人教A版新课标高中数学必修一练习 解析式求法—换元法(学生版)

3.1.2 表示函数的方法课程标准学习目标（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示函数, 理解函数图象的作用。

（1）会求函数的解析式; （难点)（2）列表法表示函数（3）图象法表示函数。

知识点01 解析法把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。

比如正方形周长C 与边长a 间的解析式为C =4a ，圆的面积S 与半径r 的解析式S =πr 2等.求函数解析式的方法① 配凑法 ② 待定系数法③ 换元法④ 构造方程组法 ⑤ 代入法【即学即练1】已知函数f (x )=1x ，则f (x +1)=（ ）A ．f (x +1)=1x+1B ．f (x +1)=1x―1C ．f (x +1)=2x―1D ．f (x +1)=2x+1知识点02 列表法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.【即学即练2】函数f(x)与g(x)的对应关系如下表．x―101x123f(x)132g(x)0―11则g(f(―1))的值为（）A．0B．3C．1D．―1知识点03 图象法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.【即学即练3】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．【题型一：解析法表示函数】例1．若函数y=f(x)对任意x∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，则下列函数可以为y=f(x)解析式的是（）A．f(x)=x+1B．f(x)=2x―1C．f(x)=2x D．f(x)=x2+x变式1-1．一个等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则（）A．y=10―x(0<x≤10)B．y=10―x(0<x<10)C．y=20―2x(5≤x≤10)D．y=20―2x(5<x<10)变式1-2．下列函数中，对任意x，不满足2f(x)=f(2x)的是（）A．f(x)=|x|B．f(x)=―2xC．f(x)=x―|x|D．f(x)=x―1变式1-3．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(4)=8，则f（）A B．2C．4D．6变式1-4．若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b)1―f(a)f(b)，且f(2)=12，f(3)=13，则f(7)=A．1B．3C．43D．83【方法技巧与总结】理解函数解析式y=f(x)，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立的；比如①函数f(x)=x2(x>0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则x ,y 取任何实数均可使得等式成立.【题型二：求函数的解析式】方法1 待定系数法例2．若二次函数f(x)满足f(x +1)―f(x)=2x ，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ）A ．f(x)=―x 2―x ―1B ．f(x)=―x 2+x ―1C ．f(x)=x 2―x ―1D ．f(x)=x 2―x +1变式2-1．已知f(x)是一次函数，且2f(2)―3f(1)=5，2f(0)―f(―1)=3，则f(x)=（ ）A ．3x ―2B ．3x +2C ．92x ―12D ．4x ―1变式2-2．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)―2x]=3，则f(5)=（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5变式2-3．已知二次函数f (x )满足f(2)=―1,f(1―x)=f(x)，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）A ．―4x 2+4x +7B ．4x 2+4x +7C ．―4x 2―4x +7D ．―4x 2+4x ―7方法2 换元法例3．已知函数f 2)=x ―，则f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=x 2+1(x ≥0)B ．f(x)=x 2+1(x ≥―2)C ．f(x)=x 2(x ≥0)D ．f(x)=x 2(x ≥―2)变式3-1．已知函数f(1―x)=1―x2x2(x≠0)，则f(x)=（）A．1(x―1)2―1(x≠0)B．1(x―1)2―1(x≠1)C．4(x―1)2―1(x≠0)D．4(x―1)2―1(x≠1)变式3-2．设函数f1+=2x+1，则f(x)的表达式为（）A．1+x1―x (x≠1)B．1+xx―1(x≠1)C．1―x1+x (x≠―1)D．2xx+1(x≠―1)变式3-3．已知f1)=x+3，则f(x)=（）A．x2―2x+2(x≥0)B．x2―2x+4(x≥1)C．x2―2x+4(x≥0)D．x2―2x+2(x≥1)方法3 方程组法例4．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=―15x，则f(2)的值为（）A．152B．154C．174D．172变式4-1．若函数f(x)，g(x)满足f(x)―=3x―4x，且f(x)+g(x)=2x+6，则f(2)+g(―1)=（）A．6B．7C．8D．9变式4-2．已知函数f(x)满足f(x)+2f(2―x)=1x―1，则f(3)的值为（）A．―73B．―109C．―415D．―16变式4-3．已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x)+2f(―x)=2x+12.(1)求f(x)的解析式；(2)若点P(a,b)在y=f(x)图像上自由运动，求4a+2b的最小值.【方法技巧与总结】求函数解析式，可视情况而定，1 若已知函数类型，可用待定系数法；2 若求f(g(x))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.【题型三：列表法表示函数】例5．设已知函数f(x),g(x)如下表所示：x12345f(x)54321g(x)43215则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为（）A．{1,3}B．{5,3}C．{2,3,4}D．{5}变式5-1．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：则f[g(2)]的值是（）x123f(x)131g(x)321A．1B．2C．3D．1和2变式5-2．观察下表：x―3―2―1123f(x)51―1―335g(x)1423―2―4则f[f(―1)―g(3)]=（）A．―4B．―3C．3D．5变式5-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数f(x)由下表给出，则f10f）x x≤11<x<2x≥2y123A．0B．1C．2D．3【方法技巧与总结】表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.【题型四：图象法表示函数】例6．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（）①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.A．③①②B．③④②C．②①③D．②④③变式6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．变式6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（）A．甲、乙、丙B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙D．乙、丙、甲变式6-3．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t=ax+bx(a∈R,b∈R)，当x=2时，t=100；当x=4时，t=53，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出t关于x的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．【方法技巧与总结】图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋势，增减趋势的缓急等等！一、单选题1．已知定义在[―2,2]上的函数y=f(x)表示为:x[―2,0)0(0,2]y10―2设f(1)=m，f(x)的值域为M，则（）A．m=1,M={―2,0,1}B．m=―2,M={―2,0,1}C．m=1,M={y|―2≤y≤1}D．m=1,M={y|―2≤y≤1}2.函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则g(f(3)―1)的值为（）x123g(x)20230―2023A．2023B．0C．―1D．―20233.设f(x)=xx2+1，则( )A．f(x)B．―f(x)C．1f(x)D．―1f(x)4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(A→B→O→A)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0<f(―1)=f(―2)=f(―3)≤3，则（）A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>96.已知f+1)=x+3，则f(x)的解析式为f(x)=（）A．x2―2x+4B．x2+3C．x2―2x+4(x≥1)D．x2+3(x≥1)7.函数f(x)满足2f(x)―f(1―x)=x，则函数f(x)=（）A．x―2B．x+13C．x―13D．―x+28.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表一市场供给量单价（元/kg）2 2.4 2.8 3.2 3.64供给量（1000kg）506070758090表一市场需求量单价（元/kg）4 3.4 2.9 2.6 2.32需求量（1000kg）506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（　）A．(2.3,2.6)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内二、多选题9．某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）A．前2年的产品产量增长速度越来越快B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产D．第2年后，这种产品产量保持不变10.下列说法正确的是（）A．函数f(x+1)的定义域为[―2,2)，则函数f(x)的定义域为[―1,3)B．f(x)=x2x和g(x)=x表示同一个函数C．函数y=1x2+3的值域为0D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)―f(―x)=x+1，则f(x)=x3+111.已知f(0)=12，f(x+y)=f(x)f(1―y)+f(y)f(1―x)，则（）A．f(1)=12B．f(x)=12恒成立C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个三、填空题12．下列表示函数y=f(x)，则f(11)=．x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y234513.已知y=f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)―f(x)=2x，则y=f(x)=．14.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)=2，φ(7)=6，φ(9)=6，则下列说法正确的序号是．①φ(5)=φ(10)；②φ(2n―1)=1；③φ(32)=16；④φ(2n+2)>φ(2n)，n是正整数．四、解答题15．下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C？(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？16.已知f(x)=1（x∈R，且x≠―1），g(x)=x2+2(x∈R)．1+x(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；(3)求f(x)和g(x―1)的值域．17.已知二次函数f(x)满足f(x)=f(2―x)，且f(0)=―3，f(1)=―4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=x+1，比较f(x)与g(x)的大小.18.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①a=2；②不等式f(x)>0的解集为{x|―1<x<3 }；③函数f(x)的最大值为4.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f(x)的解析式；(2)求关于x的不等式f(x)≥(m―1)x2+2(m∈R)的解集.19．已知函数y=f(x)与y=g(x)的定义域均为D，若对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<|f(x1)―f(x2)|成立，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”.(1)若f(x)=3x+1,g(x)=x,D=R，判断函数y=g(x)是否是函数y=f(x)在D上的“L函数”，并说明理由；(2)若f(x)=x2+2,g(x)==[0,+∞)，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若f(x)=x,D=[0,2]，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，且g(0)=g(2)，求证：对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<1.。

高中数学人教A 版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法一、单选题(共4题；共8分)1．（2分）若函数f(x−1x )=1x 2−2x+1，则函数g(x)=f(x)−4x 的最小值为（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-42．（2分）若f(1x )=x+1x2，则有（ ）A ．f(x)=x 2+1B ．f(x)=x 2+xC ．f(x)=x 2+x(x ≠0)D ．f(x)=x 2+1(x ≠0)3．（2分）已知f(x −1)=x 2+4x −5，则f(x)的解析式是（ ）A ．f(x)=x 2+6xB ．f(x)=x 2+8x +7C ．f(x)=x 2+2x −3D ．f(x)=x 2+6x −104．（2分）已知 f(x)+2f(−x)=3x 2−x ，则 f(x)= （ ）A ．x 2+xB ．x 2C ．3x 2+xD ．x 2+3x二、多选题(共2题；共6分)5．（3分）已知函数f(√x −1)=2x +√x −3，则（ ）A ．f(1)=7B ．f(x)=2x 2+5xC ．f(x)的最小值为−258D ．f(x)的图象与x 轴只有1个交点6．（3分）已知f(x-1)=x 2，则下列结论正确的是（ ）A ．f(−3)=4B ．f(x)=(x +1)2C ．f(x)=x 2D ．f （3）=16三、填空题(共3题；共3分)7．（1分）若函数 f(√x +1)=x −1 ，则 f(x)= ．8．（1分）已知函数 f(x) 满足 f(2x +1)=x 2−2x ，则 f(2) 的值为 ． 9．（1分）若函数f(2x +1)=x +1，则f(1−x)= .四、解答题(共9题；共85分)10．（10分）求下列函数的解析式：（1）（5分）已知二次函数f(x)满足f(0)=1，且f(x +1)−f(x)=2x ； （2）（5分）已知函数f(x)满足：f(√x +1)=x −2√x ；11．（10分）已知函数g(√x +2)=x +2√x +1（1）（5分）求函数g(x)的解析式；（2）（5分）设f(x)=g(x)−2x x，若存在x ∈[2，3]使f(x)−kx ≤0成立，求实数k 的取值范围．12．（10分）已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c .（1）（5分）若函数满足f(x +1)−f(x)=2x +2，且f(0)=1.求f(x)的解析式；（2）（5分）若对任意x ∈R ，不等式f(x)≥2ax +b 恒成立，求b 24(a 2+c 2)的最大值.13．（10分）求下列函数的解析式（1）（5分）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)； （2）（5分）若函数f(√x +1)=x −1，求f(x)．14．（10分）已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(1，0)和(2，0)，与y 轴交于点(0，2).（1）（5分）求二次函数f(x)的解析式；（2）（5分）若关于x 的不等式f(x)≤tx 2−(t +3)x +3对一切实数x 恒成立，求实数t 的取值范围.15．（10分）已知函数 f(x) 满足 f(x)+2f(1x)=3x .（1）（5分）求函数 f(x) 的解析式；（2）（5分）判断函数 f(x) 在 (0，+∞) 上的单调性，并用定义证明.16．（10分）若 f(x) 是定义在 R 上的二次函数，对称轴 x =−12，且 f(1)=3 ， f(0)=1 .（1）（5分）求函数 f(x) 的解析式；（2）（5分）设函数 g(x)=kx 2+2kx +1(k ≠0) ，若对 ∀x 1∈[−2，2] ， ∃x 2∈[−1，2] ， f(x 1)=g(x 2) ，求实数 k 的取值范围.17．（5分）若 f(x) 是二次函数，且满足 f(0)=3 ， f(x −1)−f(x)=−4x ，求 f(x) 的解析式.18．（10分）（1）（5分）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)的解析式； （2）（5分）已知函数f(x)={x +2(x ≤1)x 2(1<x <2)2x(x ≥2)①求f(2)，f(12)，f[f(−1)]；②若f(a)=3，求a的值．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为f(x−1x )=1x 2−2x +1=x 2−2x+1x 2=(x−1x )2， 所以f(x)=x 2(x ≠1).从而g(x)=x 2−4x =(x −2)2−4， 当x =2时，g(x)取得最小值，且最小值为-4. 故答案为：D【分析】由配方法求得f(x)=x 2(x ≠1)，进而得到g(x)=x 2−4x ，即可求解。

高一数学函数换元法例题
高一数学中，函数解题方法有很多种，其中换元法是一种常见的方法。

换元法指的是通过建立一个新变量，将函数的自变量用新变量表示出来，从而简化函数表达式，求解函数。

下面将介绍换元法的具体应用和例题。

举例来说，如果我们想要求解函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以使用换元法，将 x 替换成 u+1，这样函数就可以表示为 f(u+1) = (u+1)^2 + 2(u+1) + 1。

接下来，我们可以利用函数的导数公式，求出函数的导数，即 f"(u+1) = 2(u+1) + 1，然后将其代入到原函数中，求得原函数的导数，即 f"(x) = 2x + 1。

下面是一组关于换元法的简单例题:
1. 求解函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的导数。

解：令 u = x+1，则 f(u) = (u+1)^2 + 2(u+1) + 1 = u^2 + 3u + 2。

于是，f"(x) = 2x + 1。

2. 求解函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。

解：令 u = cos(x),则 g(u) = cos(u) - sin(u) = -sin(x)。

于是，g"(x) = -1。

通过以上两个例题，我们可以看到换元法是一种非常有用的数学解题方法，它可以帮助我们简化函数表达式，求解函数的导数和其他相关问题。

在具体的数学学习和解题过程中，我们可以灵活运用换元法，结合其他数学方法，不断提高自己的数学解题能力。

二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.二、例题讲解例1．（1）已知：x xf lg )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+⋅++x x的解集是______________.解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；（2）设k y x =+，则1044,01222≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x=t ，可得原方程的解集为}0{.例2．（1）函数223)1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.解：（1）令θtan =x ，)2,2(ππθ-∈，则θθθθθθsin )tan 1(cos )tan 1(tan tan 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=⋅=-=， ∴]41,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令nn n a c 2=，则有431=-+nn c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入nn n a c 2=得： 22)13(-⋅-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m ax1s ＋m in1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝α2sin 5810- ；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2s －t ，t ∈[－S 2，S 2]，则224t s xy －±=代入①式得：4S ±5224t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 .∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求m ax1s ＋m in1s 的值.三、同步练习1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__12＋2___. 2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____n1____. 3．已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.4．设等差数列}{n a 的公差21=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）A. 85B. 72.5C. 60D. 52.55．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12＋b +12的范围是__]2,226[+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2cos cos +的值.解答：08．如图，已知椭圆1925:22=+y x C ，圆∈=+P y x O ,4:22椭圆C 而PA 、PB 是圆O 任意切线，A 、B 为切点.（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）设AB 所在直线交x 轴于C ，交y 轴与D ，求COD S ∆的最小值.解：（1）)(225)169(162222y x y x +=+；（2）1516)(min=∆COD S .x。

高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习一、 定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f=6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 解：设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([ xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 解：2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x xx x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.解：)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、 待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x.【例3】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。

必修一函数解析式的求法必修一函数解析式的求法一、换元法题目1：已知$f(3x+1)=4x+3$，求$f(x)$的解析式。

解：设$u=3x+1$，则$x=\dfrac{u-1}{3}$，代入已知条件得：f(u)=4\cdot\dfrac{u-1}{3}+3=\dfrac{4}{3}u-1$$所以$f(x)=\dfrac{4}{3}x-1$。

练1：若$f(x)=\dfrac{x}{1-x}$，求$f(x)$。

解：设$u=1-x$，则$x=1-u$，代入已知条件得：f(u)=\dfrac{1-u}{u}$$所以$f(x)=\dfrac{1-x}{1-x}=1$（$x\neq1$）。

二、配变量法题目2：已知$f(x-\dfrac{1}{x})=x^2+\dfrac{1}{x^2}$，求$f(x)$的解析式。

解：设$u=x-\dfrac{1}{x}$，则$x=\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}$，代入已知条件得：f(u)=\left(\dfrac{u+\sqrt{u^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2} {u+\sqrt{u^2+4}}\right)^2$$所以$f(x)=\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2}{x+ \sqrt{x^2+4}}\right)^2$。

练2：若$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$。

解：设$u=x+1$，则$x=u-1$，代入已知条件得：f(u-1)=u+2(u-1)=3u-2$$所以$f(x+1)=3(x+1)-2=3x+1$，即$f(x)=3x-2$。

三、待定系数法题目3：设$f(x)$是一元二次函数，$g(x)=2x\cdot f(x)$，且$g(x+1)-g(x)=2x+1\cdot x^2$，求$f(x)$和$g(x)$。

解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$g(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$，代入已知条件得：2a(x+1)^3+2b(x+1)^2+2c(x+1)-2ax^3-2bx^2-2cx=2x+x^2$$整理得：begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{1}{2}\\c=0\end{cases}$$所以$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x$，$g(x)=x^3-x^2$。