数学建模之差分方程

数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。

本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。

差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。

这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。

例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。

差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。

一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。

此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。

以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。

设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。

我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。

差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。

差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。

一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。

其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。

所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。

差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。

当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。

然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。

另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。

有时还需要找出决定变量的初始条件。

有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。

模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。

建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为)1(21-n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。

这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。

如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。

数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。

它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。

差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。

本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。

一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。

它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。

这些离散节点通常是等间距的。

通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。

一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。

这个式子就是一个一阶差分方程。

二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。

下面将介绍几个常见的应用。

(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。

假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。

将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。

每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。

(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。

假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。

数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在现代科学、工程技术以及社会经济领域中扮演着重要的角色。

在数学建模的过程中，我们经常会遇到需要描述连续或离散变化的问题，而差分方程与微分方程则成为了解决这类问题的有力工具。

差分方程是描述离散变化的方程，它将一个变量与它在前一时刻或前几个时刻的取值联系起来。

在数学建模中，差分方程常常被用来描述离散的时间或空间变化，比如物种数量的变化、金融市场的波动等。

差分方程最简单的形式是递推式，它用一个前一时刻的变量的值来表示当前时刻的变量的值。

例如，一个典型的一阶差分方程可以写作：$x_{n+1}=f(x_n)$，其中$x_n$表示第$n$个时刻的变量的值，$f(x_n)$表示根据$x_n$计算出的$x_{n+1}$的函数。

通过递推式，我们可以得到变量在不同时刻的取值，进而研究它的变化规律。

微分方程是描述连续变化的方程，它涉及到变量对时间的导数或各个变量之间的关系。

微分方程在数学建模中的应用非常广泛，尤其在物理学、生物学等自然科学领域中经常被用来描述变化的物理现象。

微分方程的形式多种多样，比如一阶线性微分方程、二阶非线性微分方程等等。

一阶微分方程的一般形式可以写作：$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，其中$x$表示一个或多个变量，$t$表示时间，$f(x,t)$表示$x$和$t$的关系。

通过求解微分方程，我们可以得到变量随时间的变化规律，并进一步分析问题。

在实际问题中，差分方程与微分方程往往会相互呼应和融合，一些问题既可以用差分方程描述离散变化，也可以用微分方程描述连续变化。

这时，我们可以通过将差分方程转化为微分方程或将微分方程离散化为差分方程来求解问题。

例如，在人口增长的问题中，我们可以通过建立一个差分方程来描述每一年的人口数量，而利用微分方程的分析方法可以得到人口增长的长期行为。

又例如，在物理学中，连续介质的运动可以用微分方程描述，而粒子的运动可以用差分方程描述。