数学建模-常微分方程模型及差分模型共49页文档

微分方程模型人们在研究物体的运动、热量或声波的传播、电路中电压与电流的变化等物理现象，以及人口增长的预测，血药浓度的变化，交通流量的控制以及生态、环境、经济管理等过程中，作为研究对象的函数，要和函数的导数一起，用一个符合其内在规律的方程来描述，这就是微分方程，微分方程是用数学方法分析客观对象变化规律的有力工具，是一类重要的数学模型。

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来分析实际现象，并加以检验，虽然又是可以利用微积分方法求出某些微分方程的解分析，但实际上大量的微分方程都不能获得它们的解析表达式；即使有时能获得解细节，其表达式也非常复杂，难以讨论其性质，因此必须通过数值求解的方法算出微分方程在某些离散点处的近似解，进而分析微分方程所反映的客观规律。

1实例及其数学模型 1.1 海上缉私问题 海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c 海里处有一艘走私船争议一定速度象征北方向行驶，缉私艇立即以最大速度前往拦截，用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船，建立任一时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，确定缉私艇追上走私船的位置，求出追上的时间。

模型 建立直角坐标系如图4.1，设在0=t 时刻缉私艇发现走私船，此时缉私艇的位置在),0,0(o ，走私船的位置在)0,(c .走私船以速度a 平行与y 轴正向行使，缉私艇以速度b 安指向走私船的方向行驶)(a b >。

在任意时刻t 缉私艇位于),(y x p 点，而走私船到达Q ),(at c 点，直线PQ 与缉私停航线（图4.1种曲线）相切，切线与x 轴正向夹角为α。

缉私艇在y x ,方向的速度分别为,sin ,cos ααb dtdyb dt dx ==有直角三角形PQR 写出αsin 和αcos 的表达式，得到微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+--=.)()()(,)()()(2222y at x c y at b dt dy y at x c x c b dt dx（1） 初始条件为.0)0(,0)0(==y x这就是缉私艇位置（)(),(t y t x ）的数学模型，但是有方程（1）无法得到)(),(t y t x 的解细节，需要用数值算法求解，我们将在4.3节继续讨论这个问题。

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其转变趋势是相当重要的，而在一些较为复杂的转变进程中，变量之间的函数关系无法直接取得。

可是，在许多情形下，咱们往往能够在理论或体会的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。

也确实是找出一个或几个含有未知函数及其导数所知足的方程，那个（些）方程就称为微分方程（组）。

然后通过求解微分方程（组）取得变量之间的函数关系，或在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的进展转变规律。

为了研究一些实际问题的转变规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再成立数学模型，当问题中涉及变量的转变率时，就能够够通过微分方程来建模。

微分方程模型主若是解决与导数，也即转变率相关的问题，可是；实际问题中一样并非会直接显现“导数”或“转变率”等词语，这时，就需要咱们认真分析，从中找出这些信息，一样来讲，若是问题中涉及到“速度”、“增加”、“改变”、“转变”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就能够够用微分方程（组）来建模。

微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要依照具体情形选择不同的模型，成立模型时，应第一将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净转变率=净增加率━净减少率若是变量之间的关系能够用这种形式来描述，咱们就不难给出相应的微分方程（组）了。

在成立了微分方程模型以后，咱们固然希望能取得微分方程的解，可是，关于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，乃至是不可能的，现在咱们能够通过对方程的定性分析取得有关的一些有效信息。

§1 确信性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一样的工商企业总需要存贮必然数量的原料或商品，但是大量的库存不但积存了资金，而且会使仓库的保管费用增加。

因此，寻求合理的库存量乃是现代企业治理的一个重要课题。

需要注意的是，存贮问题的原型能够是真正的仓库存货，水库存水，也能够是运算机的存贮器的设计问题，乃至是大脑的存贮问题。