5.1角的概念推广

5.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
Z ⎫⎬⎭。

5.1角的概念的推广（问题清单）教学重点：理解任意角、象限角、终边相同的角等概念。

教学难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．1、我们初中学过那几类角？它们在那个范围内？当你在体操解说员那里听到转体900°时，你有何感想？答：锐角、直角、钝角、平角、周角； 00~3600；觉得角的范围不够用了！2、初中时我们如何用旋转来定义角？何为角的始边、终边、顶点？答：角是一条射线绕着它的端点在平面内旋转而成的，射线的端点叫做角的顶点，射线旋转开始的位置叫角的始边，旋转终止的位置叫角的终边。

3、用旋转形成角时规定射线旋转方向有必要吗？数学上是如何规定的？答：当然是有必要的，就比如拧螺丝，顺时针旋转和逆时针旋转效果是截然相反的。

数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫作正角；按顺时针方向旋转形成的角叫作负角。

4、什么是零度角？5、按“3”定义角以后其范围有怎样的变化？能举例吗？6、为了研究问题的方便，我们通常在怎样的环境下讨论角？在此环境下如何放置一个角？7、如何确定一个角所在的象限？8、画出下面的角并判断它们分别是第几象限角（1）1200（2）3000（3）—2400（4）—9009、在同一座标系作出角300、3900、—3300，观察这些角的终边有啥特征？由此你能得出怎样的规律？10、在00～3600间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）6600；（2）—8800。

思考1、三象限角如何用集合表示？2、终边落在轴上的角如何用集合表示？。

数学授课教案
数学授课教案
大家想一想，如果螺栓螺距为4mm，倒旋3/4圈就是3mm，拧紧螺母是为了拉伸螺栓产生预紧力，如果倒旋3/4圈控制弹性变形。

为什么德国人拧螺丝拧三圈半后再松半圈
螺丝在拧紧后，为了防止松动，应该施加一个预紧力，因此松半圈后预紧力将消除，因此不应该是为了防松，况且要防松应该加装弹性垫圈或是止动垫圈或是其他方法，用这种方法似乎不妥。

拧三圈半后，退半圈，然后再进半圈，然后这样可以防止螺栓的毛刺粉削、污物积聚于螺牙间隙增大拧紧力矩，减少拧紧力矩检测误差，确保螺栓应力在设计值范围。

一个德国品牌汽车的高管朋友讲过一个细节故事：汽车有原装进口和国内组装之分。

国内组装时一个细节让管理者相当头疼。

德国原装时，工人拧螺丝严格执行进3圈回半圈，在中国尽管也这样要求，但最后回半圈偷懒的比拟多，这是肉眼看不到的差异，经过两个冬夏的热胀冷缩，那个半圈的影响就显现出来了。

有些网友问“干吗不直接拧两圈半呢？〞，因为回半圈形成的微妙的弹性空间为热胀冷缩提供了盘旋，直接拧形成不了。

５.1 角的概念的推广5.1.1角的概念的推广一般地，平面内一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．在图５－１中，射线OA绕端点O按图示方向旋转，到OB位置停止，形成∠AOB．其中，射线OA的端点O称为角的顶点，射线OA、OB分别是旋转的初始位置和终止位置，称为角的始边和角的终边．钟表图图５－１图５－２观察手表的表针绕表盘中心旋转，表针从一个位置旋转另一个位置时，所形成的图形就是角．在图５－１中，射线OA按逆时针方向旋转；在图５－２中，表针按顺时针方向旋转．因此，在研究角时，需要考虑射线的旋转方向，为此，我们给出下面的定义．定义射线绕端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；射线没有作任何旋转时形成的角叫做零角．角可以用小写希腊字母ϕβα,γθ,,……等表示。

,角的概念经过这样推广以后，角就扩大为正角、负角和零角。

⑴⑵图５－３在图５－３⑴中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角α就是一个正角；在图５－３⑵中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角β就是一个负角。

由此可知，一个角的形成应包括两部分：角的大小和方向。

过去，我们讨论的角都是 0～360范围内的角，但是在实际生活中常会遇到其它的角。

例如，用扳手旋松螺母时是按逆时针方向旋转，旋松１周是720360角，旋松２周是角，……，而旋紧螺母时是按顺时针方向旋转，就形成了负角。

如图５－４所示，图５－４⑴表示正角 390=α，图５－４⑵、⑶分别表示负角 120-=β， 750-=γ 。

OAα=390BB⑴ ⑵ ⑶图５－４今后，我们经常在平面直角坐标系内研究角。

为此，通常使角的顶点与坐标系原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合。

于是，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。

例如，在图５－５⑴中的 30， 390， 330-角，都是第一象限角；在图５－５⑵中的 300， 60-角，都是第四象限角； 495角是第二象限角。

【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间问题1游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°:360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．质疑提问说明总结思考求解讨论交流理解引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理解角的推广的意义10*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．（1）（2）类型说明仔细分析讲解关键点引导思考理解记忆结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例明确角的过程行为行为意图间经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．表示除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、L来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．强调引导展示强调明确领会观察理解类型完成角的推广象限角可以引导学生一步步自然得出强调特殊情况30*运用知识强化练习教材练习5.1.12．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．提问巡视指导思考动手求解交流反馈学习状态巩固知识40*动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．演示操作动手操作由具体的。

5.1 角的概念的推广【教学目标】1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．【教学难点】任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．环节 教学内容师生互动设计意图复 习 导 入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？师：初中学过的角的定义是什么？生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．师：如图：∠AOB=∠BOA=120 ，B初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．新 课 新 课 新 课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向：逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角．画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．例如，∠AOB ＝120°，∠BOA ＝－120°．（2）射线的旋转量：当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角． 1．教师画图，学生说角的度数． 2．学生练习：画出下列各角： （1）0，360°，720°， 1 080°，－360°，－720°； （2）90°，450°，－270°， －630°．学生练习：求和并作图表示： 30°＋45°，60°－180°．师：观察我们刚画过的角， 学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解． 将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．例2难度较大，教师应详细讲解两个集例如450°，－630°．2．角的加减运算．90°－30°＝90°＋（－30°）＝60°．各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角．所有与α终边相同的角构成的集合可记为S＝{x|x＝α ＋k·360°，k?Z}．例1（1）写出与下列各角终边相同的角的集合．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．解略．4．第几象限的角．在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．例1（2）指出下列各角分别是第几象限的角．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．例2写出终边在y轴上的角的集合．解终边在y轴正半轴上的一个角为90°，终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k?Z}S2＝{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}所以终边在y轴上的角的集合为S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k?Z}∪{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}＝{α|α＝90°＋k ·180°，k?Z}．模仿练习：写出终边在x轴上的角的集合．例3在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．例4写出第一象限的角的集合．解在0～360°之间，第一象限的角（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？得出结论．例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．例1（2）学生口答．讲解例2时，教师结合教材图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？这两个集合的并集怎么求？例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．教师结合平面直角坐标系讲解例4．学生分组练习：（1）写出第二象限角的集合；（2）写出第三象限角的集合；（3）写出第四象限角的集合．可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．合如何求并集．本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k?Z}．小结1．任意角的概念．2．角的加减运算．3．终边相同的角的集合．4．象限角的概念．教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．作业教材P100，习题．巩固拓展．。

教学过程前期准备制作好教学设计，备好课程，对知识深入了解进行书本上的预习提前了解会更快吸收1天【新课导入】我们已经学过很多角，如：锐角、直角、钝角、平角和周角.这些角的范围都在0︒到360︒之间，但在现实生活中还有其他的角，如：钟摆摆动时，钟摆所形成的角、车轮旋转时轮辐条所形成的角……，这就需要我们推广角的概念.【双基讲解】1. 角的概念的推广：角可以看作由一条射线绕着其端点由初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的.射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角，叫做正角；射线绕其端点按顺时针方向旋转所形成的角，叫做负角；射线没有任何旋转时，也把它看成一个角，叫做零角.生活实例引入归纳类比引入新课。

教师根据概念细致讲解，理解角的含义与性质。

引发学生的好奇心调动学生的积极性。

体会角推导的过程。

数形结合深入理解角的概念。

5min15in想一想：轿车的方向盘逆时针旋转一圈半，轿车方向盘的旋转角为多少？如果顺时针旋转一圈半呢？ 2. 象限角的概念：由于实际问题的需要，我们对任意角作如下规定：在平面直角坐标系中，把角的顶点置于直角坐标系的原点，角的始边与x 轴的正半轴重合.角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角.注意：如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的集合：与角α终边相同的角(包括α)都可以表示成如下形式： ()360k k α︒+∈因此，与角α终边相同的角β的集合可表示为： {}360,k k ββα=︒+∈【示范例题】例1 分别写出与下列各角的终边相同的角的集合： (1) 30︒； (2) 135-︒.解 (1) 与30︒角的终边相同的角的集合是：引导学生思考，小组合作，理解概念。

加深对概念的理解与应用。

20m i n{}36030,k k ββ=︒+︒∈；(2) 与135-︒角的终边相同的角的集合是：{}360135,k k ββ=︒-︒∈.例2 设0360α︒≤<︒，下列各题中角A ,B 的终边与角α的终边重合，求角α.并在平面直角坐标系中作出角A ,B ，并判断它们属于哪个象限.(1) 820A =︒； (2) 740B =-︒. 解 (1) 360820k α︒+=︒.0360α︒≤<︒,2k ∴=.8202360100α=︒-⨯︒=︒. 角A 的图像如图所示.100︒是第二象限角，所以820︒角也是第二象限角. (2) 360740k α︒+=-︒.0360α︒≤<︒,3k ∴=-.7403360340α=-︒-⨯︒=︒. 角B 的图像如图所示.340︒是第四象限角，所以740-︒角也是第四象限角.例题讲解理解角的概念。