LINGO在数学建模中的应用

一、LINGO简介LINGO[1]是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中你的一个,它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题,LINGO的不同版本对模型的变量总数、非线性变量数目、整型变量数目和约束条件的数量做出不同的限制.LINGO的主要功能特色为:(1)既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规划问题的能力;(2)输入模型简练直观;(3)运行速度快、计算能力强.(4)内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较少语句,较直观的方式描述较大规模的优化模型;(5)将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转换为LINGO模型;(6)能方便地与EXCEL、数据库等其他软件交换数据.LINGO像其他软件一样,对他的语法有规定,LINGO的语法规定如下:（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示;(2) 每个语句必须以字母开头,由字母、数字和下划线所组成,昌都不超过32个字符,不区分大小写;(3)每个语句必须以分号“;”结束,每行可以有多个语句,语句可以跨行;(4)如果对变量的取值范围没有特殊说明,则默认所有决策变量都非负;(5)LINGO模型以语句“MODEL”开头,以语句“END”结束,对于比较简单的模型,这这两个语句可以省略.LINGO提供了五十几个内部函数,使用这些函数可以大大减少编程工作量,这些函数都是以字符@开头,下面简单介绍其中的集合操作函数和变量定界函数及用法.集合是LINGO建模语言中最重要的概念,使用集合操作函数能够实现强大的功能,LINGO提供的常用集合操作函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等.@FOR(s:e)常用在约束条件中,表示对集合s中的每个成员都生成一个约束条件表达式,表达式的具体形式由参数e描述;@SUM(s:e) 表示对集合s中的每个成员,分别得到表达式e的值,然后返回所有这些值的和;@MAX(s:e) 表示对集合s中的每个成员,分别得到表达式e的值,然后返回所有这些值中的最大值;@MIN(s:e) 表示对集合s中的每个成员,分别得到表达式e的值,然后返回所有这些值中的最小值.LINGO默认变量的取值可以从零到正无穷大,变量定界函数可以改变默认状态,如对整数规划,限定变量取整数,对0-1规划,限定变量取0 1或.LINGO提供的变量定界函数有:@BIN(X)、@BND(L,X,U)、@GIN(X)、@FREE(X).@BIN(X)限定X为0或1,在0-1规划中特别有用;@GIN(X)限定X为整数,在整数规划中特别有用;@BND(L,X,U)限定L＜X＜U,可用作约束条件;@FREE(X)取消对X的限定,即X可以取任意实数.二、LINGO 在线性规划中的应用具有下列三个特征的问题称为线性规划问题(Linear program)[2]简称LP 问题,其数学模型称为线性规划(LP)模型.线性规划问题数学模型的一般形式为:求一组变量(1,2,,)j x j n =的值,使其满足1122max(min),n n z c x c x c x =+++2111122111211222221122***.0,1,2,,,,..n j n n n n nn nn n n x j na x a x a xb a x a x a x b s t a x a x a x b ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≥=⎪⎩+++++++++ 式中“*”代表“≥”、“ ≥”或“=”.上述模型可简写为1max(min),nj j j z c x ==∑1*0,1,2,,,1,2,,..nij j j ji a x x j n b i ms t =⎧⎪⎨⎪≥=⎩=∑其中,变量j x 称为决策变量,函数1nj jj z c x==∑称为目标函数,条件1*nj jij c x b =∑称为约束条件,0j x ≥ 称为非负约束.在经济问题中,又称j c 为价值系数,i b 为资源限量. 线性规划在科学决策与经营管理中实效明显[3],但是对于规模较大的线性模型,其求解过程非常繁琐,不易得出结果.而 LINGO 中的内部集合函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等,可以用这些集合函数使程序编程简单可行,下面举例说明.例1 某工厂有两条生产线,分别用来生产M 和P 两种型号的产品,利润分别为200元每个和300元每个,生产线的最大生产能力分别为每日100和120,生产线没生产一个M 产品需要1个劳动日(1个工人工作8小时称为1个劳动日)进行调试、检测等工作,而每个P 产品需要2个劳动日,该工厂每天共计能提供160个劳动日,假如原材料等其他条件不受限制,问应如何安排生产计划,才能使获得的利润最大？解 设两种产品的生产量分别为1x 和2x ,则该问题的数学模型为:目标函数 12max 200300z x x =+约束条件1212100,120,160,0,1,2.i x x x x x i ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥=⎩ 编写LINGO 程序如下: MODEL : SETS :SHC/1,2 /:A,B,C,X; YF/1,2,3 /:J; ENDSETS DATA :A=1,2 ; B=100,120; C=200,300; ENDDATAMAX=@SUM(SHC:C*X);@FOR(SHC(I):X(I)<B(I)); @SUM(SHC(I):A(I)*X(I))<=160; END程序运行结果如下Global optimal solution found.Objective value: 29000.00 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced CostA( 1) 1.000000 0.000000A( 2) 2.000000 0.000000B( 1) 100.0000 0.000000B( 2) 120.0000 0.000000C( 1) 200.0000 0.000000C( 2) 300.0000 0.000000X( 1) 100.0000 0.000000X( 2) 30.00000 0.000000J( 1) 0.000000 0.000000J( 2) 0.000000 0.000000J( 3) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 29000.00 1.000000 2 0.000000 50.00000 3 90.00000 0.000000 4 0.000000 150.0000最优解为12100,30,x x ==最优值为29000.00z =.即每天生产100个M 产品30个P 产品,可获得29000元利润.三、LINGO 在整数规划和0-1规划中的应用1 求解整数规划整数规划[4]分为整数规划和混合整数规划,要求全部变量都为非负整数的数学规划称为纯整数规划,只要求部分变量为非负整数的数学规划称为混合整数规划.下面只讨论约束条件和目标函数均为线性的整数规划问题,即整数线性规划问题(以下简称整数规划,记为ILP),其数学模型的一般形式是()1max min nj j j z c x ==∑,()()11,2,,..01,2,,ni j j i j j j a x b i n s t x j n x =⎧≤=⎪⎪⎪≥=⎨⎪⎪⎪⎩∑全为整数或部分为整数。

LINGO软件陕西铁路工程职业技术学院赵增逊2014年10月18日主要内容1.LINGO简介2.LINGO中建模语言（集合、运算符和函数等）3.LINGO编程实例1.1LINGO软件简介（1）美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage（莱纳斯.施拉盖）教授于1980年前后开发。

（2）LINGO: Linear Interactive General Optimizer (线性交互式通用优化器)。

（3）用来求解的优化模型（连续优化和整数规划（IP））。

类型：线性规划（LP）、二次规划(QP)、非线性规划(NLP)。

1.2 LINDO/LINGO软件能求解的模型优化线性规划非线性规划二次规划连续优化整数规划LINDOLINGO1.3 LINGO的特点（1）求解线性规划问题（2）求解非线性规划问题（3）非线性方程组（4）输入模型简练直观（5）运行速度快、计算能力强1.4 学习LINGO 的要求 需要掌握：软件操作基本语法结构掌握集合(SETS)的应用 正确阅读求解报告 正确理解求解状态窗口 学会设置基本的求解选项(OPTIONS) LINGO: Linear Interactive General Optimizer 求解数学规划问题Min Z = f (x)s.t x ∈D (⊂Rn )Lingo软件的主窗口(用户界面) 所有Lingo窗口都在这个窗口内状态行(最左边显示“Ready”表示“准备就模型窗口(Model Window)用于输入LINGO优化模型(即LINGO程序)当前光标的位置当前时间1.5 LINGO软件界面1．新建（New ）单击“新建”按钮或直接按F2键可以创建一个新的“Model ”窗口。

在这个新的“Model ”窗口中能够输入所要求解的模型。

2．打开（Open ）单击“打开”按钮或直接按F3键可以打开一个已经存在的文本文件。

这个文件可能是一个Model 文件。

数学建模-(货机装运lingo)货机装运是指将货物从一个起点运输到一个终点，在这个过程中需要考虑到货物的重量、体积、运输方式等多种因素。

在货机装运过程中，一个关键问题是如何最大化运载效率，即在保证运输安全和合法的前提下，尽可能地提高货机的装载量，从而降低单位运输成本。

在数学建模中，可以使用lingo等工具进行货机装运的优化。

具体来说，可以将该问题抽象为一个数学模型，以最大化货机的装载量为目标函数，同时考虑到运输安全、货物重量、体积等约束条件。

下面以一个具体例子来说明如何使用lingo进行货机装运的优化：假设有一架货机，其载重量为10000公斤，可以装载两种货物A和B，每种货物的重量和体积如下：货物类型重量（公斤）体积（立方米）A 600 1.5B 400 0.8同时，从起点到终点的运输费用如下：货物类型运输费用（元/公斤）A 10B 15要求在保证运输安全和合法的前提下，最大化货机的装载量，即：subject to:A +B <= 10000（装载量不超过10000公斤）其中，A和B表示货机装载的货物A和B的数量，V是货机的装载体积，运输费用是由货物类型和运输距离等因素决定的，这里简化为一个固定值。

使用lingo进行求解的过程如下：1.首先，在lingo中创建一个新的模型文件，并定义目标函数和约束条件：2.对模型进行求解，并设置模型参数：model:solve;parameters:V = 15;end;在上述代码中，V表示货机的装载体积，这里假设为15立方米。

solve表示对模型进行求解，通过设置end来结束参数定义。

3.对求解结果进行分析和优化，例如考虑不同装载体积下的最优解：for V := 15 to 20 dobeginwriteln('Optimal value for V=',V,': ',model.obj);在以上代码中，for循环遍历不同的装载体积值（15到20），分别求解模型并输出优化结果。

Lingo软件在数学建模竞赛中的应用[收稿日期] 2010-06-20[基金项目] 福建交通职业技术学院科技发展基金(Ky1001)。

数学建模(Mathematical Modeling)是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构的过程[1]。

1 非线性规划模型历年全国大学生数学建模竞赛都需解决最优生产计划、最优分配最优设计、最优决策、最佳管理等较为复杂的非线性规划问题,模型由决策变量、目标函数、约束条件三个要素组成,其计算量较大,可用Lingo软件求解。

2006“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛C题[3]第二小题,设易拉罐是一个正圆柱体,什么是它的最优设计?经测量得圆柱的上底厚度为a=0.036 cm、下底厚度为c=0.040 cm、圆柱侧壁厚度为b=0.012 cm?А？悸且桌?罐设计美观性、便于把握以及材料节省等因素,于是建立目标规划模型如下:目标函数:minW=b×2πRh+(a+c)πR2约束条件:V=πR2>3552R/h=0.618πr2≤18.56,h≥8.71R>0,h>0,a=0.036,b=0.0 12利用Lingo8.0编程如下:Model:min=b*2*3.14159*R*h+(a+c)*3.14159*R^2;!以上是目标函数,以下为约束条件;3.14159* R^2 * h>355;2*R/h=0.618;3.14159*R^2=18.56;h>=8.71;R>0;h>0;a=0.036;c=0.040;b=0.012;EndLingo以语句Model开始,以语句End结束,这两个语句单独成一行。

语句分为集合定义部分、数据初始化部分、目标函数、约束条件部分,这几个部分的先后次序无关紧要。

min开头的语句表示求目标函数最小值。

“!”开头的语句是注释语句,Lingo不作运行,每条中间语句必须以“;”号作为结尾。

数学建模必备LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用一、多目标规划的常用解法多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有：1．主要目标法确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。

2．线性加权求和法对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑ii ω，然后把)(x f i ii ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。

3．指数加权乘积法设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令∏==pi a i ix f Z 1)]([其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。

4．理想点法先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令∑-=2*))(()(iifx f x h然后把它作为新的目标函数。

5．分层序列法将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。

这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不足之处。

例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。

线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。

二、最大最小化模型在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。

例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。

最大最小化模型的目标函数可写成)}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X或)}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。

lingo数学模型
"lingo"是一种用于数学建模和优化的软件工具。

它提供了一个
直观的界面，用于建立和求解复杂的数学模型，包括线性规划、整
数规划、非线性规划、多目标规划等。

lingo的使用可以帮助分析
师和决策者在面临复杂的决策问题时进行优化决策。

在数学建模方面，lingo可以用来建立数学模型，包括定义决
策变量、约束条件和目标函数。

用户可以通过lingo的界面直观地
输入模型的各个部分，而无需深入了解数学建模的具体语法和规则。

这使得非专业的用户也能够快速地建立数学模型。

在优化方面，lingo提供了强大的求解算法，可以对各种类型
的数学模型进行求解，以找到最优的决策方案。

lingo支持对模型
进行灵敏度分析，帮助用户了解参数变化对最优解的影响，从而更
好地进行决策。

除了数学建模和优化外，lingo还具有数据可视化功能，可以
直观地展示模型的结果和决策方案。

这有助于用户向决策者传达模
型分析的结果，从而更好地支持决策过程。

总的来说，lingo作为数学建模和优化工具，为用户提供了一
个方便、强大的平台，帮助他们解决复杂的决策问题。

通过lingo，用户可以更好地理解问题、制定决策，并得到最优的解决方案。

LINGO 使用教程LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。

LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。

§1 LINGO 快速入门当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口：外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。

在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。

下面举两个例子。

例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题：,6002100350..32min 212112121≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮 即可。

例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。

产销单位运价如model:!6发点8收点运输问题;sets:warehouses/wh1..wh6/: capacity;vendors/v1..v8/: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目标函数;min=@sum(links: cost*volume);!需求约束;@for(vendors(J):@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));!产量约束;@for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));!这里是数据;data:capacity=60 55 51 43 41 52;demand=35 37 22 32 41 32 43 38;cost=6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddataend然后点击工具条上的按钮即可。

数学建模：运用L i n d o l i n g o软件求解线性规划-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、实验内容：对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo 对模型进行求解。

某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.数学建模论文运用lindo/lingo软件求解线性规划运用lindo/lingo软件求解线性规划一、摘要本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。

首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。

然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。

最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。

【关键词】最优解 lindo/lingo软件第二、问题的重述某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。

2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。

第三、模型的基本假设1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。

2、每个人的能力相等。

3、生产设备对生产没有影响。

第四、符号说明1、x.....甲饮料2、y.....乙饮料3、z.....增加的原材料第五、问题分析根据题目要求：如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。