浙教版初中数学中考复习：分式及其运算 (共39张PPT)

(4)
2 2ab
2
3
（2）
0.2a 0.5b 0.7a b
P158T1
在哪些位置添上“－”，可使分数变成它的相反数？
2 3
－2 3
2 －3
－2 3
类似地：
b
－b
b
－b
a
a
－a
a
分子的 负号
分母的 分式本身
负号
的负号
辨一辨
在下列各式中，找出哪些是相等的分式？
(1) b a
(2) b (3) b (4) b
小
诊断下列分式的变形是否有“病”
医
x+y
生
x2+xy yy
x2 = x
≠
a+2 a
b+2= b (ab)
-x+1
-
x-1 x++11
x= x
练一练：
5、如图，为了制作贺卡,需在边长为（2b+2）的正方 形纸片上剪下边长为2的正方形。若合理剪裁可将剩下 的纸片恰好拼成一长为（b+2）的长方形,拼成的长方 形的宽是多少?
b b a ab
a aa a2
；
x3 ( x 3) 2
(x 3) ( x 3)
( x 3)2 ( x 3)
1 x3
做一做
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母 中各项的系数都化为整数：
x1 y
（1） 1 3 ; (3) 0.01x 0.5 x y 0.3x 0.04
2a 3 b
2b+2
2
b+2
+?
1.分式的基本性质。
2.分式的约分。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问 题是什么？

3 例如，3÷5 = . 在整式运算时，两个整式相除也可 5 7 b 以表示成类似的形式，例如，7 p , b a , p a v v0 2x 3 ( v v0 ) t ,(2 x 3) ( x 2) . t x2
（来自《教材》）
知1－导
7 b v v0 2 x 3 , , , 这些代数式都表示两个整式 p a t x2
第5章
分式
5.1
分 式
1
课堂讲解
分式的定义 分式有(无)意义的条件 分式的值为零的条件
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方千米的
保护区内找到7只灰熊. 你能用代数式表示该保护区平 均每平方千米内有多少只灰熊吗？
知1－导
知识点
1
分式的定义
我们知道，两个整数相除可以表示成分数的形式，
衡阳)若分式 2 (中考·
A．2或－1
x2 的值为0，则x的值为( x 1 B．0
)
C．2
D．－1
（来自《典中点》）
知3－练
3 (改编· 黄冈)下列结论正确的是( A．3a2b－a2b＝2 B．单项式－x2的系数是－1
)
C．分解因式a3－a的结果为a(a2－1)
a2 1 D．若分式 的值等于0，则a＝±1 a2
（来自《点拨》）
知1－讲
＋2b 2x 2 x＋2 2 x a 例1 下列各式： －3a ， ， ， ， 3， 中， 2 x π＋2 x＋y 哪些是分式？哪些是整式？
导引： 按分式的定义知分母中含有字母的式子是分式， 分母中不含有字母的式子是整式．
2x 2x ， ； 解：分式有 x x＋y

典型考题展示
考点一 确定分式有意义的条件 要使分式xx－ ＋12有意义，则 x 的取值范围是( C )
A．x<－2 B．x>－2 C．x≠－2 D．x≠1 【思路点拨】分式有意义的条件是分母不等于零，即 x＋2≠0. 【自主解答】
要使分式5－1 x有意义，则 x 的取值范围是 x≠5 ．
考点二 确定分式的值为 0 的条件
没有公因式的分式叫做 最简分式 ．
约分的关键是确定分式的分子与分母中的 最大公因式 ．确 定最大公因式的一般步骤：当分子、分母是多项式时，先 分解因 式 ，取系数的 最大公因数 ，相同字母(因式)的 最低次幂 的积 为最大公因式．
3．通分：把分母不相同的几个分式化成 分母相同 的分式， 叫做通分．通分的关键是确定几个分式的 最简公分母 ．确定最 简公分母的一般步骤：当分母是多项式时，先 分解因式 ，再取 系数的 最小公倍数 ，所有不同字母(因式)的 最高次幂 的积为最 简公分母．
A．x＝1
B．x＝－6
C．x≠1
D．x≠－6
2．要使分式x－x 11有意义，则 x 的取值应满足( C )
A．x≠0
B．x>0
C．x≠11
D．x>11
(x＋y)2－(x－y)2
3．计算
4xy
的结果为( A )
A．1
B．12
C．14
D．0
【解析】原式＝x2＋2xy＋y24－xyx2＋2xy－y2＝44xxyy＝1.故选 A．
C．x＋x 1÷x－1 1
D．x2＋x＋2x1＋1
D．xx2－－11
5．下列计算正确的是( B )
A．3xy÷3xy＝x2
B．3xy2 ·3xy＝1x

B.x2－2x＝2x析 方程两边乘以最简公分母x(x－2)，
去分母得：x－2＝2x.
12345
3.(2016·海南)解分式方程x－1 1＋1＝0，正确的结果是( A )
A.x＝0
B.x＝1
C.x＝2
D.无解
解析 去分母得：1＋x－1＝0，
解得：x＝0.
12345
4.(2016·深圳)施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停
2
诊断自测
x－2 1.(2016·温州)若分式x＋3的值为 0，则 x 的值是( D )
A.－3 B.－2
C.0
D.2
解析 ∵分式xx－＋23的值为 0， ∴x－2＝0，∴x＝2.
12345
2.(2014·来宾)将分式方程1x＝x－2 2去分母后得到的整式方程，正确的
是( A )
A.x－2＝2x
由题意得：2a3－2≥0 且2a3－2≠2， 解得：a≥1 且 a≠4.
12345
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考点突破
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考点一 分式方程的解法
例 1 (2016·上海)解方程：x－1 2－x2－4 4＝1. 解 去分母，得：x＋2－4＝x2－4， 移项、合并同类项，得：x2－x－2＝0， 解得：x1＝2，x2＝－1， 经检验：x＝2是增根，舍去， 故原方程的根是x＝－1.
根据题意，可列方程：20x00－x2＋00500＝2.
12345
5.(2016·贺州)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值范
围是( C )
A.a≥1
B.a＞1
C.a≥1且a≠4 D.a＞1且a≠4 2a－2
解析 去分母得：2(2x－a)＝x－2，解得：x＝ 3 ，

•无意义。
•有意义。
• 已知分式
•(1) 当x为何值时，分式无意义?
•(３)当分子等于零而 分母不等于零时,分式 的值为零。
•则 x2 - 4=0 •∴x = ±2
•而 x+2≠０ •∴ x ≠ -2
•(2) 当x为何值时，分式有意义? •(3) 当x为何值时，分式的值为零? •(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
•(1) 当x为何值时，分式无意义?
•解
•(2) 当x为何值时，分式有意义?
: •(1)当分母等于零时, •(3) 当x为何值时，分式的值为零?
• 分式无意义。 •(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
•即 x+2=0 •∴x = -2
•∴当x = -2时分式:
• (2)由（１）得 当x ≠-2时，分式•这批图书共进了册。 •？
•探索新知•☞
• 甲种糖果每千克价格a元， 乙种糖果每千克价格b元，取甲 种糖果m ㎏，乙种糖果n ㎏， 混合后，平均每千克价格为
•
元。
•上面题中出现的代数式:
•b •x+•5
• 它们与整式是否相同？它
们有什么共同特点吗？
• 你能用精炼语言概括出 什么是分式吗？
•概念学习•☞
•（４）当x ＝-３时，
•∴当x = 2时分式
•的值为零。
•反思:要使分式 ••ＡＢ•＝,则０须A=0 且B≠0
•例题学习•☞
• 甲、乙两人从一条公路的某处出 发，同向而行，已知甲每时行a千米， 乙每时行b千米，a>b。如果乙提前1时 出发，那么甲追上乙需要多少时间？ 当a=6，b=5时求甲追上乙所需要的时 间。
•(3) 当x为何值时，分式的值为零?

[对应训练]
2．(1)下列计算错误的是( A )
A.00..27aa＋－bb＝72aa－＋bb B.xx32yy23＝xy
C.ab－－ba＝－1
D.1c＋2c＝3c
(2)(2016·台州)化简（xy2－－xy）2 2的结果是( D ) A．－1 B．1
x＋y x＋y C.y－x D.x－y
【例 3】 (2016·玉林)化简：(a－a 2－a2－4 2a)÷a＋a 2.
【例 1】 (1)(2016·北京)如果分式x－2 1有意义， 那么 x 的取值范围是_x_≠_1_．
(2)(2016·盐城)当 x＝__1__时，分式3xx－＋12的值为 0.
【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时 还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个 字母的值是否使分母的值为 0，当它使分母的值不为 0 时，这就是所要求的 字母的值．
浙江专用
第4讲 分式及其运算
(11．)形分如式的AB基(A本，概B念是整式，且 B 中含有字母，B≠0) 的式子叫做分式．
如：2nm，x＋3 y，x＋x 1都是分式；
(2)当B__≠_0_时，分式AB有意义；当_B_＝__0时，分式AB无意义；
当
A＝0且B≠0
时，分式AB的值为 0.
2．分式的基本性质 用式子分表 式示 的为分子与AB分＝母AB××都MM乘，(或AB除＝以AB÷÷)MM同(M一是个不不等等于于零零的的整整式式)，分式的．值不变，
[对应训练] 1．(1) 如果代数式x－x1有意义，那么 x 的取值范围是(D ) A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0 且 x≠1
(2)当 x＝__3__时，分式|xx＋|－33的值为 0.

有意义，则 x
应满足的条件是__x___2_且__x____2
2.
分式
| x2
x
| 1 2x
1
的值为0，则
x
=
_－__1___
3. 你能否写出一个分式，无论字母取何 实数，这个分式都有意义？
2 10 3 与 15
；
8
与
16
21 42
是否相等?依据是什么?
分数的基本性质
分数的分子与分母都乘以或除以同 一个不等于零的数，分数的值不变.
4ab (2bc)
解: ⑴ 原式=
=
2bc
4ab (3a) 3a
（2） 原式= (a 2)2 = a 2 (a 2)(a 2) a 2
把一个分式的分子和分母的公因 式约去,这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是什么？
分式的基本性质
在化简结果中,分子和分母已没有
2.不改变分式的值,使下列分式的分子与分母 的最高次项的系数都化为正数：
(1) 1 3x x2
x2 2x 3 (2)
x 1
解( 1 ) .原式

-(3x- 1) -(x 2)
3x 1 x2
( 2 ) .原式

-(
x2 2 x x-1
-
3
)


x2
2x 3 x 1
公因式,这样的分式成为最简分式
化简分式时,通常 要使结果成为最简 分式或者整式
1.不改变分式的值，使下列各式的 分子与分母不含“—”号：
(1) a 2b
(2) 3x 2y
x2 (3)
2a
解( 1 ) .原式

条件——分式的分母不为 0，这是解分式相关问题的突破 口，也是最容易忽视的地方．
【典例 1】 (2015 ·湖南常德)若分式xx2＋－11的值为 0，则 x＝ ________．
【点评】 本题主要考查分式值为 0 的条件，注意分式有意义
时“分母不为 【解析】
0”这个隐含条件是解题的关键． ∵原分式的值为 0，则
3．约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分 式的约分，约分要约去分子、分母所有的公因式．分子、 分母没有公因式的分式叫作最简分式．
要点点拨
分式的基本性质是约分和通分的依据，而约分和通分又 是分式运算的基础．利用分式的基本性质可以对分式进行化 简或变形．
特别关注 通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与 各分母所有字母的最高次幂的积为公分母；约分的关键是找 出分子与分母的最大公因式．
A．((ab－－ba))22＝1
B．－aa＋－bb＝－1
C．0.02.a5－a＋0.b3b＝52aa＋－130bb
D．aa－＋bb＝bb－＋aa
【点评】 本题主要考查分式的基本性质，熟练运用相关性 质是解题的关键． 【解析】 A，B，C 均正确，而aa－＋bb＝－bb－＋aa，故选 D． 【答案】 D
【解析】 原式＝x－x21－x－1 1＝xx2－－11＝(x＋x1－)(x1－1)＝x＋1．
【答案】 A
【典例 5】 (1)(2015·浙江台州)先化简，再求值：a＋1 1－ (a＋a1)2，其中 a＝ 2－1． (2)(2015 ·四川资阳)先化简，再求值：x－1 1－x＋1 1÷xx2＋－21，
3．分式运算中的常用技巧：分式运算题型较多，解题方法 不唯一．若能根据特点灵活求解，将会事半功倍．主要 有以下技巧：分步通分；重新排序；分组通分；先“分” 后“通”；整体通分；化积为差，裂项相消．

39
2
考点一：分式的有关概念
• 1. 分式的概念
• (1)概念：形如������������(A、B是整式，B中含有字母，且B≠0)的代数式叫作分式．
• (2)当 B≠0
时，分式������有意义；
������
• 当 B＝0 时，分式������无意义；
������
•
当 A＝0，B≠0 时，分式������的值为零．
24
解析：
25
思维提升：
• 分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，此外，实数的运算律对分式 运算同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度；分子或分母的系数是负数 时，要把“－”号提到分式本身的前边；分式运算的最终结果若是分式，一定要化为 最简分式．
26
考点三：分式的化简与求值
27
解析：
• A．2
B．0
C．－2
• (2)(2017·湖州)要使分式������−12有意义，x的取值应满足 x≠2 ．
D．－5
7
考点一：分式的有关概念
• 【练】(1)若分式������������2−−11的值为0，则x的值为( )
• A．0
B．1
• (2)使代数式 ���������−���−43有意义的x的取值范围是( )
28
考点三：分式的化简与求值
29
解析：
30
考点三：分式的化简与求值
31
解析：
32
考点三：分式的化简与求值
33
解析：
34
考点四：分式的创新应用
• 【例】已知������2−������������+1 = 7，求������4+������������22+1的值.

D.
3-m
13.下列各式中，正确的是（ D ）
A.
a+m b+m
=
a b
C.ab-1
ac-1
=
b-1 c-1
BD..xaax2+---byyb2==0x+1y
谢谢
时扩大2倍，则分式的值____不__变_；
x2
2.把分式 中的分子、分母的x，y同时
扩大2倍，则分y式的值___是__本__来__的___2；倍
3.分式乘除法的法则
a c ac b d bd
a c a d ad b d b c bc
计算 （1）2a2b3（ 3ab ） 6ab2 4ab2
（2）x2
6x x 1
9
3 x x2 1
4.（1）同分母分式的加减法法则：
a b ab cc c
计算：
（1）a 4b 2a-b ab ab
（2）（xy
2 1 y）2
（1y
x2 x）2
4.（2）异分母分式的加减法法则：
步骤：1.找公分母；2.通分；3.转化为同分母分式，再加减。
计算
（1） a b 8ab3 6a2b
C（ （ ．xx
1）2 1）2
x2
D．x2 1
2、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以） 同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即：AB =
A●M B●M
A A÷M B = B÷M
（M≠0）
应用一 分子、分母系数化整
应用二 最高次项的系数都化为正数
应用三 化简分式
1. x 中的分子、分母的x，y同 x+y
（1）当
x2
x 时x（ ，分x -式2）x 2 有意义；