2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用
一、选择题 1. （2020·玉林）sin 45°的值是（ ）
A ．12
B ．2
C ．2
D ．1
2. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2
C ．3
D ．2
3. 在
Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4
5，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )
A . 6 cm
B . 7 cm
C . 8 cm
D . 9 cm
4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB 的长为( )
A.95sin α m
B.95cos α m
C.59sin α m
D.59cos α
m
5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在
同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于
A ．asinx+bsinx
B ．acosx+bcosx
C ．asinx+bcosx
D ．acosx+bsinx
6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，
矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ）
A ．a cos x +b sin x
B ．a cos x +b cos x
C ．a sin x +b cos x
D ．a sin x +b sin x
7. 如图，以
O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵
上一点(不与A ，B 重合)，
连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )
A . (sin α，sin α)
B . (cos α，cos α)
C . (cos α，sin α)
D . (sin α，cos α)
8. 如图，AB
是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，
若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33
二、填空题
9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60?= .
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝
15
8
，则AB ＝________．
11. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的
高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
12. 是一种雪球夹的简化结构图，其通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙地完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友们的喜爱．当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝30°，OA＝OB＝14 cm，则此款雪球夹制作的雪球的直径AB为________cm.(结果保留小数点后一位．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)
链接听P30例2归纳总结
13. （2020·天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是________．
14. (2019·浙江宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所
的距离OB约为__________米．(精确到1≈1.414≈1.732)
15.
（2020·杭州）如图，已知AB 是O 的直径，BC 与
O 相切于点B ，连接AC ，OC ．若
1sin 3
BAC ∠=
，则tan BOC ∠=________．
16. 如图，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线
l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB
为直角三角形时，AP ＝________．
三、解答题
17. 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长.
18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝1
8
.
(1)求BC 的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(结果保留小数点后一位．参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．
19. 阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否
C
B
O
A
也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c －bcosA.
在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，
即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，
整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)
利用上述结论解答下列问题：
(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a的长和∠C的度数；
(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．
20. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号
．．．．．．)
(2)求旗杆CD的高度．
21. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角
∠OAM 为75°，由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm .温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)．
22. 如图，☉O
是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与☉O 相交于E ，F
两点，P 是☉O 外一点，且P 在直线OD 上，连接P A ，PC ，AF ，满足∠PCA=∠ABC. (1)求证:P A 是☉O 的切线; (2)证明:EF 2=4OD ·OP ;
(3)若BC=8，tan ∠AFP=2
3，求DE 的长.
2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用-答案
一、选择题 1. 【答案】B
【解析】根据特殊角的三角形函数值可知sin 45°，故选择B ． 2. 【答案】B
【解析】锐角三角函数计算， 60sin 2=2×2
3
=3，故选A ．
3. 【答案】C
【解析】∵sin A ＝BC AB ＝4
5，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝
3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.
4. 【答案】B [解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则BD ＝1.5＋0.3＝1.8(m )．在Rt △ABD 中，
∠ADB ＝90°，cos B ＝BD AB ，所以AB ＝BD cos α＝1.8cos α＝9
5cos α
.故选B .
5. 【答案】D
【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°
，
∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a ?cosx+b ?sinx ， 故选D ．
6. 【答案】A
【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE ⊥y 轴于E ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝a ，AD ＝BC ＝b ，∠ADC ＝90°，∴∠CDE +∠ADO ＝90°，∵∠AOD ＝90°，∴∠DAO +∠ADO ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAO ＝x ，∵sin ∠DAO OD AD =
，cos ∠CDE DE
CD
=，∴OD ＝AD ×sin ∠DAO ＝b sin x ，DE ＝D ×cos ∠CDE ＝a cos x ，∴OE ＝DE +OD ＝a cos x +b sin x ，∴点C 到x 轴的距离等于a cos x +b sin x ；因此本题选 A ．
7. 【答案】C
【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos
∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．
8. 【答案】A
【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，
解图
∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －
∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝1
2. 二、填空题
9.
【解析】由特殊角的三角函数值可知sin60?=
10. 【答案】17 [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝
BC AC ＝158，BC ＝15，∴15AC ＝15
8
，解得AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.故答案为17.
11. 【答案】1.5
【解析】∵sin αAD
AC
=，∴AD=AC ?sin α≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5．
12. 【答案】7.3 [解析] 如图，过点O 作OG ⊥AB 于点G.
∵OA ＝OB ＝14 cm ，∠AOB ＝30°， ∴∠AOG ＝∠BOG ＝15°，AG ＝BG ， ∴AG ＝OA·sin 15°＝14sin 15°，
∴AB ＝2AG ＝28sin 15°≈28×0.26＝7.28≈7.3(cm )．
13.
【答案】2
2
【解析】连接AB ，利用勾股定理的逆定理证明△OAB 是等腰直角三角形，得到∠AOB ＝45°，再根据特殊角的三角函数求解．∵AB 2＝12＋32＝10，OB 2＝12＋32＝10，OA 2＝22＋42＝20，∴
AB 2＋OB 2＝OA 2
，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝45°，∴sin ∠AOB ＝sin45°＝2
2．
14. 【答案】567
【解析】如图，设线段AB 交y 轴于C ，
在直角△OAC 中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC ． ∵OA=400米，∴OC=OA ?cos45°
=4002
2
?=2002(米)． ∵在直角△OBC 中，∠COB=60°，OC=2002米， ∴
2002
cos 602
OC OB =
==
?
4002≈567(米) 故答案为：567．
15. 【答案】
22
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABC 中，因为sin ∠BAC ＝1
3
，所以
BC AC ＝1
3
．设BC ＝x ，则AC ＝3x ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得直径AB ＝22AC BC -＝22(3)x x -＝22x ，所以半径OB ＝2x ．在Rt △OBC 中，tan ∠BOC ＝
BC OB ＝2x ＝2，因此本题答案为2
．
16. 【答案】3或3 3 或37【解析】如解图，∵点O是AB的中点，AB＝6，∴AO＝BO＝3.①当点P为直角顶点，且P在AB上方时，∵∠1＝120°，∴∠AOP1＝60°，∴△AOP1是等边三角形，∴AP1＝OA＝3；②当点P为直角顶点，且P在AB下方时，AP2＝BP1＝62－32＝3；③当点A为直角顶点时，AP3＝AO·tan∠AOP3＝3×3＝33；④当点B为直角顶点时，AP4＝BP3＝62＋（33）2＝37.综上，当△APB为直角三角形时，AP的值为3或3 3 或
37.
三、解答题
17. 【答案】
解:过点B作BD⊥AC于点D，
由题意，得:∠BAD=60°，∠BCD=45°，
AB=80，
在Rt△ADB中，∠BAD=60°，
∵sin60°=BD
，∴BD=AB·sin60°=40√3.
AB
在Rt△BCD中，∠BCD=45°，
=1，
∴tan45°=BD
CD
∴BD=CD=40√3，
∴BC=2+CD2=40√6.
答:此时航母与小岛的距离是40√6海里.
18. 【答案】
解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图所示．
在Rt△ADC中，AC＝4.
∵∠ACB ＝150°，∴∠ACD ＝30°， ∴AD ＝1
2
AC ＝2，
CD ＝AC·cos30°＝4×3
2
＝2 3.
在Rt △ABD 中，∵tanB ＝AD BD ＝2BD ＝1
8，
∴BD ＝16，
∴BC ＝BD －CD ＝16－2 3.
(2)在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连接AM ，如图所示． ∵∠ACB ＝150°，∴∠AMC ＝∠MAC ＝15°，
∴tan15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋2 3＝12＋3≈12＋1.7≈0.3.
19. 【答案】
[解析] (1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a 的长，根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
(2)把数据代入相应的公式，得到关于c 的一元二次方程，解方程即可得到答案．
解：(1)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×2
2＝4，则a ＝2(负值已舍)．
∵22＋22＝(2 2)2，即a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形． 又∵a ＝c ＝2，∴∠C ＝45°.
(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，a ＝3，b ＝2，cosB ＝cos45°＝22
， ∴c 2－6c ＋1＝0， 解得c ＝
6±2
2
. ∵c ＞a ＞b ，∴c ＝
6＋2
2
.
20. 【答案】
解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°， ∴∠ADB ＝30°，(1分)
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4(米)，(2分)
∴AD＝AB
tan∠ADB ＝
4
tan30°
＝43(米)．(3分)
答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(4分)
(也可先求∠ABD＝60°，利用tan60°去计算得到结论)
(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 3 米，(5分) ∴CD＝AD·tan60°＝43×3＝12(米)．(7分)
答：旗杆CD的高度是12米．(8分)
21. 【答案】
解：∵tan∠OBC＝tan30°＝OC
BC＝
3
3，
∴OC＝
3
3BC，(2分)
∵sin∠OAC＝sin75°＝OC
OA≈0.97，
∴
3
3BC
40≈0.97，(6分)
∴BC≈67.1(cm)．(8分)
22. 【答案】
解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以P A=PC，所以∠PCA=∠P AC，因为AB是☉O的直径，
所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，
因为∠PCA=∠ABC，所以∠P AC=∠ABC，
所以∠P AC+∠BAC=90°，所以P A⊥AB，所以P A是☉O的切线.
(2)因为∠P AO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△P AO∽△ADO，所以AO
PO =OD OA
，
所以AO2=OD·OP，
所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.
(3)因为tan∠AFP=2
3
，所以设AD=2x，则FD=3x，
连接AE，易证△ADE∽△FDA，
所以ED
AD =AD
FD
=2x
3x
，
所以ED=23
AD=4
3
x ，
所以EF=133x ，EO=136x ，DO=5
6x ， 在△ABC 中，DO 为中位线， 所以DO=1
2BC=4，
所以5
6x=4，x=24
5，所以ED=4
3x=32
5.