机动目标跟踪
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自适应卡尔曼滤波器设计一、“当前”统计模型与自适应跟踪算法这种模型和算法适用于每一种具体的战术场合和目标机动的当前状况，能够正确直接地估计出目标的当前状态，不存在任何估计滞后与修正问题。
（1）“当前”统计模型这一概念的意义是，在每一种具体的战术场合，人们所关心的仅是机动目标加速度的“当前”概率密度，即目标机动的当前可能性，当目标现时正以某一加速度机动时，他在下一瞬时的加速度取值范围是有限的，而且只能在“当前”加速度的邻域内。
因此在描述机动加速度的概率密度时，完全没有必要考虑机动加速度取所有值的可能性。
这里所给出的修正的加速度瑞利密度函数，其均值是“当前”机动加速度，其均值和方差之间的关系可以用来建立机动加速度的均值和方差自适应算法。
（2）机动目标的“当前”概率密度模型机动目标跟踪的主要问题是建立未知目标加速度模型，此问题有两部分组成，其一是表征目标机动的随机过程特性，即这种随机过程是白色的还是时间相关的；其二涉及到机动加速度的特定概率密度函数。
在一个具体的战术场合，人们仅需要考虑目标在当时当地条件下的机动可能性即机动加速度的“当前”概率密度，因此，机动加速度的取值范围可以大大减小；另一方面，在每一瞬时，一种时变的机动加速度概率密度函数将对应于目标“当前”加速度变化。
为适应上述两方面的考虑，提出了一种时变的机动加速度概率密度模型，即修正瑞利密度函数。
当目标的“当前”加速度为正时，概率密度为：α (1)其中 0为已知的目标的加速度正的最大值，a 为目标的随机加速度，μ 0为一个常数。
当目标“当前”加速度为负时，概率密度函数为：α (2)其中 0是已知的目标加速度负下限。
这种时变的概率密度函数在每一瞬时机动加速度的概率密度是不同的；一旦“当前”加速度即加速度均值被给定，加速度的概率密度函数便完全确定，这种时变的加速度概率密度函数称为“当前”概率密度函数。
二、自适应卡尔曼滤波算法（1）离散状态方程考虑非零加速度均值，一维情况下的状态方程为：01000100 + 00α a 001………………………………(3) 式中x t ， 和 分别为目标的位置、速度和加速度。
设采样周期维T ，通过典型的离散处理方法，我们可以得到下列离散状态方程：X k 1 F k 1,k X k U k a W k (4)其中X k (5)F k 1,k101……………………………………………… (6) U k1……………………………………………………………… (7) W k 是离散时间白噪声序列，并且E 0 ∀ 0 (8)Q k E 2………………………… (9) 122 4 (10)1 2 2 2 ............... (11) 1 e 2 2 .............................. (12) 4 3 2 .................................................... (13) 1 . (14)1 (15)观测方程为：Y k H k X k V k (16)其中当仅有含噪声的目标位置数据可观测时，有H k 100V k 是均值为零，方差为R k 的高斯观测噪声。
至此，标准卡尔曼滤波方程可用来产生目标的状态估值。
标准卡尔曼滤波方程为：k |k|K 1 K k Y k H k | 1 ..................... (17) | 1 | 1 1| 1 ....................... (18) K k P k |k 1 H k H k P k |k 1 H k R k ................... (19) P k |k 1 F k,k 1 P k 1|k 1 F k,K 1 Q k 1 ....... (20) P k |k I K k H k P k|k 1 (21)同时：| 1 | 1 1| 1可以写成如下形式：1| 1 | …………………………………………………………….. (22) 其中：F11201 001如果我们利用 | 和之间的关系，即可得到机动加速度方差自适应计算方法。
就是说，当“当前”加速度用 | 为正时，有1| (23)| (24)当“当前”加速度为负时，有1| (25)三、计算机仿真为了评价该方法的有效性，我们进行了一系列计算机仿真，并在一维的情况下，研究了自适应系统对常速和常加速目标运动的响应特性，同时与无自适应的情形进行了比较。
所谓无自适应，即在标准卡尔曼滤波方程中，令常数事实上，这正是Singer 模型及其算法。
仿真中，假设观测噪声方差（距离测量方差）与目标距离的平方成正比，及观测噪声V k βx k ∆ (26)其中β为相对误差系数，∆ 为固定量测误差，w k 是均值为零，方差为1的正态伪随机数。
因此，观测噪声方差为R k βx k ∆ ∙ (27)仿真结果：图1、图2为当 30000， 300， 0时的结果。
图1常速运动目标的速度估计自适应，均值误差=1.5994，速度均方根误差=39.0972 非自适应，均值误差=‐3.9459，速度均方根误差=95.1468图2常速运动目标的加速度估计自适应，均值误差=0.23005，均方根误差=2.2488 非自适应，均值误差=‐0.30912，均方根误差=10.9834图3、4和5分别给出了 30 ， 0和 20 / 时的距离、速度和加速度估值0100200300400500600时间(s)速度(m /s )20406080100120-30-20-10102030时间(s)加速度(m /s )曲线。
从三个图中可以看到。
当目标做常速加速运动时，非自适应算法无法给出加速度的正确估计。
图3常加速目标运动距离的估计红色：真实值，绿色：自适应，间隔线：非自适应图4常加速运动目标速度的估计红色：真实值，绿色：非自适应，间隔线：自适应 自适应速度均值误差=18.2601速度均方根误差=35.8299 非自适应速度均值误差=‐29.9844速度均方根误差=83.955920406080100120024681012141618x 104时间(s)目标距离(m /s )-50005001000150020002500时间(s)速度(m /s )图5 常加速运动目标加速度估计自适应加速度均值误差=0.82744加速度均方根误差=1.4534 非自适应加速度均值误差=‐9.6958加速度均方根误差=12.1952图6 相对误差系数β对加速度估计的影响图6给出了β=0.01，0.05，0.1和加速度为40m/ 时，相对误差系数β对加速度的影响曲线。
由图可知，甚至在最坏的测量条件下（β=0.1），自适应滤波器都具有很好的收敛性能。
表1给出了稳态情况下自适应滤波器对于不同目标机动加速度的距离、速度和加速度估计的均值误差和均方根误差。
距离估计的相对均值误差和相对均方根误差一般小于0.5%；速度估计的相对均值误差小于1%，相对均方根误差小于5%；加速度估计的相对均值误差一般小于2%，相对均方根误差小于5%。
-80-60-40-202040时间(s)加速度(m /s )时间(s)加速度(m /s )表1 距离、速度和加速度估计的稳态均值误差和均方根误差（β 0.01）目标加速度 （m/s 2）距离（m ）速度（m/s ）加速度（m/s 2） MERMSEMERMSEMERMSE0 1020 30 40 69.7 166.8 233.4 339.2 421.7 240.7327.7 350.3439.3 502.2‐0.62‐2.11.082.23.4 33.0 34.5 37.9 65,6 78.9 ‐0.11 ‐0.07 ‐0.2 0.230.34 1.8 1.03 0.99 1.21.4 Kendrick 等人曾经指出，法向加速度机动目标的各种机动方式扮演着重要的角色，并提出具有交互作用的滤波器系统来保证对这种急剧加速机动目标进行良好的状态估计。
为了研究本章所提出的模型及自适应算法对法向机动加速度的估值能力，我们对三维空间情况进行了计算机仿真。
仿真中，假定探测器沿三坐标轴方向独立地检测目标的运动，因此我们可以将前面采用的一维模型和算法推广到每一个坐标轴上。
当法向加速度a=4.08g ，θ=300，目标的初始速度 450 / 时，沿X 轴方向的仿真结果如图7和8所示；沿Z 轴方向的仿真结果如图9和10所示；沿Y 轴方向的仿真结果与沿Z 轴方向上的结果类似；图11反映了系统对突然出现的阶跃加速度的反映能力。
图7 x 方向的速度估计（速度均值误差=‐5.6712速度均方根误差=97.4055）时间(s)X 轴速度(m /s )图8 x 方向上的加速度估计（加速度均值误差=‐0.064705加速度均方根误差=17.7795）图9 z 轴方向的速度估计（速度均值误差=0.33388速度均方根误差=34.7423）时间(s)X -加速度(m /s 2)-500-400-300-200-1000100200300400500时间(s)Z 轴速度(m /s )图10 z轴方向上的加速度估计（加速度均值误差=‐0.012399加速度均方根误差=12.6475）表2给出了目标取不同初始速度和法向加速度值时，在X、Y、Z三个方向上目标距离、速度和加速度的均值误差和均方根误差。
从表中可以看到，在转弯半径由1.5km变化至1.8km和法向加速度达6.12的情况下，本章所提出的模型及自适应算法均可给出良好的估计结果。
表2 三维运动中距离、速度和加速度估计的均值误差和均方根误差初始加速度 （m/s）法向加速度（g）R旋转半径（m）保持时间（s）X距离（m）速度（m/s）加速度（m/s2）ME RMSE ME RMSE ME RMSE‐300 2.04 4500 94.3 ‐11.6 263.6 9.5 82 3.2 11.7 4.08 2280 47.1 ‐4.2 289.15.83 108 2.1 216.12 1500 31.4 ‐2.5 362.9 14.4 154.4 3.15 31.5‐4802.04 10125 141.4 45.3 290.5 ‐2.5 75.2 0.34 9.8 4.08 5062 70.7 30.5 296.8 ‐4.4 85.2 ‐0.24 16.7 6.12 3375 47.1 123.4 314.9 0.97 123.2 0.05 27.7‐600 2.04 18000 188.5 64.8 333.8 ‐9.47 96.4 ‐2.18 13.3 4.08 9000 94.3 129.1 391.2 5.93 109.9 0.88 17.8 6.12 6000 62.8 76.6 338.3 0.17 145.6 ‐0.81 28.81-60-40-2020406080时间(s)Z-加速度(m/s2)初始加速度 （m/s）Y Z距离（m）速度（m/s）加速度（m/s2）距离（m）速度（m/s）加速度（m/s2） ME RMSE ME RMSEME RMSEME RMSEME RMSEME RMSE‐300 6.7 63.6 0.2 36.6 ‐0.2 10 ‐15.3 67.90.28 32.3 ‐0.269.6 6.7 49.2 0.23 31.7 ‐0.23 13.50.5 42.70.23 31.7 ‐0.2 13.5 8.16 46.7 0.46 30.1 ‐0.15 11.7 3.76 33.80.13 30.6 ‐0.2 16.7‐480‐2.4 75.2 0.84 39.3 ‐1.47 79.5‐1.47 79.5 1.9 37.6 0.7 9.4 0.7 61.5 0.98 34.4 ‐0.04 11.0 6.48 75.9 1.0 37.5 0.0412.8 ‐1.9 54 0.41 33.8 ‐0.16 12.57.8 50.2 1.3 36.1 0.0516.8‐600 23.6 104 2.5 43 0.54 9.3 3.1 141.71.12 50.3 0.979.65 3.6 82.6 0.17 44.1 ‐0.34 12.1‐8.4 83.50.22 41 ‐0.5 12.4 3.2 59.4 0.57 37.7 0.19 13.7‐2.78 60.80.74 38.8 0.2218实验结果分析根据实验结果可知，具有自适应能力的滤波器比无自适应能力的滤波器的滤波效果要好的多。
