浙教版初中数学中考复习：分式及其运算 (共39张PPT)

(4)
2 2ab
2
3
（2）
0.2a 0.5b 0.7a b
P158T1
在哪些位置添上“－”，可使分数变成它的相反数？
2 3
－2 3
2 －3
－2 3
类似地：
b
－b
b
－b
a
a
－a
a
分子的 负号
分母的 分式本身
负号
的负号
辨一辨
在下列各式中，找出哪些是相等的分式？
(1) b a
(2) b (3) b (4) b
小
诊断下列分式的变形是否有“病”
医
x+y
生
x2+xy yy
x2 = x
≠
a+2 a
b+2= b (ab)
-x+1
-
x-1 x++11
x= x
练一练：
5、如图，为了制作贺卡,需在边长为（2b+2）的正方 形纸片上剪下边长为2的正方形。若合理剪裁可将剩下 的纸片恰好拼成一长为（b+2）的长方形,拼成的长方 形的宽是多少?
b b a ab
a aa a2
；
x3 ( x 3) 2
(x 3) ( x 3)
( x 3)2 ( x 3)
1 x3
做一做
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母 中各项的系数都化为整数：
x1 y
（1） 1 3 ; (3) 0.01x 0.5 x y 0.3x 0.04
2a 3 b
2b+2
2
b+2
+?
1.分式的基本性质。
2.分式的约分。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问 题是什么？

3 例如，3÷5 = . 在整式运算时，两个整式相除也可 5 7 b 以表示成类似的形式，例如，7 p , b a , p a v v0 2x 3 ( v v0 ) t ,(2 x 3) ( x 2) . t x2
（来自《教材》）
知1－导
7 b v v0 2 x 3 , , , 这些代数式都表示两个整式 p a t x2
第5章
分式
5.1
分 式
1
课堂讲解
分式的定义 分式有(无)意义的条件 分式的值为零的条件
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方千米的
保护区内找到7只灰熊. 你能用代数式表示该保护区平 均每平方千米内有多少只灰熊吗？
知1－导
知识点
1
分式的定义
我们知道，两个整数相除可以表示成分数的形式，
衡阳)若分式 2 (中考·
A．2或－1
x2 的值为0，则x的值为( x 1 B．0
)
C．2
D．－1
（来自《典中点》）
知3－练
3 (改编· 黄冈)下列结论正确的是( A．3a2b－a2b＝2 B．单项式－x2的系数是－1
)
C．分解因式a3－a的结果为a(a2－1)
a2 1 D．若分式 的值等于0，则a＝±1 a2
（来自《点拨》）
知1－讲
＋2b 2x 2 x＋2 2 x a 例1 下列各式： －3a ， ， ， ， 3， 中， 2 x π＋2 x＋y 哪些是分式？哪些是整式？
导引： 按分式的定义知分母中含有字母的式子是分式， 分母中不含有字母的式子是整式．
2x 2x ， ； 解：分式有 x x＋y

典型考题展示
考点一 确定分式有意义的条件 要使分式xx－ ＋12有意义，则 x 的取值范围是( C )
A．x<－2 B．x>－2 C．x≠－2 D．x≠1 【思路点拨】分式有意义的条件是分母不等于零，即 x＋2≠0. 【自主解答】
要使分式5－1 x有意义，则 x 的取值范围是 x≠5 ．
考点二 确定分式的值为 0 的条件
没有公因式的分式叫做 最简分式 ．
约分的关键是确定分式的分子与分母中的 最大公因式 ．确 定最大公因式的一般步骤：当分子、分母是多项式时，先 分解因 式 ，取系数的 最大公因数 ，相同字母(因式)的 最低次幂 的积 为最大公因式．
3．通分：把分母不相同的几个分式化成 分母相同 的分式， 叫做通分．通分的关键是确定几个分式的 最简公分母 ．确定最 简公分母的一般步骤：当分母是多项式时，先 分解因式 ，再取 系数的 最小公倍数 ，所有不同字母(因式)的 最高次幂 的积为最 简公分母．
A．x＝1
B．x＝－6
C．x≠1
D．x≠－6
2．要使分式x－x 11有意义，则 x 的取值应满足( C )
A．x≠0
B．x>0
C．x≠11
D．x>11
(x＋y)2－(x－y)2
3．计算
4xy
的结果为( A )
A．1
B．12
C．14
D．0
【解析】原式＝x2＋2xy＋y24－xyx2＋2xy－y2＝44xxyy＝1.故选 A．
C．x＋x 1÷x－1 1
D．x2＋x＋2x1＋1
D．xx2－－11
5．下列计算正确的是( B )
A．3xy÷3xy＝x2
B．3xy2 ·3xy＝1x

B.x2－2x＝2x析 方程两边乘以最简公分母x(x－2)，
去分母得：x－2＝2x.
12345
3.(2016·海南)解分式方程x－1 1＋1＝0，正确的结果是( A )
A.x＝0
B.x＝1
C.x＝2
D.无解
解析 去分母得：1＋x－1＝0，
解得：x＝0.
12345
4.(2016·深圳)施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停
2
诊断自测
x－2 1.(2016·温州)若分式x＋3的值为 0，则 x 的值是( D )
A.－3 B.－2
C.0
D.2
解析 ∵分式xx－＋23的值为 0， ∴x－2＝0，∴x＝2.
12345
2.(2014·来宾)将分式方程1x＝x－2 2去分母后得到的整式方程，正确的
是( A )
A.x－2＝2x
由题意得：2a3－2≥0 且2a3－2≠2， 解得：a≥1 且 a≠4.
12345
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考点突破
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考点一 分式方程的解法
例 1 (2016·上海)解方程：x－1 2－x2－4 4＝1. 解 去分母，得：x＋2－4＝x2－4， 移项、合并同类项，得：x2－x－2＝0， 解得：x1＝2，x2＝－1， 经检验：x＝2是增根，舍去， 故原方程的根是x＝－1.
根据题意，可列方程：20x00－x2＋00500＝2.
12345
5.(2016·贺州)若关于 x 的分式方程2xx－－2a＝12的解为非负数，则 a 的取值范
围是( C )
A.a≥1
B.a＞1
C.a≥1且a≠4 D.a＞1且a≠4 2a－2
解析 去分母得：2(2x－a)＝x－2，解得：x＝ 3 ，

•无意义。
•有意义。
• 已知分式
•(1) 当x为何值时，分式无意义?
•(３)当分子等于零而 分母不等于零时,分式 的值为零。
•则 x2 - 4=0 •∴x = ±2
•而 x+2≠０ •∴ x ≠ -2
•(2) 当x为何值时，分式有意义? •(3) 当x为何值时，分式的值为零? •(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
•(1) 当x为何值时，分式无意义?
•解
•(2) 当x为何值时，分式有意义?
: •(1)当分母等于零时, •(3) 当x为何值时，分式的值为零?
• 分式无意义。 •(4) 当x= -3时，分式的值是多少?
•即 x+2=0 •∴x = -2
•∴当x = -2时分式:
• (2)由（１）得 当x ≠-2时，分式•这批图书共进了册。 •？
•探索新知•☞
• 甲种糖果每千克价格a元， 乙种糖果每千克价格b元，取甲 种糖果m ㎏，乙种糖果n ㎏， 混合后，平均每千克价格为
•
元。
•上面题中出现的代数式:
•b •x+•5
• 它们与整式是否相同？它
们有什么共同特点吗？
• 你能用精炼语言概括出 什么是分式吗？
•概念学习•☞
•（４）当x ＝-３时，
•∴当x = 2时分式
•的值为零。
•反思:要使分式 ••ＡＢ•＝,则０须A=0 且B≠0
•例题学习•☞
• 甲、乙两人从一条公路的某处出 发，同向而行，已知甲每时行a千米， 乙每时行b千米，a>b。如果乙提前1时 出发，那么甲追上乙需要多少时间？ 当a=6，b=5时求甲追上乙所需要的时 间。
•(3) 当x为何值时，分式的值为零?

[对应训练]
2．(1)下列计算错误的是( A )
A.00..27aa＋－bb＝72aa－＋bb B.xx32yy23＝xy
C.ab－－ba＝－1
D.1c＋2c＝3c
(2)(2016·台州)化简（xy2－－xy）2 2的结果是( D ) A．－1 B．1
x＋y x＋y C.y－x D.x－y
【例 3】 (2016·玉林)化简：(a－a 2－a2－4 2a)÷a＋a 2.
【例 1】 (1)(2016·北京)如果分式x－2 1有意义， 那么 x 的取值范围是_x_≠_1_．
(2)(2016·盐城)当 x＝__1__时，分式3xx－＋12的值为 0.
【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时 还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个 字母的值是否使分母的值为 0，当它使分母的值不为 0 时，这就是所要求的 字母的值．
浙江专用
第4讲 分式及其运算
(11．)形分如式的AB基(A本，概B念是整式，且 B 中含有字母，B≠0) 的式子叫做分式．
如：2nm，x＋3 y，x＋x 1都是分式；
(2)当B__≠_0_时，分式AB有意义；当_B_＝__0时，分式AB无意义；
当
A＝0且B≠0
时，分式AB的值为 0.
2．分式的基本性质 用式子分表 式示 的为分子与AB分＝母AB××都MM乘，(或AB除＝以AB÷÷)MM同(M一是个不不等等于于零零的的整整式式)，分式的．值不变，
[对应训练] 1．(1) 如果代数式x－x1有意义，那么 x 的取值范围是(D ) A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0 且 x≠1
(2)当 x＝__3__时，分式|xx＋|－33的值为 0.

有意义，则 x
应满足的条件是__x___2_且__x____2
2.
分式
| x2
x
| 1 2x
1
的值为0，则
x
=
_－__1___
3. 你能否写出一个分式，无论字母取何 实数，这个分式都有意义？
2 10 3 与 15
；
8
与
16
21 42
是否相等?依据是什么?
分数的基本性质
分数的分子与分母都乘以或除以同 一个不等于零的数，分数的值不变.
4ab (2bc)
解: ⑴ 原式=
=
2bc
4ab (3a) 3a
（2） 原式= (a 2)2 = a 2 (a 2)(a 2) a 2
把一个分式的分子和分母的公因 式约去,这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是什么？
分式的基本性质
在化简结果中,分子和分母已没有
2.不改变分式的值,使下列分式的分子与分母 的最高次项的系数都化为正数：
(1) 1 3x x2
x2 2x 3 (2)
x 1
解( 1 ) .原式

-(3x- 1) -(x 2)
3x 1 x2
( 2 ) .原式

-(
x2 2 x x-1
-
3
)


x2
2x 3 x 1
公因式,这样的分式成为最简分式
化简分式时,通常 要使结果成为最简 分式或者整式
1.不改变分式的值，使下列各式的 分子与分母不含“—”号：
(1) a 2b
(2) 3x 2y
x2 (3)
2a
解( 1 ) .原式

条件——分式的分母不为 0，这是解分式相关问题的突破 口，也是最容易忽视的地方．
【典例 1】 (2015 ·湖南常德)若分式xx2＋－11的值为 0，则 x＝ ________．
【点评】 本题主要考查分式值为 0 的条件，注意分式有意义
时“分母不为 【解析】
0”这个隐含条件是解题的关键． ∵原分式的值为 0，则
3．约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分 式的约分，约分要约去分子、分母所有的公因式．分子、 分母没有公因式的分式叫作最简分式．
要点点拨
分式的基本性质是约分和通分的依据，而约分和通分又 是分式运算的基础．利用分式的基本性质可以对分式进行化 简或变形．
特别关注 通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与 各分母所有字母的最高次幂的积为公分母；约分的关键是找 出分子与分母的最大公因式．
A．((ab－－ba))22＝1
B．－aa＋－bb＝－1
C．0.02.a5－a＋0.b3b＝52aa＋－130bb
D．aa－＋bb＝bb－＋aa
【点评】 本题主要考查分式的基本性质，熟练运用相关性 质是解题的关键． 【解析】 A，B，C 均正确，而aa－＋bb＝－bb－＋aa，故选 D． 【答案】 D
【解析】 原式＝x－x21－x－1 1＝xx2－－11＝(x＋x1－)(x1－1)＝x＋1．
【答案】 A
【典例 5】 (1)(2015·浙江台州)先化简，再求值：a＋1 1－ (a＋a1)2，其中 a＝ 2－1． (2)(2015 ·四川资阳)先化简，再求值：x－1 1－x＋1 1÷xx2＋－21，
3．分式运算中的常用技巧：分式运算题型较多，解题方法 不唯一．若能根据特点灵活求解，将会事半功倍．主要 有以下技巧：分步通分；重新排序；分组通分；先“分” 后“通”；整体通分；化积为差，裂项相消．

39
2
考点一：分式的有关概念
• 1. 分式的概念
• (1)概念：形如������������(A、B是整式，B中含有字母，且B≠0)的代数式叫作分式．
• (2)当 B≠0
时，分式������有意义；
������
• 当 B＝0 时，分式������无意义；
������
•
当 A＝0，B≠0 时，分式������的值为零．
24
解析：
25
思维提升：
• 分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，此外，实数的运算律对分式 运算同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度；分子或分母的系数是负数 时，要把“－”号提到分式本身的前边；分式运算的最终结果若是分式，一定要化为 最简分式．
26
考点三：分式的化简与求值
27
解析：
• A．2
B．0
C．－2
• (2)(2017·湖州)要使分式������−12有意义，x的取值应满足 x≠2 ．
D．－5
7
考点一：分式的有关概念
• 【练】(1)若分式������������2−−11的值为0，则x的值为( )
• A．0
B．1
• (2)使代数式 ���������−���−43有意义的x的取值范围是( )
28
考点三：分式的化简与求值
29
解析：
30
考点三：分式的化简与求值
31
解析：
32
考点三：分式的化简与求值
33
解析：
34
考点四：分式的创新应用
• 【例】已知������2−������������+1 = 7，求������4+������������22+1的值.

D.
3-m
13.下列各式中，正确的是（ D ）
A.
a+m b+m
=
a b
C.ab-1
ac-1
=
b-1 c-1
BD..xaax2+---byyb2==0x+1y
谢谢
时扩大2倍，则分式的值____不__变_；
x2
2.把分式 中的分子、分母的x，y同时
扩大2倍，则分y式的值___是__本__来__的___2；倍
3.分式乘除法的法则
a c ac b d bd
a c a d ad b d b c bc
计算 （1）2a2b3（ 3ab ） 6ab2 4ab2
（2）x2
6x x 1
9
3 x x2 1
4.（1）同分母分式的加减法法则：
a b ab cc c
计算：
（1）a 4b 2a-b ab ab
（2）（xy
2 1 y）2
（1y
x2 x）2
4.（2）异分母分式的加减法法则：
步骤：1.找公分母；2.通分；3.转化为同分母分式，再加减。
计算
（1） a b 8ab3 6a2b
C（ （ ．xx
1）2 1）2
x2
D．x2 1
2、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以） 同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即：AB =
A●M B●M
A A÷M B = B÷M
（M≠0）
应用一 分子、分母系数化整
应用二 最高次项的系数都化为正数
应用三 化简分式
1. x 中的分子、分母的x，y同 x+y
（1）当
x2
x 时x（ ，分x -式2）x 2 有意义；

未知数、找等量关系、列方程、解方程、 检验 、作答．但与整式方程不同的是求 得方程的解后，要进行两次检验：
• (1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；
• (2)检验所求的解是否 符合实际意义 ． • 温馨提示：分式方程的应用题主要涉及工程问题、行程问题等，每个问题中涉及三
个量，如工作总量＝工作效率×工作时间，路程＝速度×时间．在工作总量或路程 是已知条件时，一般建立分式方程解决问题．
•
解得：x＝2，
•
检验：当x＝2时，x－2＝0，
•
所以x＝2不是原方程的根，即原方程无解．
7
考点一：分式方程的解法
8
解析：
•
两边同时乘以(2x＋1)(2x－1)得：
•
x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)，
•
x＋1＝6x－3－4x－2，
•
解得：x＝6.
•
经检验：x＝6是原分式方程的解，
•
所以原方程的解是x＝6.
•
•
在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。

（1）x2
x 2x
(
x2
)
（分子分母都乘以 x）
（2）3x2 3xy xy
6x2
(
)
（分子分母都除以 3x）
例3（补充）判断下列变形是否正确.
（1）
a b
a2 b2
(
)
（2） b bc a ac
(c≠0)
(
)
（3） b b 1 ( )
a a 1
（4）
2x 2x 1
x x 1
(
)
（四）课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考：
1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
练习3：
A
1、归纳：对于分式 B
（1） 分式无意义的条件是 B=0 。
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时，分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算：
（ 1 ） b a ； （ 2 ） 2b； （ 3 ） n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算：
（1）3a 4b
196ab2 ； （2）
3xy
2y2 3x
；
（3）12xy 8x2y；（4）x y y x．
解： 即2011年与2010年相比，森林面积增长率提 高了 S 1 S 3 - S 2 2 ． S1S 2
八年级 上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算

异分母相加
BCBD CA B D AC A D ADAD 分子、 分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因 式的形式。
(1) 4 3 • aa
(2) x12x1 x1 1x
(4) x12x1 x21 x1
(5)x22x1 x1
（6）计算：xy x y2 x xy x2xy
例4. 甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行，
甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，
取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点
处相遇。已知甲比乙每小时多走千米，求二人的速度
各是多少？
36千米
A 1千米
B
分析：等量关系
t 甲=t 乙
18 1 2 = 18
x 0.5 x
• 分式 • 分式有意义 • 分式的值为零 • 分式约分 • 分式通分 • 分式方程 • 增根
概念
1.分式的定义:
形如 A ,其中 A ,B 都是整式,
B
且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0
3.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0 A
4.分式 B > 0 的条件: A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 分式 A < 0 的条件: A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0 B
4、写出原方程的根.
1、解分式方程
(1)
3 x
x 4
4
1
x
1
0
(2)
3x x2 x2 1
1
2x x1
例2
已知
x3 (x2)2

设原计划平均每亩产量为 x 万千克，则改良后平
均每亩产量为 1.5x 万千克，根据题意列方程为( A )
A.3x6－3Βιβλιοθήκη 6.＋5x9＝20B.3x6－13.56x＝20
C.316.＋5x9－3x6＝20
D.3x6＋316.＋5x9＝20
4．关于 x 的方程：①x2－x－3 1＝6；②90x0＝x5－0030；
点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上 A， B 两点的位置情况并结合已知条件“点 A，B 到原 点的距离相等”可知，A，B 两点所表示的数互为 相反数，于是可建立方程求出 x 的值．
思想2 整体思想
13 ． 已 知 实 数
a
满足
a2
＋
4a
－
8
＝
0
，
求
1 a＋1
－
aa2＋－31·aa22－ ＋26aa＋ ＋19的值．
解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘 x； 步骤②括号前面是“－”，去括号时，没有变号； 步骤⑥前没有检验． 正确的解答过程如下： 解：方程两边同乘 x，得 1－(x－2)＝x， 去括号，得 1－x＋2＝x， 移项、合并同类项，得－2x＝－3， 解得 x＝23.经检验 x＝32是原分式方程的解．返回
③x3＋1＝23x；④2ax＝1x；⑤3x20－4x00＝4； ⑥xa＝53－x. 分式方程有____②__④__⑤____．(填序号)
概念3 增根
5．若关于 x 的方程xx－ －45－3＝x－a 5有增根，则增根为
( B) A．x＝6
B．x＝5
C．x＝4
D．x＝3
6．已知方程1＋2 x－1－k x＝x2－6 1有增根 x＝1，求 k 的值．
解得 m＝－1.5.∴m 的值是－0.5 或－1.5.