 的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD 的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点B 作BF AC ⊥于点F ，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF 的长，在Rt BCF 中，由勾股定理解得BC 的长即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ，在Rt PAD V 中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∵cos AD PAD AP∠=，200.510AP ⨯==∴cos 102PA A D D AP =⋅=⨯=∠152PD AP ==在Rt PBD 中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒，∴5BD PD ==．∴(5AB =+海里（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ，在Rt ABF 中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒，∴(11522BF AB ==+在ABC 中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF 中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴52C B ==海里．∴点C 与点B 之间的距离为52海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．②仰角俯角问题仰角：视线在水平线上方的角．俯角：视线在水平线下方的角．例6.2如图，护林员在离树8m 的A 处测得树顶B 的仰角为45︒，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m ，则树的高度BD 为（）A .8mB .9.6mC . 1.6)mD . 1.6)m +【详解】解：过点C 作CE BD ⊥于E ，∵45BCE ∠=︒，∴CEB △是等腰直角三角形，∴8==CE BE ，四边形ACED 是矩形，∴ 1.6==AC DE ，∴8 1.69.6=+=BD 米，故选B ．变式6.219.如图，某飞机在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，飞行高度AC a =，则飞机到目标B 的距离AB 为（）A.sin a α⋅B.sin a αC.cos a α⋅ D.cos a α【答案】B 【解析】【分析】由题意得∠ABC=α，然后根据解直角三角形，即可求出AB 的长度．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC=α，AC a =，∵sin ACABα=，∴sin a AB α=．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．③坡度与坡比问题坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，也称之为坡比，用字母i 表示坡比．即=hi l．坡度一般写成:a b 的形式，如1:5i =等．把坡面与水平面的夹角记作α，α叫做坡角，有tan ==hi lα．例6.3我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1:1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由． 1.414=，1.732=）【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为，∴3tan α==，∴30α=︒．作CD AB ⊥于点D ，则6CD =米，∵新坡面的坡度为，∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得，AD =BC 的坡度为1:1，6CD =米，∴6BD =米，∴6)=-=-AB AD BD 米，又∵8PB =米，∴86)14146 1.732 3.6=-=--=-≈-⨯≈PA PB AB 米3>米，∴该文化墙PM 不需要拆除．变式6.320.如图，在市区A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h 为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l 为____米（结果精确到0.1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．【答案】19.2【解析】【分析】根据题意利用正切列式进行求解即可．【详解】解：由题意可得：tan14°=4.80.24h l l=≈，解得：l ＝19.2，故答案为：19.2．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数进行求解问题是解题的关键．④利用三角函数测量高度例6.4如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF ，卓玛同学为了探究信号塔EF 的高度，从建筑物一层A 点沿直线AD 出发，到达C 点时刚好能看到信号塔的最高点F ，测得仰角60ACF ∠=︒，AC 长7米．接着卓玛再从C 点出发，继续沿AD 方向走了8米后到达B 点，此时刚好能看到信号塔的最低点E ，测得仰角30B ∠=︒．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF 的高度（结果保留根号）．【详解】解：在Rt △ACF 中，∵60ACF ∠=︒，7AC =米，∴tan 60=⋅︒=AF AC ∵8BC =米，∴15AB =米，在Rt ABE △中，∵30B ∠=︒，∴tan30153=⋅︒=⨯=AE AB 米，∴=-=-=EF AF AE ，答：信号塔EF 的高度为变式6.421.如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°,求楼CD 的高．【答案】楼CD 的高是（【解析】【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【详解】延长过点A 的水平线交CD 于点E则有AE ⊥CD ，四边形ABDE 是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC 是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt △AED 中，tan ∠EAD=EDAE∴∴答：楼CD 的高是（）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．实战练22.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是()A.sin B ＝23B.cos B ＝23C.tan B ＝23D.tan B ＝32【答案】C 【解析】【详解】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=13AC AB ==，cosB=13BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.23.如果把∠C 为直角的Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的一半C.都没有变化D.有些有变化【答案】C 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．【详解】 在Rt ABC 中，90C ∠=︒，sin ,cos ,tan a b aA A A c c b ∴===，222sin ,cos ,tan 222a a b b a aA A A c c c c b b∴======，则当Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A 的各三角比的值都没有变化，故选：C ．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．24.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D 【解析】【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ==，∴12sin 13AC B AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．25.若锐角A 、B 满足条件4590A B <<< 时，下列式子中正确的是（）A.sin sin A B > B.cot cot B A> C.tan tan A B> D.cos cos A B>【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】∵4590A B <<< ，∴sin sin A B ＜，cot cot B A ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B >.故只有D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.26.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，对角线AC ABCD 的周长为（）A. B.20C. D.16【答案】D 【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O ，由菱形的性质得出AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，求出∠BAO =30°，由直角三角形的性质得OB =3OA =2，AB =2OB =4，即可得出答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，∴∠BAO =30°，∴OB =OA tan 30⋅︒=3⨯，AB =2OB =4，∴菱形ABCD 的周长=4AB =16；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27.如图，在△ABC 中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AHC CH ，且=1AH 可知，12CH =，∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2===AC ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．28.如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接格点CD ，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，连接格点CD ，∵AD 2=22+22=8，CD 2=12+12=2，AC 2=12+32=10，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，由勾股定理得，AC ，CD ，∴sin ∠BAC =CDAC 5 ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．29.如图，△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC 与△DEF 的周长比为（）A. B.1：2 C.1：3 D.1：4【答案】A 【解析】【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△BAC ∽△EDF ，即可解决问题．【详解】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝，EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∴BC AB AC EF DE DF ===，∴△BAC ∽△EDF ，∴C △ABC ：C △DEF ＝1，故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．30.如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =．若BAC α∠=，AB m =，则底边BC =()A.sin m α⋅B.2sin m α⋅C.2sin2m α⋅ D.sin2m α⋅【答案】C 【解析】【分析】首先如图过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，然后在Rt △ABD 中，根据sin ∠=BDBAD AB求出BD ，最后利用BC=2BD 求出答案即可.【详解】如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，则△ABD 是直角三角形，∵△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BC ，∴∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，在Rt △ABD 中，sin sin2BD BDBAD AB mα===∠，∴sin2BD m α=⋅，∴22sin 2BC BD m α==⋅⋅，故选：C .【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.31.如图，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60m 到达C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A.82mB.160mC.52mD.30m【答案】A【解析】【分析】【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB，Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB÷tan AB，∴DC=BD-BC=）AB=60米，≈82米，即楼的高度约为82.0米，∴AB故选A.32.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A.6mB.mC.9mD.【答案】A【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1，∴BC AC =3AC =解得，AC ＝，由勾股定理得，AB ==6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．33.在△ABC 中，∠C 90°，sinA 1213，BC 12，那么AC ______．【答案】5【解析】【分析】先根据正切的定义得到sinA=BC AB =1213，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC 的长．【详解】在△ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =1213，BC=12，∴AB=13，∴．故答案为5．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.34.cos45°-12tan60°=________；【答案】12-【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式11222=-=-．故答案是：12-．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．35.在ABC 中，2cos (1cot )0A B +-=，则ABC ∆的形状是__________．【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据非负数的性质得到cos =02-A ，1cot =0-B ，从而求出∠A 与∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状．【详解】∵2cos (1cot )0A B -+-=∴cos =02-A ，1cot =0-B即cos =2A ，cot =1B ∴=30A ∠︒，=45∠︒B ∴=1803045=105∠︒-︒-︒︒C ∴ABC ∆是钝角三角形故答案为：钝角三角形【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．36.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝20，c ＝，则∠B 的度数为_______.【答案】45°【解析】。

九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——锐角三角函数的应用1. 理解锐角三角函数的定义，弄清楚直角三角形中的边、角关系．2. 熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．3. 运用锐角三角函数解决实际问题．二. 知识要点：1. 直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；（3）边角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab （锐角三角函数）．（4）在锐角三角函数sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab中，实际上分别给出了三个量的关系：a 、b 、c 是边的长，sinA 、cosA 、tanA 是由∠A 用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中．当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素．如：已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠A ＝30°，求BC 边的长．ABCD630°画出图形，可知边AC ，BC 和∠A 三个元素的关系是正切函数的定义给出的，所以有等式tan30°＝BC 6，由于tan30°＝33，它实际上已经转化成了以BC 为未知数的代数方程，解这个方程，得BC ＝6tan30°＝6·33＝2．即得BC 的长为2．3. 非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形．（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形．（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形．4. 把实际问题转化为解直角三角形问题很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题．例如：我们知道，机器上用的螺丝钉，它的圆柱部分的侧面可以看作是长方形围成的（如图）．螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推进mm ，螺纹的初始角应是多少度多少分？ACB据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC 的长为AC＝2π·（62）＝6π（mm ），另一条直角边为螺钉推进的距离，所以BC ＝1.25（mm ），设螺纹初始角为θ，则在Rt △ABC 中，有tan θ＝BCAC ＝6π≈0.0663，∴θ≈3°47′，即螺纹的初始角约为3°47′．三. 重点难点：本讲重点是掌握直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系（锐角三角函数）．难点是正确选用直角三角形中的这些关系求出其它未知元素．四. 考点分析：解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际、综合运用知识、技能的要求越来越明显，考查题型为选择题、填空题、解答题、应用题等．【典型例题】例1. 如图所示，P 是α角OA 边上的一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43OAP B34αx y分析：本题比较容易，考查坐标的意义和求三角函数的值．由图可知，因为点P 的坐标为（3，4），所以OB ＝3，PB ＝4，根据勾股定理可得OP ＝OB 2＋PB 2＝5，所以sin α＝PBOP＝45，所以答案选择B ． 解：B例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB ＝cos ∠DAC ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）若sinC ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．ABCD分析：对于第（1）问中AC 、BD 分别是Rt △ADC 中的斜边和Rt △ABD 中的一直角边，可根据直角三角形中的边角关系和已知条件tanB ＝cos ∠DAC 进行转换．对于第（2）问，因为BD ＝AC ，可根据勾股定理和三角函数求出AD 的长．（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC ，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC，∴AC ＝BD ． （2）解：在Rt △ADC 中，由sinC ＝1213，可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ．由勾股定理，得CD 2＝（13k ）2－（12k ）2＝25k 2，∴CD ＝5k ． 又由（1）知BD ＝AC ＝13k ．∵BC ＝BD ＋DC ，∴12＝13k ＋5k ，解得k ＝23．∴AD ＝12k ＝12×23＝8．例3. 如图所示，X 伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼．风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA＝PC），水平线l与OC夹角α＝8°（点A在OC上）．请求出铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈210，cos8°≈7210，tan8°≈17）lO分析：将实际问题转化成数学问题即：已知AP＝PC，BC⊥AP于B，AB＝6cm，∠ACB ＝∠α＝8°，求BP的长．在Rt△ABC中应用三角函数可求出BC，再根据PB＋AB＝AP ＝PC和勾股定理可求出BP的长．解：根据题意∠ACB＝∠α＝8°，在Rt△ABC中，∵ABBC＝tan∠ACB＝tan8°，AB＝6cm，∴BC＝6tan8°＝42cm，在Rt△BCP中，PC2＝PB2＋BC2，∵PC＝AP＝PB＋AB＝PB＋6，∴（PB＋6）2＝PB2＋422，即：12PB＋36＝422，解得PB＝144，即h＝144cm．答：铅锤P处的水深h为144cm．例4.如图所示，河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝60°．求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）．A BCDFab分析：在△BCF中，∠CBF＝60°，要求CF必须求出BC或BF．∠DAB＝30°和AB ＝100米、CD＝50米与问题没有直接联系，需将它们进行适当的转化，转化到相关的直角三角形中，应用三角函数求解．解：过点C作CE∥AD交b于点E，则∠DAB＝∠CEB＝30°，AE＝CD＝50米，BE＝AB－AE＝50米．在Rt△BCF中，BF＝CFtan∠CBF＝CF3＝33CF，在Rt△CEF中，EF＝CFtan∠CEF＝3CF．∵EF－BF＝BE＝50，∴3CF－33CF＝50，即CF＝253≈43（m）．A B CD E Fab例5.如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈．）分析：延长CD 交PB 于点F ，在Rt △BDF 中求出DF ．树高AB 可分为三段AE 、CD 、DF 来求．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝BD ·sin15°≈50×0.26＝13.0． ∴CE ＝BF ＝BD ·cos15°≈50×＝． ∴AE ＝CE ·tan10°≈×＝．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝＋＋13＝（米）． 答：树高约为米．例6.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由． （结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）ABCD北45°60°分析：（1）AD 的长可以用含CD 的式子表示出来，BD 的长也可以用含CD 的式子表示出来，因为AB 长为40，所以由AD ＋BD ＝40可得含CD 的方程．（2）分别计算两种方案所用时间，时间短的救助方案较合理．解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD ＝30°，∠CAD ＝45°， ∴AD ＝CD ＝x ．在Rt △BCD 中，tan30°＝xBD，∴BD ＝3x ，AD ＋DB ＝AB ＝40，∴x ＋3x ＝40，解得x ≈14.7， ∴牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ， 在Rt △ADC 中，∠CAD ＝45°，∴AC ＝2CD ，方案I 用的时间t 1＝AD 3v ＋CD v ＝4CD3v ；方案II 用的时间t 2＝2CDv．∴t 2－t 1＝(32－4)CD3v．∵32－4＞0，∴t 2－t 1＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理．【方法总结】解决锐角三角函数的综合问题时，应根据题目中给出的有关信息构建图形，经过整理数据、加工信息、抽象概念，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题．运用三角函数知识解题时，尽量选择用乘法计算的关系式．可归纳为“有弦用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余，宁乘勿除”的基本方法．【预习导学案】 （34.1认识二次函数） 一. 预习前知1. 一次函数的一般表达式是__________．2. 反比例函数的一般表达式是__________． 二. 预习导学1. 下列函数中，__________是一次函数，__________是反比例函数，__________是二次函数．（1）y ＝3x ；（2）y ＝3x －1；（3）y ＝3x 2－1；（4）y ＝13x ；（5）y ＝13x2；（6）y ＝3x 3＋2x 2；（7）y ＝（x ＋2）2－x 2；（8）y ＝x 2＋1x2．2. 正方形的周长为l ，则这个正方形的面积S 与周长l 之间的函数表达式是__________．3. 若y ＝（m 2－1）x 2＋（m ＋2）x 是关于x 的二次函数，求m 的值． 反思：（1）二次函数的一般表达式有什么特征？（2）一次函数、反比例函数、二次函数有什么区别与联系？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A. 55B. 25 5C. 12D. 2AOB2. 如图所示，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60°的500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A. 250mB. 2503mC. 50033m D. 2502mABO 东北3. 如图所示，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是（ ）A. m sin40°B. m cos40°C. m tan40°D. mtan40°ABC40°4.在直角坐标系中，点P （4，y ）在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是（ ）A. 433 B.4 3 C. －3 D. －1 °，又知水平距离BD ＝10m ，楼高AB ＝24m ，则树高CD 为（ ）A. （24－103）mB. （24－1033）mC. （24－53）mD. 9m*6. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A. 32B. 23C. 2D. 12OABP**7. 如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为（ ）A. 3B. 163C. 203D. 165ABCDE二. 填空题1. 如图所示的半圆中，AD 是直径，且AD ＝3，AC ＝2，则sinB 的值是__________．OABCD2. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__________米．BCDEA**3. 如图，矩形纸片ABCD ，BC ＝2，∠ABD ＝30°．将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F ，则点F 到直线DB 的距离为__________．A BCDEF**4. 如图，X 华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE ＝9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为__________米（结果保留根号）．三. 解答题1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tanA 的值．A BC2. 小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD ＝60°，若牵引底端B 离地面，求此时风筝离地面的高度．（计算结果精确到，3≈1.732）3. 如图所示，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，摆动偏离竖直方向最大角度为60°．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，你能求出小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差吗？OB*4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cosB ＝513，BC ＝26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．ABCD*5. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到m ，参考数据：3≈）ABC【试题答案】一. 选择题 1. A2. A 【根据题意OA ＝500，∠AOB ＝30°，则AB ＝500sin30°＝250】3. B 【∵cos40°＝BC AB ＝BCm ，∴BC ＝m cos40°】4. B5. A6. D 【作OC ⊥AP 于C ，则AC ＝BC ＝4，OC ＝3，PC ＝6，∴tan ∠OPA ＝OC PC ＝36＝12】7. B 【由题意知∠BAC ＝α，则cos ∠BAC ＝35＝AB AC ，∵AB ＝4，∴AC ＝203，∴BC ＝AC 2－AB 2＝（203）2－42＝163．】二. 填空题1. 23【∵AD 是直径，∴∠ACD ＝90°．∵∠B ＝∠D ，sinD ＝AC AD ＝23，∴sinB ＝23】2. 123. 233【由题意可知，DF ＝BF ，∠ABD ＝∠EBD ＝30°，BD ＝2AD ＝4，过点F 作FG⊥DB 于点G ，则DG ＝BG ＝2，在Rt △BGF 中，点F 到直线DB 的距离FG ＝BG ·tan30°＝233】 4. 10＋33【过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，AD ＝CDtan30°＝9×33＝33；在Rt △BCD 中，BD ＝CDtan45°＝9．所以旗杆顶点A 离地面的高度为33＋9＋1＝10＋33】三. 解答题1. BC ＝ABsinA ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝9，所以△ABC 的周长是36，tanA ＝BC AC ＝43．2. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ×sin60°＝20×32＝103，又DE ＝AB ＝1.5，∴CE ＝CD＋DE ＝CD ＋AB ＝103＋1.5＝18.8（米）3. 过点A 作AD ⊥OB 于D ，因为OA ＝OB ＝50，∠AOB ＝60°，所以OD ＝25，BD ＝OB －OD ＝25厘米，即小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差是25厘米．4. （1）在Rt △ABC 中，∵cosB ＝513，BC ＝26，∴AB ＝BC ·cosB ＝10，∴AC ＝BC 2－AB 2＝24．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ．∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝2426＝1213．（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵AD ＝CD ，∴AE ＝12AC ＝12，∴AD ＝AEcos ∠DAC ＝13．5. 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝ADtan30°＝223，CD ＝ADtan60°＝663，BC ＝BD ＋CD ＝223＋663＝883≈152.2（米）．这栋楼高约为m ．。

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。

2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B 3 C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A 2．2 C ．1 D ．2D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.11.414≈1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．3mC ．150mD ．3m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:1035m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°OMNP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABCF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。

锐角三角函数教案设计锐角三角函数教案设计作为一位杰出的老师，就有可能用到教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。

那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是店铺整理的锐角三角函数教案设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

锐角三角函数教案设计篇1知识目标：1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义。

2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值。

能力、情感目标：1.经历由情境引出问题，探索掌握数学知识，再运用于实践过程，培养学生学数学、用数学的意识与能力。

2.体会数形结合的数学思想方法。

3.培养学生自主探索的精神，提高合作交流能力。

重点、难点：1.直角三角形锐角三角函数的意义。

2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。

教学过程：一、创设情境前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。

但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。

同学们放过风筝吗？你能测出风筝离地面的高度吗？学生讨论、回答各种方法。

教师加以评论。

总结：前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是BC的长，而的AB的长是可知的，只要知道AC的长就可要求BC 了，但实际上要测量AC是很难的。

因此，我们换个角度，如果可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。

（由一个学生比较熟悉的事例入手，引起学生的学习兴趣，调动起学生的学习热情。

由此导入新课）二、新课讲述在Rt△ABC中与Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A 的对边、斜边分别是BC、AB，∠A1的对边、斜边分别是B1C1、A1B2 （学生探索，引导学生积极思考，利用相似发现比值相等）（）若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么问题1：从以上的探索问题的过程，你发现了什么？（学生讨论）结论：这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

锐角三角函数与解直角三角形之羊若含玉创作【考纲领求】锐角三角函数的界说、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为依据题中给出的信息构建图形，树立数学模子，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中界说的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确准时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分离是一个完整的数学符号，是一个整体，不克不及写成，，，不克不及懂得成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；别的，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的界说知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值应用三角函数的界说，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以便利地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的纪律会发明：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变更纪律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的盘算中，盘算时巧用这些关系式可使运算轻便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的进程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分离为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的懂得和记忆要联合图形，可以加倍清楚、直不雅地懂得.考点五、解直角三角形的罕有类型及解法已知条件解法步调Rt△ABC 双方两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行盘算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很普遍，症结是把实际问题转化为数学模子，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的症结.解这类问题的一般进程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、偏向角等概念，然后依据题意画出几何图形，树立数学模子.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)依据直角三角形(或通过作垂线结构直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并磨练答案是否相符实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南偏向线按顺时针转到目的偏向的水平角叫做方位角，如图①中，目的偏向PA，PB，PC的方位角分离为是40°，135°，245°.(4)偏向角：指北或指南偏向线与目的偏向线所成的小于90°的水平角，叫做偏向角，如图②中的目的偏向线OA，OB，OC，OD的偏向角分离暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南偏向指的是南偏东45°，东南偏向指的是北偏东45°，西南偏向指的是南偏西45°，西南偏向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值盘算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要不雅察图形特点，恰当引帮助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(症结弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而依据条件选择适合的办法求解.【典范例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50°B．10·cos50°C．10·sin50°D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的界说，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中双方之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的办法是：应用界说，依据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接应用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验测验完成．触类旁通：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分离是∠A、∠B、∠C 的对边，那么c等于( )(A) a cosA bsin B+ (B)asin A bsin B+(C)a bsin A sin B+(D)a bcos A sin B+类型二、特殊角的三角函数值2．解答下列各题：(1)化简求值：tan60tan45sin45sin30sin60cos30cos45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．．【总结升华】 由第(2)题可得到往后经常使用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．触类旁通：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.3．(1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 知足12sin 13A =，如何求BC 的长及△ABC 的面积？若AC ＝3，其他条件不变呢?【思路点拨】第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“双方一夹角”，均可用相似的办法解决．类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的界说【专题解读】 锐角三角函数界说的考核多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝3 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．43专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．例4 盘算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0． 例5 盘算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．例6 盘算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．例7 盘算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考核综合运用知识解决问题的才能.BC 例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，求AD的长．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．专题4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】增强数学与实际生活的接洽，提高数学的应用意识，造就应用数学的才能是当今数学改造的偏向，围绕本章内容，纵不雅近几年各地的中测验题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有汽船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各类应用问题时要注意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外运动小组的同学应用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处不雅测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你依据这些数据算出河宽是若干?(成果保存小数点后两位)例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发明海中的B点有人求救，便立刻派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以算作是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东偏向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°偏向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°偏向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船持续向正东偏向航行，该货船有无触礁危险?试说明来由．例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块告白牌CD，甲、乙两人分离在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分离为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE ＝15米，求这块告白牌的高度．(3≈1.73，成果保存整数)例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高 4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，或人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)二、纪律办法专题专题5 公式法【专题解读】本章的公式许多，熟练掌握公式是解决问题的症结．例19 当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值．三、思想办法专题专题6 类比思想【专题解读】求方程中未知数的进程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的进程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的懂得可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分离为a，b，c，已知a＝52，b＝152，解这个直角三角形．．专题7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题经常使用的办法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－33x＋33，则cosα等于 ( )A．12 B．22C．32 D．33专题8 分类讨论思想【专题解读】当成果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条器械走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°偏向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经由C修一条笔挺的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(成果可保存根号)专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100km．现筹划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经丈量，森林呵护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的偏向上．已知森林呵护区的规模在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问筹划修筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为什么?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个极点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(成果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)例26 如图28－142所示，某居平易近楼I高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现筹划在I楼的正南边距1楼30米处新建一居平易近楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖若干米?。

第5讲解直角三角形专题【考点透视】一、锐角三角函数与解直角三角形：1.锐角三角函数的槪念，通过画图找出直角三角形中边角关系：2.准确经历30°、45。

、60°的三角函数值并进行讣算：已知三角函数值求相应锐角：3.三角函数与直角三角形的相关应用.二、几何直线型：一、利用有关三角形、平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形等的性质、判定及其相关结论进行相关计算推理；二、解决几何图形的三大变换问题。

【思想方式】一、本专题所研究的锐角三角函数，所涉及的角都是锐角，研究如此的角，能够与直角三角形直接联系起来。

利用直角三角形的边角关系求图形中的某些边或角时，都是通过数值讣算，这是数形结合的一种方式。

因此在分析问题时，最好画出它的平面或截而示用意，依照图中边角关系去进行il•算, 便于解答、避免犯错。

有些图形尽管不是直角三角形，但可添加适当的辅助线耙它们分割成一些直角三角形和矩形，如等腰三角形、梯形等问题。

从而能够运用直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。

二、“一招制胜”一一分离图形法【出色知识】考点1:有关三角函数的重要概念【例1】（1）如下图正方形网格中，每一个小正方形的边长都相等，点A. B. G Q都在这些小正方形的极点上，线段M与Q相交于P、那么tanZBPD的值为________________ 。

（2）已知△磁中，ZA. Z万是锐角，且sinJ=tan5=2, AB二29cm,那么- _______ 变式训练^1.（泰安市）直角三角形纸片的两直角边长别离为6, 8,现将△ A3C如图那样折叠，使点A与点B重合, 折痕为DE,那么tan ZCBE的值是（）242.如图，已知△MG AB=AC=1. ZA=36° , ZABC的平分线別交M于点D,那么肋的长是,cosA的值是・（结果保留根号）值。

考点2:有关三角函数的计算【例2】已知“是锐角，且sin( a +15J- *计算爲-4cosa-(兀-3.14)° + tan a+ [£ j的变式训练：计算：(-1)2OH -(If3 + (cos68 +-)°+|3>/3-8sin602 n I考点3:锐角三角函数之间的关系及三角函数增减性【例3】若0° <"<45°，且sin "cos"二仝匕，那么sin"的值为_________________16 变式训练：1.已知为锐角，以下结论：< 1 > sina + cosa = 1 〈2>若是a >45。

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 0, ∠A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a、 b、 c，则∠ A 的正弦可表示为： sinA∠ A 的余弦可表示为： cosA∠ A 的正切可表示为： tanA，它们称为∠ A 的锐角三角函数① sin A ()＝______，斜边②cosA ()＝______，斜边③ tanA ( )＝______，A的邻边【特别提醒： 1、sinA、cosA、 tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。

2、取值范围<sinA< ，<cosA< ， tanA>例 1. 锐角三角函数求值：在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，若 a＝ 9， b＝ 12，则 c＝ ______，sinA＝ ______， cosA＝ ______， tanA＝______ ，sinB＝ ______， cosB＝ ______， tanB＝______ ．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM 中，∠ TMN ＝90°， MR⊥ TN 于 R 点， TN＝ 4， MN＝ 3．求： sin∠TMR、 cos∠TMR 、 tan∠ TMR．2．已知：如图，⊙3 O 的半径 OA＝ 16cm， OC⊥AB 于 C 点， sinAOC4求： AB 及 OC 的长．类型二 . 利用角度转化求值：1．已知：如图， Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°． D 是 AC 边上一点， DE ⊥ AB 于 E 点．DE ∶ AE ＝1∶ 2．求： sinB 、 cosB 、tanB ．2． 如图，直径为 10 的⊙ A 经过点 C (0，5) 和点 O (0，0) ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y轴右侧圆弧上一点，则 cos ∠ OBC 的值为（ ） A ．1B ．3 C ．3 4 2 2 D ．5 y 5C AOB D x第 8题图3， AC 5.如图， ⊙O 是 △ ABC 的外接圆， AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙O的半径为2 ，则 2sin B 的值是（ ）2 3 3 4 A ． B ． C ． D ． 3 2 4 36. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知AB 8 ， BC 10 ， AB=8,则 tan ∠ EFC 的值为 ( ) A DEＡ． 3 Ｂ． 4Ｃ． 3Ｄ．4 B FC43557. 如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中， C90 ， AC6 ， D 为 AC 上一点，若tan DBA 1 ) ，则 AD 的长为 (5A ． 2B． 2C． 1 D ． 2 2类型三 . 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ ABC 中，∠ A=30°，∠ B=45°， AC=2 3 ，求 AB 的长．2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°，点 D 在 BC 边上，且△ ABD 是等边三角形．若 AB=2 ，求△ ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠ A=60°， AB=6 cm， AC=4cm ，则△ ABC 的面积是（）A.2 3 cm2B.4 3 cm2C.6 3 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）1B．5C．10 D ．2 5A ．2 5 10 5ACO BA B2．如图，△ ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______.3．如图， A、 B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC 'B' ，则 tan B' 的值为（）1B. 1 1D. 1A.3 C.4 24．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠ AOB 的值是（）5 2 5 1A ． 5 B. 5 C.2 D. 2知识点二： 特殊角的三角函数值锐角 30° 45° 60°sin cos tan 当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例 1．求下列各式的值．1.计算： tan 60 sin 245 2 cos30－ 1+(2 π－ 1)0－ 3tan30－°tan45 ° 2.计算：3313tan30 0 tan 45 sin 303．计算： 2 cos60 sin 45 4．计算：221 cos60例 2．求适合下列条件的锐角．(1) cos 1 3(3) sin 2 2 (4) 6 cos(16 ) 3 3(2) tan 3 2 2（ ）已知 为锐角，且tan(300 )3 ，求 tan的值（ ）在 ABC 中， cos A 1 (sin B2 )20 ， A ， B 都是锐角，求 C 的度数2 2例 3. 三角函数的增减性1 1．已知∠ A 为锐角，且 sinA < 2，那么∠ A 的取值范围是A. 0 °<A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D.30 <°A < 90 °2. 已知 A 为锐角，且cos A sin 300，则（）A. 0 °<A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A <90 °类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中， DE ⊥AB 于 E， BE＝16cm， sin A求此菱形的周长．12132．已知：如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC BC 3 ，作∠ DAC ＝30°， AD 交 CB 于 D 点，求：(1) ∠ BAD；(2)sin∠ BAD 、 cos∠BAD 和 tan∠BAD ．3. 已知：如图△ ABC 中， D 为 BC 中点，且∠ BAD ＝90°， tan B 1，求： sin∠CAD 、cos 3∠CAD 、 tan∠ CAD ．4. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，sin B 3，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6 ，求 tan∠ BAD 5的值． AB CD5（.本小题 5 分）如图，△ ABC 中，∠A=30°，tan B3 ，2AC 4 3 ．求 AB 的长 . CA B知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示 )：在Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ b，BC＝a， AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐角之间的关系：_________________________________ _ ．③边与角之间的关系：sinA cosB ______；cos A sin B _______；1_____；1tan A tan B ______．tan B tan A④直角三角形中成比例的线段(如图所示 )．在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D．CD 2＝ _________； AC2＝ _________；BC 2＝ _________ ；AC· BC＝ _________．例 1．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°．(1) 已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠ A、∠ B，c；(2) 已知： sinA2 6 ，求 a、b；， c3（3）．已知：△ ABC 中，∠ A＝ 30°，∠ B＝ 60°， AC＝ 10cm．求 AB 及 BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面 A 、 B 两点的俯角分别是30°、 45°，如果此时热气球C处的高度 CD 为 100 米，点 A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A ．200 米B ．200 米C． 220 米D． 100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在 A 北偏西的方向上，沿31河岸向北前行 20 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值： tan31 °≈3， sin31 °≈1）5 2图133 .如图，小聪用一块有一个锐角为 30 的直角三角板测量树高， 已知小聪和树都与地面垂直， 且相距 3 3 米，小聪身高AB 为 1.7 米，求这棵树的高度.CA DBE4． 一数学兴趣小组为测量河对岸树 AB 的高，在河岸边选择一点 C ，从 C 处测得树梢 A 的仰角为 45°，沿 BC 方向后退 10 米到点 D ，再次测得点 A 的仰角为 30°．求树高． (结果精 确到 0.1 米．参考数据：2 1.414 ，3 1.732 )A30° 45°DC B5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的 知识检测车速．如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（ AC ）为 30 米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，∠ BAC=75° ．（1）求 B 、 C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米 /小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据： sin75 °≈ 0.9659，cos75°≈ 0.2588， tan75 °≈ 3.732，3 ≈ 1.732， 60 千米 /小时 ≈ 16.7米 /秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3 ，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）A ． 100mB ．100 3 m C． 150m D ．50 3 m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆 AB 的高度 .如图，老师测得升旗台前斜坡 FC 的坡比为i=1:10 ，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即 CE=35m ）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知 tanα= 3，升旗台高AF=1m，小明身高7CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度 .BiFC =1:10ADα FCE3.如图，有两条公路 OM ，ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心、 50 米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米 /时 .(1)求对学校 A 的噪声影响最大时 ,卡车 P 与学校 A 的距离 ;(2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪影响的时间.NP30°O 80米 A M4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知 BC=4 米， AB=6 米，中间平台宽度DE=1 米，EN、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，∠ EAB=31 °，DF ⊥ BC 于 F，∠ CDF =45 °．求 DM 和 BC 的水平距离 BM 的长度．（结果精确到 0.1 米，参考数据： sin31 °≈ 0.，52cos31°≈ 0.86，tan31 °≈ 0.）60CE D 45°F31°A N M B5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o 降为 30o，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点 D 、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 为△ABC 中的一锐角，则有 ∠A的正弦：斜边的对边A A ∠=sin c a= ?∠A 的余弦：斜边的邻边A A ∠=cos cb = ∠A的正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法,（2）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、2、3；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、对边.AC?30°角的正弦值。

（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的类型和解法如下表：)考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，方向角？指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016•陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）-A．B．C．D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【解析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．"在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈．（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．-【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°52′≈×≈故答案为：8，例3、（2015•陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为米，铅直高度BC 为米，则∠A的度数约为°（用科学计算器计算，结果精确到°）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．》【解答】解：∵tan∠A==≈，∴∠A=°，故答案为：°．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．例4、(2014•陕西)用科学计算器计算：+3tan56°≈（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．【解答】解：≈，tan56°≈，…则+3tan56°≈+3×≈故答案是：．【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到．例5、(2014•陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．:【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，、DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015•陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC 的值最小若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．|【考点】四边形综合题．.【专题】综合题．【解析】（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC 的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ 交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O 与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，（∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S △BMC=BC•AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，;∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，|作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，^∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．。