锐角三角函数及应用
- 格式:doc
- 大小:182.00 KB
- 文档页数:5
锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中,角度小于90度的三角函数,包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值,即sinθ=对边/斜边。
在三角函数中,正弦函数是最基本的函数之一,它在三角形的计算中有着重要的作用。
例如,在测量高度时,可以利用正弦函数计算出物体的高度。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值,即cosθ=邻边/斜边。
余弦函数也是三角函数中的基本函数之一,它在计算角度时有着重要的作用。
例如,在计算机图形学中,可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值,即tanθ=对边/邻边。
正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。
例如,在测量斜率时,可以利用正切函数计算出斜率的大小。
除了在三角形的计算中,锐角三角函数还有着广泛的应用。
在物理学中,正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动,例如声波和光波。
在工程学中,正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化,例如电压和电流的变化。
在计算机科学中,正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。
锐角三角函数是数学中的重要概念,它们在各个领域中都有着广泛的应用。
掌握锐角三角函数的概念和应用,对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。
锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中,我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子:1. 正弦函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长BC,可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长AC,可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长BC,可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数:在锐角三角形ABC中,以角A为锐角,边BC为斜边,则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题,如求解角度、边长等。
例如,已知角度A和边长AC,可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。
通过这些函数,我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如,已知一个锐角三角形的两边和一个角度,我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外,锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如,在建筑设计中,我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离,利用正切函数来求解其高度。
同样,在地理测量中,我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之,锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具,其应用广泛且实用。
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数,包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先,我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中,对于一个锐角ABC(角A小于90度), 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度,余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度,正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中,sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先,它们的定义域都是锐角的正数集合,即(0,90)。
其次,它们的值域都是(-1,1),即在定义域内,这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外,正弦函数和余弦函数还具有周期性,周期为360度或2π弧度。
也就是说,对于一个锐角A,sin(A+360k) = sinA,cos(A+360k) = cosA,其中k 为整数。
在应用方面,锐角三角函数有着广泛的作用。
首先,它们被广泛应用于三角计算。
例如,我们可以利用正弦定理或余弦定理,通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次,锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如,对于一个斜抛运动的物体,我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外,锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如,正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线,具有对称性和单调性,而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线,也具有对称性和反单调性。
此外,锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B,成立的恒等关系。
利用三角恒等式,我们可以化简复杂的三角函数表达式,简化计算过程。
总的来说,锐角三角函数是数学中一类重要的函数,具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用,还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上,从原点出发,与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα,以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用,尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题,以加深对锐角三角函数的理解:例题1:已知在锐角 ABC 中,边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答:由于边长BC=5,AC=13,我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13,余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13,正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2:已知在锐角 ABC 中,角B = 35°,边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答:由于已知角B = 35°,边长 BC = 8,我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC,我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理,可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8,我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值,即 cosA = AB / AC,所以 AB = AC * cosA。
锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义:如图所示:在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边。
(1)∠A 的正弦:sinA =a cA ∠的对边=斜边; (2)∠A 的余弦:b cA ∠的邻边=斜边; (3)∠A 的正切:a bA A ∠∠的对边=的邻边; (4)∠A 的余切:A b A a ∠∠的邻边=的对边 (是正切的倒数)。
2.30°,45°,60°角的三角函数值:1sin 302︒=,2sin 452︒=,3sin 602︒=; 3cos302︒=,2cos 452︒=,1cos 602︒=; 3tan 303︒=,tan 451︒=,tan 603︒=。
例题1:求下列各式的值:(1)22cos 60sin 60︒+︒ (2)cos 45tan 45sin 45︒-︒︒3.锐角三角函数之间的关系:(1)平方的关系:22sin cos 1A A +=;(2)商的关系: sin tan cos A A A=; (3)互余两角的三角函数关系:sin(90)cos A A ︒-=,cos(90)sin A A ︒-=。
注意:锐角的正弦和正切值随着角度的增大而增大;锐角的余弦值随着角度的增大而减小;对于锐角A 有0sin 1,0cos 1,tan 0,A A A <<<<>且他们都没有单位。
4.直角三角形的有关性质及判定:(1)直角三角形的性质:①直角三角形两个锐角互余;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;③在直角三角形中,如果有一个锐角等于30︒,那么它所对的直角边等于斜边的一半;④在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30︒;⑤在直角三角形中,两条直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222a b c +=;⑥1122Rt S ch ab ==(h 为斜边上的高),外接圆半径R =2c =斜边上的中线,内切圆半径r =2a b c +-。
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学中的一个重要知识点。
本文将系统地介绍锐角三角函数的概念、性质和应用。
一、概念1.边长比在直角三角形中,我们可以定义三角函数。
对于锐角三角形,也可以把边长比看作三角函数的定义。
定义如下:- 正弦函数(sin):指的是对边比斜边的比值,即sinA = 对边AB / 斜边AC。
- 余弦函数(cos):指的是邻边比斜边的比值,即cosA = 邻边BC / 斜边AC。
- 正切函数(tan):指的是对边比邻边的比值,即tanA = 对边AB / 邻边BC。
2.三角函数值的取值范围在锐角三角形中,三角函数的取值范围是(0,1)。
具体来说-正弦函数的值在0到1之间变化。
-余弦函数的值在0到1之间变化。
-正切函数的值在0到正无穷之间变化。
二、性质1.互余关系在锐角三角形中,对于同一个角的正弦和余弦函数,它们的数值互为倒数。
即sinA = 1 / cosA,cosA = 1 / sinA。
证明:由定义可知sinA = 对边AB / 斜边AC,cosA = 邻边BC / 斜边AC。
所以sinA / cosA = (对边AB / 斜边AC) / (邻边BC / 斜边AC) = 对边AB / 邻边BC = tanA。
又由于tanA = sinA / cosA,所以sinA = 1 / cosA。
同理可证cosA = 1 / sinA。
2.正切函数的性质在锐角三角形中,正切函数具有以下性质:-任何一个角的正切函数的值是唯一的。
- 对于锐角A和其补角(即90°-A),它们的正切值互为相反数。
(tanA = -tan(90°-A))。
三、应用锐角三角函数在实际生活和学习中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用:1.三角函数在测量中的应用例如,在建筑和工程中,我们经常需要测量高度、角度等,锐角三角函数可以帮助我们计算和测量。
2.角度的计算通过使用正弦函数、余弦函数和正切函数,我们可以根据已知的边长比计算出对应的角度。
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点,它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式,以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角:角度小于90度的角。
2. 直角三角形:一个角为90度的三角形。
3. 边的命名:- 对边(Opposite side):锐角所对的边。
- 邻边(Adjacent side):锐角旁边的边,但不包括斜边。
- 斜边(Hypotenuse):直角三角形中最长的边,对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数:- 正弦(Sine, sin):锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦(Cosine, cos):锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切(Tangent, tan):锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式:- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系:- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式:- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值:- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题:- 利用三角函数求解边长。
锐角三角形的三角函数三角函数是数学中的重要概念,它们在几何、物理学等领域中具有广泛的应用。
其中,锐角三角函数是指以锐角为自变量的三角函数。
本文将介绍锐角三角形的三角函数,并探讨其性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是将一个锐角的相对边长度与斜边长度的比值定义为该锐角的正弦。
用符号表示为 sin,其计算公式如下:sin A = 相对边长度 / 斜边长度正弦函数的定义域为(0°, 90°),值域为[0, 1]。
正弦函数具有周期性,即 sin(A + 180°) = -sinA。
二、余弦函数余弦函数是将一个锐角的邻边长度与斜边长度的比值定义为该锐角的余弦。
用符号表示为 cos,其计算公式如下:cos A = 邻边长度 / 斜边长度余弦函数的定义域为(0°, 90°),值域为(0, 1]。
余弦函数也具有周期性,即 cos(A + 180°) = -cosA。
三、正切函数正切函数是将一个锐角的相对边长度与邻边长度的比值定义为该锐角的正切。
用符号表示为 tan,其计算公式如下:tan A = 相对边长度 / 邻边长度正切函数的定义域为(0°, 90°),值域为(0, +∞)。
正切函数也具有周期性,即 tan(A + 180°) = tanA。
四、余切函数余切函数是将一个锐角的邻边长度与相对边长度的比值定义为该锐角的余切。
用符号表示为 cot,其计算公式如下:cot A = 邻边长度 / 相对边长度余切函数的定义域为(0°, 90°),值域为(0, +∞)。
余切函数也具有周期性,即 cot(A + 180°) = cotA。
五、正割函数和余割函数正割函数是将一个锐角的斜边长度与邻边长度的比值定义为该锐角的正割。
用符号表示为 sec,其计算公式如下:sec A = 斜边长度 / 邻边长度正割函数的定义域为(0°, 90°),值域为(1, +∞)。
锐角三角函数的实际应用中的常见概念(1)铅垂线:重力线方向的直线;(2)水平线:与铅垂线垂直的直线,一般情况下,地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线;(3)仰角:向上看时,视线与水平线的夹角;(4)俯角:向下看时,视线与水平线的夹角;(5)坡角:坡面与水平面的夹角;(6)坡度:坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比),一般情况下,我们用h 表示坡的铅直高度,用l 表示坡的水平宽度,用i 表示坡度,即αtan ==lh i ,显然,坡度越大,坡角就越大,坡面也就越陡;(7)方向角:指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南,左西右东.1.如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.2.如图,AD是△ABC的中线,tanB=13,cosC=22,AC= 2.求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.1.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为()A. B. C. D.2.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC值为3.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡角α=45°,β=30°,求BC的长.1.已知△ABC中,∠C=90°,tanA=,D是AC上一点,∠CBD=∠A,则sin∠ABD=2.四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD=,AB=20,BC=10,AD=13,求线段CD长.12月31日作业1.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点O,则tan∠AOD=.2.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于.3.如图,已知,在△ABC中,AB=AC=25,sinB=255,D为边BC的中点,E为边BC的延长线上一点,且CE=BC.连接AE,F为线段AE的中点.求:(1)线段DE的长;(2)∠CAE的正切值.。
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 为△ABC 中的一锐角,则有 ∠A的正弦:斜边的对边A A ∠=sin c a= ?∠A 的余弦:斜边的邻边A A ∠=cos cb = ∠A的正切:的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值(1)图表记忆法,(2)规律记忆法:30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1、2、3;30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、对边.AC?30°角的正弦值。
(3)口诀记忆法口诀是:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦比二,切比三,分子根号不能删.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2,正切的分母为3.最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号,不能丢掉.如tan60°=tan45°1=.这种方法有趣、简单、易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程,叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表:)考点三、锐角三角函数的实际应用(高频考点)仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,方向角?指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南,左西右东.lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法(一)、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、(2016•陕西)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为()-A.B.C.D.2【考点】抛物线与x轴的交点;锐角三角函数的定义.【解析】先求出A、B、C坐标,作CD⊥AB于D,根据tan∠ACD=即可计算.【解答】解:令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,不妨设A(﹣3,0),B(1,0),∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴顶点C(﹣1,4),如图所示,作CD⊥AB于D."在RT△ACD中,tan∠CAD===2,故答案为D.(二)、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、(2016•陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.A.一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8.B.运用科学计算器计算:3sin73°52′≈.(结果精确到)【考点】计算器—三角函数;近似数和有效数字;计算器—数的开方;多边形内角与外角.【解析】(1)根据多边形内角和为360°进行计算即可;(2)先分别求得3和sin73°52′的近似值,再相乘求得计算结果.-【解答】解:(1)∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8(2)3sin73°52′≈×≈故答案为:8,例3、(2015•陕西)如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为米,铅直高度BC 为米,则∠A的度数约为°(用科学计算器计算,结果精确到°).【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.》【解答】解:∵tan∠A==≈,∴∠A=°,故答案为:°.【点评】本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大.例4、(2014•陕西)用科学计算器计算:+3tan56°≈(结果精确到)【考点】计算器—三角函数;计算器—数的开方.【分析】先用计算器求出′、tan56°的值,再计算加减运算.【解答】解:≈,tan56°≈,…则+3tan56°≈+3×≈故答案是:.【点评】本题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到.例5、(2014•陕西)如图,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,则DE的长度为2﹣.【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长,进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可.:【解答】解:由题意可得出:∠BDC=45°,∠DA′E=90°,∴∠DEA′=45°,∴A′D=A′E,∵在正方形ABCD中,AD=1,∴AB=A′B=1,∴BD=,∴A′D=﹣1,∴在Rt△DA′E中,、DE==2﹣.故答案为:2﹣.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出A′D的长是解题关键.(三)、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、(12分)(2015•陕西)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.(1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为24;(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC 的值最小若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.|【考点】四边形综合题..【专题】综合题.【解析】(1)如图①,过A作AE⊥BC,可得出四边形AECF为矩形,得到EC=AD,BE=BC﹣EC,在直角三角形ABE中,求出AE的长,即为三角形BMC 的高,求出三角形BMC面积即可;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B 交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可;(3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ 交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,根据AD与BC平行,得到圆O 与AD相切,根据PQ=DC,判断得到PQ大于BQ,可得出圆心O在BC上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC最小,cos∠BPC的值最小,连接OB,求出即可.【解答】解:(1)如图①,过A作AE⊥BC,(∴四边形AECD为矩形,∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4,在Rt△ABE中,∠ABE=60°,BE=4,∴AB=2BE=8,AE==4,则S △BMC=BC•AE=24;故答案为:24;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B 交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,;∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°,∴过点A作AE⊥BC,则CE=AD=8,∴BE=4,AE=BE•tan60°=4,∴CC′=2CD=2AE=8,∵BC=12,∴BC′==4,∴△BNC周长的最小值为4+12;(3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,|作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,∵AD∥BC,∴圆O与AD相切于点P,∵PQ=DC=4>6,∴PQ>BQ,∴∠BPC<90°,圆心O在弦BC的上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,^∴∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,连接OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC,∵OB=OP=4﹣OQ,在Rt△BOQ中,根据勾股定理得:OQ2+62=(4﹣OQ)2,解得:OQ=,∴OB=,∴cos∠BPC=cos∠BOQ==,则此时cos∠BPC的值为.。
应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念,它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。
本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。
首先,锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC,其中AB=2,BC=3,则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先,我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数,即α=60°,可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。
然后,我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式,来求出三角形ABC的面积,即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。
其次,锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC,其中A=60°,B=30°,C=90°,则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先,我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长,即AB=2,BC=2,可以由两个内角求出外角的长度AC=3。
然后,我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式,来求出三角形ABC的面积,即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。
此外,锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。
假设有一个抛物线y=-1/4x^2,其中x为横坐标,y为纵坐标,则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。
首先,我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2),然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离,即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。
最后,锐角三角函数还可以应用于光学中,用来求解折射率等问题。
假设有一个简单的透镜系统,镜片一边入射面和出射面之间有n条光线,可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。
这里,我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2,再用反射率的定义,即n1sinα1=n2sinα2,求出折射率n2。
锐角三角函数【知识梳理】
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】
例题1.在△ABC中,∠C=90°.
(1)若cosA=1
2
,则tanB=______;(•2)•若cosA=
4
5
,则tanB=______.
例题2.(1)已知:cosα=2
3
,则锐角α的取值范围是()
A.0°<α<30° B.45°<α<60°
C.30°<α<45° D.60°<α<90°
(2)当45°<θ<90°时,下列各式中正确的是()
A.tanθ>cosθ>sinθ B.sinθ>cosθ>tanθ
C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ>cosθ
例题3.(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,∠CAB=60°,•CD=3,BD=23,求AC,AB的长.
例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC,有人已经测出∠A=30°,AC=40米,BC=25米,你能求出这块花园的面积吗?
例题5.某片绿地形状如图所示,其中AB⊥BC,CD⊥AD,∠A=60°,AB=200m,CD=100m,•求AD、BC的长.
【当堂检测】
1.若∠A 是锐角,且cosA=sinA ,则∠A 的度数是( )
A.300
B.450
C.600
D.不能确定
2.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=450,∠C=1200,AB=8,则CD 的长为( )
A.638
B.64
C.328
D.24 3.在Rt △ABC 中,∠C=900,AB=2AC ,在BC 上取一点D ,使AC=CD ,则CD :BD=( )
A.213+
B.13-
C.2
3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中,∠C=900,∠A=300,b=310,则a= ,c= ;
5.已知在直角梯形ABCD 中,上底CD=4,下底AB=10,非直角腰BC=34, 则底角∠B= ;
6.若∠A 是锐角,且cosA=5
3,则cos (900-A )= ; 7.在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=1,sinA=
23,求tanA ,BC .
8.在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,AB=22,AC=BC=52,求AD 的长.
9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学,为了方便两地师生交往,学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路,经测量在A 地北偏东600方向,B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?
B A D
C A
B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
锐角三角函数的简单应用
【知识梳理】
1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值.
2. 仰角:仰视时,视线与水平线的夹角.
俯角:俯视时,视线与水平线的夹角.
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k 法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】 例题1.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ,关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是( )
A .sin A 的值越大,梯子越陡
B .cos A 的值越大,梯子越陡
C .tan A 的值越小,梯子越陡
D .陡缓程度与A ∠的函数值无关
例题1图
例题2.
如图,一束光线照在坡度为1与地面平行的光线,则这束与坡面的夹角α是 度.
例题2图 例题3图
例题3.如图,张聪同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°,旗杆底部B 点的俯角为45°.若旗杆底部B 点到该建筑的水平距离BE =6米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶部A 离地面的高度(结果保留根号)
【当堂检测】
1.一个钢球沿坡角31o 的斜坡向上滚动了5米,则钢球距地面的高度是(单位:米)( )
A .5cos31o
B .5sin 31o
C .5cot 31o
D .5tan 31o 第1题图
2.某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处,这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行,半小时后到达B 处,在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处.问B 处与灯塔M 的距离是多少海里?
第2题图
3.如图所示,小明家住在32米高的A 楼里,小丽家住在B 楼里,B 楼坐落在A 楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30o .
(1)如果A B ,
两楼相距A 楼落在B 楼上的影子有多长?
(2)如果A 楼的影子刚好不落.
在B 楼上,那么两楼的距离应是多少米? (结果保留根号)
第3题图
A
B M 东 北 60o
30o。